同学们好！
大学物理
第 2页 共 37页
1910年诺贝尔物理学奖授予荷兰阿姆斯
特丹大学的范德瓦尔斯，以表彰他对气
体和液体的状态方程所作的工作。
19世纪末，分子运动逐步形成一门有严
密体系的精确科学。与此同时实验也越
来越精，人们发现绝大多数气体的行为
与理想气体的性质不符。
范德瓦尔斯
(Johannes Diderik
van Waals,荷兰，
1837～ 1923),
? ?
? ? ??
?
? 813
3
2
2
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
?
?
RTbV
V
a
P
RT
M
m
PV
（ 1873年）
（ 1880年）
大学物理
第 3页 共 37页
1911年诺贝尔物理学奖授予德国乌尔兹堡大学的维
恩 (WilhelmWien,1864-1928),以表彰他发现了热辐
射定律。
热辐射是 19世纪发展起来的一门新学科，它的研究
得到了热力学和光谱学的支持，同时用到了电磁学
和 光学的新技术，因此发展很快。到 19世纪末，
这个领域已经达到如此顶峰，以至于量子论这个婴
儿注定要从这里诞生。
“他的不朽的业绩在于引导我们走到了量子物理学
的大门口”。（劳厄）
大学物理
第 4页 共 37页
1912年 诺贝尔物理学
奖授予瑞典德哥尔摩
储气器公司的达伦，
以表彰他分明用于灯
塔和浮标照明的储气
器的自动调节器。
达伦
(Nils Gustaf,瑞典，
1869～ 1937)
大学物理
第 5页 共 37页
第三节 角动量守恒定律
一、角动量
问题, 将一绕通过质心的固定轴转动的圆盘视为一个质点系，
则由于该系统质心速度为零，所以，系统总动量为零。但系统有
机械运动。 说明不能用动量来量度转动物体的机械运动量。
引人与动量 对应的角量 —— 角动量 (动量矩 ) p? L?
当质点作曲线运动或对某点有转动趋势时
m v
?L
?
r?O
O
大学物理
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?
?
?
?
?
?
?
??
??
?
?
?
12
smkg
s in
单位：
服从右手螺旋法则。
组成的平面和方向：垂直于
大小：
pr
prr m vL
L
??
?
?
1,质点的角动量
vmrprL ????? ???? L?
?r
?x
y
z
m
r?
p?
O
质点对某参考点的角动量反映质点绕该参考点旋转运动的强弱。
??
?
???
? Lppr
LO
LO
m
..
0
0
则：大小相同、若
为参考点：以
为参考点：以
作直线运动设
?
?
o
o?
r?
r??
p?
?
m ?p
大学物理
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?
?
?
???
???
ici
ici
vvv
rrr
???
???
?
? ? ii
i ic
vmrrL ???? ????? ?
? ? ? ?????
i i i
iiiiii vmrprLL
??????
2.质点系角动量
系统内所有质点对同一参考点角动量的 矢量和
o
ip
?
im
?
ir
?
c
cr
? ir
??
? ?
ii
i
ici
i i
iiic
ici
i i
iiic
vmrvmrvmr
vvmrvmr
?????????
???????
?? ?
? ?
??????
?????
大学物理
第 8页 共 37页
自旋轨道 LLvmrvMrL ii
i
icc
???????
???????? ?
:轨道L? 描述质点系整体绕参考点的旋转运动
:自旋L?
描述质点系绕质心的旋转运动,
与参考点的选择无关。
自旋L
?
轨道L
?
L?轨道L?
自旋L
?
大学物理
第 9页 共 37页
3,定轴转动刚体的角动量
??
im
z
o
转轴,角速度
转轴与转动平面交点
刚体上任一质点
?
?
? ??
?
?
?
?
?
沿方向
大小
:
,2iiiiiio
io
rmvmrL
L
??? 2iiio rmL ?即
mi对 O的角动量,
iiiio vmrL
??? ??
iv
?
im
o r
?
??
转动
平面
z
i
大学物理
第 10页 共 37页
刚体定轴转动的特点,
(1) 质点均在垂直于转轴的转动平面内，作半径不
同的圆周运动。
(2) 各质点的角速度 大小相等，且均沿轴向。 ??
定义, 质点 mi 对 O点的角动量的大小，称为质点
对转轴的角动量。
?2iiiiiiz rmvmrL ??? ??
