同
学
们
好
大学物理
第 2页 共 31页
第二篇 运动和守恒定律
第三章 运动的描述
重
点
1,模型 质点、质点系、刚体, 惯性系、非惯性系；
2,概念 矢径、位移、速度、加速度,
角位置、角位移、角速度、角加速度；
3,计算 运动学的两类基本问题。
质点和
刚体
参考系
坐标系
运动的
描述
运动学
两类基
本问题
相对
运动
课时, 6
大学物理
第 3页 共 31页
第一节 质点和刚体 参考系和坐标系
一、理想模型
以下情况的实物均可以抽象为一个质点,
1) 研究问题中物体的形状和大小可以忽略不计。
2) 物体上各点的运动情况相同。
3) 各点运动对总体运动影响不大。
思考 质点和数学上的
点有什么不同？
注意,
1) 质点无大小，但有质量。
2) 具有相对的意义。
1,质点
定义：物体的线度和形状在研究问题中可以忽略不
计时，把物体抽象为一个具有质量、占有位置，但无
形状、大小的“点”，称为 质点 。
大学物理
第 4页 共 31页
2,质点系
质点的集合
分离质点系,
?? imm
连续分布体,
dm
?? mm d
Vd?
?md
3,刚体
在外力作用下不产生形变的物体
特点,任意两点间的距离始终保持不变
质点 质点系 刚体 集合 特例
Sd?
ld?
大学物理
第 5页 共 31页
二、参考系和坐标系
z 常见的坐
标系,
x
y o
P
直角坐标系
?
r?
极坐标系
O
极轴
径向 角向
r
?
P
1,参考系
为了描述一个物体的运动而选定的另一个作为参考的物体。任
何 实物 物体均可被选作参考系。任何形式的场都不可选作参考系。
2,坐标系
为了定量的描述物体的运动，在选定的参考系上建立的带有标
尺的数学坐标,简称坐标系。坐标系是固结于参考系上的一个数学
抽象。
大学物理
第 6页 共 31页
三、惯性系和非惯性系
牛顿第一定律在其中成立的参考系叫做 惯性系,牛
顿第一定律在其中不成立的参考系叫做 非惯性系 。
球坐标系 柱坐标系 自然坐标系
O
n τ
P
大学物理
第 7页 共 31页
第一定律：指出
了惯性的存在
甲对乙,匀
速运动 符合第
一定律
甲对地：静止
小车加速运动时
甲对乙,加速运动，但没有受力，第一定
律不符合
甲
乙
大学物理
第 8页 共 31页
第二定律,
A对甲,
f ? a 定律符合
A对乙,
f ? 0,a = 0 定律不符合
判断,
时，? ? 0F? 近似惯性系0?a?
惯性系0?a?
非惯性系0?a?
非惯性系0?a?
惯性系0?a?,0 时? ?F?
大学物理
第 9页 共 31页
第二节 运动的描述
一、描述质点运动的基本物理量及其直角坐标描述
222 zyxrr ???? ?大小：
1c o sc o sc o s
c o sc o s,c o s
2
,
22 ???
? ??
???
?? ? rzr
y
r
x
方向,特性, 矢量性、
瞬时性、相对性
单位矢量,kji ???,,
1,位置矢量
描述质点在空间的位置
r?
直角坐标描述
xyzO ?
kji zyxr ???? ???
x
y
z
P
O
r?
?
?
?
i?
j?
k?
大学物理
第 10页 共 31页
由 上式写出对应的参数方程
??
?
?
?
?
?
?
)(
)(
)(
tzz
tyy
txx
消去参数 t 质点运动
的轨迹方
程
质点的运动方程
质点运动的轨迹方程
在直角坐标系中，质点运动方程的具体形式为
kji tztytxr ???? )()()( ???
随时间变化的函数 称为质点的运动方程。 r? )(trr ?? ?
大学物理
第 11页 共 31页
例 1,OA = BA = AC,OA以角速度 ? 绕 O旋转,B,C
分别 沿 y,x 轴运动,现有一点 P,已知 BP = a,
PC = b,求 P 点的轨迹方程。
思路,
(1) 确定 P 的位置
jyixr ??? ??
(2) 写出参数方程。
(3) 消去 t,得到轨迹方程。
?
y
O x
B
A
C
P(x,y)
? r?
