第五节
微观粒子的波粒二象性
德布罗意假设：不仅光具有波粒二象性，一切实物粒子如电
子、原子、分子都具有波粒二象性。
他提出：一个质量为 m，速度为 v的粒子具有波动性，只有
一个波长为 ?，频率为 v的波与之相对应，各量的关系为：
?
?
?
??
??
?
?
/
2
hmvp
hmcE
考虑相对论效应：
22
2
0
2
/1 cvh
cm
h
mc
h
E
?
????
22
0
/1 cvvm hmvhph ????? vm hcv
0
??? ?时，当
一、德布罗意波 历史
二、德布罗意假设的实验证明
1、戴维逊实验
G
U 镍单晶片 Ni
集电器
缝宽 10-6m，电子波长 10-11m
若认为电子具有波动性，电子以速度 v运动，与
之相应存在一列电子波，其波长为：
m e U
h
mv
h
2???
x射线在晶体表面散射，电子束在晶体表面散射
eUmv ?221
当 ?满足布拉格公式
2dsin?=k? 时，
反射电子波加强
(1927年 )，观测到电子衍射现象。
X
射
线
电
子
束
（波长相同）衍射图样
电子双缝干涉图样 杨氏双缝干涉图样
mdVU 110 101.95465 ?????,镍单晶片，革实验中取—戴 ?
则利用：
??
?
?
?
?
?
m e U
h
d
2
s in2
?
???
2、汤姆逊实验
x射线通过晶体产生衍射花纹，电子束通过晶体产生类似衍
射花纹，根据衍射花纹结构可算出电子波的波长 ?
相符实验值和理论值 m e Uhmv h 2???
1897年，汤姆逊研究阴极射线时发
现了电子；
1906年获得了诺贝尔奖；
1937年获得诺贝尔奖。
1927年汤姆逊证实了电子的波动性
电子的单缝、双缝、三缝和四缝衍射实验
?约恩逊 (Jonsson)实验 （ 1961）
质子、中子、原子、分子 … 也有波动性
o
A05.0kV50
mμ1mμ3.0
??
??
?V
da基本数据
3、电子束单缝衍射实验
e
R
d
通过照相底版感光显示出单缝衍射花纹
利用光的单缝衍射公式：
)(s in 暗纹??? ?a
??? kRxaa t ga ???s i n
'1 11 xxk,两个位置，可求出第一级暗纹的取 ?
a
kxd ?22 ??中央亮度
p
h??而
p
h
a
Rd ??? 2
德布罗意获 1929年
诺贝尔物理奖
?其它粒子波动性的实验证明
1930年，斯特恩作了 分子波动性 的实验
用氟化锂对 H2和 He分子散射时 出现了极大值
我们引用斯特恩论文中一组实验数据来说明
在 290 K 时的 He 分子散射的最大值与
在 580 K 时的 H2 分子散射的最大值
出现在同一角度
mEm 2??
按麦氏分布 最大能量概率正比于 kT
kTcE ??
c m T
h
m
h
m ?? ??
22 HHe mm ??
HeH TT 22 ??
非相对论情况
2HHe ?? ?
能量写为
最大能量对应的波长
只有 He分子和 H2分子的波长相等
才能出现上述实验现象
例,m = 0.01kg v = 300m/s 的子弹
m341021.230001.0
341063.6
???
?
?????