刚体对 z轴的总角动量为
??? JmrmrLL
i
iii
i
i
i
izz ??? ????
22
??
i
ii mrJ
2
质点系的转动惯量
大学物理
第 11页 共 37页
vmrL o ??? dd ??
?2ddd mrvmrL z ??? ??
刚体对 z 轴的总角动量为
??
?
Jmr
mrLL zz
???
?? ??
d
dd
2
2
对质量连续分布的刚体,
连续分布体的转动惯量
mrJ d2??
v?
md
o r?
?
z
大学物理
第 12页 共 37页
二、刚体对轴的转动惯量
1,定义
??
i
ii mrJ
2
刚体对定轴的转动惯量等于其各质点的质量与该质点
到转轴距离的平方之积求和。
若质量连续分布
mrJ d2??
2,物理意义 ---- 描述物体转动惯性的大小
比较,
vmp ?? ?
m ---- 描述质点惯性的大小
?JL ? J ---- 描述刚体转动惯性的大小
?
?
?
?
?
?
线分布
面分布
体分布
l
S
V
m
d
d
d
d
?
?
?
大学物理
第 13页 共 37页
3,计算
刚体的总质量 (同分布 M>m,JM>Jm)
影响 J 的因素
练习
1.由长 l 的轻杆连接的质点如图所示，求质点系对过
A垂直于该平面的轴的转动惯量。
l
ll
l
A
m m2 m3
m4
m5
222 )2)(54()2(32 lmmlmmlJ ????
??
i
ii mrJ
2
刚体质量分布 (同 m,J中空 >J实 )
转轴的位置
232 ml?
思考,A移至 2m处 J=?
大学物理
第 14页 共 37页
2,一长为 L的细杆，质量 m均匀分布,求该杆对垂直
于杆，分别过杆的中点和一端端点的轴的转动惯量。
解, (1) 轴过中点
2
2
2
2
32
3
1d
L
L
L
L
x
L
mx
L
mx
??
?? ?
mxmrJ dd 22? ???
2
33
12
1
883
1 mLLL
L
m ?
???
?
???
? ??
Lo x
md x
(2) 轴过一端端点
? ??? mxmrJ dd 22
23
3
1
03
1 mLLx
L
m ??
xLMx
L
d
0
2??
2L2L?
o
xmd
x
大学物理
第 15页 共 37页
3,求质量 m,半径 R 的圆环对中心垂直轴的转动
惯量。
解, 圆环上取微元 dm
?? mrJ d2 ?? m mR 02 d
mRl
R
mRJ R 2π2
0
2 d
π2
?? ?
2mR?
J1 = mR2+m1R2
22
2 π2 xRR
mmRJ ???
思考 1,环上加一质量为 m1的质点,J1 =?
R O
dm m1
思考 2,环上有一个 ?x的缺口,J2=?
?x
R O
大学物理
第 16页 共 37页
4,求质量 m,半径 R 的均匀圆盘对中心垂直轴的转
动惯量。
R
O r
dr
解, 圆盘上取半径为 r宽度 dr的圆环
作为质量元 dm
mrJmRJ dd 22 ???环
Sm dd ?? rr
R
m dπ2
π 2
?
rr
R
mrJ dπ2
π 2
2 ?? ?
rr
R
m R d2
0
3
2 ??
2
2
1 mR?
大学物理
第 17页 共 37页
5,求质量 m,半径 R 的球体对直径的转动惯量。
解, 球体上取半径为 r厚度 dx
的圆盘作为质量元 dm
mrJmRJ d21d21 22 ???盘
Vm dd ?? xr
R
m dπ
π)34(
2
3?
xr
R
mJ R
R
dπ
π)34(2
1 4
3?
?
?
2
5
2 mR?
教材, 球面 ? 球体的求解方法
R o
r
x
xxRRmR
R
d)()34(21 2223 ?? ?
?
ππ
大学物理
第 18页 共 37页
注意, 对同轴的转动惯量才具有可加减性。
正交轴定理
yxz JJJ ??
对平面刚体
y
x
z
o
证明见教材 101页
平行轴定理
CD
d
m
2mdJJ
CD ??
大学物理
第 19页 共 37页
练习 求长 L、质量 m 的均匀杆对 z 轴的转动惯量。
2
43
4
22
48
7dd mLll
L
mmlJ L
L
z ??? ??
?
解一,
解三,
2
2
2
2
48
7
412
1
4
mLLmmLLmJJ Cz ??
