同学们好！
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第 2页 共 32页
一、机械波的产生
振动在空间传播 波动
振动质点引起邻近质点的振动
实际振动都是有阻尼的
阻尼
摩擦阻尼,
辐射阻尼,
有序运动能量 无序运动能量
有序运动能量 有序运动能量
波源 介质 振动
相位（状态）
能量
第三节 机械波的产生、传播和叠加
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产生条件, 1) 存在做受迫振动的波源。
2) 存在能够传播机械振动的弹性介质。
波
源
自由振动 (无能量补充 ) —— 波动不能长期维持
受迫振动 (有能量补充 ) —— 波动才能长期维持
波的分类
(1) 按物理性质分, 水波、声波、电磁波 …..,
(2) 按能量传播空间分, 一维波、二维波、三维波
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(3) 按振动方式分, 脉冲波、周期波、简谐波 …..,
(4) 按振动方向与传播方向的关系分, 横波，纵波
二、描述波动的物理量
1,波线和波面
波线,由波源出发，沿波传播方向的线,其上
任一点切线方向为该点波传播方向。
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在各向同性均匀介质中,
波线为直线，波线与波面垂
直。
平面简谐行波
波面为平面 传播中的波 (相对于“驻波”而言 )
波面,某时刻介质中同相
点的集合。（球面波,柱面
波,平面波 …… ）
波前,传在最前面的波面
波面
波 线
波面
波 线
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2,波的特征量
波的特征, 在空间、时间上具有周期性
2) 波长 ?：同一波线上，相邻的相位差为 2?的两点
间的距离。
描述波的空间周期性
?
1?k 空间频率
描述波动的时间周期性
T
1?? 时间频率
1) 周期 T、频率 ?, 即介质中各质元振动的周期和频
率,由波源振动情况决定。
3) u波速
时间周期性
空间周期性
在一个周期内，某一个确定的振动状
态 (相位 )在空间正好传播一个波长。
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二者在同一直线上,纵波 二者互相垂直,横波
注意, 相位传播速度：在各向同性介质中为常数
质点振动速度,
)s i n (dd 0??? ???? tAtΨv
u
v
波速由介质的性质决定
介质密度
弹性模量?u
振动相位传播的速度 简称波速。
??? ??? Tu
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3,波形曲线
描述某时刻、波线上各点位移的分布 (广义 )
思考, 对纵波，波形曲线是不是实际波形？
波形曲线如何反映纵波传播过程中介质质点的疏
密情况？疏部中心、密部中心各在何处？
对横波,直观给出波峰、波谷位置,该时刻 波形
?
2
? ?
x O
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注意, 波形曲线与振动曲线比较 (见下页表 )
? x u
?
?
x O
密部中心 疏部中心
形变最大 形变为零
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振动曲线 波形曲线
图形
研究
对象
物理
意义
特征
某质点位移随时间
变化规律
某时刻，波线上各质点
位移随位置变化规律
对确定质点曲线形状一定 曲线形状随 t 向前平移
由波形曲线可知
该时刻各质点位移
只有 t=0时刻波形才能提供初相
波长 ?,振幅 A
某质点 方向参看前一质点 v?
A
?
x
P t0
?
v?
u
O
A t P
t0
T
v?
O
?
v?
由振动曲线可知
某时刻
方向参看下一时刻
初相 周期 T 振幅 A
0?
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已知,波线上任一点 O的振动方程
波速 u,向右传播
)co s ( 0?? ?? tAΨ o
求,该平面简谐波波函数 ),( txΨΨ ?
4,波函数（波动方程的积分形式）
? 建立波函数的依据
波的空间、时间 周期性
沿波传播方向各质元振动状态 (相位 )相继落后
（ 滞后效应 ）
）tzyxΨΨ,,,(?? 振动量 ? 随时间、空间的变化规律
三,一维平面简谐行波波动方程
建立 ? = ? (x,t) 的数学形式
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方法 1 O点的振动状态传到 P所需时间
u
xt ??
时刻相位相同点（点相位与时刻 )ttOPt ??
