第 六 节
矩阵光学
一, 近轴光的矩阵表示
1．折射矩阵
我们采用 （ ） 和 （ ） 作为表示入射光线和折射光
线的位置坐标
hnu,hun,''
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1 r
nn ???其中 为第一折射面光焦度
1
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?? ?R 折射矩阵
11'1 MRM ?
2,过渡矩阵 （ 转面矩阵 ）
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12
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T
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n
d
'1212 MTM ? 1121 MRT?
11'1 MRM ?
反射 nn ??'
3．传递矩阵（或高斯矩阵特征矩阵）
2
2
2
2 1 0
1
???
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???
?? ?R
222 ' MRM ?
11212222 ' MRTRMRM ??
121221 RTRS ?
令
21S 称为高斯矩阵
21
1
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121
1 0
1 1
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1 0 1 0 1
'
d
n
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???? ? ? ?
????
12
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??
CD
AB
1212 ' MSM ?
当已知系统的结构参数 （ r,d,n）, 即可求得 A,B、
C,D值, 用这四个常数可以表示光学系统的高斯光学
性质 （ 基点位置, 焦距等 ）, 称之为高斯常数 。
可以证明：
1|| 21 ??? ADBCS
若系统由 K个折射面组成，则
1
1212)2)(1(1)1(1
?
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CD
AB
RTRTRTRS
k
kkkkkkk
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1
12
M
CD
AB
??
?
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??
行列式 1|| 1 ??? ADBCS k
此式可用来对系统矩阵的运算结果进行检验
11' MSM kk ?
已知系统的 S，不仅可用由入射光线求出射光线，也可以
由出射光线求入射光线，将上式两边同乘以 S的逆矩阵 S-1
'111 kk MSM ??
11
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1
1
1
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211
1
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kkkk RTRRTR
BD
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S
SS
S
S
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伴随矩阵
1
1
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CD
ABS
k
k
二、物像矩阵
面 → 面 ?过渡矩阵
11111
1111
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ulyudyh
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物空间
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像空间
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d2′
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2 2 2 2 2
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B
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物像矩阵方程式
物象
矩阵
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2
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2
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2 ????????
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2
yC
n
Aly )('
'
2
'
2 ????
又 ∵ 近轴区, 与入射光孔 角无关, 近轴区象高 和
物高 成正比, 与 大小无关'y
1u 'y
y
1u
垂轴放大率：
CnAlyy ???? '
2
'
2'?
（一般形式 2→ K）
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'
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n
- A l
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A
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1
' BBS
对 K个折射面 2→ K。 此物
象矩阵是有普遍意义的 。
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C
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A
n
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S
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2
2
1
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0
三, 用高斯常数表示系统的基点位置和焦距
1,主点位置
1??? 由
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A
nB
l
A
nC
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H
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' 一般形式 2→ K
CnAlyy ???? '
2
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'
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AlB
y
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2．焦点位置
l=∞ 以及
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A
Bn
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A
Cn
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F
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一般形式 2→ K
3．焦距大小
A
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A
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llf
HF
HF
1
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2'''
???
???
二焦距关系
1
1'
n
n
f
f k??
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物方象方当位于同一介质
1' nn k ?
ff ??'
4,节点位置
角放大率
tgu
tgu'??
又由拉赫公式 t guynny t gu ''?
??
1
''' ???? n
n
yn
ny
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n
n
n 1
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1
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1
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令角放大率 =1 ?
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l
A
Cnn
l
J
J
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当位于同一介质 '1 knn ?
得
1
1
'
1
n
AlB
y
y ???
?Cn
Al
y
y ????
'
2
'
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由
四、薄透镜系统的矩阵计算
在空气中一单薄透镜，其折射矩阵为
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1
21
121
r
-
r
n-
r
n-
r
n
R
?
若 N个薄透镜 （ N-1个间隔 ） 组成的系统, 且在空气中, 相
邻薄透镜之间的过渡矩阵
??
?
??
?
?? 1
01
21
dT
d,两透镜之间的距离
2,高斯矩阵
1212)2)(1(1)1(1 RTRTRTRS NNNNNNN ??????
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10
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1
01
10
1 1
1
21
1
????
?
A,B,C,D由各薄透镜的光焦度和它们间的间隔所决定
并知 A为光焦度, 这是有普遍意义的, 对于同一介质中的
任何光学系统, 高斯常数 A均为光焦度, 如一光学系统由
光焦度为两块薄透镜组成间隔为 d则,
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?????
??
d d
d d
-d
S
显然 A为两个透镜组的光焦度
3,物像矩阵
薄透镜, 物距, 象距,l? 'l
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式中：
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f
x
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???
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0
' BBS
小结
1,折射矩阵描述单个折射面或单个薄透镜的折
射作用, 即光线通过它们以后方向的变化, 参
考平面和单个折射面或薄透镜重合 。
2,过渡矩阵表示光线经过一段间隔, （ 透镜厚度,
透镜间隔, 物距和像距等 ） 后, 在不同参考面上交
点坐标的变化 。
3,光学系统的传递矩阵表示光线通过光学系统前, 后
光线方向的变化以及光线在最后折射面上的交点坐标,
相对于光线在第一折射面上交点坐标的变化, 并可按高
斯常数求得系统的基点位置和焦距 。
例 1．试用矩阵法求直径为 27mm，折射率为 1.54的玻璃
球的焦距和主平面的位置
已知
5.135.13
0154101
21
221
???
???
rr
,n,n.n '
mmd 272 ?
解,高斯矩阵
1212 RTRS ?
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10
351
5401
21
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.,
.
,
,
.
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D C
B A
S
3053170 5 2030, C.- D,A.B ?????
作为验算 1)53.17(052.0)3.03.0(|| 21 ???????? ADBCS