?
??
?
????
?
??
?
???
解二,
2
22
48
7
4
3
4
3
3
1
443
1 mLLmLmJJJ
OBOAz ???
??
?
???
?
??
?
????
C
A
4L
m B
o
z
L
大学物理
第 20页 共 37页
教材 P.102 (P.93) 一些均匀刚体的转动惯量表
大学物理
第 21页 共 37页
三、角动量的时间变化率 力矩
1.质点角动量的时间变化率
t
prp
t
rpr
tt
L
d
d
d
d)(
d
d
d
d ??????
?
??????
prL ??? ??
Fr
t
p
r
t
L
vmvpvp
t
r
????
?
?????
?
????
??????
d
d
d
d
0
d
d
所以
因为
质点位矢 合力
Fr
t
L ??
?
??
d
d
r?
m
F?
r?O
Fr ???
大学物理
第 22页 共 37页
2,力矩
FrM ??? ??
服从右手螺旋法则
组成的平面和垂直于方向：
大小：
Fr
FrFd
??
?s i n?
定义,
1) 对参考点的力矩
Fr
t
L ??
?
??
d
d
FdrFFr ??? ?s in??
大小,
方向,服从右手螺旋法则
r?
F?
?
O
d
m
大学物理
第 23页 共 37页
2) 对轴的力矩
?
?
????
?????
FrFr
FFrFrM
????
??????
//
// )(
第一项
//1 FrM
??? ??
方向垂直于轴，其效果是改变
轴的方位，在定轴问题中，与
轴承受到的约束力矩平衡。
第二项
??? FrM z
???
方向平行于轴，其效果是改变绕轴转动状态，称为
力对轴的矩,表为代数量,
???? FrM z
??
F?
r?
o m
z
//F
?
?F
?
d
zM
轴与转动平面的交点 O到力作用点的位矢,r?
:?F? 力在转动平面内的分量
大学物理
第 24页 共 37页
xyz yFxFM ??
即,
? ? ? ? ? ?kyFxFjxFzFizFyF
FFF
zyx
kji
FrM xyzxyz
zyx
???
???
???
?????????
???? FrM z
?? 力对 O点的力矩在 z轴方向的分量
注意,
1,力矩求和只能对同一参考点 (或轴 )进行。
???? ??? ooo MMM 21
???? zzz MMM 21
矢量和
代数和
?
?
?
?
0
0
M
F
?
?
?
?
?
?
0
0
M
F
?
?F?
F?
O
F? F?
2,
O
大学物理
第 25页 共 37页
3,质点系角动量的时间变化率
对 个质点 组成的质点系，由 N
Nmmm,,,21 ?
t
LFrM
d
d
??
?? ??? 可得
内外
内外
内外
NN
N
MM
t
L
MM
t
L
MM
t
L
??
?
??
??
?
??
?
??
??
??
d
d
d
d
d
d
22
2
11
1
两边求和得
? ?
?
??
?
i i
ii
i
i
MM
t
L
L
t
内外
??
?
?
d
d
d
d
大学物理
第 26页 共 37页
于是,
外外 ii FrMt
L ???
?
??? ?
id
d
质点系总角动量的时间变化率等于质点系所受外力
矩的矢量和。
? ?? ???
i i
ii
i
i MMt
LL
t 内外
????
d
d
d
d
注意, 合外力矩 是质点系所受各外力矩的
矢量和，而非合外力的力矩。 外M
?
由图可知
0??
i
iM 内
?
1?
2?
12f
?
21f
?
1m
2m
1r?
2r?
d
O
大学物理
第 27页 共 37页
例 1,质量为 m，长为 L的细杆在水平粗糙桌面上绕过
其一端的竖直轴旋转，杆与桌面间的摩擦系数为 ?，
求摩擦力矩。
1) 杆的质量均匀分布
2) 杆的密度与离轴距离成正比
解 1),
m g Lrg
L
mrMM L ??
2
1dd
0
????? ??
o
?
z
md
f?d
r?
r
L
mm dd ?
mgf dd ??
frM dd ??
大学物理
第 28页 共 37页
解 2),
rkrrm ddd ?? ?
设杆的线密度 kr??
2
2
0
2
2
1
dd
L
m
k
kLrrkmm
L
?
??? ??
得
由
rrL mgmgf d2dd 2?? ??
frM dd ??
m g Lrr
L
mgMM L ??
