同
学
们
好
大学物理
第 2页 共 32页
上讲,
简谐振动
特征量
运动方程
)c o s ( 0?? ?? tAx
判据 1
判据 2
判据 3
kxF ??
0dd 22
2
?? xt x ?
旋转矢量法描述
A,?,?0
2
2
2
2
2
02
0 ??
vxvxA ???? )(a r c t g
0
0
0 x
v
?
? ??
m
k??
大学物理
第 3页 共 32页
四、孤立谐振动系统的能量
)(s in21)(s in2121 02202222k ????? ????? tkAtmAmvE
恒量???? 2kp 21 kAEEE
孤立谐振动系统机械能守恒
?水平放置的弹簧振子
{
)s i n (
)c o s (
0
0
???
??
???
??
tAv
tAx以平衡位置为坐标原点
不计振动传播带来的能量损失 —— 辐射阻尼
不计摩擦产生的热损耗 —— 摩擦阻尼
孤立
)(c o s2121 0222p ?? ??? tkAkxΕ
大学物理
第 4页 共 32页
E–t 曲线
倍的变化频率为 2,pk xEE
彼此变化步调相反pk,EE
E –x 曲线
A -A
Ep
E
Ek
x
E
O
大学物理
第 5页 共 32页
? 竖直悬挂的弹簧振子
以弹簧原长处为重力势能、弹性势能零点
以平衡位置为坐标原点
)()(21 )020p xxmgxxkE ????
)()(21 0020 xxkxxxk ????
2
0
2
2
1
2
1 kxkx ??
2
0
22
KP 2
1
)
2
1
2
1
( kxmvkxEEE ????? 恒量???
2
0
2
2
1
2
1 kxkA
k
m
EP=0 x0
mg-kx0=0
x O
x
2
K 2
1 mvE ?
大学物理
第 6页 共 32页
恰当选择零势点，可去掉第二项。
222
pk 2
1
2
1
2
1 kAkxmvEEE ?????
恒量??? 202 2121 kxkAE
以平衡位置为 坐标原点 和 势能零点
如何选？
k
m
x0
mg-kx0=0
x O
x
xkxkxxxk 02020 21)(21 ????
2
2
1 kx?
m g xkxxxkE ??????? ??? 2020p 21)(21
EP=0
EP=0
大学物理
第 7页 共 32页
注意,
只要以平衡位置为坐标原点和零势点
2
p 2
1 kxE ?
准弹性势能,
（包括重力势能、弹性势能）
2
2
1 kAE ? 振动系统总能量
大学物理
第 8页 共 32页
五、简谐振动的合成
例如,
0dd 22
2
?? xt x ?
一、关于叠加原理的一般概念
物理量满足叠加原理的条件是该物理量遵从线性
微分方程,
)(dddd 1
1
1 xypx
yp
x
y
nn
n
n
n
???????? ?
?
特点,是方程的解 若
也是方程的解 则
21,yy
2211 yCyCy ??
线性微分方程的这个性质表明 方程的解符合叠加原理
大学物理
第 9页 共 32页
简谐振动遵从叠加原理
合成,矢量合成的平行四边形法则
分解,傅立叶级数展开
是方程的解（若 )(),21 txtx
也是方程的解则 )()( 2211 txctxcx ??
自然界中存在大量用非线性方程描述的物理现象：
强振动，非线性波，激光等均不遵从叠加原理。
注意,
0dd 22
2
?? xt x ?
表明 方程的解 x 符合叠加原理
大学物理
第 10页 共 32页
二、同一直线上谐振动的合成
)c o s (2 12212221 ?? ???? AAAAA
2211
2211
c o sc o s
s i ns i n
a r c t g
??
??
?
AA
AA
?
?
?
1A
?
2A
? ?
?
1?
2?
xO
1,同频率 )c o s ( 111 ?? ?? tAx )co s (
222 ?? ?? tAx
A?
21 AAA
??? ??
?
?
)c o s (
21
?? ??
??
tA
xxx
合振动仍为该直线上同
一频率的谐振动
1x
2x
x
大学物理
第 11页 共 32页
讨论 合振动的强弱与两分振动相位差的关系 讨论
)c o s (2 12212121 ?? ???? AAAAA
???? 12 ???
?k2
?)12( ?k
21m a x AAA ??
21m i n AAA ??
)2,1,0( ??????k
x O
1A
?
2A
?
21 AAA
??? ??
x O
1A
?