?? m
h
P
h
宏观物体的波长 小 得 难以测量,宏观物体 只 表现出 粒子性
波粒二象性是普遍的结论
宏观粒子 也具有波动性
m 大
?? 0
量子物理过渡到经典物理
1.单电子双缝实验
现代实验技术可以做到一次一个电子通过缝
7个电子在观察
屏上的图像
100个电子在
屏上的图像
屏上出现的电子说明了电子的粒子性
三、对波粒二象性的理解
随着电子数目的增多
在屏上逐渐形成了衍射图样
说明, 一个电子, 就具有的波动性
3000 20000
70000
2) 波动性
?“可叠加性,
有, 干涉,,衍射,,偏振, 现象
?不是经典的波 不代表实在物理量的波动
1) 粒子性
?整体性
?不是经典的粒子 没有, 轨道, 概念
2.正确理解微观粒子的波粒二象性
3)结论：
微观粒子在某些条件下表现出 粒子性
在另一些条件下表现出 波动性
两种 性质 虽寓于 同一体中
却 不能同时 表现出来
德布罗意波与经典理论的波截然不同，经典波：某种振动在
空间的传播；德布罗意波：决定了粒子在空间各处分布的几率。
计算经过电势差 U1 =150 V 和 U2 =104 V 加速的电子的德布
罗意波长 （不考虑相对论效应） 。
例
解 eUm ?2021 v
0
2
m
eU?v
nm225.112
00 UUem
h
m
h ???
v?
nm 1.01 ?? nm 0123.02 ??
根据,加速后电子的速度为
根据德布罗意关系 p = h /λ,电子的德布罗意波长为
波长分别为
说明
观测仪器的分辨本领 ? 22.1 DR ?
电子波波长 光波波长<< 电子显微镜分辨率
远大于
光学显微镜分辨率
四、德布罗意波与玻尔量子化假设
若认为电子具有波动性，玻尔的轨道角动量条件可以得到一
定的解释。
微观粒子具有波粒二象性，原子中的电子绕核运动，相当于
电子波在此圆周围上形成稳定的驻波。
mv
h??
mv
hnr ??? ?2 nhr m v ??2
???????? 3,2,12 nnhnmv rL ??
德布罗意波：决定了粒子在空间各处分布的几率。
即必须满足：
2? r=n? (n=1,2,3……)
其中 ?为电子的德布罗意波的波长，
由德布罗意假设，
五、不确定关系的表述和含义
海森堡（ Heisenberg）在 1927年提出微观粒子运动的基本
规律
包含多种表达式 其中两个是
2ΔΔ
2ΔΔ
?
?
?
?
Et
xP x
第 1个式子说明,
粒子在 客观上不 能 同时 具有 确定的坐标 位置 和相应的 动量
Werner Karl Heisenberg
德国人
1901-1976
创立量子力学
获得 1932年诺贝
尔物理学奖
海森伯
六、不确定关系的简单导出
?
hP
x ?
?? ??? 2hP x
hPx x ???
1.从光的相干长度概念说起
?
??
ΔΔ
2
?? xM
设波列沿 x轴传播
相干长度
德布罗意波长
动量变化
结果得
hPx x ???
?? ~x
0????若想得到单色光 即要求
???
波列
那么波列必须
?而实际的光波只能是
则必然存在 谱线宽度
即波列有限 由不确定关系式
理想的波
px
?/hp ?
电
子
束
x??
??s inx
电子经过狭缝，其坐标 x 的不确定量为 △ x ；
大部分
电子落在
中央明纹
△ x
2.电子单缝衍射
?sinp
px
0
电
子
束
△ x
x?/hp ? x?? ??s in
单缝衍射第 1级极小满足 sin
x
?? ?
?
s i nxPP ??? P x?? ?
x
hP
x?? ?P
h??将 代入得
这就是电子在 x 方向的动量 变化范围
?sinp
hpx x ???
px
0
电子经过狭缝，其坐标 x 的不确定量为 △ x ；
电
子
束
△ x
动量分量 px
的 不确定量为
x?/hp ? x?? ??s in
减小缝宽 △ x,x 确定的越准确 px的不确定度,即 △ px越大
?严格的理论给出不确定性关系,
2ΔΔ
2ΔΔ
2ΔΔ
?
?
?
??
??
??
z
y
x
Pz
Py
Px
2ΔΔ ??? pq
一般写为,
?不确定关系使粒子运动, 轨道, 的概念失去意义
?存在不确定关系的物理量称为共轭物理量
?不确定关系是微观粒子的 固有属性
与仪器精度和测量方法的缺陷无关
把其余明纹考虑在内有 hpx
x ????