3
2d2d
0
2
2 ????? ??
o
?
z
md
f?d
r?
大学物理
第 29页 共 37页
实际意义
f?f??
?
r
Ro
半径 R,质量 m
的匀质圆盘，与桌
面间摩擦系数 μ，
求摩擦力矩
等效
简化模型,
长 R,线密度 ? = kr
总质量 m 的细杆
o
?
z
md
f?d
r?
大学物理
第 30页 共 37页
四、角动量定理
1,角动量定理的微分形式
(1) 质点的角动量定理
MFrtprptrprttL
??????????
????????? dddd)(ddddprL
??? ??
质点角动量的时间变化率等于质点所受的合力矩
(2) 质点系 的角动量定理
外外 ii FrMt
L ???? ??? ?
id
d? ?? ???
i i
ii
i
i MMt
LL
t 内外
????
d
d
d
d
0??
i i
M 内?
质点系总角动量的时间变化率等于质点系所受外力
矩的矢量和。内力矩只改变质点系总角动量在系内的
分配，不影响总角动量。
大学物理
第 31页 共 37页
(3) 定轴刚体的角动量定理
比较
?
?
?
?
?
?JM
amF
z
??
由
外Mt
L ?
?
?dd
??? JtJJttLM zz ???? dd)(dddd
?? JmrL
i
iiz ? ??
2
得
J 是物体转动惯性的量度
m 是物体平动惯性的量度
改变物体平动状态的原因
zM
F?
改变物体绕轴转动状态的原因
?JM z ? 刚体定轴转动定律
大学物理
第 32页 共 37页
例, 一定滑轮的质量为 m，半径为 r ; 一轻绳两边分
别系 m1和 m2两物体挂于滑轮上，绳不伸长，绳与滑轮
间无相对滑动。不计轴的摩擦，初角速度为零，求滑
轮转动角速度随时间变化的规律。
2m
1m
r
m
解,在地面参考系中,分别以 m,m1,
m2为研究对象，用隔离法建立方程
思考,
2121 TTaa ??
? ×
以向下为正方向
m1g
T1
a1
)1(,11111 amTgmm ??
以向上为正方向
a2
T2
m2g
)2(,22222 amgmTm ??
大学物理
第 33页 共 37页
以顺时针方向为正方向
四个未知数,
三个方程？
?,,,2121 TTaaa ??
绳与滑轮间无相对滑动，由角量和线量的关系,
)4(?ra ?
解得,
? ?
rmmm
gmm
?
?
?
?
?
? ??
?
?
2
1
21
21?
? ?
rmmm
gtmm
t
?
?
?
?
?
?
??
?
???
2
1
21
21
0 ???
r
+
1T2T
N
mg
?
O
)3(21 221 ?? mrJrTrT ???
滑轮 m,
大学物理
第 34页 共 37页
2m
1m
o mr?
解,在地面参考系中，选取 m1, m2和滑轮 m为研
究对象，分别运用牛顿定律和刚体定轴转动定律得。
如所图示，两物体质量分别为 m1和 m2，滑轮质量
为 m，半径为 r。已知 m2与桌面间的滑动摩擦因数为 ?，
求 m1下落的加速度和两段绳中的张力。
练习
gm1
1T
a
gm2
2T
gm2?
N a
1T
2T
mg
yN
xN
列方程如下,
?
?
?
ra
mrrTrT
amgmT
amTgm
?
??
??
??
2
21
222
111
2
1
可求解
大学物理
第 35页 共 37页
2,角动量定理的积分形式
积分形式 微分形式
质点
质点系
定轴刚体
LLtM L
L
t
t
??? ?
? ??? ??
2
1
2
1
dd
LLtM L
L
t
t
??? ?
? ??? ??
2
1
2
1
dd外
t
LM
d
d
??
?
t
LM
d
d
??
?外
tJJM d
d ?? ??
轴 ??
?
?
???? ?2
1
2
1
ddt
t
JJtM 轴
大学物理
第 36页 共 37页
注意
(1) 力矩对时间的积累,角冲量
定义,
?
2
1
d
t
t
tM
? 效果,改变角动量
(3) 同一式中,等角量
要对同一参考点或同一轴计算。
????,,,JLM
p? 变化量与 对应
?
2
1
d
t
t
tF
?
变化率与 对应 F?
(2) 比较,
L? 变化量与 对应
?
2
1
d
t
t
tM
?