解,以参考点 O为坐标原点，波速 u的方向为 +x,建
立一维坐标。设 P为波线上任意一点，坐标 x
已知坐标原点振动方程 )co s (
00 ?? ?? tAΨ
u
O P(x) x
即
)()( ttΨtΨ OP ???
])(c o s [ 0?? ??? uxtA
])(c o s [),( 0?? ??? uxtAtxΨ
(1)
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由于
??
π2uuT ?? 所以 (1),(2)是一致的
)π2c o s ( 0 ???? ??? xtAΨ P
即
π)2c o s (),( 0 ???? ??? xtAtxΨ
(2)
P点相位比 O落后 π2?
?
x
方法 2 波线上沿传播方向每走一个 ?，相位落后 2?
u
O P(x) x
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平面简谐波波函数的数学形式和物理意义
])(c o s [),( 0?? ??? uxtAtxΨ
)π2c o s ( 0 ??? xtA ???
])π(2c o s [ 0?? ??? xTtA
???
??? ])(π2c o s [ 0?
?
xutA
])(c o s [)(),( 000 ?? ????
u
xtAtΨtxΨ
1) 当 x 给定 (x = x0) 时
即 x0 处质点的振动方程
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])(c o s [)(),( 000 ?? ???? uxtAxΨtxΨ
即 t0 时刻的波形曲线方程。
2) 当 t 给定 (t = t0) 时
对应跑动的波形。
3) 当 x,t 均变化时
?(x,t)即是振动量随时间、空间的变化规律
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)2c o s (])(c o s [),( 00 ?????? xtAuxtAtxΨ ??????
练习 1
u? x
PO
建立向 -x方向传播的简谐行波波函数
以参考点为原点
)co s ( 0?? ?? tAΨ o
P相位比 O超前 ? ? ? ?ttΨtΨ
OP ???
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练习 2 移动坐标原点后如何建立波函数
（即参考点不作为坐标原点）
u?
m/xB O O?
55
8
C
已知 C点处振动方程为 ),c o s ( ?? ?? tAΨ
C,u波速为
。m8,m5 ???? BCCOOC 分别以 O、
O?为坐标原点建立波函数，并写出 B点的振动方程。
方向传播。沿 x?
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解,
C为参考点,)co s ( ?? ?? tAΨ
C
，设 P为波线上任意一点
u?
m/xB O O?
55
8
C P
(1) 以 O为坐标原点
P点离参考点 C距离 5
1 ?? xx
代入将 3??Bx
])8(c o s [])53(c o s [ ???? ???????? utAutAΨ B
])5(c o s [])(c o s [ 1 ???? ??????? uxtAuxtAΨ
得代入 )co s ( ?? ?? tAΨ C
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u?
m/xB O O?
55
8
C P
])5(c o s [])(c o s [ 2 ???? ??????? uxtAuxtAΨ
P点离参考点 C距离 5
2 ?? xx
(2) 以 O?为坐标原点
代入将 13??Bx
])8(c o s [])513(c o s [ ???? ???????? utAutAΨ B
原点不同时，波函数形式变化，但波线上确定点振
动方程不变。
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更换计时起点后如何建立波函数
已知, )104(πc o s040 txΨ ???
求,将计时起点延后 0.05s 情况下的波函数
练习 3
代入原波函数,
)]050(44[πc o s040' ?????? txΨ
]2)52(π10c o s [040 ??????? xt
解,设新的时间坐标为 t?
t?与 t 的关系 t?= t – 0.05,即 t = t ? + 0.05
原函数
)52(π10c o s040 ???? xtΨ
时间变换，移动计时起点 —— 改变初相
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原点处 00
0 ?? vΨ O
得
2
π
0 ???
即原点振动方程 )
2
ππ2c o s ( ??? tuAΨ
O ?
将 代入2??? tt
]2π)2(π2c o s [ ???? uxtuAΨ ?
(SI)
]2π)(π2c o s [ ???? uxtuAΨ ?
