同学们好 ！
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第 2页 共 36页
一、质点和质点系的动量
1,质点的动量
vmp ?? ?
质点机械运动的量度
2,质点系的动量
i
i
i
NN
N
vm
vmvmvm
pppp
?
?
?
??
?
?
???
??
????
????
2211
21
N个质量分别为,动量分别为
的质点组成质点系，其总动量为 N
mmm,,,21 ? Nppp ????,,,21
第二节 动量守恒定律
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牛顿第二定律的一般形式
? ?cvamFtpF ????? ??
??
d
d
特例
二,动量的时间变化率 力
? ?
t
vmv
t
m
t
vm
t
p
d
d
d
d
d
d
d
d ???? ???
质点动量的时间变化率是质点所受的合力
)( cvFam ???? ??
1,质点动量的时间变化率
2,质点系动量的时间变化率
t
pFFF
d
d 1
111
????
??? 内外
N个质量分别为 动量分别为
的质点组成一个质点系，各质点所受的合力分别为
Nmmm,,,21 ? Nppp ????,,,21
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将以上各式相加，并考虑到
0
1
?? ?
?
N
i
iFF 内内
?? 得,
)(dd 2121 NN ppptFFF ???????? ??????? 外外外
t
p
FFF
t
p
FFF
N
NNN
d
d
d
d
2
222
?
???
??
?
???
???
???
内外
内外
t
pFF N
i
i d
d
1
???
?? ?
?
外外
即
结论, 质点系所受外力的 矢量和 等于质点系的总
动量的时间变化率。
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第 5页 共 36页
具体分析 ——研究对象的运动情况和受力情况
牛顿定律的应用
选定坐标 ——参考系、坐标系、正方向
隔离物体 ——明确研究对象
建立方程 ——分量式
z
z
z
y
y
y
x
x
x
ma
t
p
F
ma
t
p
F
ma
t
p
F
??
??
??
d
d
d
d
d
d
n
2
n
ττ
d
d
ma
R
v
mF
ma
t
v
mF
??
??
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第 6页 共 36页
例 1,一艘质量为 m的潜水艇，全部浸没水中，并由静
止开始下沉。设浮力为 F,水的阻力 f = kAv，式中 A为
潜水艇水平投影面积,k为常数。求潜水艇下沉速度与
时间的关系。
由牛顿第二定律,
?? ?
??
???
tv
t
k A vFmg
vm
t
v
mk A vFmg
00
d
d
d
d
解,以潜艇为研究对象，受力如图,
在地球系中建立如图坐标 O
mg
F
c
+
f
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?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
t
m
kA
t
m
kA
e
kA
Fmg
v
e
Fmg
k A vFmg
t
Fmg
m g - F - k A v
kA
m
1
ln
讨论潜艇
运动情况
恒量?
?
????
?????
kA
Fmg
vvt
t
v
vtvt
m a x
,
d
d
,00
极限速率（收尾速率）
v
mv
o t
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类似处理,跳伞运动员下落,
有阻力的抛体运动
小球在粘滞流体中下落 …..,
练习, 物体在粘性流体中运动时会受到流体的阻力作
用。实验证明，当物体速度不太大时，阻力与速度大小
成正比，方向与速度方向相反，即,其中 ?为
常数，与流体性质有关。今有一质量为 m的物体，在 t =0
时以初速 v0进入粘性流体，并设物体除受阻力外，未受
其它力作用。试求某一时刻 t 物体的速度大小。
vf ?? ???
答案,tmevv ???
0
O t
v
0v
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第 9页 共 36页
)3(s i n
)2(s i n
)1(c o s
τ
τ
2
?
?
?
ga
mamg
R
v
mmgT
?
?
??
例 2.质量为 m的小物体，在半径为 R、一端固定于 O
点的细绳拉动下作竖直圆周运动。试求小物体位于圆
周最高点 A和最低点 B处时绳的张力，以及在 A点时细
绳不致松弛所需的最低速率 。
解,如图所示，小物体在任意位置
时受到两个力的作用：重力 mg
细绳张力 T T
mg
?
A
O R
m
B ? 按法向、切向分解，其牛顿运动方程为,
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第 10页 共 36页
解上述方程得
)c o s(
2
?g
R
vmT ??
