第七章：
光的偏振与晶体光学基础
第七章：光的偏振与晶体光学基础
? 电磁波是一种矢量波，大量的干涉和衍射
问题可以用标量近似处理。
? 然而本章所要讨论的偏振和双折射。却是
矢量波所特有的现象。不能再按标量处理。
? 历史上，双折射的发现。曾经是光的横波
（矢量波）特性的一个有力佐证。
§ 7－ 1偏振光和自然光
?一、偏振光和自然光的特点
?由麦克斯韦理论知：
?光波是一种横波，即它的光矢量始终是与传
播方向垂直的。
?1.线偏振光,光矢量的振动方向在传播过程
中（在自由空间中）保持不变，只是它的大
小在随位相改变，即为线偏振光。
?2.振动面,线偏振光的光矢量与传播方向组
成的面。
0?? ?? Ek 0?? ?? Bk EkB ??? ?? ?1
§ 7－ 1偏振光和自然光
?3.圆偏振光,在传播过程中光矢量的大小不
变，而方向绕传播轴均匀地转动，端点的轨
迹是一个圆。
?4.椭圆偏振光,光矢量的大小和方向在传播
过程中都有规律地变化，光矢量的端点沿着
一个椭圆轨迹转动。
?5.自然光,具有一切可能的振动方向的许多
光波的总和，这些振动同时存在或迅速且无
规则地互相替代。无优势振动方向。
§ 7－ 1偏振光和自然光
? 6.部分偏振光,自然光在传播过程中，若受
到外界的作用造成各个振动方向上的强度
不等，使某一方向振动比其它方向占优势，
即为部分偏振光。它可看成是由自然光和
线偏振光混合而成。
? 7.偏振度,线偏振光在部分偏振光总强度中
所占的比例：
? 显然：自然光 → P=0 线偏光 → P＝ 1
? 其它 0＜ P＜ 1
m i nm a x
m i nm a x
II
II
I
IP
t
P
?
???
§ 7－ 1偏振光和自然光
?二、从自然光中获得线偏振光的方法：
?一般有四种：
?A：利用反射和折射 B：利用二向色性
?C：利用晶体的双折射 D：利用散射
?本节只讨论 A,B两种方法；
?D在 § 1－ 10中己讨论过：（偏振度与 θ角有关）
当 θ＝ π/2时，可得完全线偏光；
?C、在下一节讨论。
§ 7－ 1偏振光和自然光
?1.由反射和折射产生线偏振光 。
?自然光在介质分界面上的反射和折射时，可
以把它分解成两部分，即平行于入射面的分
量 P波和垂直于入射面的 S波。
?由于这两个波的反射系数不同，则反射光和
折射光一般地就成为部分偏振光。
?当入射光的入射角等于布儒斯等角时，反射
光成为线偏振光。 ? ?
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12
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§ 7－ 1偏振光和自然光
?根据此原理：可以利用玻璃来获得线偏振光。
如图 7－ 2所示的外腔式气体激光器，将激光
管两端的透射窗 B1,B2安置成使入射光的入
射角成为布儒斯特角。此时：
?则谐振腔中不能对 S波起振（损失大，不能
满足阈值条件），而只对 P波起振。
?故输出的激光将只包含 P波成份。
rs≠0 Rs≈15%
rp=0 0?
PR
B1 B2M1
M2
输出
§ 7－ 1偏振光和自然光
?此方法的缺点：
?以布儒斯特角入射时，反射光虽是线偏振光，
但强度太小；透射光强度虽大，但偏振度太
小，为此可用多片玻璃叠合成片堆，并使入
射角等于布儒斯特角。如图 7－ 3所示。
?按照玻璃片堆的原理，可以制成一种叫做偏
振分光镜的器件。如图 7－ 4所示。
?为了使透射光获得最大偏振度，
应适当选择膜层的折射率，
使光线在相邻膜层界面上的入射角等于布儒
斯特角。
§ 7－ 1偏振光和自然光
? 即,n3sin450=n2sinθ
? 且 n2sinθ＝ n1sin(900-θ) →tgθ=n 1/n2
? 由此：
? 此为玻璃折斯率 n3和两种介质膜的折射率
n1,n2之间应当满足的关系式：
? 使用白光时，考虑色散影响，冰晶石
（ Na3AlF6）色散极小，则：
? n3玻璃,n2硫化锌
2
2
2
1
2
2
2
12
3
2
nn
nnn
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3
1
3
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?
