同
学
们
好
大学物理
第 2页 共 27页
第五章 机械振动和机械波
共同特征,运动在时间、空间上的周期性
振动系统 平衡位置
? 振动, 任何 物理量 在某 一定值 附近随时间周期性变化
? 波动, 振动在空间的传播
? 核心内容,k
简谐振动
运动方程
特征量
能量
振动的合成
简谐波
运动方程
特征量
能量
波的合成
大学物理
第 3页 共 27页
结构框图
简谐
振动
*摆动 *混沌
振动的
合成
*频谱
分析
*电磁振荡
*阻尼振动
受迫振动
共振
学时,4
第一节 简谐振动
大学物理
第 4页 共 27页
第一节 简谐振动
一、运动方程
集中弹性 集中惯性
回复力 和 物体惯性 交互作用形成简谐振动
F = -kx (平衡位置为坐标原点）
轻弹簧 k + 质点 m
1,理想模型
弹簧振子
大学物理
第 5页 共 27页
F = -kx (平衡位置为坐标原点）
判据 1,凡物体所受回复力与位移成正比且
反向时，物体的运动是简谐振动。
大学物理
第 6页 共 27页
F = - k x
准弹性力
系统本身决定的常数
离系统平衡位置的位移
扩展,
不仅适用于弹簧系统 kxF ??
自学 P.113 [例 1](P.3 [例 1])
大学物理
第 7页 共 27页
2
2
d
d
t
x
mF
xkF
?
??
0dd 2
2
?? xmkt x
2,运动方程
令 2??
m
k 得
0
d
d 2
2
2
?? x
t
x ?* 线性微分方程
判据 2,若某物理量满足 *方程，即该物理量对时间的
二阶导数与其自身成正比且反号时，该物理量的变化
称为简谐振动。
大学物理
第 8页 共 27页
求解得,)c o s (
0?? ?? tAx
0,?A 为积分常数
简谐振动的
运动方程
0
d
d 2
2
2
?? x
t
x ?
简谐振动的 微分方程
判据 3,任何一个物理量如果是时间的余弦（或正弦）
函数，该物理量的变化称为简谐振动。
大学物理
第 9页 共 27页
3,
2
2
d
d,
d
d,
t
x
t
xx 均随时间周期性变化
由
)co s ( 0?? ?? tAx 得
)c o s (
d
d
)s i n (
d
d
0
2
2
2
0
???
???
????
????
tA
t
x
a
tA
t
x
v
??0?
大学物理
第 10页 共 27页
v
o t
o
x
t
a
o t
)co s ( 0?? ?? tAx
)s in ( 0??? ??? tAv
)c o s ( 02 ??? ??? tAa
00 ??设
振动曲线
大学物理
第 11页 共 27页
思考 由状态参量 txvx dd,?
的函数曲线族称为 相图 。试画出简谐振动
的相图并阐述其物理意义。
为坐标变量作出
1
22
2
2
2
2
d
d
d
d cx
t
xtx
t
x ???
?
??
?
??? ?? 积分：对 1)(
2
1
2
1
2
d
d
??
?
C
t
x x
c
o x
t
x
d
d
与振动曲线如何对应？
o t
x
T/2
T
大学物理
第 12页 共 27页
二、简谐振动的特征量
是由系统本身决定的常数，与初始条件无关
固有角频率 由谐振动周期性特征看 ? 的物理意义,
??
?????
????
2
]c os [])(c os [
)c os (])(c os [
)()(
00
00
?
?????
????
??
T
TtATtA
tATtA
txTtx
? ---- 描述谐振运动的快慢
?1,角频率, mk??
?
?2?T
?
??
2
1 ??
T
周期
频率
)co s ( 0?? ?? tAx
大学物理
第 13页 共 27页
2,振幅 A,
|| m a xxA ?
表示振动的范围（强弱），由初始条件决定。
解得
2
2
2
2
2
02
0 ??
vxvxA ????