变化率与 对应 M?
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第 2页 共 37页
1910年诺贝尔物理学奖授予荷兰阿姆斯
特丹大学的范德瓦尔斯，以表彰他对气
体和液体的状态方程所作的工作。
19世纪末，分子运动逐步形成一门有严
密体系的精确科学。与此同时实验也越
来越精，人们发现绝大多数气体的行为
与理想气体的性质不符。
范德瓦尔斯
(Johannes Diderik
van Waals,荷兰，
1837～ 1923),
? ?
? ? ??
?
? 813
3
2
2
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
?
?
RTbV
V
a
P
RT
M
m
PV
（ 1873年）
（ 1880年）
大学物理
第 3页 共 37页
1911年诺贝尔物理学奖授予德国乌尔兹堡大学的维
恩 (WilhelmWien,1864-1928),以表彰他发现了热辐
射定律。
热辐射是 19世纪发展起来的一门新学科，它的研究
得到了热力学和光谱学的支持，同时用到了电磁学
和 光学的新技术，因此发展很快。到 19世纪末，
这个领域已经达到如此顶峰，以至于量子论这个婴
儿注定要从这里诞生。
“他的不朽的业绩在于引导我们走到了量子物理学
的大门口”。（劳厄）
大学物理
第 4页 共 37页
1912年 诺贝尔物理学
奖授予瑞典德哥尔摩
储气器公司的达伦，
以表彰他分明用于灯
塔和浮标照明的储气
器的自动调节器。
达伦
(Nils Gustaf,瑞典，
1869～ 1937)
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第 5页 共 37页
第三节 角动量守恒定律
一、角动量
问题, 将一绕通过质心的固定轴转动的圆盘视为一个质点系，
则由于该系统质心速度为零，所以，系统总动量为零。但系统有
机械运动。 说明不能用动量来量度转动物体的机械运动量。
引人与动量 对应的角量 —— 角动量 (动量矩 ) p? L?
当质点作曲线运动或对某点有转动趋势时
m v
?L
?
r?O
O
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?
?
?
?
?
?
?
??
??
?
?
?
12
smkg
s in
单位：
服从右手螺旋法则。
组成的平面和方向：垂直于
大小：
pr
prr m vL
L
??
?
?
1,质点的角动量
vmrprL ????? ???? L?
?r
?x
y
z
m
r?
p?
O
质点对某参考点的角动量反映质点绕该参考点旋转运动的强弱。
??
?
???
? Lppr
LO
LO
m
..
0
0
则：大小相同、若
为参考点：以
为参考点：以
作直线运动设
?
?
o
o?
r?
r??
p?
?
m ?p
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?
?
?
???
???
ici
ici
vvv
rrr
???
???
?
? ? ii
i ic
vmrrL ???? ????? ?
? ? ? ?????
i i i
iiiiii vmrprLL
??????
2.质点系角动量
系统内所有质点对同一参考点角动量的 矢量和
o
ip
?
im
?
ir
?
c
cr
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??
? ?
ii
i
ici
i i
iiic
ici
i i
iiic
vmrvmrvmr
vvmrvmr
?????????
???????
?? ?
? ?
??????
?????
大学物理
第 8页 共 37页
自旋轨道 LLvmrvMrL ii
i
icc
???????
???????? ?
:轨道L? 描述质点系整体绕参考点的旋转运动
:自旋L?
描述质点系绕质心的旋转运动,
与参考点的选择无关。
自旋L
?
轨道L
?
L?轨道L?
自旋L
?
大学物理
第 9页 共 37页
3,定轴转动刚体的角动量
??
im
z
o
转轴,角速度
转轴与转动平面交点
刚体上任一质点
?
?
? ??
?
?
?
?
?
沿方向
大小
:
,2iiiiiio
io
rmvmrL
L
??? 2iiio rmL ?即
mi对 O的角动量,
iiiio vmrL
??? ??
iv
?
im
o r
?
??
转动
平面
z
i
大学物理
第 10页 共 37页
刚体定轴转动的特点,
(1) 质点均在垂直于转轴的转动平面内，作半径不
同的圆周运动。
(2) 各质点的角速度 大小相等，且均沿轴向。 ??
定义, 质点 mi 对 O点的角动量的大小，称为质点
对转轴的角动量。
?2iiiiiiz rmvmrL ??? ??
刚体对 z轴的总角动量为
??? JmrmrLL
i
iii
i
i
i
izz ??? ????