大学物理
第 12页 共 31页
?
?
?
?
?
tby
tax
?
?
s i n
c o s
解, 以 OA 与 x 轴重合时
为计时零点。
则,? = ? t
jtbitar ??? ?? s i nco s ??
参数方程,
轨迹运动方程,
1
2
2
2
??
b
y
a
x 2
?
y
O x
B
A
C
P(x,y)
? r (
大学物理
第 13页 共 31页
4
2
2
2
2
2
x
y
t
ty
tx
??
?
?
?
??
?
得轨道方程消去
解,(1)先写参数方程
例 2.已知质点的运动方程
求,(1) 质点的轨迹。
(2) t = 0 及 t = 2s 时，质点的位置矢量。
jtitr ??? )2(2 2???
(2) 位置矢量
t = 0 时,x = 0 y = 2 r = 2 j
t = 2 时,x = 4 y = -2 r ?= 4i – 2j
x
P
y
4
2
Q
r?
r??-2
O
大学物理
第 14页 共 31页
位置矢量的大小
m47.4m)2(4
m2
22 ???????
??
rr
rr
?
?
位置矢量的方向
2326
4
2
a r c t g
90
0
2
a r c t g
???
?
???
??
?
?
?
?
?
?
轴之间的夹角与
轴夹角与
xr
xr
x
P
y
4
2
Q
r?
r??-2
O ??
大学物理
第 15页 共 31页
末
位
矢
初
位
矢
位矢
增量
位移
矢量
特性,矢量性、相对性
定义,质点沿曲线运动
ArAt
?,时刻：
BrBtt
?,:时刻??
2.位移矢量
描述质点位置变动的大小和方向
r??
x
O y
z A
B Ar?
Br?
r??
时间内位置变化的净效果,
rrrAB AB ??? ????
t?
大学物理
第 16页 共 31页
直角坐标表示
222
)()()(
)()()(
zyxr
kzjyix
kzzjyyixx
rrr
ABABAB
AB
???????
??????
??????
???
?
???
???
???
kzjyixr AAAA ???? ???
kzjyixr BBBB ???? ???
x
O y
z A
B Ar?
Br?
r??
大学物理
第 17页 共 31页
位移,是矢量，表示质点位置变化的净效果，与质点
运动轨迹无关，只与始末点有关。
路程,是标量，是质点通过的实际路径的长，与质点
运动轨迹有关。
讨论?
sr ??? ? 何时取等号？
O
Ar?
Br?
r??
r?
rr ??? ?
ABAB rrrrr ?????
??
AB rrr
??? ???
ABr ?? ?
比较位移和路程
A
B
s?
r??
ABs ??
大学物理
第 18页 共 31页
例 3,求例 2中 P,Q两点间的位移和路程。
解, (1) 位移
jir
jr
???
??
24
2
???
?
ji
jji
rrr
??
???
???
44
224
??
???
????
m65.5m44 22 ???? r?
4a r c t g0
?? ???
x
y
大小,
方向,
x
P
y
4
2
Q
r?
r??
?
??
-2
O 0?
大学物理
第 19页 共 31页
22 )d()d(d yxs ??
dx
dy
ds
??? QP ss d
(2) 路程
4
2
2
2 2
2
xy
ty
tx
???
?
?
?
??
?
xxy d21d ??
xx
yxs
d4
2
1
)d()(dd
2
22
??
??
O
y
x
Q
r?
r??
P
r??
0?
m91.5
d4
2
1
d
4
0
2
?
???? ?? xxss
Q
P
大学物理
第 20页 共 31页
物理思想？
变速运动 总效果相同的匀速直线运动
类比
粗略描述,
ArAt
?,时刻：
BrBtt ?,:时刻??
位移, r??
3.速度矢量
描述质点运动的快慢和方向
v?
A
B
O
Ar? Br
?
r??
平均速度,
t
rv
?
?? ??
大学物理
第 21页 共 31页
精确描述,
速度是位矢对时间的一阶导数，
其方向沿轨道上质点所在处的切
线，指向前进的一侧。
瞬时速度, 当 ?t 趋于 0时,B点趋于 A 点，平均速度
的极限表示质点 在 t 时刻通过 A 点的瞬
时速度，简称速度。表示为,
特性,矢量性、瞬时性、相对性
注意, 说两个速度相同时，指速度的大小和方向均相同。
t
r
t
rv
d
dlim ??? ?