三、能量与时间的不确定性关系
2???? tE
22142022 mccmcpE ??? )(
ppccmcpE ???? ? 22142022 221 )(
pmc ppcE ppc ???? ??? 2
22
?????? tptE ? 2????? pq
能量和时间也是一对共轭物理量 有
推导如下,
例 1, 原子中电子运动不存在, 轨道,
分析,
轨道概念不适用 !
四, 不确定性关系的应用举例
若电子 Ek = 10eV 则
m / s106Δ2ΔΔ 5????? rmm P ??
/s m 102 6?? mE?
原子线度 ? r ～ 10 -10 m
rP Δ2Δ
??
代之以电子云概念
由不确定关系有
??
即 ?x = 0.0001 m
加速电压 U=102V
电子准直直径为 0.1mm
例 2
x
v
电子射线 0.1mm
什么条件下可以使用轨道的概念
如电子在示波管中的运动
电子的横向弥散可以忽略 轨道有意义
宏观现象中 hx ??Δ
PP x ??Δ
可看成经典粒子 从而可使用轨道概念
2
2
1 ?meU ?分析, 由
m
eU2?? m/s10 7?
xmx Δ2Δ
??? 431
34
1010
10
??
?
??
10? <<?
1)从量子过渡到经典的物理条件
讨论
0?h 如粒子的活动线度 >> h
如例 2所示的电子在示波管中的运动
故这时将电子看做经典粒子
2) 微观粒子的力学量的不确定性
意味着物理量与其不确定量的数量级相 同
即 P与 ?P量级相同 r与 ?r量级相同
如例 1所示的原子中运动的电子
例 3,判断电子不是原子核的基本成份
(电子不可能稳定在原子核内 )
分析,
原子核线度 m10~Δ 15?x
xP x ??? 2
?
?由测不准关系
m /skg10 20 ?? ?
m / skg10~Δ~ 20 ??xx PP
m / skg10~Δ~ 20 ??xx PP
?这样的动量对应的电子能量有多大？
? ? ? ? 22202 PccmmcE ???
? ? 27220 10 ??cm ? ? 232 10 ??Pc
J10310310 12820 ?? ?????? Pc
M e V20?
m / skg10 20 ?? ?xP M e V20?E
例 4 估算一些物理量的量级
估算 H 原子的轨道半径 r
H 原子最稳定的半径 -- 玻尔半径
解：设 H原子半径为 r
则电子活动范围
由不确定关系
rrP
?? ?
???
rr ~Δ
PP ~Δ?
rrP
?? ???
Δ
r
e
m
PE
0
22
π42 ???
假设核静止 按非相对论
电子能量为
r
e
mrE 0
2
2
2
π42 ???
?
rP
??代入
得
最稳定 即能量最低
0?rEdd令
53.0π4 2
2
0
0 ?? mer
?? ?
eV6.13??
r
e
r
e
mr
E
0
2
0
2
2
2
m i n π8π42 ?? ????
?
r
e
mrE 0
2
2
2
π42 ???
?
得
例题 波长 ?=500nm的光波沿 x轴正向传播，如果光波波长的不确
定量 (谱线宽度 )??=10-4nm，求光子位置、坐标的不确定量
(?x?px?h)。
解：
p
h???
?波长的不确定量相应 p也有一不确定量 ?px
对上式两边微分：
? ? h
p
h
ph
p
ph ??????? 2
22 /
?
??
hp x 2?????
hpx x ???又
mphx
x
5.21010 )10500( 94
92
?????????? ?
?
?
?
例二、已知 ?=500nm，光沿 x轴传播，如果光波长的不准确度为已
知 ??/?=10-7，求光子位置的不确定量 ?x。
解：从波长的不确定关系 ??/?可推出动量的不确定量：
?
hp ?
9
34
7
2 10500
1063.610
?
?
?
?
?????????
??
?
?
? hhp
mphx 51010500/ 79 ?????????? ????