由
在 t = 0 时刻
00
00
s in
co s
??
?
Av
Ax
??
?
)s i n (
)c o s (
0
0
???
??
???
??
tAv
tAx
大学物理
第 14页 共 27页
(1)
与状态参量)( 0?? ?t x,v有一一对应的关系
)s i n ();co s ( 00 ????? ????? tAvtAx例,
当
30
??? ??t 时,
方向运动向处以速率质点在 xvAx ?? 2
,2Ax ? ?Av
2
3??
当 ???
3
5
0 ??t
时：,
2
Ax ? ?Av
2
3?
方向运动向处以速率质点在 xvAx ?? 2
*3,相位 ?t + ?0,初相 ?0
相位是描述振动状态的物理量
大学物理
第 15页 共 27页
整数倍, x,v重复
(3) 可以方便地比较同频率谐振动的步调
)c o s ( 111 ?? ?? tAx
)c os ( 222 ?? ?? tAx
相位差,
1212 )()( ??????? ??????? tt
,.., )2,1,0
)12(
2
?
????
???
k
k
k
（
??
?? 同相
反相 ??
??
???
???
21
12
,0
,0
xx
xx
振动超前；振动超前
(2) ?2每变化
原来的值（回到原 状态），最能直观、方便地
反映出谐振动的周期性特征。
)( 0?? ?t
大学物理
第 16页 共 27页
(3) 可以方便地比较同频率谐振动的步调
也可以比较不同物理量作同频率谐振动的步调
相位差,
1212 )()( ??????? ??????? tt
v
o t
o
x t
a
o t
速度 超前位移
而落后于加速度
v 2/?
2/?
大学物理
第 17页 共 27页
初相,
0?
描述 t = 0时刻运动状态，由初始条件确定。
由 t = 0时
00
00
s in
co s
??
?
Av
Ax
??
?
)(a r c t g
0
0
0 x
v
?
? ??
或
?
?
?
A
v
A
x
0
0
0
0
s in
c o s
?
?
?
000 s i nco s ??? 的符号决定大小和由
大学物理
第 18页 共 27页
m
h
m
k
[例 1] 教材 P.113 例 2(P.40 13-8)
解, 振动系统为（ 2 m,k)
?
,2 mk??
k
mT 22??
0?t
0v?0x
确定初始条件：以物块和平板共同运动时刻为 t = 0
0
0
22
0
mvghm
k
mg
x
?
???
0
20
?? ghv
{ 有,
已知,k,m,h,完全非弹性碰撞
求,T,A,
0?
以平衡位置为坐标原点，向下为正。
x
o
大学物理
第 19页 共 27页
πa r c t gπ)(a r c t g
0
0
0 ????? mg
kh
x
v
?
?
mg
kh
k
mg
k
m g h
k
gmvxA ?????? 1
2
22
2
2
02
0 ?
得,
又,
0s i n
0c o s
00
0
0
???
??
??
?
Av
A
x
0s in 0 ??
0?
} 为三象限角
大学物理
第 20页 共 27页
[例 2] 由振动曲线决定初相
? Ax 00 a r c c o s?? 为四象限角
(1)
0s in 0 ??
0s i n
0c o s
00
0
0
???
??
??
?
Av
A
x
t 0
x
x0
t0
A 0v?
(2) 与标准余弦函数 的振动曲线比较 标x
)
2
cos (
)
2
cos ( 0
t
T
Ax
t
T
Ax
?
?
?
?
??
标
00 ???? t??
的振动超
前 振动 x标
x
??
大学物理
第 21页 共 27页
练习 由振动曲线写出初相 (教材 P.38 13.6)
o t
?
T87
o t
?
T85
( 1) ??
4
5
0 ??
或 ?
4
3?
（ 2） ?47? 或 4??
)2c o s ( 0??? ?? tTA
00
00
s in
co s
??
?
Av
Ax
??