?
??
0??t
A
BB?
B?
v?
r??
大学物理
第 22页 共 31页
在直角坐标系中,
222
d
d
d
d
d
d
d
d
zyx
zyx
vvvv
kvjviv
k
t
z
j
t
y
i
t
x
t
r
v
???
???
????
?
???
???
?
?
速度的大小,
t
r
t
r
d
d
d
d ??
vv ??
vv ??
(1)
(2)
(3)
平均速率
t
sv
?
??
瞬时速率
t
s
t
sv
t d
dlim
0
????
??
讨论
大学物理
第 23页 共 31页
? 速度与速率的关系,
速度是矢量，速率是标量；其大小关系,
vtstrvsr ??????????
???
所以因为,
(1)
v
t
s
t
r
vsr
srt
tt
????
?????
????
d
d
d
d
dd
,l i ml i m0
00
?
??
?
所以即
时，因为
(2)
t
r
t
s
t
r
v
rrrr
d
d
d
d
d
d
dd,
???
????
?
?
??
所以
因为
(3)
Br?
Ar
?
O
r??
r?
大学物理
第 24页 共 31页
例, 已知, )SI()2(2 2 jtitr ??? ???
求, 2s末速度的大小
222 tytx ???
解一,
? ? ? ? 4222 422 tttr ?????
1-1-
2
4
3
sm58.3sm
5
58
2
4
2
d
d
?????
?
??
vt
t
t
t
r
v
大学物理
第 25页 共 31页
? ?
jti
t
r
v
jtitr
????
???
22
d
d
22 2
???
???
解二,
判断正误并说明理由 思考
1-1-
2
222
sm47.4sm522
12
22
?????
????
??
vt
tvvv
tvv
yx
yx
大学物理
第 26页 共 31页
物理思想？
t
va
?
??
??
用 可粗略描述质点速度改变
快慢和方向,称为平均加速度 。
表示为
t
v
?
?
?
4.加速度矢量
描述质点速度大小、方向变化的快慢
a?
A
B
Bv
?
Av?
v??平均加速度 ——质点在 A,B 两
点的速度分别是,在 △ t
时间内 从 A 运动到 B速度改变 为
BA vv
??,
AB vvv
??? ???
大学物理
第 27页 共 31页
物理思想,
变速运动 总效果相同的匀变速直线运动
类比
瞬时加速度 —— 当 ?t 趋于 0时，求得 平均加速度
的极限，表示质点 通过 A 点的瞬时加速度，简称加
速度。表示为
20 d
d)
d
d(
d
d
d
dlim
t
r
t
r
tt
v
t
va
t
????? 2
???
?
??
??
加速度等于速度对时间的一阶导数,或位矢对时间
的二阶导数。
特性,矢量性、瞬时性、相对性
大学物理
第 28页 共 31页
在直角坐标系中,
k
t
z
j
t
y
i
t
x
k
t
v
j
t
v
i
t
v
kajaiaa z
yx
zyx
???
???????
2
2
2
2
2
2
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
???
??????
222
0
lim,zyx
t
aaa
t
va ???
?
??
??
??
大小
方向, ? t ? 0时, 的极限方向
?指向曲线凹向 ?
v??
a?
大学物理
第 29页 共 31页
思考,
dddd tvtv ?
?
li mli m
00t t
v
t
v
t ?
??
?
?
????
?
Bv
?
Ba
?
B ·
A
Aa?
Av
?
Bv
?
Av
?
v??
v?
Cv
?
Ca
?
C ·
dt
d
d
d v
t
v ?? ?
大学物理
第 30页 共 31页
描述质点运动的基本物理量 小 结
位置, 位矢 )(,trr ??
12 rrr
??? ???位置变化, 位移
位置变化率,速度
t
rv
d
d ?? ?
速度变化率, 加速度
2
2
d
d
d
d
t
r
t
va ??? ??
中心
大学物理
第 31页 共 31页
质点运动的直角坐标描述
kji zyxr ???? ???
ktzjtyitxv ???? dddddd ???
kt zjt yit xa ????
2
2
2
2
2
2
d
d
d
d
d
d ???