?
§ 7－ 1偏振光和自然光
? 色散系数（阿贝常数）
? 钠光谱 D线 5893A 黄
? 氢光谱 F线 4861A 兰
? 氢光谱 C线 6563A 红
? 则玻璃色散系数
? 硫化锌（ ZnS）色散
? 可得：
cF
D
nn
n
?
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3
3
3
1
n
n
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3
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2
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3 1
1 ??
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nnn
nnnn
§ 7－ 1偏振光和自然光
?将 代入
?玻璃参数为：
?2、由二向色性产生线偏振光
?二向色性,某些各向异性的晶体对不同振动
方向的偏振光有不同的吸收系数的性质。
?晶体的二向色性与光波波长有关，当振动方
向互相垂直的两束线偏振白光通过晶体后会
呈现出不同的颜色。此为二向色性这个名称
的由来。
17,3.2,25.1 221 ??? ?nn
8.46,55.1 33 ?? ?n
§ 7－ 1偏振光和自然光
?此外，有些原本各向同性的介质在受到外界
作用时会产生各向异性，它们对光的吸收本
领也随着光矢量的方向而变。把介质的这种
性质也称为二向色性。
?利用二向色性获得偏振光的器件称为偏振片。
H偏振片和 K偏振片（性能更为稳定），它们
的制造工艺均为对聚乙烯醇薄膜经过拉伸而
制成。
?偏振片（或其它器件）允许透过的电矢量的
方向称为它的透光轴，透光轴垂直于拉伸方
向。
§ 7－ 1偏振光和自然光
?三、马吕斯定律和消光比
?如图 7－ 6所示，可以取两个相同的偏振片，
让光相继通过两个器件，来检验这些器件的
质量。 P1,P2分别称为起偏器，检偏器。透射
光强由下式决定：
?I0为 θ=0时的透射光强,
?θ为两偏振片透光轴的夹角。
?20 c o sII ?
θ
P1
P2
起偏器
检偏器
自然光
§ 7－ 1偏振光和自然光
?由于实际的偏振器件往往不是理想的，即自
然光透过后得不到完全的线偏振光，而是部
分偏振光。即使两个偏振器的透光轴互相垂
直，透射光强也不为零。
?我们把这时的最小透射光强与两偏振器透光
轴互相平行时的最大透射光强之比称为 消光
比,它是衡量偏振器件质量的重要参数。
§ 7－ 2晶体的双折射
?当一束单色光在各向异性晶体的界面折射时，
一般可以产生 两束折射光,这种现象称为双
折射。双折射现象比较显著的是方解石
（ CaCO3）,
?实验现象,取一块冰洲石（方解石的一种）
放在一张有字的纸上，我们将看到双重的像，
且冰洲石内的两个像浮起的高度是不同的，
（此是光的折射引起的，折射率越大，像浮
起的高度越大）。
?这表明，光在这种晶体内成了两束，它们的
折射程度不同。此为双折射。
§ 7－ 2晶体的双折射
?一、寻常光线和非常光线
?让一束平行的自然光束正入射在冰洲石晶体
的表面，就会发现光束分解成两束。
?按照折射定律，正入射时光线不应偏折。而
上述两束折射光中的一束确实在晶体中沿原
方向传播，但另一束却偏离了原来的方向，
后者显然是违背普通的折射定律的。
?进一步的研究表明，晶体内的两条折射光线
中一条总是符合普通的折射定律，另一条却
常常违背它。
§ 7－ 2晶体的双折射
?晶体内的前一条折射光线叫做 寻常光 （ o光，
来源为 ordinary），另一条折射光线叫做 非常光
（ e光，来源为 extraordinary）。
?注：所谓的 o光和 e光，只在双折射晶体的内部
才有意义，射出晶体以后，就无所谓 o光和 e光
了。
?二、晶体的光轴：
O光
e 光
偏振片
§ 7－ 2晶体的双折射
? 冰洲石中存在着一个 特殊的方向,光线沿
这个方向传播时 o光和 e光不分开（即它们的
传播速度和传播方向都一样），这个特殊
方向称为晶体的光轴。
? 注：晶体的光轴并不是经过晶体的某一条
特定的直线，而是一个方向。在晶体内的
每一点都可以作出一条光轴来。
? 单轴晶体,只有一个光轴方向的晶体：方
解石、石英及 KDP（磷酸二氢钾）
? 双轴晶体,有二个光轴方向的晶体，云母，
石膏，蓝宝石等。
§ 7－ 2晶体的双折射
?三、主平面与主截面：
?主平面,在单轴晶体内，由 o光线和光轴组成
的面为 o主平面 。由 e光线和光轴组成的面称为 e
主平面 。一般情况下,o主光平面和 e主平面不
重合。
?主截面,在单轴晶体内当光线沿晶体的某界面
入射时，此界面的法线与晶体的光轴组成的平
面。称 为主截面 （不一定与入射面重合），方
解石晶体的主截面如图 7－ 8所示，有 3个。
§ 7－ 2晶体的双折射
? 当入射光线在主截面内，即入射面与主截
面重合时，两折射线皆在入射面内（ o,e主
平面与此面重合）；否则，非常光可能不
在入射面内。
? 在实用中，都有意选择入射面与主截重合
以使所研究的双折射现象大为简化。（ o光