例四 写出实物粒子德布罗意波长与粒子动能 Ek和静止质量 m0
的关系，并证明：
kk EmhcmE 020 2/??? ?时，
kk EhccmE /20 ??? ?时，
证明：
20220202 ])/(1/[ cmcvcmcmmcE k ?????由
220 /)( ccmEm k ??解出,)/(2 2
0202 cmEcmEEcv kkk ???
)/(/ mvhph ???根据德布罗意波：
把上面 m,v代入，得
2
0
2
0
2
2
2
0 2
cmE
cmEEc
c
cmE
h
k
kkk
?
?
??
??
2
0
2 2 cmEE
hc
kk ?
?
可略去，时，分母中当 kkkk EcmEEcmE ????? 20220 2
020 2/2/ mEhcmEhc kk ??? ?
可略去时，则分母中当 2020220 22 cmEcmEEcmE kkkk ?????
kEhc /?? ?
例 在电子单缝衍射实验中，若缝宽为 a=0.1nm(1nm=10-3m)，电
子束垂直射在单缝上，则衍射的电子横向动量的最小不确定量
?py=________N·s(普朗克常量 h=6.63? 10-34J·s)
答案
aypy y ?????,若根据 ? sNap y ????? ? 241006.1/?则
ayhpy y ?????,若根据 sNahp y ????? ? 241063.6/则
例 设粒子运动的波函数图线分别如图 (A),(B),(C),(D)所示，
那么其中确定粒子动量的精确度最高的波函数是哪个图？ ( )
(A) (B)
(C) (D)
A
测不准关系式 表示在 x方向上 ( )?????
xpx
(A)粒子位置不能确定
(B)粒子动量不能确定
(C)粒子位置和动量都不能确定
(D)粒子位置和动量都不能同时确定
D例
(1) 粒子的动量不可能确定。
(2) 粒子的坐标不可能确定。
(3) 粒子的动量和坐标不能同时确定。
(4) 不确定关系不仅适用于电子和光子，也适用于其它粒子。
其中正确的是,( )
(A) (1)和 (2) (B) (2)和 (4)
(C) (3)和 (4) (D) (4)和 (1)
C
例 ；静止质量不为零的微观粒子作高速运动，这时粒子物质波的
波长 ?与速度 v有如下关系,( )
关于不确定关系 有以下几种理解,)2/( ?hpx
x ???? ??
? ? v?? A ? ? v/1B ??
22
11)C(
cv ???
22)D( vc ???
C
例
例题 已知某电子的德布罗意波长和光子的波长相同
(1)它们的动量大小是否相同？为什么？
(2)它们的 (总 )能量是否相同？为什么？
解,(1)电子和光子的动量大小相同。因为 p=h/?对两者都成立，
而 ?相同，故 p相同。
(2)电子和光子的能量不相等,
2mcE e ?电子的能量：
20 )/(1/ cvmm ??而
可解出：根据 ?/hmvp ?? 20 )/(1/ hcmcv ???
)//()/(1)/(1 020202202 hcmhcmcmcvcmmcE e ????????
?? /)/(1 20 hcmhc ??
??? /光子的能量,hchE ??
20 )/(1 hcmEE e ?? ??于是 ?EE e ?可见
试证,如果确定一个运动的粒子的位置时，其不确定量等于这粒
子的德布罗意波长，则同时确定这粒子的速度时，其不确定量将
等于这粒子的速度 (测不准关系式 ? x·?px?h)。
证明,hpx
x ????测不准关系式：
?? // hxhpx x ??????,则已知
vmmvp ????? )(又 ?
vmmvmpmhv ?????? //)/( ?
例题 当电子的德布罗意波长与可见光波长 ( )相同时，
求它的动能是多少电子伏特？
oA5 5 0 0??
，，普朗克常数电子质量 sJhkgm e ????? ?? 3431 1063.61011.9(
)106.11 19 Jev ???
解,evmhmpE
eek 622 100.5)2/()/()2/( ????? ?