波函数,
解,时间变换 2??? tt令
时刻波形该波形为 0??t
)( txy,
已知平面简谐 练习 4
波在 t = 2s 时波形,
求波函数
x/m
? /m
A
O ? ?/2
u
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由波形曲线和振动曲线建立波函数 练习 5
已知,平面简谐波 t =0 时波形和
波线上 x =1m 处 P点振动曲线
求, 波函数 (1) 以 O 为参考点。
(2) 以 P 为参考点。
t/s
?P/m
0.2
O 0.2 0.1
x/m
?/m
0.2
O 2 1 P
t = 0
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解,由图可知,m20 ??A m2?? s20 ??T
则 1
sπ10π2 ??? T? 1sm10 ???? Tu ?
(1) 以 O为参考点，先写 O的振动方程
P在 t=0 时刻过平衡位置向负向运动 —— 波向左传
t/s
?P/m
0.2
O 0.2 0.1
x/m
?/m
0.2
O 2 1 P
t = 0
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第 24页 共 32页
O在 t = 0 时刻过平衡位置向正向运动 π
2
3
0 ??
)π23π10c o s (2.0 ?? tΨ O
]π23)10(π10c o s [2.0 ??? xtΨ
波向 -x方向传播
t/s
?P/m
0.2
O 0.2 0.1
x/m
?/m
0.2
O 2 1 P
t = 0
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(2) 以 P 为参考点，先写 P 的振动方程
P的初相
2
π?
P? )
2
ππ10c o s (20 ??? tΨ
P
波向 -x方向传播
]2π)10 1(π10c o s [20 ????? xtΨ ]2π)10(π10c o s [20 ???? xt
t/s
?P/m
0.2
O 0.2 0.1
x/m
?/m
0.2
O 2 1 P
t = 0
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第 26页 共 32页
四,波动方程的微分形式
1,一维情况
由
])(c o s [ ?? ??? uxtAΨ
])(s i n [ ??? ????? uxtu AxΨ
])(c o s [2
2
2
2
??? ?????? uxtu AxΨ
得
])(s i n [ ??? ?????? uxtAtΨ
])(c o s [22
2
??? ?????? uxtAtΨ
2
2
22
2 1
t
Ψ
ux
Ψ
?
??
?
?
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第 27页 共 32页
2,三维情况
2
2
22
2
2
2
2
2 1
t
Ψ
uz
Ψ
y
Ψ
x
Ψ
?
??
?
??
?
??
?
?
线性微分方程
拉普拉斯算符
2
2
2
2
2
2
2
zyx ?
??
?
??
?
???
波动微分方程
2
2
2
2 1
t
Ψ
uΨ ?
???
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第 28页 共 32页
小节,
?平面简谐行波
?波动的描述
?几何描述 在各向同性均匀介质中，波线为直线,
波线与波面垂直
波面
波 线
波面
波 线
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第 29页 共 32页
?波的特征量
由波源振动情况决定
T
1??1,周期 T、频率 ?
2,波长 ?
?
1?k
3,波速 u
??? ???
T
u
由介质的性质决定
区别,相位传播速度
质点振动速度
u
v
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?波形曲线
横波
?
2
? ?
x O
?
x O
密部中心 疏部中心
形变最大 形变为零
纵波
注意,波形曲线与振动曲线比较
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第 31页 共 32页
?波函数（波动方程的积分形式）
? 平面简谐波波函数的数学形式和物理意义
])(c o s [),( 0?? ??? uxtAtxΨ
)2c o s ( 0 ???? xtA ???
])(2c o s [ 0??? ??? xTtA
???
??? ])(
2
co s [ 0?
?
?
xutA
1) 当 x 给定 (x = x0) 时
2) 当 t 给定 (t = t0) 时
3) 当 x,t 均变化时
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?波动方程的微分形式
?波函数
?建立向 -x方向传播的简谐行波波函数
?移动坐标原点后如何建立波函数（即参考
点不作为坐标原点）
?更换计时起点后如何建立波函数
?由波形曲线和振动曲线建立波函数
2
2
22
2 1
t
Ψ
ux
Ψ
?
??
?
?
2
2
2
2 1
t
Ψ
uΨ ?
???