2A
?
21 AAA
??? ??
大学物理
第 12页 共 32页
多个同一直线上,同频率谐振动的合成 ——多边形法则
nAAAA
???? ???????
21
1A
?
2A
?
nA
?
A?特例,
0m in ?A封闭多边形,
1A
?
2A
?
nA
?
A?
nAAAA ??????? 21m a x
直线,
A?
1A
?
2A
?
nA
?
大学物理
第 13页 共 32页
练习,
cm04.5
6
c o s2 12212
?
???
?
AAAAA
?co s2 222221 AAAAA ???
?47.52
2a r c c o s 2
22
2
2
1 ????
AA
AAA?
?47.82
6 ????
???
已知,
21 AAA
??? ?? cm81 ?A cm10?A
61 ?相差与 AA
??
求,
??的相差与及 212 AAA ??
解,作平行四边形如图
?
6
?o
1A
?
2A
? A?
大学物理
第 14页 共 32页
2,同方向不同频率简谐振动的合成
x
1A
?
2A
?
A?
1?
2? 1?
2?
)c o s (
)c o s (
2222
1111
??
??
??
??
tAx
tAx
21 ?? ?
平行四边形形状变化
21 AA
?? ? 大小变化，不表示谐振动。
谐振动 谐振动
设,
21 AAA ??
)2c os ()2c os (2 121221 ????? ??????? ttAxxx
??? ?? 21
大学物理
第 15页 共 32页
)2c os ()2c os (2 121221 ????? ??????? ttAxxx
第一项缓慢变化，第二项快速变化：“拍”
调制
合振动 x,振幅 )2co s (2 12 tA ?? ?
角频率
t2 12 ?? ?
近似的谐振动
讨论, (1) 均很大，
21,??
但彼此相差很小,
22
1212 ???? ????
振幅随时间变化 谐振动
大学物理
第 16页 共 32页
可用音叉演示“拍”现象 (演示实验室 )
大学物理
第 17页 共 32页
调制频率
载频
拍频
2
12 ?? ?
2
12 ?? ?
12 vvv ??
)2c os ()2c os (2 121221 ????? ??????? ttAxxx
每多转一周比 12 AA ??
合振动出现一次最强
O 1A
?
2A
?
1?
2?
大学物理
第 18页 共 32页
重要
意义 非谐振动
{ 周期性
非周期性 }
? 谐振动
?
研究一切振动的基础
讨论, (2) 当
2
1
?
? 可化为整数比时，合振动为周期性振动,
否则合振动为非周期振动 。
大学物理
第 19页 共 32页
讨论,(3) 频谱分析
任何一个振动都可以分解为一系列谐振动
min?基频,分振动中频率最小值
谐频,? 为基频整数倍的成分
主频,分振动中振幅最大的成分
频谱,??A 曲线
利用 傅立叶分析 求得所包含的
各个谐振动的频率和振幅
数学方法,
任何一个周期性函数都可以分解为一系列频率为基频
整数倍的简谐函数 ——傅立叶分解
? ?? ??? ?
? 1
0 )c o s (
2)( n nn tnA
Atf ??
大学物理
第 20页 共 32页
)7c o s715c o s513c o s31( c o s4 ???????? ttttAx ?????
“方波”的分解 例,
大学物理
第 21页 共 32页
周期性振动的频谱是分立的线状谱
非周期性振动的频谱是连续谱
大学物理
第 22页 共 32页
三, 互相垂直的谐振动合成
(1) 两个分振动频率相同，振动方向互相垂直
? ? ? ?12212
21
2
2
2
2
1
2
s i nc o s2,???? ?????
AA
xy
A
y
A
xt消去
一般情况下为椭圆方程
? ?
? ?22
11
c o s
c o s
??
??
??
??
tAy
tAx
大学物理
第 23页 共 32页
几种不同相差情况下合运动轨迹
大学物理
第 24页 共 32页
(2) 两个分振动振动方向互相垂直，频率成简单整数比
合运动具有严格的
周期性和稳定、封
闭的轨道。
——利萨如图形
大学物理
第 25页 共 32页
第二节 弹性系统的振动（自学）
一、谐振子的自由振动
0
d
d 2
2
2
?? x
t
x ?
恒量???? 2kp 21 kAEEE
动力学特征
运动学特征
运动方程
能量特征
kxF ??