A点,?? ?
)(
2
A gR
vmT ??
B点,0??
)(
2
B gR
vmT ??
在最高点 A时细绳不致松弛所需的条件为 TA=0
gRv
g
R
v
mT
A ?
???
m i n,
2
A 0)( 得由
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?
?
?
???
???
?
)s10(N5 0 0 0
s)100(N5 0 0
)(
静止tt
tt
tf
解,飞行器和驾驶员共同作为研究对
象，受力分析、建坐标如右图，以飞
行器着陆点为坐标原点，向右为正
x m O f (t)
N
mg
v
例 3,一轻型飞行器连同驾驶员的总质量是 1000kg，
飞行器以 55m?s-1的速率在水平跑道上着陆，驾驶员同
时制动。如已知 10s内地面阻力 f 由
零随时间成正比地增加至 5000N,
然后保持不变 (如图所示 )，问 10s内
飞行器在水平跑道滑行了多远？
O
f /N
10s t /s
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t
vm
t
ptf
d
d
d
d)( ??
以飞行器着陆点为坐标原点,
向右为正,建立运动方程 x m O f (t)
N
mg
v
2
1
1 0 0 0
5 0 0)(
d
ds,10 ?????? t
m
tf
t
vt
?? ?? tvv ttv 0 d21d
0
即
12
10
22
0
sm3010
4
1
55
4
1
55
4
1
?
?????
?????
v
ttvv
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据运动学关系可求得滑行距离
x m O f (t)
N
mg
v
2
4
155
d
d t
t
xv ???
?? ?? 100 20 d)4155(d ttxx即
m467?x
问题,飞行器从着陆到静止，其滑行距离是 467m吗？
以后是匀减速运动。
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第 14页 共 36页
三,动量定理 力对时间的累积效应
1,质点的动量定理
力的元冲量—令 tFI
ptF
dd
dd
??
??
?
?
力的冲量—?? 2
1
dt
t
tFI ??
微分形式
Ftp ?
?
?dd
积分形式
pppptFI p
p
t
t
?????? ?
? ?????? ?? 12
2
1
2
1
dd得：
质点所受合力的冲量等于质点动量的增量
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z
t
t
zz
y
t
t
yy
x
t
t
xx
ptFI
ptFI
ptFI
???
???
???
?
?
?
d
d
d
2
1
2
1
2
1分量式,
tFItFItFtFI zzyytt xxx ????? ???,,d21
tFtFI t
t
??? ? ??? 2
1
d
冲量 是 对时间的累积效应，其效果在于改变物
体的动量 。
I? F?
冲量和平均冲力 O t
xF
xF
1t 2t
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第 16页 共 36页
2,质点系的动量定理
微分形式,
外Ft
p ?? ?
d
d
pptFI p
p
t
t
???? ?
? ???? ??
2
1
2
1
dd外外
积分形式,
质点系所受外力矢量和的冲量等于质点系动量的增量。
分量式,
z
t
t
zz
y
t
t
yy
x
t
t
xx
ptFI
ptFI
ptFI
???
???
???
?
?
?
2
1
2
1
2
1
d
d
d
外
外
外 0
1
?? ?
?
N
i
iFF 内内
??
0d2
1
?? ? tFI tt 内内 ??
注意,
质点系总动量的变化与内力
的冲量无关。
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第 17页 共 36页
牛顿第二定律反映了力的瞬时效应；而动量定理则
反映力对时间的累积效应，即加速度与合外力对应，
而动量变化与合外力的冲量对应。
内力的冲量起什么作用？
改变质点系总动量在系内各质点间的分配。
练习：教材 108页 4-11(p84 4.9)
求,
已知,
2-
0
sm102.0
3712.10kg1
???
????
g
tFvm
?
? ?
s3 ?? vt ?时
请自行列方程。
?
F?
?m
o
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第 18页 共 36页
F?
?m
mg
N
f o x
y
解 1,
? ?
? ?
? ?
? ?4d
3203.1c o s 3 7
21344.02
1672.010
0s i n 3 7
3
3
0
mvmvtF
tfFF
tNf
tN
FmgNF
xx
x
y
???