要求：已知波线上某点的振动方程和波速（包
括大小和方向），写出平面波的波函数。
介质中相距 的两点振动的位相差为 x?
x??? ??? 2
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一、机械波的产生
振动在空间传播 波动
振动质点引起邻近质点的振动
实际振动都是有阻尼的
阻尼
摩擦阻尼,
辐射阻尼,
有序运动能量 无序运动能量
有序运动能量 有序运动能量
波源 介质 振动
相位（状态）
能量
第三节 机械波的产生、传播和叠加
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第 3页 共 32页
产生条件, 1) 存在做受迫振动的波源。
2) 存在能够传播机械振动的弹性介质。
波
源
自由振动 (无能量补充 ) —— 波动不能长期维持
受迫振动 (有能量补充 ) —— 波动才能长期维持
波的分类
(1) 按物理性质分, 水波、声波、电磁波 …..,
(2) 按能量传播空间分, 一维波、二维波、三维波
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(3) 按振动方式分, 脉冲波、周期波、简谐波 …..,
(4) 按振动方向与传播方向的关系分, 横波，纵波
二、描述波动的物理量
1,波线和波面
波线,由波源出发，沿波传播方向的线,其上
任一点切线方向为该点波传播方向。
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在各向同性均匀介质中,
波线为直线，波线与波面垂
直。
平面简谐行波
波面为平面 传播中的波 (相对于“驻波”而言 )
波面,某时刻介质中同相
点的集合。（球面波,柱面
波,平面波 …… ）
波前,传在最前面的波面
波面
波 线
波面
波 线
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第 6页 共 32页
2,波的特征量
波的特征, 在空间、时间上具有周期性
2) 波长 ?：同一波线上，相邻的相位差为 2?的两点
间的距离。
描述波的空间周期性
?
1?k 空间频率
描述波动的时间周期性
T
1?? 时间频率
1) 周期 T、频率 ?, 即介质中各质元振动的周期和频
率,由波源振动情况决定。
3) u波速
时间周期性
空间周期性
在一个周期内，某一个确定的振动状
态 (相位 )在空间正好传播一个波长。
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二者在同一直线上,纵波 二者互相垂直,横波
注意, 相位传播速度：在各向同性介质中为常数
质点振动速度,
)s i n (dd 0??? ???? tAtΨv
u
v
波速由介质的性质决定
介质密度
弹性模量?u
振动相位传播的速度 简称波速。
??? ??? Tu
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3,波形曲线
描述某时刻、波线上各点位移的分布 (广义 )
思考, 对纵波，波形曲线是不是实际波形？
波形曲线如何反映纵波传播过程中介质质点的疏
密情况？疏部中心、密部中心各在何处？
对横波,直观给出波峰、波谷位置,该时刻 波形
?
2
? ?
x O
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注意, 波形曲线与振动曲线比较 (见下页表 )
? x u
?
?
x O
密部中心 疏部中心
形变最大 形变为零
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振动曲线 波形曲线
图形
研究
对象
物理
意义
特征
某质点位移随时间
变化规律
某时刻，波线上各质点
位移随位置变化规律
对确定质点曲线形状一定 曲线形状随 t 向前平移
由波形曲线可知
该时刻各质点位移
只有 t=0时刻波形才能提供初相
波长 ?,振幅 A
某质点 方向参看前一质点 v?
A
?
x
P t0
?
v?
u
O
A t P
t0
T
v?
O
?
v?
由振动曲线可知
某时刻
方向参看下一时刻
初相 周期 T 振幅 A
0?
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已知,波线上任一点 O的振动方程
波速 u,向右传播
)co s ( 0?? ?? tAΨ o
求,该平面简谐波波函数 ),( txΨΨ ?
4,波函数（波动方程的积分形式）
? 建立波函数的依据
波的空间、时间 周期性
沿波传播方向各质元振动状态 (相位 )相继落后
（ 滞后效应 ）
）tzyxΨΨ,,,(?? 振动量 ? 随时间、空间的变化规律
三,一维平面简谐行波波动方程
建立 ? = ? (x,t) 的数学形式
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方法 1 O点的振动状态传到 P所需时间
u
xt ??
时刻相位相同点（点相位与时刻 )ttOPt ??
解,以参考点 O为坐标原点，波速 u的方向为 +x,建
立一维坐标。设 P为波线上任意一点，坐标 x
已知坐标原点振动方程 )co s (
00 ?? ?? tAΨ
u
O P(x) x
即
)()( ttΨtΨ OP ???