22
??
i
ii mrJ
2
质点系的转动惯量
大学物理
第 11页 共 37页
vmrL o ??? dd ??
?2ddd mrvmrL z ??? ??
刚体对 z 轴的总角动量为
??
?
Jmr
mrLL zz
???
?? ??
d
dd
2
2
对质量连续分布的刚体,
连续分布体的转动惯量
mrJ d2??
v?
md
o r?
?
z
大学物理
第 12页 共 37页
二、刚体对轴的转动惯量
1,定义
??
i
ii mrJ
2
刚体对定轴的转动惯量等于其各质点的质量与该质点
到转轴距离的平方之积求和。
若质量连续分布
mrJ d2??
2,物理意义 ---- 描述物体转动惯性的大小
比较,
vmp ?? ?
m ---- 描述质点惯性的大小
?JL ? J ---- 描述刚体转动惯性的大小
?
?
?
?
?
?
线分布
面分布
体分布
l
S
V
m
d
d
d
d
?
?
?
大学物理
第 13页 共 37页
3,计算
刚体的总质量 (同分布 M>m,JM>Jm)
影响 J 的因素
练习
1.由长 l 的轻杆连接的质点如图所示，求质点系对过
A垂直于该平面的轴的转动惯量。
l
ll
l
A
m m2 m3
m4
m5
222 )2)(54()2(32 lmmlmmlJ ????
??
i
ii mrJ
2
刚体质量分布 (同 m,J中空 >J实 )
转轴的位置
232 ml?
思考,A移至 2m处 J=?
大学物理
第 14页 共 37页
2,一长为 L的细杆，质量 m均匀分布,求该杆对垂直
于杆，分别过杆的中点和一端端点的轴的转动惯量。
解, (1) 轴过中点
2
2
2
2
32
3
1d
L
L
L
L
x
L
mx
L
mx
??
?? ?
mxmrJ dd 22? ???
2
33
12
1
883
1 mLLL
L
m ?
???
?
???
? ??
Lo x
md x
(2) 轴过一端端点
? ??? mxmrJ dd 22
23
3
1
03
1 mLLx
L
m ??
xLMx
L
d
0
2??
2L2L?
o
xmd
x
大学物理
第 15页 共 37页
3,求质量 m,半径 R 的圆环对中心垂直轴的转动
惯量。
解, 圆环上取微元 dm
?? mrJ d2 ?? m mR 02 d
mRl
R
mRJ R 2π2
0
2 d
π2
?? ?
2mR?
J1 = mR2+m1R2
22
2 π2 xRR
mmRJ ???
思考 1,环上加一质量为 m1的质点,J1 =?
R O
dm m1
思考 2,环上有一个 ?x的缺口,J2=?
?x
R O
大学物理
第 16页 共 37页
4,求质量 m,半径 R 的均匀圆盘对中心垂直轴的转
动惯量。
R
O r
dr
解, 圆盘上取半径为 r宽度 dr的圆环
作为质量元 dm
mrJmRJ dd 22 ???环
Sm dd ?? rr
R
m dπ2
π 2
?
rr
R
mrJ dπ2
π 2
2 ?? ?
rr
R
m R d2
0
3
2 ??
2
2
1 mR?
大学物理
第 17页 共 37页
5,求质量 m,半径 R 的球体对直径的转动惯量。
解, 球体上取半径为 r厚度 dx
的圆盘作为质量元 dm
mrJmRJ d21d21 22 ???盘
Vm dd ?? xr
R
m dπ
π)34(
2
3?
xr
R
mJ R
R
dπ
π)34(2
1 4
3?
?
?
2
5
2 mR?
教材, 球面 ? 球体的求解方法
R o
r
x
xxRRmR
R
d)()34(21 2223 ?? ?
?
ππ
大学物理
第 18页 共 37页
注意, 对同轴的转动惯量才具有可加减性。
正交轴定理
yxz JJJ ??
对平面刚体
y
x
z
o
证明见教材 101页
平行轴定理
CD
d
m
2mdJJ
CD ??
大学物理
第 19页 共 37页
练习 求长 L、质量 m 的均匀杆对 z 轴的转动惯量。
2
43
4
22
48
7dd mLll
L
mmlJ L
L
z ??? ??
?
解一,
解三,
2
2
2
2
48
7
412
1
4
mLLmmLLmJJ Cz ??
?