学
们
好
大学物理
第 2页 共 31页
第二篇 运动和守恒定律
第三章 运动的描述
重
点
1,模型 质点、质点系、刚体, 惯性系、非惯性系；
2,概念 矢径、位移、速度、加速度,
角位置、角位移、角速度、角加速度；
3,计算 运动学的两类基本问题。
质点和
刚体
参考系
坐标系
运动的
描述
运动学
两类基
本问题
相对
运动
课时, 6
大学物理
第 3页 共 31页
第一节 质点和刚体 参考系和坐标系
一、理想模型
以下情况的实物均可以抽象为一个质点,
1) 研究问题中物体的形状和大小可以忽略不计。
2) 物体上各点的运动情况相同。
3) 各点运动对总体运动影响不大。
思考 质点和数学上的
点有什么不同？
注意,
1) 质点无大小，但有质量。
2) 具有相对的意义。
1,质点
定义：物体的线度和形状在研究问题中可以忽略不
计时，把物体抽象为一个具有质量、占有位置，但无
形状、大小的“点”，称为 质点 。
大学物理
第 4页 共 31页
2,质点系
质点的集合
分离质点系,
?? imm
连续分布体,
dm
?? mm d
Vd?
?md
3,刚体
在外力作用下不产生形变的物体
特点,任意两点间的距离始终保持不变
质点 质点系 刚体 集合 特例
Sd?
ld?
大学物理
第 5页 共 31页
二、参考系和坐标系
z 常见的坐
标系,
x
y o
P
直角坐标系
?
r?
极坐标系
O
极轴
径向 角向
r
?
P
1,参考系
为了描述一个物体的运动而选定的另一个作为参考的物体。任
何 实物 物体均可被选作参考系。任何形式的场都不可选作参考系。
2,坐标系
为了定量的描述物体的运动，在选定的参考系上建立的带有标
尺的数学坐标,简称坐标系。坐标系是固结于参考系上的一个数学
抽象。
大学物理
第 6页 共 31页
三、惯性系和非惯性系
牛顿第一定律在其中成立的参考系叫做 惯性系,牛
顿第一定律在其中不成立的参考系叫做 非惯性系 。
球坐标系 柱坐标系 自然坐标系
O
n τ
P
大学物理
第 7页 共 31页
第一定律：指出
了惯性的存在
甲对乙,匀
速运动 符合第
一定律
甲对地：静止
小车加速运动时
甲对乙,加速运动，但没有受力，第一定
律不符合
甲
乙
大学物理
第 8页 共 31页
第二定律,
A对甲,
f ? a 定律符合
A对乙,
f ? 0,a = 0 定律不符合
判断,
时，? ? 0F? 近似惯性系0?a?
惯性系0?a?
非惯性系0?a?
非惯性系0?a?
惯性系0?a?,0 时? ?F?
大学物理
第 9页 共 31页
第二节 运动的描述
一、描述质点运动的基本物理量及其直角坐标描述
222 zyxrr ???? ?大小：
1c o sc o sc o s
c o sc o s,c o s
2
,
22 ???
? ??
???
?? ? rzr
y
r
x
方向,特性, 矢量性、
瞬时性、相对性
单位矢量,kji ???,,
1,位置矢量
描述质点在空间的位置
r?
直角坐标描述
xyzO ?
kji zyxr ???? ???
x
y
z
P
O
r?
?
?
?
i?
j?
k?
大学物理
第 10页 共 31页
由 上式写出对应的参数方程
??
?
?
?
?
?
?
)(
)(
)(
tzz
tyy
txx
消去参数 t 质点运动
的轨迹方
程
质点的运动方程
质点运动的轨迹方程
在直角坐标系中，质点运动方程的具体形式为
kji tztytxr ???? )()()( ???
随时间变化的函数 称为质点的运动方程。 r? )(trr ?? ?
大学物理
第 11页 共 31页
例 1,OA = BA = AC,OA以角速度 ? 绕 O旋转,B,C
分别 沿 y,x 轴运动,现有一点 P,已知 BP = a,
PC = b,求 P 点的轨迹方程。
思路,
(1) 确定 P 的位置
jyixr ??? ??
(2) 写出参数方程。
(3) 消去 t,得到轨迹方程。
?
y
O x
B
A
C
P(x,y)
? r?