])(c o s [ 0?? ??? uxtA
])(c o s [),( 0?? ??? uxtAtxΨ
(1)
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由于
??
π2uuT ?? 所以 (1),(2)是一致的
)π2c o s ( 0 ???? ??? xtAΨ P
即
π)2c o s (),( 0 ???? ??? xtAtxΨ
(2)
P点相位比 O落后 π2?
?
x
方法 2 波线上沿传播方向每走一个 ?，相位落后 2?
u
O P(x) x
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平面简谐波波函数的数学形式和物理意义
])(c o s [),( 0?? ??? uxtAtxΨ
)π2c o s ( 0 ??? xtA ???
])π(2c o s [ 0?? ??? xTtA
???
??? ])(π2c o s [ 0?
?
xutA
])(c o s [)(),( 000 ?? ????
u
xtAtΨtxΨ
1) 当 x 给定 (x = x0) 时
即 x0 处质点的振动方程
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])(c o s [)(),( 000 ?? ???? uxtAxΨtxΨ
即 t0 时刻的波形曲线方程。
2) 当 t 给定 (t = t0) 时
对应跑动的波形。
3) 当 x,t 均变化时
?(x,t)即是振动量随时间、空间的变化规律
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)2c o s (])(c o s [),( 00 ?????? xtAuxtAtxΨ ??????
练习 1
u? x
PO
建立向 -x方向传播的简谐行波波函数
以参考点为原点
)co s ( 0?? ?? tAΨ o
P相位比 O超前 ? ? ? ?ttΨtΨ
OP ???
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练习 2 移动坐标原点后如何建立波函数
（即参考点不作为坐标原点）
u?
m/xB O O?
55
8
C
已知 C点处振动方程为 ),c o s ( ?? ?? tAΨ
C,u波速为
。m8,m5 ???? BCCOOC 分别以 O、
O?为坐标原点建立波函数，并写出 B点的振动方程。
方向传播。沿 x?
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解,
C为参考点,)co s ( ?? ?? tAΨ
C
，设 P为波线上任意一点
u?
m/xB O O?
55
8
C P
(1) 以 O为坐标原点
P点离参考点 C距离 5
1 ?? xx
代入将 3??Bx
])8(c o s [])53(c o s [ ???? ???????? utAutAΨ B
])5(c o s [])(c o s [ 1 ???? ??????? uxtAuxtAΨ
得代入 )co s ( ?? ?? tAΨ C
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u?
m/xB O O?
55
8
C P
])5(c o s [])(c o s [ 2 ???? ??????? uxtAuxtAΨ
P点离参考点 C距离 5
2 ?? xx
(2) 以 O?为坐标原点
代入将 13??Bx
])8(c o s [])513(c o s [ ???? ???????? utAutAΨ B
原点不同时，波函数形式变化，但波线上确定点振
动方程不变。
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更换计时起点后如何建立波函数
已知, )104(πc o s040 txΨ ???
求,将计时起点延后 0.05s 情况下的波函数
练习 3
代入原波函数,
)]050(44[πc o s040' ?????? txΨ
]2)52(π10c o s [040 ??????? xt
解,设新的时间坐标为 t?
t?与 t 的关系 t?= t – 0.05,即 t = t ? + 0.05
原函数
)52(π10c o s040 ???? xtΨ
时间变换，移动计时起点 —— 改变初相
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原点处 00
0 ?? vΨ O
得
2
π
0 ???
即原点振动方程 )
2
ππ2c o s ( ??? tuAΨ
O ?
将 代入2??? tt
]2π)2(π2c o s [ ???? uxtuAΨ ?
(SI)
]2π)(π2c o s [ ???? uxtuAΨ ?