?
大学物理
第 22页 共 27页
o t
?
2A （ 3）
3
??
o t
?
2A
3
?（ 4）
大学物理
第 23页 共 27页
三、旋转矢量法
写出质点 m 以角速率 ? 作半径 A 的圆周匀速
运动的参数方程
思考,
x,y 方向分运动均为简谐振动
)c o s ( 0?? ?? tAx
)s i n ( 0?? ?? tAy
x
y
o
m A
?
0?
建立旋转矢量 与谐振动的对应关系 A?
ω
(ωt +?0 ) x
M
O
P
A?
M 点在 x 轴上投影 P点的运动 规律,
)c o s ( 0?? ?? tAx
大学物理
第 24页 共 27页
模 振幅 A
角速度 角频率 ?
旋转周期 振动周期 T=2?/ ?
上的投影 在 Ox A ?
上的投影 端点速度在 Ox A ?
上的投影 端点加速度在 Ox A ?
位移
速度
加速度
x =Acos(?t+? 0)
v =- ? Asin(?t+? 0)
a =- ? 2Acos(?t+? 0)
旋转矢量 简谐振动 符号或表达式 A?
初相 ? 0 t=0时,与 Ox夹角 A?
相位 ?t+? 0 t时刻,与 Ox夹角 A?
旋转矢量 与谐振动的对应关系 A?
P
ω
(ωt +?0 ) x
M
O
A?
大学物理
第 25页 共 27页
旋转矢量法优点,
直观地表达谐振动的各特征量
便于解题,特别是确定初相位
便于分析振动合成
由 x,v 的符号确定 所在 的象限,A?
大学物理
第 26页 共 27页
作 x = -12cm处的旋转矢量 A?
s5.0
6
1
π2
6
π2
m i n
m i n
???
?
??
Tt
T
t
?
?
)cm(x24 O
解, 作 t = 0时刻的旋转矢量 A?
12
A?
-12
A?
练习
求, 质点运动到 x = -12 cm处所需最短时间。
已知一质点做简谐振动，振幅 A = 24cm,周期 T =
3s。 t = 0时 。 0
0 ?vcm,120 ?x
P.142 5-10 (P.39 13-6)
大学物理
第 27页 共 27页
利用旋转矢量法作 x – t 图,
x x/cm
T/s
t=0
O O T
A?
12
Tt?
6
Tt? 2
Tt?
学
们
好
大学物理
第 2页 共 27页
第五章 机械振动和机械波
共同特征,运动在时间、空间上的周期性
振动系统 平衡位置
? 振动, 任何 物理量 在某 一定值 附近随时间周期性变化
? 波动, 振动在空间的传播
? 核心内容,k
简谐振动
运动方程
特征量
能量
振动的合成
简谐波
运动方程
特征量
能量
波的合成
大学物理
第 3页 共 27页
结构框图
简谐
振动
*摆动 *混沌
振动的
合成
*频谱
分析
*电磁振荡
*阻尼振动
受迫振动
共振
学时,4
第一节 简谐振动
大学物理
第 4页 共 27页
第一节 简谐振动
一、运动方程
集中弹性 集中惯性
回复力 和 物体惯性 交互作用形成简谐振动
F = -kx (平衡位置为坐标原点）
轻弹簧 k + 质点 m
1,理想模型
弹簧振子
大学物理
第 5页 共 27页
F = -kx (平衡位置为坐标原点）
判据 1,凡物体所受回复力与位移成正比且
反向时，物体的运动是简谐振动。
大学物理
第 6页 共 27页
F = - k x
准弹性力
系统本身决定的常数
离系统平衡位置的位移
扩展,
不仅适用于弹簧系统 kxF ??
自学 P.113 [例 1](P.3 [例 1])
大学物理
第 7页 共 27页
2
2
d
d
t
x
mF
xkF
?
??