????
???
??
????
?
?
?
?
对不对？
问题：物体何时飞离桌面？
s9.140672.010 ??? tt 得：令
)s9.14(0
)s9.140(0, 6 7 2-10
??
???
tN
ttN
方向。沿时 xvt ?,s3?
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第 19页 共 36页
问题：静摩擦力达到最大值以前与正压力无关。
物体何时开始运动？
? ?
? ?9.1494.11 3 4 4.02
1, 9 400, 8 9 6c o s
1, 9 4 s0, 1 3 4 4-20, 8 9 6c o s
?????
????
???
ttNf
ttFf
tttNF
?
?
??
则,
?? fFF x -co s? ? ?
? ?9.1494.1203.1
94.100
???
??
tt
t
)sm(58.0)sm(58.0
d)203.1(d
1-
3
1-
3
3
3
1, 9 4
3
0
????
?????
ivv
mvtttF x
??
通过本题体会存在变力作用时的动量定理应用
大学物理
第 20页 共 36页
例题, 如图用传送带 A输送煤粉，料斗口在 A上方高
h=0.5m处，煤粉自料斗口自由落在 A上。设料斗口连
续卸煤的流量为 q=40kg·s-1,A以 v = 2.0m·s -1的水平速
度匀速向右移动。求装煤的过程中，煤粉对 A的作用
力的大小和方向。 (不计相对传送带静止的煤粉质量 )
h A
v?
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第 21页 共 36页
解,煤粉对 A的作用力即单位时间内落下的煤粉给
A的平均冲力。这个 冲力 大小等于煤粉 单位时间内的
动量改变量,方向与煤粉动量改变量的方向相反 。
如何求煤粉动量的改变量？
ghm
vmpp
mvpp
y
x
2
)(00
0
1
2
??
????????
?????
设 时间内落下的煤
粉质量为 则有
t?
m?
由动量定理
ptFtFI t
t
???? ????? ? 2
1
d
?
?
x
y
1p?
初动量
2p?
末动量
ppp ??? ??? 12
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第 22页 共 36页
煤粉给传送带的平均冲力为
??? 6.1224.57180 ????轴的夹角为与 x
N149??F
可得煤粉所受的平均冲力为
N2.1 2 52
N80
??
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
ghq
t
p
F
qv
t
mv
t
p
F
y
y
x
x
N1 4 922 ??? yx FFF
?4.57
80
2.125a r c t ga r c t g ???
x
y
F
Fx ?轴的夹角与
1p?
?
x
y
2p?
ppp ??? ??? 12
F?
O
?
F??
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第 23页 共 36页
解, 火箭和燃气组成一个质点系。
t时刻,系统总质量为
系统总动量为 vmp ?? ?
1
m
火箭的运动, 火箭依靠排出其内部燃烧室中
产生的气体来获得向前的推力。设火箭发射时
的质量为 m0，速率为 v0，燃料烧尽时的质量为
m?，气体相对于火箭排出的速率为 ve。不计空
气阻力，求火箭所能达到的最大速率。
v
tt d? 时刻,
)0d(d ?? mmm
排出的燃气质量为 md?
火箭速度为 vv ?? d?
排出的燃气速度为
)d( vvv e ??? ??
火箭质量为
md?
ev
?
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第 24页 共 36页
系统的总动量为
mvvmvm
vvvmvvmmp
e
e
dd
)d)(d()d)(d(2
???
??????
???
???????
mvvmppp e dd12 ????? ?????
dt 时间内系统的动量增量为,
设 时刻燃料烧尽，对上式两边积分得 t?
???
??
???
m
me
v
v
t
m
mvvtg
0
m
0
ddd
0
vv ?? d?
ev?
mm d?
md?
火箭竖直向上运动时，忽略空气阻力，外力为重力
mg 。取向上为正，由质点系动量定理得
mvvmtmg e ddd ???
大学物理
第 25页 共 36页
tgmmvvvtgmmvvv ee ?????????? 00m00m lnln
火箭在自由空间飞行时,
m
mvvv
e ???