)co s ( 0?? ?? tAx
一般情形,
摩擦阻力
辐射阻力
机械能转化为热能而损失掉
机械振动带动邻近质点振动辐射能量
大学物理
第 26页 共 32页
二、阻尼振动
kxf ??弹 txvf dd?? ????阻尼
令
m
k?
0?
m
?? ?2
阻尼因子
2
2
d
d
d
d
t
xm
t
xkx ??? ?
0
d
d2
d
d 2
02
2
??? x
t
x
t
x ??
特征方程 2
0
2 2 ???? ??
特征根 2
0
2 ???? ????
大学物理
第 27页 共 32页
1,阻尼振动 2
0
2 ?? ?
)c o s (e0 ??? ?? ? tAx t方程的解为,
特别 称为小阻尼 2
02 ?? ??
22
0 ??? ?? 22
0
π2
?? ?
?T
A0
T
t
x
大学物理
第 28页 共 32页
2,过阻尼 2
02 ?? ?
tt ccx )(1
1
)(1
1
202202 ee ?????? ???? ??
过阻尼
t
x
阻尼
大学物理
第 29页 共 32页
3,临界阻尼 2
0
2 ?? ?
ttccx ???? e)(
21
过阻尼
t
x
阻尼
临界阻尼
大学物理
第 30页 共 32页
二、简谐振子的受迫振动
tFF ?c o s0?
力幅 强迫力的角频率
动力学方程,
2
2
0 d
dc o s
d
d
t
xmtF
t
xkx ???? ??
令
m
Fh
mm
k 02
0,2,???
???
得 thx
t
x
t
x ??? c o s
d
d2
d
d 2
02
2
???
大学物理
第 31页 共 32页
稳定时的振幅为,
求 A 的极值得,
22222
0 4)( ???? ??
? hA
22
0 2 ??? ??r
当强迫力的圆频率
为 时振幅最大，
称为 位移共振,简称
共振 。
r?
)c o s ()c o s ( 02200 ?????? ????? ? tAteAx t
随时间很快衰减为零 稳定时的振动方程
在达到稳定态时，系统振动频率等于强迫力的频率。
A
?
β?0
β较小
O ?0
β较大
大学物理
第 32页 共 32页
TACOMA 大桥
共振特例
学
们
好
大学物理
第 2页 共 32页
上讲,
简谐振动
特征量
运动方程
)c o s ( 0?? ?? tAx
判据 1
判据 2
判据 3
kxF ??
0dd 22
2
?? xt x ?
旋转矢量法描述
A,?,?0
2
2
2
2
2
02
0 ??
vxvxA ???? )(a r c t g
0
0
0 x
v
?
? ??
m
k??
大学物理
第 3页 共 32页
四、孤立谐振动系统的能量
)(s in21)(s in2121 02202222k ????? ????? tkAtmAmvE
恒量???? 2kp 21 kAEEE
孤立谐振动系统机械能守恒
?水平放置的弹簧振子
{
)s i n (
)c o s (
0
0
???
??
???
??
tAv
tAx以平衡位置为坐标原点
不计振动传播带来的能量损失 —— 辐射阻尼
不计摩擦产生的热损耗 —— 摩擦阻尼
孤立
)(c o s2121 0222p ?? ??? tkAkxΕ
大学物理
第 4页 共 32页
E–t 曲线
倍的变化频率为 2,pk xEE
彼此变化步调相反pk,EE
E –x 曲线
A -A
Ep
E
Ek
x
E
O
大学物理
第 5页 共 32页
? 竖直悬挂的弹簧振子
以弹簧原长处为重力势能、弹性势能零点
以平衡位置为坐标原点
)()(21 )020p xxmgxxkE ????
)()(21 0020 xxkxxxk ????
2
0
2
2
1
2
1 kxkx ??
2
0
22
KP 2
1
)
2
1
2
1
( kxmvkxEEE ????? 恒量???
2
0
2
2
1
2
1 kxkA
k
m
EP=0 x0
mg-kx0=0
x O
x
2
K 2
1 mvE ?
大学物理
第 6页 共 32页
恰当选择零势点，可去掉第二项。
222
pk 2
1
2
1
2
1 kAkxmvEEE ?????
恒量??? 202 2121 kxkAE
以平衡位置为 坐标原点 和 势能零点
如何选？
k
m
x0
mg-kx0=0
x O
x
xkxkxxxk 02020 21)(21 ????