微观粒子的波粒二象性
德布罗意假设：不仅光具有波粒二象性，一切实物粒子如电
子、原子、分子都具有波粒二象性。
他提出：一个质量为 m，速度为 v的粒子具有波动性，只有
一个波长为 ?，频率为 v的波与之相对应，各量的关系为：
?
?
?
??
??
?
?
/
2
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考虑相对论效应：
22
2
0
2
/1 cvh
cm
h
mc
h
E
?
????
22
0
/1 cvvm hmvhph ????? vm hcv
0
??? ?时，当
一、德布罗意波 历史
二、德布罗意假设的实验证明
1、戴维逊实验
G
U 镍单晶片 Ni
集电器
缝宽 10-6m，电子波长 10-11m
若认为电子具有波动性，电子以速度 v运动，与
之相应存在一列电子波，其波长为：
m e U
h
mv
h
2???
x射线在晶体表面散射，电子束在晶体表面散射
eUmv ?221
当 ?满足布拉格公式
2dsin?=k? 时，
反射电子波加强
(1927年 )，观测到电子衍射现象。
X
射
线
电
子
束
（波长相同）衍射图样
电子双缝干涉图样 杨氏双缝干涉图样
mdVU 110 101.95465 ?????,镍单晶片，革实验中取—戴 ?
则利用：
??
?
?
?
?
?
m e U
h
d
2
s in2
?
???
2、汤姆逊实验
x射线通过晶体产生衍射花纹，电子束通过晶体产生类似衍
射花纹，根据衍射花纹结构可算出电子波的波长 ?
相符实验值和理论值 m e Uhmv h 2???
1897年，汤姆逊研究阴极射线时发
现了电子；
1906年获得了诺贝尔奖；
1937年获得诺贝尔奖。
1927年汤姆逊证实了电子的波动性
电子的单缝、双缝、三缝和四缝衍射实验
?约恩逊 (Jonsson)实验 （ 1961）
质子、中子、原子、分子 … 也有波动性
o
A05.0kV50
mμ1mμ3.0
??
??
?V
da基本数据
3、电子束单缝衍射实验
e
R
d
通过照相底版感光显示出单缝衍射花纹
利用光的单缝衍射公式：
)(s in 暗纹??? ?a
??? kRxaa t ga ???s i n
'1 11 xxk,两个位置，可求出第一级暗纹的取 ?
a
kxd ?22 ??中央亮度
p
h??而
p
h
a
Rd ??? 2
德布罗意获 1929年
诺贝尔物理奖
?其它粒子波动性的实验证明
1930年，斯特恩作了 分子波动性 的实验
用氟化锂对 H2和 He分子散射时 出现了极大值
我们引用斯特恩论文中一组实验数据来说明
在 290 K 时的 He 分子散射的最大值与
在 580 K 时的 H2 分子散射的最大值
出现在同一角度
mEm 2??
按麦氏分布 最大能量概率正比于 kT
kTcE ??
c m T
h
m
h
m ?? ??
22 HHe mm ??
HeH TT 22 ??
非相对论情况
2HHe ?? ?
能量写为
最大能量对应的波长
只有 He分子和 H2分子的波长相等
才能出现上述实验现象
例,m = 0.01kg v = 300m/s 的子弹
m341021.230001.0
341063.6
???
?
?????