与 e光都在入射面内）
§ 7－ 3双折射的电磁理论
一、晶体的各向异性及介电张量
1.晶体中的各向异性
?晶体的双折射现象，表明晶体在光学上是各
向异性的。即，它对不同方向的光振动表现出
不同的性质。具体地说，对于振动方向互相垂
直的两个线偏振光，在晶体中有着不同的传播
速度（或折射率），因而产生双折射现象。
?从光的电磁理论的观点看，晶体的这种持殊
的光学性质是光波电磁场与晶体相互作用的结
果。晶体在光学上的各向异性，实质上表示晶
体与入射光电磁场相互作用的各向异性。
§ 7－ 3双折射的电磁理论
二、晶体的介电张量
?在麦克斯韦电磁场理论中，用介电常数 ε来
表征物质的极化状况。
?在各向同性媒质中，电位移矢量与电场强度
关系是：
?这里 ε r是相对介电常数，光学中的折射率
（在光学波段中，总可以假定相对磁导率
μ r=1）
?上式表明 D与 E的方向一致。
?在各向异性媒质中,D与 E在一般情况下方
向是不一致的，它们满足如下张量关系：
ED ?? ?? ?
rn ??
§ 7－ 3双折射的电磁理论
? 等九个量都是物质常数，组成张量
? 因此，矢量 D与 E的关系可表示为
? 在晶体中，总可以找到一个直角坐标系 x,y,z，
在这个坐标中,是对角矩阵形式，即可使上
述张量式, 对角化, 。
''''''''''
''''''''''
''''''''''
zzzyyzxxzz
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§ 7－ 3双折射的电磁理论
? x,y,z三个方向互相垂直，称为主轴方向
? 称为晶体的主介电常数
? 一般说来 这就是 双轴晶体 。
? 若其中两个相等但与另一个不相等
? 此即为 单轴晶体 。
? 单轴晶体具有轴对称性，这时的对称轴
（ z轴）即是 光轴 。
zzz
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ED
ED
ED
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§ 7－ 3双折射的电磁理论
?各向同性晶体
?二、单色平面波在晶体中的传播
?1.光波与光线：
?在晶体中，麦克斯韦方程也是成立的。即：
?考虑平面波解：
zyx ??? ??
t
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DH
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§ 7－ 3双折射的电磁理论
? 由于：
? 代入麦克斯韦方程，得：
? 或
? 这些公式表明（要求,D,E和 K共面。）
? 1） D垂直于 H和 K ；
? 2） H垂直于 E 和 K 。
? 与波法线 K垂直的是 D而不是 E, E不与 K垂直
HB ?? ? 0?
HkD
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ii
iii
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???
???
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???
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DHk
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1
1
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§ 7－ 3双折射的电磁理论
? 另代表能量传播方向即光线方向的玻印亭
矢量由式：
? 决定，
? 即 D,E,K和 S都与 H垂直，因此 D,E、
K和 S 是共面的。一般,D和 E不同向，所
以 K和 S一般也不同方向。如图所示。
HES ??? ??
k
SH
D E
Ok
Os
α
α
波面 Ⅰ 波面 Ⅱ
§ 7－ 3双折射的电磁理论
? 若 D和 E的夹角为 α，则 K和 S的夹角也为 α。
? 且，
? 为相速度（法线速度），
? 为光线速度（射线速度，能量传播速度）
k
SH
D E
Ok
Os
α
α
波面 Ⅰ 波面 Ⅱ
?c o ssk vv ?
kv
sv
§ 7－ 3双折射的电磁理论
? 2.菲涅耳方程及其解的意义：
? 将前述平面波解代入麦克斯韦方程所得的
关系，经过变形得,
? 此即为 菲涅尔方程 。
? 它给出了单色平面波在晶体中传播时，光
波折射率 n与光波法线方向 K0之间所满足的
关系。
0
1
n
1
K
1
n
1
K
1
n
1
K
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2
2
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2
2
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2
2
0x ?