波函数,
解,时间变换 2??? tt令
时刻波形该波形为 0??t
)( txy,
已知平面简谐 练习 4
波在 t = 2s 时波形,
求波函数
x/m
? /m
A
O ? ?/2
u
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由波形曲线和振动曲线建立波函数 练习 5
已知,平面简谐波 t =0 时波形和
波线上 x =1m 处 P点振动曲线
求, 波函数 (1) 以 O 为参考点。
(2) 以 P 为参考点。
t/s
?P/m
0.2
O 0.2 0.1
x/m
?/m
0.2
O 2 1 P
t = 0
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解,由图可知,m20 ??A m2?? s20 ??T
则 1
sπ10π2 ??? T? 1sm10 ???? Tu ?
(1) 以 O为参考点，先写 O的振动方程
P在 t=0 时刻过平衡位置向负向运动 —— 波向左传
t/s
?P/m
0.2
O 0.2 0.1
x/m
?/m
0.2
O 2 1 P
t = 0
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O在 t = 0 时刻过平衡位置向正向运动 π
2
3
0 ??
)π23π10c o s (2.0 ?? tΨ O
]π23)10(π10c o s [2.0 ??? xtΨ
波向 -x方向传播
t/s
?P/m
0.2
O 0.2 0.1
x/m
?/m
0.2
O 2 1 P
t = 0
大学物理
第 25页 共 32页
(2) 以 P 为参考点，先写 P 的振动方程
P的初相
2
π?
P? )
2
ππ10c o s (20 ??? tΨ
P
波向 -x方向传播
]2π)10 1(π10c o s [20 ????? xtΨ ]2π)10(π10c o s [20 ???? xt
t/s
?P/m
0.2
O 0.2 0.1
x/m
?/m
0.2
O 2 1 P
t = 0
大学物理
第 26页 共 32页
四,波动方程的微分形式
1,一维情况
由
])(c o s [ ?? ??? uxtAΨ
])(s i n [ ??? ????? uxtu AxΨ
])(c o s [2
2
2
2
??? ?????? uxtu AxΨ
得
])(s i n [ ??? ?????? uxtAtΨ
])(c o s [22
2
??? ?????? uxtAtΨ
2
2
22
2 1
t
Ψ
ux
Ψ
?
??
?
?
大学物理
第 27页 共 32页
2,三维情况
2
2
22
2
2
2
2
2 1
t
Ψ
uz
Ψ
y
Ψ
x
Ψ
?
??
?
??
?
??
?
?
线性微分方程
拉普拉斯算符
2
2
2
2
2
2
2
zyx ?
??
?
??
?
???
波动微分方程
2
2
2
2 1
t
Ψ
uΨ ?
???
大学物理
第 28页 共 32页
小节,
?平面简谐行波
?波动的描述
?几何描述 在各向同性均匀介质中，波线为直线,
波线与波面垂直
波面
波 线
波面
波 线
大学物理
第 29页 共 32页
?波的特征量
由波源振动情况决定
T
1??1,周期 T、频率 ?
2,波长 ?
?
1?k
3,波速 u
??? ???
T
u
由介质的性质决定
区别,相位传播速度
质点振动速度
u
v
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第 30页 共 32页
?波形曲线
横波
?
2
? ?
x O
?
x O
密部中心 疏部中心
形变最大 形变为零
纵波
注意,波形曲线与振动曲线比较
大学物理
第 31页 共 32页
?波函数（波动方程的积分形式）
? 平面简谐波波函数的数学形式和物理意义
])(c o s [),( 0?? ??? uxtAtxΨ
)2c o s ( 0 ???? xtA ???
])(2c o s [ 0??? ??? xTtA
???
??? ])(
2
co s [ 0?
?
?
xutA
1) 当 x 给定 (x = x0) 时
2) 当 t 给定 (t = t0) 时
3) 当 x,t 均变化时
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第 32页 共 32页
?波动方程的微分形式
?波函数
?建立向 -x方向传播的简谐行波波函数
?移动坐标原点后如何建立波函数（即参考
点不作为坐标原点）
?更换计时起点后如何建立波函数
?由波形曲线和振动曲线建立波函数
2
2
22
2 1
t
Ψ
ux
Ψ
?
??
?
?
2
2
2
2 1
t
Ψ
uΨ ?
???
要求：已知波线上某点的振动方程和波速（包
括大小和方向），写出平面波的波函数。
介质中相距 的两点振动的位相差为 x?
x??? ??? 2