0
0m ln
用增大喷气 速度 和增大 质量比 的方法可以提高火箭末
速度。
多级火箭,
nenee NvNvNvvv lnlnln 22110m ????? ?
设,
足以发射人造地球卫星
1-3
m
321
-1
321
sm1 3 4 4 0l n 62500
6
sm2500
????
???
????
v
NNN
vvv
eee
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第 26页 共 36页
四、动量守恒定律
1,动量守恒定律
孤立系统的总动量不随时间变化 。
不受外力作用且总质量不变的系统。
由质点系动量定理,
t
pF
d
d ?? ?
外
当质点系所受外力的矢量和 时，质点系动量的
时间变化率为零 。 即当质点系所受外力矢量和为零时，
质点系的总动量不随时间变化。
0?外F?
孤立系统的质心作匀速直线运动
恒矢量时当 外 ??? cvMpF ??? 0
大学物理
第 27页 共 36页
(2) 若系统 内力 >>外力,以致外力可以略而不计
时，可以近似应用动量守恒定律处理问题。
思考,系统动量守恒条件能否为,?
?? 2
1
0dtt tFI 外外 ??
恒量时
恒量时
恒量时
外
外
外
???
???
???
?
?
?
iz
i
izz
iy
i
iyy
ix
i
ixx
vmpF
vmpF
vmpF
0
0
0
说明, (1) 当 时，系统总动量不守恒，但 0?
外F
?
(3) 式中各速度应对同一参考系而言。
大学物理
第 28页 共 36页
2,动量守恒定律的应用
解,
“碰撞”：相互靠近，由于斥
力而分离的过程 ——散射 。
例题, ? 粒子散射中，质量为 m的 ? 粒子与质量为
M的静止氧原子核发生“碰撞”。实验测出碰撞后,
? 粒子沿与入射方向成 ? =72? 角方向运动，而氧原
子核沿与 ? 粒子入射方向成 ? =41? 角反冲，如图所
示，求,碰撞”前后 ? 粒子速率之比。
对 ?粒子和氧原子核系统，碰撞过程中无外力作用,
系统总动量守恒。
?M
m
?
1v?
2v?
v?
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第 29页 共 36页
由动量守恒定律得 vMvmvm ??? ??
21
碰后,?粒子动量为 氧原子核动量为 vM?
2vm?
碰前,?粒子动量为 氧原子核动量为 0 1vm?
解得“碰撞”前后,? 粒子速率之比为
? ? ? ? 71.04172s i n
41s i n
s i n
s i n
1
2 ?
?
?
?
? ??
?
??
?
v
v
直角坐标系中
??
??
s i ns i n0
c o sc o s
2
21
Mvmv
Mvmvmv
??
??
x
y
?
?
1vm
?
2vm
?
o
vM?
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第 30页 共 36页
例题, 如图，水平地面上一辆静止的炮车发射炮弹。
炮车质量为 M，炮身仰角为 ?，炮弹质量为 m，炮弹刚
出口时相对炮身的速率为 u，不计地面摩擦，求,
(1) 炮弹刚出口时，炮车反冲速度的大小。
(2) 若炮筒长为 l,求发炮过程中炮车移动的距离。
M
m
?
x
u?
解,(1)以炮车、炮弹系统为研究对象，选地面为参考
系，忽略地面摩擦力，系统水平方向动量守恒。
设炮弹出口后，炮车相对于地面
的速率为,则,v
? ?vumMv ??? ?co s0
解得,
Mm
muv
???
?c o s
大学物理
第 31页 共 36页
(2) 设发射炮弹过程中，任一时刻炮弹相对于炮身
的速率为 u(t)，炮身相对于地面的速率为 v(t)，则利用
前面的结果可得
Mm
tmutv
???
?c o s)()(
已知弹筒长度为
?? t ttul 0 d)(
则炮身在此过程中的位移为
?? ????? tt ttuMmmttvx 00 )(c o s)( dd ?
Mm
mlx
?????
?c o s
大学物理
第 32页 共 36页
例题, 一绳跨过一定滑轮，两端分别系有质量 m及
M的物体，且 M >m 。最初 M静止在桌上，抬高 m使绳
处于松弛状态。当 m自由下落距离 h后，绳才被拉紧，
求此时两物体的速率 v和 M所能上升的最大高度 (不计
滑轮和绳的质量、轴承摩擦及绳的伸长 )。
hM
m
运动过程分析
a
vH
2
2
?