0dd 2
2
?? xmkt x
2,运动方程
令 2??
m
k 得
0
d
d 2
2
2
?? x
t
x ?* 线性微分方程
判据 2,若某物理量满足 *方程，即该物理量对时间的
二阶导数与其自身成正比且反号时，该物理量的变化
称为简谐振动。
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第 8页 共 27页
求解得,)c o s (
0?? ?? tAx
0,?A 为积分常数
简谐振动的
运动方程
0
d
d 2
2
2
?? x
t
x ?
简谐振动的 微分方程
判据 3,任何一个物理量如果是时间的余弦（或正弦）
函数，该物理量的变化称为简谐振动。
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3,
2
2
d
d,
d
d,
t
x
t
xx 均随时间周期性变化
由
)co s ( 0?? ?? tAx 得
)c o s (
d
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d
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2
2
2
0
???
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tA
t
x
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tA
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v
o t
o
x
t
a
o t
)co s ( 0?? ?? tAx
)s in ( 0??? ??? tAv
)c o s ( 02 ??? ??? tAa
00 ??设
振动曲线
大学物理
第 11页 共 27页
思考 由状态参量 txvx dd,?
的函数曲线族称为 相图 。试画出简谐振动
的相图并阐述其物理意义。
为坐标变量作出
1
22
2
2
2
2
d
d
d
d cx
t
xtx
t
x ???
?
??
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??? ?? 积分：对 1)(
2
1
2
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2
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?
C
t
x x
c
o x
t
x
d
d
与振动曲线如何对应？
o t
x
T/2
T
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二、简谐振动的特征量
是由系统本身决定的常数，与初始条件无关
固有角频率 由谐振动周期性特征看 ? 的物理意义,
??
?????
????
2
]c os [])(c os [
)c os (])(c os [
)()(
00
00
?
?????
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T
TtATtA
tATtA
txTtx
? ---- 描述谐振运动的快慢
?1,角频率, mk??
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2
1 ??
T
周期
频率
)co s ( 0?? ?? tAx
大学物理
第 13页 共 27页
2,振幅 A,
|| m a xxA ?
表示振动的范围（强弱），由初始条件决定。
解得
2
2
2
2
2
02
0 ??
vxvxA ????
由
在 t = 0 时刻
00
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0
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tAx
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(1)
与状态参量)( 0?? ?t x,v有一一对应的关系
)s i n ();co s ( 00 ????? ????? tAvtAx例,
当
30
??? ??t 时,
方向运动向处以速率质点在 xvAx ?? 2
,2Ax ? ?Av
2
3??
当 ???
3
5
0 ??t
时：,
2
Ax ? ?Av
2
3?
方向运动向处以速率质点在 xvAx ?? 2
*3,相位 ?t + ?0,初相 ?0
相位是描述振动状态的物理量
大学物理
第 15页 共 27页
整数倍, x,v重复
(3) 可以方便地比较同频率谐振动的步调
)c o s ( 111 ?? ?? tAx
)c os ( 222 ?? ?? tAx
相位差,
1212 )()( ??????? ??????? tt
,.., )2,1,0
)12(
2
?
????
???
k
k
k
（
??
?? 同相
反相 ??
??
???
???
21
12
,0
,0
xx
xx
振动超前；振动超前
(2) ?2每变化
原来的值（回到原 状态），最能直观、方便地
反映出谐振动的周期性特征。
)( 0?? ?t
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第 16页 共 27页
(3) 可以方便地比较同频率谐振动的步调
也可以比较不同物理量作同频率谐振动的步调
相位差,
1212 )()( ??????? ??????? tt
v
o t
o
x t
a
o t
速度 超前位移
而落后于加速度
v 2/?
2/?
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第 17页 共 27页
初相,
0?
描述 t = 0时刻运动状态，由初始条件确定。
由 t = 0时
00
00
s in
co s
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?
Av
Ax
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A
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A
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c o s
?
?
?