大学物理
第 12页 共 31页
?
?
?
?
?
tby
tax
?
?
s i n
c o s
解, 以 OA 与 x 轴重合时
为计时零点。
则,? = ? t
jtbitar ??? ?? s i nco s ??
参数方程,
轨迹运动方程,
1
2
2
2
??
b
y
a
x 2
?
y
O x
B
A
C
P(x,y)
? r (
大学物理
第 13页 共 31页
4
2
2
2
2
2
x
y
t
ty
tx
??
?
?
?
??
?
得轨道方程消去
解,(1)先写参数方程
例 2.已知质点的运动方程
求,(1) 质点的轨迹。
(2) t = 0 及 t = 2s 时，质点的位置矢量。
jtitr ??? )2(2 2???
(2) 位置矢量
t = 0 时,x = 0 y = 2 r = 2 j
t = 2 时,x = 4 y = -2 r ?= 4i – 2j
x
P
y
4
2
Q
r?
r??-2
O
大学物理
第 14页 共 31页
位置矢量的大小
m47.4m)2(4
m2
22 ???????
??
rr
rr
?
?
位置矢量的方向
2326
4
2
a r c t g
90
0
2
a r c t g
???
?
???
??
?
?
?
?
?
?
轴之间的夹角与
轴夹角与
xr
xr
x
P
y
4
2
Q
r?
r??-2
O ??
大学物理
第 15页 共 31页
末
位
矢
初
位
矢
位矢
增量
位移
矢量
特性,矢量性、相对性
定义,质点沿曲线运动
ArAt
?,时刻：
BrBtt
?,:时刻??
2.位移矢量
描述质点位置变动的大小和方向
r??
x
O y
z A
B Ar?
Br?
r??
时间内位置变化的净效果,
rrrAB AB ??? ????
t?
大学物理
第 16页 共 31页
直角坐标表示
222
)()()(
)()()(
zyxr
kzjyix
kzzjyyixx
rrr
ABABAB
AB
???????
??????
??????
???
?
???
???
???
kzjyixr AAAA ???? ???
kzjyixr BBBB ???? ???
x
O y
z A
B Ar?
Br?
r??
大学物理
第 17页 共 31页
位移,是矢量，表示质点位置变化的净效果，与质点
运动轨迹无关，只与始末点有关。
路程,是标量，是质点通过的实际路径的长，与质点
运动轨迹有关。
讨论?
sr ??? ? 何时取等号？
O
Ar?
Br?
r??
r?
rr ??? ?
ABAB rrrrr ?????
??
AB rrr
??? ???
ABr ?? ?
比较位移和路程
A
B
s?
r??
ABs ??
大学物理
第 18页 共 31页
例 3,求例 2中 P,Q两点间的位移和路程。
解, (1) 位移
jir
jr
???
??
24
2
???
?
ji
jji
rrr
??
???
???
44
224
??
???
????
m65.5m44 22 ???? r?
4a r c t g0
?? ???
x
y
大小,
方向,
x
P
y
4
2
Q
r?
r??
?
??
-2
O 0?
大学物理
第 19页 共 31页
22 )d()d(d yxs ??
dx
dy
ds
??? QP ss d
(2) 路程
4
2
2
2 2
2
xy
ty
tx
???
?
?
?
??
?
xxy d21d ??
xx
yxs
d4
2
1
)d()(dd
2
22
??
??
O
y
x
Q
r?
r??
P
r??
0?
m91.5
d4
2
1
d
4
0
2
?
???? ?? xxss
Q
P
大学物理
第 20页 共 31页
物理思想？
变速运动 总效果相同的匀速直线运动
类比
粗略描述,
ArAt
?,时刻：
BrBtt ?,:时刻??
位移, r??
3.速度矢量
描述质点运动的快慢和方向
v?
A
B
O
Ar? Br
?
r??
平均速度,
t
rv
?
?? ??
大学物理
第 21页 共 31页
精确描述,
速度是位矢对时间的一阶导数，
其方向沿轨道上质点所在处的切
线，指向前进的一侧。
瞬时速度, 当 ?t 趋于 0时,B点趋于 A 点，平均速度
的极限表示质点 在 t 时刻通过 A 点的瞬
时速度，简称速度。表示为,
特性,矢量性、瞬时性、相对性
注意, 说两个速度相同时，指速度的大小和方向均相同。
t
r
t
rv
d
dlim ??? ?