?
?
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?
?
???
§ 7－ 3双折射的电磁理论
? 由此方程出发，在已知 K0时，此方程为一
个关于 n2的二次方程，由此可解得 n2的两个
不相等的实根，其中有意义的是其正根。
? 这表明，在晶体中，对应于光波的一个传
播方向 K0,可以有两种不同的光波折射率
n21,n22或两种不同的光波相速度。
n1,n2对应于不同的 D方向。
? 分析表明，两个光波都是线偏振光，且它
们的 D矢量互相垂直。
§ 7－ 3双折射的电磁理论
? 结论,对于一个给定的波法线方向 K0，可
以有两种不同的折射率或不同的相速度的
光波传播，这两种光波的振动方向是特定
的，其矢量互相垂直。
? 由于一般情况下，两个光波中的 D矢量和 E
矢量不平行，所以两个光波有不同的光线
方向。这样我们便一般地从理论上阐明了
双折射的存在。
§ 7－ 3双折射的电磁理论
? 3.单轴晶体的双折射
? 单轴晶体的特点为：
? 或
? 可以定义三个主折射率：
? 则
? 单轴晶体主轴 x和 y可以在垂直于 z轴的平面
上任意选择，
zyx ??? ?? rzryrx
??? ??
rzzryyrxx nnn ??? ???,,
220 enn ?
zz
yx
nn
nnn
?
?? 0
§ 7－ 3双折射的电磁理论
? 为方便起见，选择 y轴方向使给定的波法线方
向位于 yoz平面内，如图
? 若 K0与 z轴夹角为 θ，
? 则 (z轴方向为光轴方向 )
? 将此关系代入菲涅耳方程。得：
?
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z
y
x
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θ
k0k0z
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§ 7－ 3双折射的电磁理论
? 解方程可解得两个不相等的实根：
? 表明，在单轴晶体中，对于给定的波法线
方向 K0，可以有两种不同折射率的光波。
? 一种光波的折射率与波法线方向无关，恒
等于 no,此即为寻常光 ;
? 另一种光波的折射率随 K0与 z轴的夹角 θ而变，
是非常光，即 e光
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22
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2
2
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e
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nn
n
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?
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§ 7－ 3双折射的电磁理论
? 即、当光波沿 z轴方向传播时只可存在一种
折射率的光波，光波在这个方向上传播时
不发生双折射，故对单轴晶体来说,z轴就
是光轴方向。
? 离散角,晶体光学中，把光波波法线方向与
光线方向的夹角称为离散角。在实际问题
中，若已知波法线方向，通过求离散角就
可确定相应的光线方向。
02
0
e2
0
nn0
nn90
??
??
时，
时，
?
?
§ 7－ 3双折射的电磁理论
? 对于单轴晶体,o光的离散角恒等于零。 e光的
离散角可由如下关系求出。
? θ：波法线方向与光轴方向夹角（单轴晶体）
? 用检偏器来考察从晶体射出的两光束时，就会
发现它们都是线偏振光，且 o光的电矢量与 o主
平面垂直,e光的电矢量在 e主平面内；
? o光的电矢量，总是与光轴垂直； e光的电矢量
与光轴的夹角随传播方向的不同而改变。
?
?
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2
2
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0
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2
0
1
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n
n
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n
n
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e
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?
?