2
2
1 kx?
m g xkxxxkE ??????? ??? 2020p 21)(21
EP=0
EP=0
大学物理
第 7页 共 32页
注意,
只要以平衡位置为坐标原点和零势点
2
p 2
1 kxE ?
准弹性势能,
（包括重力势能、弹性势能）
2
2
1 kAE ? 振动系统总能量
大学物理
第 8页 共 32页
五、简谐振动的合成
例如,
0dd 22
2
?? xt x ?
一、关于叠加原理的一般概念
物理量满足叠加原理的条件是该物理量遵从线性
微分方程,
)(dddd 1
1
1 xypx
yp
x
y
nn
n
n
n
???????? ?
?
特点,是方程的解 若
也是方程的解 则
21,yy
2211 yCyCy ??
线性微分方程的这个性质表明 方程的解符合叠加原理
大学物理
第 9页 共 32页
简谐振动遵从叠加原理
合成,矢量合成的平行四边形法则
分解,傅立叶级数展开
是方程的解（若 )(),21 txtx
也是方程的解则 )()( 2211 txctxcx ??
自然界中存在大量用非线性方程描述的物理现象：
强振动，非线性波，激光等均不遵从叠加原理。
注意,
0dd 22
2
?? xt x ?
表明 方程的解 x 符合叠加原理
大学物理
第 10页 共 32页
二、同一直线上谐振动的合成
)c o s (2 12212221 ?? ???? AAAAA
2211
2211
c o sc o s
s i ns i n
a r c t g
??
??
?
AA
AA
?
?
?
1A
?
2A
? ?
?
1?
2?
xO
1,同频率 )c o s ( 111 ?? ?? tAx )co s (
222 ?? ?? tAx
A?
21 AAA
??? ??
?
?
)c o s (
21
?? ??
??
tA
xxx
合振动仍为该直线上同
一频率的谐振动
1x
2x
x
大学物理
第 11页 共 32页
讨论 合振动的强弱与两分振动相位差的关系 讨论
)c o s (2 12212121 ?? ???? AAAAA
???? 12 ???
?k2
?)12( ?k
21m a x AAA ??
21m i n AAA ??
)2,1,0( ??????k
x O
1A
?
2A
?
21 AAA
??? ??
x O
1A
?
2A
?
21 AAA
??? ??
大学物理
第 12页 共 32页
多个同一直线上,同频率谐振动的合成 ——多边形法则
nAAAA
???? ???????
21
1A
?
2A
?
nA
?
A?特例,
0m in ?A封闭多边形,
1A
?
2A
?
nA
?
A?
nAAAA ??????? 21m a x
直线,
A?
1A
?
2A
?
nA
?
大学物理
第 13页 共 32页
练习,
cm04.5
6
c o s2 12212
?
???
?
AAAAA
?co s2 222221 AAAAA ???
?47.52
2a r c c o s 2
22
2
2
1 ????
AA
AAA?
?47.82
6 ????
???
已知,
21 AAA
??? ?? cm81 ?A cm10?A
61 ?相差与 AA
??
求,
??的相差与及 212 AAA ??
解,作平行四边形如图
?
6
?o
1A
?
2A
? A?
大学物理
第 14页 共 32页
2,同方向不同频率简谐振动的合成
x
1A
?
2A
?
A?
1?
2? 1?
2?
)c o s (
)c o s (
2222
1111
??
??
??
??
tAx
tAx
21 ?? ?
平行四边形形状变化
21 AA
?? ? 大小变化，不表示谐振动。
谐振动 谐振动
设,
21 AAA ??
)2c os ()2c os (2 121221 ????? ??????? ttAxxx
??? ?? 21
大学物理
第 15页 共 32页
)2c os ()2c os (2 121221 ????? ??????? ttAxxx
第一项缓慢变化，第二项快速变化：“拍”
调制
合振动 x,振幅 )2co s (2 12 tA ?? ?
角频率
t2 12 ?? ?
近似的谐振动
讨论, (1) 均很大，
21,??
但彼此相差很小,
22
1212 ???? ????
振幅随时间变化 谐振动
大学物理
第 16页 共 32页
可用音叉演示“拍”现象 (演示实验室 )
大学物理
第 17页 共 32页
调制频率
载频
拍频
2
12 ?? ?
2
12 ?? ?
12 vvv ??
)2c os ()2c os (2 121221 ????? ??????? ttAxxx
每多转一周比 12 AA ??