?? m
h
P
h
宏观物体的波长 小 得 难以测量,宏观物体 只 表现出 粒子性
波粒二象性是普遍的结论
宏观粒子 也具有波动性
m 大
?? 0
量子物理过渡到经典物理
1.单电子双缝实验
现代实验技术可以做到一次一个电子通过缝
7个电子在观察
屏上的图像
100个电子在
屏上的图像
屏上出现的电子说明了电子的粒子性
三、对波粒二象性的理解
随着电子数目的增多
在屏上逐渐形成了衍射图样
说明, 一个电子, 就具有的波动性
3000 20000
70000
2) 波动性
?“可叠加性,
有, 干涉,,衍射,,偏振, 现象
?不是经典的波 不代表实在物理量的波动
1) 粒子性
?整体性
?不是经典的粒子 没有, 轨道, 概念
2.正确理解微观粒子的波粒二象性
3)结论：
微观粒子在某些条件下表现出 粒子性
在另一些条件下表现出 波动性
两种 性质 虽寓于 同一体中
却 不能同时 表现出来
德布罗意波与经典理论的波截然不同，经典波：某种振动在
空间的传播；德布罗意波：决定了粒子在空间各处分布的几率。
计算经过电势差 U1 =150 V 和 U2 =104 V 加速的电子的德布
罗意波长 （不考虑相对论效应） 。
例
解 eUm ?2021 v
0
2
m
eU?v
nm225.112
00 UUem
h
m
h ???
v?
nm 1.01 ?? nm 0123.02 ??
根据,加速后电子的速度为
根据德布罗意关系 p = h /λ,电子的德布罗意波长为
波长分别为
说明
观测仪器的分辨本领 ? 22.1 DR ?
电子波波长 光波波长<< 电子显微镜分辨率
远大于
光学显微镜分辨率
四、德布罗意波与玻尔量子化假设
若认为电子具有波动性，玻尔的轨道角动量条件可以得到一
定的解释。
微观粒子具有波粒二象性，原子中的电子绕核运动，相当于
电子波在此圆周围上形成稳定的驻波。
mv
h??
mv
hnr ??? ?2 nhr m v ??2
???????? 3,2,12 nnhnmv rL ??
德布罗意波：决定了粒子在空间各处分布的几率。
即必须满足：
2? r=n? (n=1,2,3……)
其中 ?为电子的德布罗意波的波长，
由德布罗意假设，
五、不确定关系的表述和含义
海森堡（ Heisenberg）在 1927年提出微观粒子运动的基本
规律
包含多种表达式 其中两个是
2ΔΔ
2ΔΔ
?
?
?
?
Et
xP x
第 1个式子说明,
粒子在 客观上不 能 同时 具有 确定的坐标 位置 和相应的 动量
Werner Karl Heisenberg
德国人
1901-1976
创立量子力学
获得 1932年诺贝
尔物理学奖
海森伯
六、不确定关系的简单导出
?
hP
x ?
?? ??? 2hP x
hPx x ???
1.从光的相干长度概念说起
?
??
ΔΔ
2
?? xM
设波列沿 x轴传播
相干长度
德布罗意波长
动量变化
结果得
hPx x ???
?? ~x
0????若想得到单色光 即要求
???
波列
那么波列必须
?而实际的光波只能是
则必然存在 谱线宽度
即波列有限 由不确定关系式
理想的波
px
?/hp ?
电
子
束
x??
??s inx
电子经过狭缝，其坐标 x 的不确定量为 △ x ；
大部分
电子落在
中央明纹
△ x
2.电子单缝衍射
?sinp
px
0
电
子
束
△ x
x?/hp ? x?? ??s in
单缝衍射第 1级极小满足 sin
x
?? ?
?
s i nxPP ??? P x?? ?
x
hP
x?? ?P
h??将 代入得
这就是电子在 x 方向的动量 变化范围
?sinp
hpx x ???
px
0
电子经过狭缝，其坐标 x 的不确定量为 △ x ；
电
子
束
△ x
动量分量 px
的 不确定量为
x?/hp ? x?? ??s in
减小缝宽 △ x,x 确定的越准确 px的不确定度,即 △ px越大
?严格的理论给出不确定性关系,
2ΔΔ
2ΔΔ
2ΔΔ
?
?
?
??
??
??
z
y
x
Pz
Py
Px
2ΔΔ ??? pq
一般写为,
?不确定关系使粒子运动, 轨道, 的概念失去意义
?存在不确定关系的物理量称为共轭物理量
?不确定关系是微观粒子的 固有属性
与仪器精度和测量方法的缺陷无关
把其余明纹考虑在内有 hpx
x ????