??
?
????
?
??
?
???
解二,
2
22
48
7
4
3
4
3
3
1
443
1 mLLmLmJJJ
OBOAz ???
??
?
???
?
??
?
????
C
A
4L
m B
o
z
L
大学物理
第 20页 共 37页
教材 P.102 (P.93) 一些均匀刚体的转动惯量表
大学物理
第 21页 共 37页
三、角动量的时间变化率 力矩
1.质点角动量的时间变化率
t
prp
t
rpr
tt
L
d
d
d
d)(
d
d
d
d ??????
?
??????
prL ??? ??
Fr
t
p
r
t
L
vmvpvp
t
r
????
?
?????
?
????
??????
d
d
d
d
0
d
d
所以
因为
质点位矢 合力
Fr
t
L ??
?
??
d
d
r?
m
F?
r?O
Fr ???
大学物理
第 22页 共 37页
2,力矩
FrM ??? ??
服从右手螺旋法则
组成的平面和垂直于方向：
大小：
Fr
FrFd
??
?s i n?
定义,
1) 对参考点的力矩
Fr
t
L ??
?
??
d
d
FdrFFr ??? ?s in??
大小,
方向,服从右手螺旋法则
r?
F?
?
O
d
m
大学物理
第 23页 共 37页
2) 对轴的力矩
?
?
????
?????
FrFr
FFrFrM
????
??????
//
// )(
第一项
//1 FrM
??? ??
方向垂直于轴，其效果是改变
轴的方位，在定轴问题中，与
轴承受到的约束力矩平衡。
第二项
??? FrM z
???
方向平行于轴，其效果是改变绕轴转动状态，称为
力对轴的矩,表为代数量,
???? FrM z
??
F?
r?
o m
z
//F
?
?F
?
d
zM
轴与转动平面的交点 O到力作用点的位矢,r?
:?F? 力在转动平面内的分量
大学物理
第 24页 共 37页
xyz yFxFM ??
即,
? ? ? ? ? ?kyFxFjxFzFizFyF
FFF
zyx
kji
FrM xyzxyz
zyx
???
???
???
?????????
???? FrM z
?? 力对 O点的力矩在 z轴方向的分量
注意,
1,力矩求和只能对同一参考点 (或轴 )进行。
???? ??? ooo MMM 21
???? zzz MMM 21
矢量和
代数和
?
?
?
?
0
0
M
F
?
?
?
?
?
?
0
0
M
F
?
?F?
F?
O
F? F?
2,
O
大学物理
第 25页 共 37页
3,质点系角动量的时间变化率
对 个质点 组成的质点系，由 N
Nmmm,,,21 ?
t
LFrM
d
d
??
?? ??? 可得
内外
内外
内外
NN
N
MM
t
L
MM
t
L
MM
t
L
??
?
??
??
?
??
?
??
??
??
d
d
d
d
d
d
22
2
11
1
两边求和得
? ?
?
??
?
i i
ii
i
i
MM
t
L
L
t
内外
??
?
?
d
d
d
d
大学物理
第 26页 共 37页
于是,
外外 ii FrMt
L ???
?
??? ?
id
d
质点系总角动量的时间变化率等于质点系所受外力
矩的矢量和。
? ?? ???
i i
ii
i
i MMt
LL
t 内外
????
d
d
d
d
注意, 合外力矩 是质点系所受各外力矩的
矢量和，而非合外力的力矩。 外M
?
由图可知
0??
i
iM 内
?
1?
2?
12f
?
21f
?
1m
2m
1r?
2r?
d
O
大学物理
第 27页 共 37页
例 1,质量为 m，长为 L的细杆在水平粗糙桌面上绕过
其一端的竖直轴旋转，杆与桌面间的摩擦系数为 ?，
求摩擦力矩。
1) 杆的质量均匀分布
2) 杆的密度与离轴距离成正比
解 1),
m g Lrg
L
mrMM L ??
2
1dd
0
????? ??
o
?
z
md
f?d
r?
r
L
mm dd ?
mgf dd ??
frM dd ??
大学物理
第 28页 共 37页
解 2),
rkrrm ddd ?? ?
设杆的线密度 kr??
2
2
0
2
2
1
dd
L
m
k
kLrrkmm
L
?
??? ??
得
由
rrL mgmgf d2dd 2?? ??
frM dd ??
m g Lrr
L
mgMM L ??