合振动出现一次最强
O 1A
?
2A
?
1?
2?
大学物理
第 18页 共 32页
重要
意义 非谐振动
{ 周期性
非周期性 }
? 谐振动
?
研究一切振动的基础
讨论, (2) 当
2
1
?
? 可化为整数比时，合振动为周期性振动,
否则合振动为非周期振动 。
大学物理
第 19页 共 32页
讨论,(3) 频谱分析
任何一个振动都可以分解为一系列谐振动
min?基频,分振动中频率最小值
谐频,? 为基频整数倍的成分
主频,分振动中振幅最大的成分
频谱,??A 曲线
利用 傅立叶分析 求得所包含的
各个谐振动的频率和振幅
数学方法,
任何一个周期性函数都可以分解为一系列频率为基频
整数倍的简谐函数 ——傅立叶分解
? ?? ??? ?
? 1
0 )c o s (
2)( n nn tnA
Atf ??
大学物理
第 20页 共 32页
)7c o s715c o s513c o s31( c o s4 ???????? ttttAx ?????
“方波”的分解 例,
大学物理
第 21页 共 32页
周期性振动的频谱是分立的线状谱
非周期性振动的频谱是连续谱
大学物理
第 22页 共 32页
三, 互相垂直的谐振动合成
(1) 两个分振动频率相同，振动方向互相垂直
? ? ? ?12212
21
2
2
2
2
1
2
s i nc o s2,???? ?????
AA
xy
A
y
A
xt消去
一般情况下为椭圆方程
? ?
? ?22
11
c o s
c o s
??
??
??
??
tAy
tAx
大学物理
第 23页 共 32页
几种不同相差情况下合运动轨迹
大学物理
第 24页 共 32页
(2) 两个分振动振动方向互相垂直，频率成简单整数比
合运动具有严格的
周期性和稳定、封
闭的轨道。
——利萨如图形
大学物理
第 25页 共 32页
第二节 弹性系统的振动（自学）
一、谐振子的自由振动
0
d
d 2
2
2
?? x
t
x ?
恒量???? 2kp 21 kAEEE
动力学特征
运动学特征
运动方程
能量特征
kxF ??
)co s ( 0?? ?? tAx
一般情形,
摩擦阻力
辐射阻力
机械能转化为热能而损失掉
机械振动带动邻近质点振动辐射能量
大学物理
第 26页 共 32页
二、阻尼振动
kxf ??弹 txvf dd?? ????阻尼
令
m
k?
0?
m
?? ?2
阻尼因子
2
2
d
d
d
d
t
xm
t
xkx ??? ?
0
d
d2
d
d 2
02
2
??? x
t
x
t
x ??
特征方程 2
0
2 2 ???? ??
特征根 2
0
2 ???? ????
大学物理
第 27页 共 32页
1,阻尼振动 2
0
2 ?? ?
)c o s (e0 ??? ?? ? tAx t方程的解为,
特别 称为小阻尼 2
02 ?? ??
22
0 ??? ?? 22
0
π2
?? ?
?T
A0
T
t
x
大学物理
第 28页 共 32页
2,过阻尼 2
02 ?? ?
tt ccx )(1
1
)(1
1
202202 ee ?????? ???? ??
过阻尼
t
x
阻尼
大学物理
第 29页 共 32页
3,临界阻尼 2
0
2 ?? ?
ttccx ???? e)(
21
过阻尼
t
x
阻尼
临界阻尼
大学物理
第 30页 共 32页
二、简谐振子的受迫振动
tFF ?c o s0?
力幅 强迫力的角频率
动力学方程,
2
2
0 d
dc o s
d
d
t
xmtF
t
xkx ???? ??
令
m
Fh
mm
k 02
0,2,???
???
得 thx
t
x
t
x ??? c o s
d
d2
d
d 2
02
2
???
大学物理
第 31页 共 32页
稳定时的振幅为,
求 A 的极值得,
22222
0 4)( ???? ??
? hA
22
0 2 ??? ??r
当强迫力的圆频率
为 时振幅最大，
称为 位移共振,简称
共振 。
r?
)c o s ()c o s ( 02200 ?????? ????? ? tAteAx t
随时间很快衰减为零 稳定时的振动方程
在达到稳定态时，系统振动频率等于强迫力的频率。
A
?
β?0
β较小
O ?0
β较大
大学物理
第 32页 共 32页
TACOMA 大桥
共振特例