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§ 7－ 3双折射的电磁理论
? 由于 o主平面和 e主平面在一般情况下不重合，
所以 o光各 e光的电矢量方向一般地也不互相
垂直，只有当主截面是 o光和 e光的共同主平
面时,o光和 e光的光矢量互相垂直。
? 作业：
? ７,１ \7.2\7.3\7.4\7.5\7.6\7.10
光的偏振与晶体光学基础
第七章：光的偏振与晶体光学基础
? 电磁波是一种矢量波，大量的干涉和衍射
问题可以用标量近似处理。
? 然而本章所要讨论的偏振和双折射。却是
矢量波所特有的现象。不能再按标量处理。
? 历史上，双折射的发现。曾经是光的横波
（矢量波）特性的一个有力佐证。
§ 7－ 1偏振光和自然光
?一、偏振光和自然光的特点
?由麦克斯韦理论知：
?光波是一种横波，即它的光矢量始终是与传
播方向垂直的。
?1.线偏振光,光矢量的振动方向在传播过程
中（在自由空间中）保持不变，只是它的大
小在随位相改变，即为线偏振光。
?2.振动面,线偏振光的光矢量与传播方向组
成的面。
0?? ?? Ek 0?? ?? Bk EkB ??? ?? ?1
§ 7－ 1偏振光和自然光
?3.圆偏振光,在传播过程中光矢量的大小不
变，而方向绕传播轴均匀地转动，端点的轨
迹是一个圆。
?4.椭圆偏振光,光矢量的大小和方向在传播
过程中都有规律地变化，光矢量的端点沿着
一个椭圆轨迹转动。
?5.自然光,具有一切可能的振动方向的许多
光波的总和，这些振动同时存在或迅速且无
规则地互相替代。无优势振动方向。
§ 7－ 1偏振光和自然光
? 6.部分偏振光,自然光在传播过程中，若受
到外界的作用造成各个振动方向上的强度
不等，使某一方向振动比其它方向占优势，
即为部分偏振光。它可看成是由自然光和
线偏振光混合而成。
? 7.偏振度,线偏振光在部分偏振光总强度中
所占的比例：
? 显然：自然光 → P=0 线偏光 → P＝ 1
? 其它 0＜ P＜ 1
m i nm a x
m i nm a x
II
II
I
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???
§ 7－ 1偏振光和自然光
?二、从自然光中获得线偏振光的方法：
?一般有四种：
?A：利用反射和折射 B：利用二向色性
?C：利用晶体的双折射 D：利用散射
?本节只讨论 A,B两种方法；
?D在 § 1－ 10中己讨论过：（偏振度与 θ角有关）
当 θ＝ π/2时，可得完全线偏光；
?C、在下一节讨论。
§ 7－ 1偏振光和自然光
?1.由反射和折射产生线偏振光 。
?自然光在介质分界面上的反射和折射时，可
以把它分解成两部分，即平行于入射面的分
量 P波和垂直于入射面的 S波。
?由于这两个波的反射系数不同，则反射光和
折射光一般地就成为部分偏振光。
?当入射光的入射角等于布儒斯等角时，反射
光成为线偏振光。 ? ?
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§ 7－ 1偏振光和自然光
?根据此原理：可以利用玻璃来获得线偏振光。
如图 7－ 2所示的外腔式气体激光器，将激光
管两端的透射窗 B1,B2安置成使入射光的入
射角成为布儒斯特角。此时：
?则谐振腔中不能对 S波起振（损失大，不能
满足阈值条件），而只对 P波起振。
?故输出的激光将只包含 P波成份。
rs≠0 Rs≈15%
rp=0 0?
PR
B1 B2M1
M2
输出
§ 7－ 1偏振光和自然光
?此方法的缺点：
?以布儒斯特角入射时，反射光虽是线偏振光，
但强度太小；透射光强度虽大，但偏振度太
小，为此可用多片玻璃叠合成片堆，并使入
射角等于布儒斯特角。如图 7－ 3所示。
?按照玻璃片堆的原理，可以制成一种叫做偏
振分光镜的器件。如图 7－ 4所示。
?为了使透射光获得最大偏振度，
应适当选择膜层的折射率，
使光线在相邻膜层界面上的入射角等于布儒
斯特角。
§ 7－ 1偏振光和自然光
? 即,n3sin450=n2sinθ
? 且 n2sinθ＝ n1sin(900-θ) →tgθ=n 1/n2
? 由此：
? 此为玻璃折斯率 n3和两种介质膜的折射率
n1,n2之间应当满足的关系式：
? 使用白光时，考虑色散影响，冰晶石
（ Na3AlF6）色散极小，则：
? n3玻璃,n2硫化锌
2
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§ 7－ 1偏振光和自然光
? 色散系数（阿贝常数）
? 钠光谱 D线 5893A 黄
? 氢光谱 F线 4861A 兰
? 氢光谱 C线 6563A 红
? 则玻璃色散系数
? 硫化锌（ ZnS）色散
? 可得：
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3
3
1
n
n
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2
2
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n
n
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3
2
2
2
12
3 1
1 ??
?