3
2d2d
0
2
2 ????? ??
o
?
z
md
f?d
r?
大学物理
第 29页 共 37页
实际意义
f?f??
?
r
Ro
半径 R,质量 m
的匀质圆盘，与桌
面间摩擦系数 μ，
求摩擦力矩
等效
简化模型,
长 R,线密度 ? = kr
总质量 m 的细杆
o
?
z
md
f?d
r?
大学物理
第 30页 共 37页
四、角动量定理
1,角动量定理的微分形式
(1) 质点的角动量定理
MFrtprptrprttL
??????????
????????? dddd)(ddddprL
??? ??
质点角动量的时间变化率等于质点所受的合力矩
(2) 质点系 的角动量定理
外外 ii FrMt
L ???? ??? ?
id
d? ?? ???
i i
ii
i
i MMt
LL
t 内外
????
d
d
d
d
0??
i i
M 内?
质点系总角动量的时间变化率等于质点系所受外力
矩的矢量和。内力矩只改变质点系总角动量在系内的
分配，不影响总角动量。
大学物理
第 31页 共 37页
(3) 定轴刚体的角动量定理
比较
?
?
?
?
?
?JM
amF
z
??
由
外Mt
L ?
?
?dd
??? JtJJttLM zz ???? dd)(dddd
?? JmrL
i
iiz ? ??
2
得
J 是物体转动惯性的量度
m 是物体平动惯性的量度
改变物体平动状态的原因
zM
F?
改变物体绕轴转动状态的原因
?JM z ? 刚体定轴转动定律
大学物理
第 32页 共 37页
例, 一定滑轮的质量为 m，半径为 r ; 一轻绳两边分
别系 m1和 m2两物体挂于滑轮上，绳不伸长，绳与滑轮
间无相对滑动。不计轴的摩擦，初角速度为零，求滑
轮转动角速度随时间变化的规律。
2m
1m
r
m
解,在地面参考系中,分别以 m,m1,
m2为研究对象，用隔离法建立方程
思考,
2121 TTaa ??
? ×
以向下为正方向
m1g
T1
a1
)1(,11111 amTgmm ??
以向上为正方向
a2
T2
m2g
)2(,22222 amgmTm ??
大学物理
第 33页 共 37页
以顺时针方向为正方向
四个未知数,
三个方程？
?,,,2121 TTaaa ??
绳与滑轮间无相对滑动，由角量和线量的关系,
)4(?ra ?
解得,
? ?
rmmm
gmm
?
?
?
?
?
? ??
?
?
2
1
21
21?
? ?
rmmm
gtmm
t
?
?
?
?
?
?
??
?
???
2
1
21
21
0 ???
r
+
1T2T
N
mg
?
O
)3(21 221 ?? mrJrTrT ???
滑轮 m,
大学物理
第 34页 共 37页
2m
1m
o mr?
解,在地面参考系中，选取 m1, m2和滑轮 m为研
究对象，分别运用牛顿定律和刚体定轴转动定律得。
如所图示，两物体质量分别为 m1和 m2，滑轮质量
为 m，半径为 r。已知 m2与桌面间的滑动摩擦因数为 ?，
求 m1下落的加速度和两段绳中的张力。
练习
gm1
1T
a
gm2
2T
gm2?
N a
1T
2T
mg
yN
xN
列方程如下,
?
?
?
ra
mrrTrT
amgmT
amTgm
?
??
??
??
2
21
222
111
2
1
可求解
大学物理
第 35页 共 37页
2,角动量定理的积分形式
积分形式 微分形式
质点
质点系
定轴刚体
LLtM L
L
t
t
??? ?
? ??? ??
2
1
2
1
dd
LLtM L
L
t
t
??? ?
? ??? ??
2
1
2
1
dd外
t
LM
d
d
??
?
t
LM
d
d
??
?外
tJJM d
d ?? ??
轴 ??
?
?
???? ?2
1
2
1
ddt
t
JJtM 轴
大学物理
第 36页 共 37页
注意
(1) 力矩对时间的积累,角冲量
定义,
?
2
1
d
t
t
tM
? 效果,改变角动量
(3) 同一式中,等角量
要对同一参考点或同一轴计算。
????,,,JLM
p? 变化量与 对应
?
2
1
d
t
t
tF
?
变化率与 对应 F?
(2) 比较,
L? 变化量与 对应
?
2
1
d
t
t
tM
?
变化率与 对应 M?