当 m自由下落 h距离，绳被拉紧
的瞬间 m和 M获得相同的运动速率
v，此后 m向下减速运动,M向上
减速运动。 M上升的最大高度为
分两个阶段求解
大学物理
第 33页 共 36页
Mm ?
解 1,绳拉紧时冲力很大，忽略重力,
系统动量守恒
Mm
ghm
v
vMmghm
?
?
??
2;)(2
第一阶段,绳拉紧,求共同速率 v
解 2,动量是矢量，以向下为正，系统动量守恒,
Mm
ghmvvMmvghm
?
???? 2);(2
hM
m
+
以上两种解法均不对 ！
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第 34页 共 36页
设平均冲力大小为,取向上为正方向 F
Mg
F
mg
F
+
? ?
? ? MvMvtMgFI
ghmmvtmgFI
??????
???????
0
)2(
2
1
hM
m
+
xN
yN 正确解法,绳拉紧时冲力很大，轮
轴反作用力不能忽略, m+M系统动量
不守恒，应 分别对它们用动量定理。
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第 35页 共 36页
hM
m
+
忽略重力，则有
mM
ghm
v
Mvghmmv
?
?
????
2
)2(
21 II ?
? ?
? ? MvtMgFI
ghmmvtmgFI
????
???????
2
1 )2(
A
C B作业中类似问题
（ P108 4-12）
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第 36页 共 36页
M
m
+
第二阶段,M与 m有大小相等，方向相反的加速度 a
设绳拉力为 T，画出 m与 M的受力图
a
Mg
T a
mg
T
+
由牛顿运动定律
?
?
?
??
??
mamgT
MaTMg 解得
mM
gmMa
?
?? )(
22
2
2
2
))(2()2((
2 mM
hm
mM
gmM
mM
ghm
a
vH
?
?
?
?
?
??
上升的最大高度为 M
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第 2页 共 36页
一、质点和质点系的动量
1,质点的动量
vmp ?? ?
质点机械运动的量度
2,质点系的动量
i
i
i
NN
N
vm
vmvmvm
pppp
?
?
?
??
?
?
???
??
????
????
2211
21
N个质量分别为,动量分别为
的质点组成质点系，其总动量为 N
mmm,,,21 ? Nppp ????,,,21
第二节 动量守恒定律
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第 3页 共 36页
牛顿第二定律的一般形式
? ?cvamFtpF ????? ??
??
d
d
特例
二,动量的时间变化率 力
? ?
t
vmv
t
m
t
vm
t
p
d
d
d
d
d
d
d
d ???? ???
质点动量的时间变化率是质点所受的合力
)( cvFam ???? ??
1,质点动量的时间变化率
2,质点系动量的时间变化率
t
pFFF
d
d 1
111
????
??? 内外
N个质量分别为 动量分别为
的质点组成一个质点系，各质点所受的合力分别为
Nmmm,,,21 ? Nppp ????,,,21
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第 4页 共 36页
将以上各式相加，并考虑到
0
1
?? ?
?
N
i
iFF 内内
?? 得,
)(dd 2121 NN ppptFFF ???????? ??????? 外外外
t
p
FFF
t
p
FFF
N
NNN
d
d
d
d
2
222
?
???
??
?
???
???
???
内外
内外
t
pFF N
i
i d
d
1
???
?? ?
?
外外
即
结论, 质点系所受外力的 矢量和 等于质点系的总
动量的时间变化率。
大学物理
第 5页 共 36页
具体分析 ——研究对象的运动情况和受力情况
牛顿定律的应用
选定坐标 ——参考系、坐标系、正方向
隔离物体 ——明确研究对象
建立方程 ——分量式
z
z
z
y
y
y
x
x
x
ma
t
p
F
ma
t
p
F
ma
t
p
F
??
??
??
d
d
d
d
d
d
n
2
n
ττ
d
d
ma
R
v
mF
ma
t
v
mF
??
??