000 s i nco s ??? 的符号决定大小和由
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m
h
m
k
[例 1] 教材 P.113 例 2(P.40 13-8)
解, 振动系统为（ 2 m,k)
?
,2 mk??
k
mT 22??
0?t
0v?0x
确定初始条件：以物块和平板共同运动时刻为 t = 0
0
0
22
0
mvghm
k
mg
x
?
???
0
20
?? ghv
{ 有,
已知,k,m,h,完全非弹性碰撞
求,T,A,
0?
以平衡位置为坐标原点，向下为正。
x
o
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第 19页 共 27页
πa r c t gπ)(a r c t g
0
0
0 ????? mg
kh
x
v
?
?
mg
kh
k
mg
k
m g h
k
gmvxA ?????? 1
2
22
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得,
又,
0s i n
0c o s
00
0
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???
??
??
?
Av
A
x
0s in 0 ??
0?
} 为三象限角
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[例 2] 由振动曲线决定初相
? Ax 00 a r c c o s?? 为四象限角
(1)
0s in 0 ??
0s i n
0c o s
00
0
0
???
??
??
?
Av
A
x
t 0
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t0
A 0v?
(2) 与标准余弦函数 的振动曲线比较 标x
)
2
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2
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t
T
Ax
t
T
Ax
?
?
?
?
??
标
00 ???? t??
的振动超
前 振动 x标
x
??
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练习 由振动曲线写出初相 (教材 P.38 13.6)
o t
?
T87
o t
?
T85
( 1) ??
4
5
0 ??
或 ?
4
3?
（ 2） ?47? 或 4??
)2c o s ( 0??? ?? tTA
00
00
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第 22页 共 27页
o t
?
2A （ 3）
3
??
o t
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2A
3
?（ 4）
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第 23页 共 27页
三、旋转矢量法
写出质点 m 以角速率 ? 作半径 A 的圆周匀速
运动的参数方程
思考,
x,y 方向分运动均为简谐振动
)c o s ( 0?? ?? tAx
)s i n ( 0?? ?? tAy
x
y
o
m A
?
0?
建立旋转矢量 与谐振动的对应关系 A?
ω
(ωt +?0 ) x
M
O
P
A?
M 点在 x 轴上投影 P点的运动 规律,
)c o s ( 0?? ?? tAx
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第 24页 共 27页
模 振幅 A
角速度 角频率 ?
旋转周期 振动周期 T=2?/ ?
上的投影 在 Ox A ?
上的投影 端点速度在 Ox A ?
上的投影 端点加速度在 Ox A ?
位移
速度
加速度
x =Acos(?t+? 0)
v =- ? Asin(?t+? 0)
a =- ? 2Acos(?t+? 0)
旋转矢量 简谐振动 符号或表达式 A?
初相 ? 0 t=0时,与 Ox夹角 A?
相位 ?t+? 0 t时刻,与 Ox夹角 A?
旋转矢量 与谐振动的对应关系 A?
P
ω
(ωt +?0 ) x
M
O
A?
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第 25页 共 27页
旋转矢量法优点,
直观地表达谐振动的各特征量
便于解题,特别是确定初相位
便于分析振动合成
由 x,v 的符号确定 所在 的象限,A?
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第 26页 共 27页
作 x = -12cm处的旋转矢量 A?
s5.0
6
1
π2
6
π2
m i n
m i n
???
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??
Tt
T
t
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)cm(x24 O
解, 作 t = 0时刻的旋转矢量 A?
12
A?
-12
A?
练习
求, 质点运动到 x = -12 cm处所需最短时间。
已知一质点做简谐振动，振幅 A = 24cm,周期 T =
3s。 t = 0时 。 0
0 ?vcm,120 ?x
P.142 5-10 (P.39 13-6)
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第 27页 共 27页
利用旋转矢量法作 x – t 图,
x x/cm
T/s
t=0
O O T
A?
12
Tt?
6
Tt? 2
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