三、能量与时间的不确定性关系
2???? tE
22142022 mccmcpE ??? )(
ppccmcpE ???? ? 22142022 221 )(
pmc ppcE ppc ???? ??? 2
22
?????? tptE ? 2????? pq
能量和时间也是一对共轭物理量 有
推导如下,
例 1, 原子中电子运动不存在, 轨道,
分析,
轨道概念不适用 !
四, 不确定性关系的应用举例
若电子 Ek = 10eV 则
m / s106Δ2ΔΔ 5????? rmm P ??
/s m 102 6?? mE?
原子线度 ? r ～ 10 -10 m
rP Δ2Δ
??
代之以电子云概念
由不确定关系有
??
即 ?x = 0.0001 m
加速电压 U=102V
电子准直直径为 0.1mm
例 2
x
v
电子射线 0.1mm
什么条件下可以使用轨道的概念
如电子在示波管中的运动
电子的横向弥散可以忽略 轨道有意义
宏观现象中 hx ??Δ
PP x ??Δ
可看成经典粒子 从而可使用轨道概念
2
2
1 ?meU ?分析, 由
m
eU2?? m/s10 7?
xmx Δ2Δ
??? 431
34
1010
10
??
?
??
10? <<?
1)从量子过渡到经典的物理条件
讨论
0?h 如粒子的活动线度 >> h
如例 2所示的电子在示波管中的运动
故这时将电子看做经典粒子
2) 微观粒子的力学量的不确定性
意味着物理量与其不确定量的数量级相 同
即 P与 ?P量级相同 r与 ?r量级相同
如例 1所示的原子中运动的电子
例 3,判断电子不是原子核的基本成份
(电子不可能稳定在原子核内 )
分析,
原子核线度 m10~Δ 15?x
xP x ??? 2
?
?由测不准关系
m /skg10 20 ?? ?
m / skg10~Δ~ 20 ??xx PP
m / skg10~Δ~ 20 ??xx PP
?这样的动量对应的电子能量有多大？
? ? ? ? 22202 PccmmcE ???
? ? 27220 10 ??cm ? ? 232 10 ??Pc
J10310310 12820 ?? ?????? Pc
M e V20?
m / skg10 20 ?? ?xP M e V20?E
例 4 估算一些物理量的量级
估算 H 原子的轨道半径 r
H 原子最稳定的半径 -- 玻尔半径
解：设 H原子半径为 r
则电子活动范围
由不确定关系
rrP
?? ?
???
rr ~Δ
PP ~Δ?
rrP
?? ???
Δ
r
e
m
PE
0
22
π42 ???
假设核静止 按非相对论
电子能量为
r
e
mrE 0
2
2
2
π42 ???
?
rP
??代入
得
最稳定 即能量最低
0?rEdd令
53.0π4 2
2
0
0 ?? mer
?? ?
eV6.13??
r
e
r
e
mr
E
0
2
0
2
2
2
m i n π8π42 ?? ????
?
r
e
mrE 0
2
2
2
π42 ???
?
得
例题 波长 ?=500nm的光波沿 x轴正向传播，如果光波波长的不确
定量 (谱线宽度 )??=10-4nm，求光子位置、坐标的不确定量
(?x?px?h)。
解：
p
h???
?波长的不确定量相应 p也有一不确定量 ?px
对上式两边微分：
? ? h
p
h
ph
p
ph ??????? 2
22 /
?
??
hp x 2?????
hpx x ???又
mphx
x
5.21010 )10500( 94
92
?????????? ?
?
?
?
例二、已知 ?=500nm，光沿 x轴传播，如果光波长的不准确度为已
知 ??/?=10-7，求光子位置的不确定量 ?x。
解：从波长的不确定关系 ??/?可推出动量的不确定量：
?
hp ?
9
34
7
2 10500
1063.610
?
?
?
?
?????????
??
?
?
? hhp
mphx 51010500/ 79 ?????????? ????