???
nnn
nnnn
§ 7－ 1偏振光和自然光
?将 代入
?玻璃参数为：
?2、由二向色性产生线偏振光
?二向色性,某些各向异性的晶体对不同振动
方向的偏振光有不同的吸收系数的性质。
?晶体的二向色性与光波波长有关，当振动方
向互相垂直的两束线偏振白光通过晶体后会
呈现出不同的颜色。此为二向色性这个名称
的由来。
17,3.2,25.1 221 ??? ?nn
8.46,55.1 33 ?? ?n
§ 7－ 1偏振光和自然光
?此外，有些原本各向同性的介质在受到外界
作用时会产生各向异性，它们对光的吸收本
领也随着光矢量的方向而变。把介质的这种
性质也称为二向色性。
?利用二向色性获得偏振光的器件称为偏振片。
H偏振片和 K偏振片（性能更为稳定），它们
的制造工艺均为对聚乙烯醇薄膜经过拉伸而
制成。
?偏振片（或其它器件）允许透过的电矢量的
方向称为它的透光轴，透光轴垂直于拉伸方
向。
§ 7－ 1偏振光和自然光
?三、马吕斯定律和消光比
?如图 7－ 6所示，可以取两个相同的偏振片，
让光相继通过两个器件，来检验这些器件的
质量。 P1,P2分别称为起偏器，检偏器。透射
光强由下式决定：
?I0为 θ=0时的透射光强,
?θ为两偏振片透光轴的夹角。
?20 c o sII ?
θ
P1
P2
起偏器
检偏器
自然光
§ 7－ 1偏振光和自然光
?由于实际的偏振器件往往不是理想的，即自
然光透过后得不到完全的线偏振光，而是部
分偏振光。即使两个偏振器的透光轴互相垂
直，透射光强也不为零。
?我们把这时的最小透射光强与两偏振器透光
轴互相平行时的最大透射光强之比称为 消光
比,它是衡量偏振器件质量的重要参数。
§ 7－ 2晶体的双折射
?当一束单色光在各向异性晶体的界面折射时，
一般可以产生 两束折射光,这种现象称为双
折射。双折射现象比较显著的是方解石
（ CaCO3）,
?实验现象,取一块冰洲石（方解石的一种）
放在一张有字的纸上，我们将看到双重的像，
且冰洲石内的两个像浮起的高度是不同的，
（此是光的折射引起的，折射率越大，像浮
起的高度越大）。
?这表明，光在这种晶体内成了两束，它们的
折射程度不同。此为双折射。
§ 7－ 2晶体的双折射
?一、寻常光线和非常光线
?让一束平行的自然光束正入射在冰洲石晶体
的表面，就会发现光束分解成两束。
?按照折射定律，正入射时光线不应偏折。而
上述两束折射光中的一束确实在晶体中沿原
方向传播，但另一束却偏离了原来的方向，
后者显然是违背普通的折射定律的。
?进一步的研究表明，晶体内的两条折射光线
中一条总是符合普通的折射定律，另一条却
常常违背它。
§ 7－ 2晶体的双折射
?晶体内的前一条折射光线叫做 寻常光 （ o光，
来源为 ordinary），另一条折射光线叫做 非常光
（ e光，来源为 extraordinary）。
?注：所谓的 o光和 e光，只在双折射晶体的内部
才有意义，射出晶体以后，就无所谓 o光和 e光
了。
?二、晶体的光轴：
O光
e 光
偏振片
§ 7－ 2晶体的双折射
? 冰洲石中存在着一个 特殊的方向,光线沿
这个方向传播时 o光和 e光不分开（即它们的
传播速度和传播方向都一样），这个特殊
方向称为晶体的光轴。
? 注：晶体的光轴并不是经过晶体的某一条
特定的直线，而是一个方向。在晶体内的
每一点都可以作出一条光轴来。
? 单轴晶体,只有一个光轴方向的晶体：方
解石、石英及 KDP（磷酸二氢钾）
? 双轴晶体,有二个光轴方向的晶体，云母，
石膏，蓝宝石等。
§ 7－ 2晶体的双折射
?三、主平面与主截面：
?主平面,在单轴晶体内，由 o光线和光轴组成
的面为 o主平面 。由 e光线和光轴组成的面称为 e
主平面 。一般情况下,o主光平面和 e主平面不
重合。
?主截面,在单轴晶体内当光线沿晶体的某界面
入射时，此界面的法线与晶体的光轴组成的平
面。称 为主截面 （不一定与入射面重合），方
解石晶体的主截面如图 7－ 8所示，有 3个。
§ 7－ 2晶体的双折射
? 当入射光线在主截面内，即入射面与主截
面重合时，两折射线皆在入射面内（ o,e主
平面与此面重合）；否则，非常光可能不
在入射面内。
? 在实用中，都有意选择入射面与主截重合
以使所研究的双折射现象大为简化。（ o光
与 e光都在入射面内）
§ 7－ 3双折射的电磁理论
一、晶体的各向异性及介电张量
1.晶体中的各向异性
?晶体的双折射现象，表明晶体在光学上是各
向异性的。即，它对不同方向的光振动表现出
不同的性质。具体地说，对于振动方向互相垂
直的两个线偏振光，在晶体中有着不同的传播
速度（或折射率），因而产生双折射现象。
?从光的电磁理论的观点看，晶体的这种持殊
的光学性质是光波电磁场与晶体相互作用的结
果。晶体在光学上的各向异性，实质上表示晶
体与入射光电磁场相互作用的各向异性。
§ 7－ 3双折射的电磁理论