?
??
0??t
A
BB?
B?
v?
r??
大学物理
第 22页 共 31页
在直角坐标系中,
222
d
d
d
d
d
d
d
d
zyx
zyx
vvvv
kvjviv
k
t
z
j
t
y
i
t
x
t
r
v
???
???
????
?
???
???
?
?
速度的大小,
t
r
t
r
d
d
d
d ??
vv ??
vv ??
(1)
(2)
(3)
平均速率
t
sv
?
??
瞬时速率
t
s
t
sv
t d
dlim
0
????
??
讨论
大学物理
第 23页 共 31页
? 速度与速率的关系,
速度是矢量，速率是标量；其大小关系,
vtstrvsr ??????????
???
所以因为,
(1)
v
t
s
t
r
vsr
srt
tt
????
?????
????
d
d
d
d
dd
,l i ml i m0
00
?
??
?
所以即
时，因为
(2)
t
r
t
s
t
r
v
rrrr
d
d
d
d
d
d
dd,
???
????
?
?
??
所以
因为
(3)
Br?
Ar
?
O
r??
r?
大学物理
第 24页 共 31页
例, 已知, )SI()2(2 2 jtitr ??? ???
求, 2s末速度的大小
222 tytx ???
解一,
? ? ? ? 4222 422 tttr ?????
1-1-
2
4
3
sm58.3sm
5
58
2
4
2
d
d
?????
?
??
vt
t
t
t
r
v
大学物理
第 25页 共 31页
? ?
jti
t
r
v
jtitr
????
???
22
d
d
22 2
???
???
解二,
判断正误并说明理由 思考
1-1-
2
222
sm47.4sm522
12
22
?????
????
??
vt
tvvv
tvv
yx
yx
大学物理
第 26页 共 31页
物理思想？
t
va
?
??
??
用 可粗略描述质点速度改变
快慢和方向,称为平均加速度 。
表示为
t
v
?
?
?
4.加速度矢量
描述质点速度大小、方向变化的快慢
a?
A
B
Bv
?
Av?
v??平均加速度 ——质点在 A,B 两
点的速度分别是,在 △ t
时间内 从 A 运动到 B速度改变 为
BA vv
??,
AB vvv
??? ???
大学物理
第 27页 共 31页
物理思想,
变速运动 总效果相同的匀变速直线运动
类比
瞬时加速度 —— 当 ?t 趋于 0时，求得 平均加速度
的极限，表示质点 通过 A 点的瞬时加速度，简称加
速度。表示为
20 d
d)
d
d(
d
d
d
dlim
t
r
t
r
tt
v
t
va
t
????? 2
???
?
??
??
加速度等于速度对时间的一阶导数,或位矢对时间
的二阶导数。
特性,矢量性、瞬时性、相对性
大学物理
第 28页 共 31页
在直角坐标系中,
k
t
z
j
t
y
i
t
x
k
t
v
j
t
v
i
t
v
kajaiaa z
yx
zyx
???
???????
2
2
2
2
2
2
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
???
??????
222
0
lim,zyx
t
aaa
t
va ???
?
??
??
??
大小
方向, ? t ? 0时, 的极限方向
?指向曲线凹向 ?
v??
a?
大学物理
第 29页 共 31页
思考,
dddd tvtv ?
?
li mli m
00t t
v
t
v
t ?
??
?
?
????
?
Bv
?
Ba
?
B ·
A
Aa?
Av
?
Bv
?
Av
?
v??
v?
Cv
?
Ca
?
C ·
dt
d
d
d v
t
v ?? ?
大学物理
第 30页 共 31页
描述质点运动的基本物理量 小 结
位置, 位矢 )(,trr ??
12 rrr
??? ???位置变化, 位移
位置变化率,速度
t
rv
d
d ?? ?
速度变化率, 加速度
2
2
d
d
d
d
t
r
t
va ??? ??
中心
大学物理
第 31页 共 31页
质点运动的直角坐标描述
kji zyxr ???? ???
ktzjtyitxv ???? dddddd ???
kt zjt yit xa ????
2
2
2
2
2
2
d
d
d
d
d
d ???