例四 写出实物粒子德布罗意波长与粒子动能 Ek和静止质量 m0
的关系，并证明：
kk EmhcmE 020 2/??? ?时，
kk EhccmE /20 ??? ?时，
证明：
20220202 ])/(1/[ cmcvcmcmmcE k ?????由
220 /)( ccmEm k ??解出,)/(2 2
0202 cmEcmEEcv kkk ???
)/(/ mvhph ???根据德布罗意波：
把上面 m,v代入，得
2
0
2
0
2
2
2
0 2
cmE
cmEEc
c
cmE
h
k
kkk
?
?
??
??
2
0
2 2 cmEE
hc
kk ?
?
可略去，时，分母中当 kkkk EcmEEcmE ????? 20220 2
020 2/2/ mEhcmEhc kk ??? ?
可略去时，则分母中当 2020220 22 cmEcmEEcmE kkkk ?????
kEhc /?? ?
例 在电子单缝衍射实验中，若缝宽为 a=0.1nm(1nm=10-3m)，电
子束垂直射在单缝上，则衍射的电子横向动量的最小不确定量
?py=________N·s(普朗克常量 h=6.63? 10-34J·s)
答案
aypy y ?????,若根据 ? sNap y ????? ? 241006.1/?则
ayhpy y ?????,若根据 sNahp y ????? ? 241063.6/则
例 设粒子运动的波函数图线分别如图 (A),(B),(C),(D)所示，
那么其中确定粒子动量的精确度最高的波函数是哪个图？ ( )
(A) (B)
(C) (D)
A
测不准关系式 表示在 x方向上 ( )?????
xpx
(A)粒子位置不能确定
(B)粒子动量不能确定
(C)粒子位置和动量都不能确定
(D)粒子位置和动量都不能同时确定
D例
(1) 粒子的动量不可能确定。
(2) 粒子的坐标不可能确定。
(3) 粒子的动量和坐标不能同时确定。
(4) 不确定关系不仅适用于电子和光子，也适用于其它粒子。
其中正确的是,( )
(A) (1)和 (2) (B) (2)和 (4)
(C) (3)和 (4) (D) (4)和 (1)
C
例 ；静止质量不为零的微观粒子作高速运动，这时粒子物质波的
波长 ?与速度 v有如下关系,( )
关于不确定关系 有以下几种理解,)2/( ?hpx
x ???? ??
? ? v?? A ? ? v/1B ??
22
11)C(
cv ???
22)D( vc ???
C
例
例题 已知某电子的德布罗意波长和光子的波长相同
(1)它们的动量大小是否相同？为什么？
(2)它们的 (总 )能量是否相同？为什么？
解,(1)电子和光子的动量大小相同。因为 p=h/?对两者都成立，
而 ?相同，故 p相同。
(2)电子和光子的能量不相等,
2mcE e ?电子的能量：
20 )/(1/ cvmm ??而
可解出：根据 ?/hmvp ?? 20 )/(1/ hcmcv ???
)//()/(1)/(1 020202202 hcmhcmcmcvcmmcE e ????????
?? /)/(1 20 hcmhc ??
??? /光子的能量,hchE ??
20 )/(1 hcmEE e ?? ??于是 ?EE e ?可见
试证,如果确定一个运动的粒子的位置时，其不确定量等于这粒
子的德布罗意波长，则同时确定这粒子的速度时，其不确定量将
等于这粒子的速度 (测不准关系式 ? x·?px?h)。
证明,hpx
x ????测不准关系式：
?? // hxhpx x ??????,则已知
vmmvp ????? )(又 ?
vmmvmpmhv ?????? //)/( ?
例题 当电子的德布罗意波长与可见光波长 ( )相同时，
求它的动能是多少电子伏特？
oA5 5 0 0??
，，普朗克常数电子质量 sJhkgm e ????? ?? 3431 1063.61011.9(
)106.11 19 Jev ???
解,evmhmpE
eek 622 100.5)2/()/()2/( ????? ?