二、晶体的介电张量
?在麦克斯韦电磁场理论中，用介电常数 ε来
表征物质的极化状况。
?在各向同性媒质中，电位移矢量与电场强度
关系是：
?这里 ε r是相对介电常数，光学中的折射率
（在光学波段中，总可以假定相对磁导率
μ r=1）
?上式表明 D与 E的方向一致。
?在各向异性媒质中,D与 E在一般情况下方
向是不一致的，它们满足如下张量关系：
ED ?? ?? ?
rn ??
§ 7－ 3双折射的电磁理论
? 等九个量都是物质常数，组成张量
? 因此，矢量 D与 E的关系可表示为
? 在晶体中，总可以找到一个直角坐标系 x,y,z，
在这个坐标中,是对角矩阵形式，即可使上
述张量式, 对角化, 。
''''''''''
''''''''''
''''''''''
zzzyyzxxzz
zzyyyyxxyy
zzxyyxxxxx
EEED
EEED
EEED
???
???
???
???
???
???
?'''' yyxx ?? ???
? ?ED ?? ? ?
???
§ 7－ 3双折射的电磁理论
? x,y,z三个方向互相垂直，称为主轴方向
? 称为晶体的主介电常数
? 一般说来 这就是 双轴晶体 。
? 若其中两个相等但与另一个不相等
? 此即为 单轴晶体 。
? 单轴晶体具有轴对称性，这时的对称轴
（ z轴）即是 光轴 。
zzz
yyy
xxx
ED
ED
ED
0
0
0
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??
??
?
?
?
zyx ???,,
zyx ??? ??
zyx ??? ??
§ 7－ 3双折射的电磁理论
?各向同性晶体
?二、单色平面波在晶体中的传播
?1.光波与光线：
?在晶体中，麦克斯韦方程也是成立的。即：
?考虑平面波解：
zyx ??? ??
t
tt
DH
HBE
?
?
???
?
?
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?
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?
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zyx EEE
zyx
zyx
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?
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)(
0
)(
0
)(
0
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trki
trki
eHH
eDD
eEE
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?
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?
?
?
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??
??
??
??
§ 7－ 3双折射的电磁理论
? 由于：
? 代入麦克斯韦方程，得：
? 或
? 这些公式表明（要求,D,E和 K共面。）
? 1） D垂直于 H和 K ；
? 2） H垂直于 E 和 K 。
? 与波法线 K垂直的是 D而不是 E, E不与 K垂直
HB ?? ? 0?
HkD
EkHB
ii
iii
???
????
???
???
?
??? 0
???
???
???
??
DHk
HEk
?
?
?
1
1
0
§ 7－ 3双折射的电磁理论
? 另代表能量传播方向即光线方向的玻印亭
矢量由式：
? 决定，
? 即 D,E,K和 S都与 H垂直，因此 D,E、
K和 S 是共面的。一般,D和 E不同向，所
以 K和 S一般也不同方向。如图所示。
HES ??? ??
k
SH
D E
Ok
Os
α
α
波面 Ⅰ 波面 Ⅱ
§ 7－ 3双折射的电磁理论
? 若 D和 E的夹角为 α，则 K和 S的夹角也为 α。
? 且，
? 为相速度（法线速度），
? 为光线速度（射线速度，能量传播速度）
k
SH
D E
Ok
Os
α
α
波面 Ⅰ 波面 Ⅱ
?c o ssk vv ?
kv
sv
§ 7－ 3双折射的电磁理论
? 2.菲涅耳方程及其解的意义：
? 将前述平面波解代入麦克斯韦方程所得的
关系，经过变形得,
? 此即为 菲涅尔方程 。
? 它给出了单色平面波在晶体中传播时，光
波折射率 n与光波法线方向 K0之间所满足的
关系。
0
1
n
1
K
1
n
1
K
1
n
1
K
rz
2
2
0z
ry
2
2
0y
rx
2
2
0x ?
?
?
?
?
?
???
§ 7－ 3双折射的电磁理论
? 由此方程出发，在已知 K0时，此方程为一
个关于 n2的二次方程，由此可解得 n2的两个
不相等的实根，其中有意义的是其正根。
? 这表明，在晶体中，对应于光波的一个传
播方向 K0,可以有两种不同的光波折射率
n21,n22或两种不同的光波相速度。
n1,n2对应于不同的 D方向。
? 分析表明，两个光波都是线偏振光，且它
们的 D矢量互相垂直。
§ 7－ 3双折射的电磁理论
? 结论,对于一个给定的波法线方向 K0，可
以有两种不同的折射率或不同的相速度的
光波传播，这两种光波的振动方向是特定
的，其矢量互相垂直。
? 由于一般情况下，两个光波中的 D矢量和 E
矢量不平行，所以两个光波有不同的光线
方向。这样我们便一般地从理论上阐明了
双折射的存在。
§ 7－ 3双折射的电磁理论
? 3.单轴晶体的双折射
? 单轴晶体的特点为：
? 或
? 可以定义三个主折射率：
? 则
? 单轴晶体主轴 x和 y可以在垂直于 z轴的平面
上任意选择，
zyx ??? ?? rzryrx
??? ??
rzzryyrxx nnn ??? ???,,
220 enn ?
zz
yx
nn
nnn
?
?? 0
§ 7－ 3双折射的电磁理论
? 为方便起见，选择 y轴方向使给定的波法线方
向位于 yoz平面内，如图
? 若 K0与 z轴夹角为 θ，
? 则 (z轴方向为光轴方向 )
? 将此关系代入菲涅耳方程。得：
?
?
c os
s in
0
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?
?
oz
oy
ox
k
k
k
? ? ? ?? ? 0c o ss i n 220222202202 ???? ee nnnnnnn ??
z
y
x
o
θ
k0k0z
k0y
§ 7－ 3双折射的电磁理论
? 解方程可解得两个不相等的实根：
? 表明，在单轴晶体中，对于给定的波法线
方向 K0，可以有两种不同折射率的光波。
? 一种光波的折射率与波法线方向无关，恒
等于 no,此即为寻常光 ;
? 另一种光波的折射率随 K0与 z轴的夹角 θ而变，
是非常光，即 e光
?? 22220
22
02
2
2
0
2
1
c o ss i n e
e
nn
nn
n
nn
?
?
?
§ 7－ 3双折射的电磁理论
? 即、当光波沿 z轴方向传播时只可存在一种
折射率的光波，光波在这个方向上传播时
不发生双折射，故对单轴晶体来说,z轴就
是光轴方向。
? 离散角,晶体光学中，把光波波法线方向与
光线方向的夹角称为离散角。在实际问题
中，若已知波法线方向，通过求离散角就
可确定相应的光线方向。
02
0
e2
0
nn0
nn90
??
??
时，
时，
?
?
§ 7－ 3双折射的电磁理论
? 对于单轴晶体,o光的离散角恒等于零。 e光的
离散角可由如下关系求出。
? θ：波法线方向与光轴方向夹角（单轴晶体）
? 用检偏器来考察从晶体射出的两光束时，就会
发现它们都是线偏振光，且 o光的电矢量与 o主
平面垂直,e光的电矢量在 e主平面内；
? o光的电矢量，总是与光轴垂直； e光的电矢量
与光轴的夹角随传播方向的不同而改变。
?
?
?
2
2
2
0
2
2
0
1
1
tg
n
n
tg
n
n
tg
e
e ?
??
?
?
??
?
?
??
§ 7－ 3双折射的电磁理论
? 由于 o主平面和 e主平面在一般情况下不重合，
所以 o光各 e光的电矢量方向一般地也不互相
垂直，只有当主截面是 o光和 e光的共同主平
面时,o光和 e光的光矢量互相垂直。
? 作业：
? ７,１ \7.2\7.3\7.4\7.5\7.6\7.10