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例 1,一艘质量为 m的潜水艇，全部浸没水中，并由静
止开始下沉。设浮力为 F,水的阻力 f = kAv，式中 A为
潜水艇水平投影面积,k为常数。求潜水艇下沉速度与
时间的关系。
由牛顿第二定律,
?? ?
??
???
tv
t
k A vFmg
vm
t
v
mk A vFmg
00
d
d
d
d
解,以潜艇为研究对象，受力如图,
在地球系中建立如图坐标 O
mg
F
c
+
f
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?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
t
m
kA
t
m
kA
e
kA
Fmg
v
e
Fmg
k A vFmg
t
Fmg
m g - F - k A v
kA
m
1
ln
讨论潜艇
运动情况
恒量?
?
????
?????
kA
Fmg
vvt
t
v
vtvt
m a x
,
d
d
,00
极限速率（收尾速率）
v
mv
o t
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类似处理,跳伞运动员下落,
有阻力的抛体运动
小球在粘滞流体中下落 …..,
练习, 物体在粘性流体中运动时会受到流体的阻力作
用。实验证明，当物体速度不太大时，阻力与速度大小
成正比，方向与速度方向相反，即,其中 ?为
常数，与流体性质有关。今有一质量为 m的物体，在 t =0
时以初速 v0进入粘性流体，并设物体除受阻力外，未受
其它力作用。试求某一时刻 t 物体的速度大小。
vf ?? ???
答案,tmevv ???
0
O t
v
0v
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)3(s i n
)2(s i n
)1(c o s
τ
τ
2
?
?
?
ga
mamg
R
v
mmgT
?
?
??
例 2.质量为 m的小物体，在半径为 R、一端固定于 O
点的细绳拉动下作竖直圆周运动。试求小物体位于圆
周最高点 A和最低点 B处时绳的张力，以及在 A点时细
绳不致松弛所需的最低速率 。
解,如图所示，小物体在任意位置
时受到两个力的作用：重力 mg
细绳张力 T T
mg
?
A
O R
m
B ? 按法向、切向分解，其牛顿运动方程为,
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解上述方程得
)c o s(
2
?g
R
vmT ??
A点,?? ?
)(
2
A gR
vmT ??
B点,0??
)(
2
B gR
vmT ??
在最高点 A时细绳不致松弛所需的条件为 TA=0
gRv
g
R
v
mT
A ?
???
m i n,
2
A 0)( 得由
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?
?
?
???
???
?
)s10(N5 0 0 0
s)100(N5 0 0
)(
静止tt
tt
tf
解,飞行器和驾驶员共同作为研究对
象，受力分析、建坐标如右图，以飞
行器着陆点为坐标原点，向右为正
x m O f (t)
N
mg
v
例 3,一轻型飞行器连同驾驶员的总质量是 1000kg，
飞行器以 55m?s-1的速率在水平跑道上着陆，驾驶员同
时制动。如已知 10s内地面阻力 f 由
零随时间成正比地增加至 5000N,
然后保持不变 (如图所示 )，问 10s内
飞行器在水平跑道滑行了多远？
O
f /N
10s t /s
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t
vm
t
ptf
d
d
d
d)( ??
以飞行器着陆点为坐标原点,
向右为正,建立运动方程 x m O f (t)
N
mg
v
2
1
1 0 0 0
5 0 0)(
d
ds,10 ?????? t
m
tf
t
vt
?? ?? tvv ttv 0 d21d
0
即
12
10
22
0
sm3010
4
1
55
4
1
55
4
1
?
?????
?????
v
ttvv
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据运动学关系可求得滑行距离
x m O f (t)
N
mg
v
2
4
155
d
d t
t
xv ???
?? ?? 100 20 d)4155(d ttxx即
m467?x
问题,飞行器从着陆到静止，其滑行距离是 467m吗？
以后是匀减速运动。
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第 14页 共 36页
三,动量定理 力对时间的累积效应
1,质点的动量定理
力的元冲量—令 tFI
ptF
dd
dd
??
??
?
?
力的冲量—?? 2
1
dt
t
tFI ??
微分形式
Ftp ?
?
?dd
积分形式
pppptFI p
p
t
t
?????? ?
? ?????? ?? 12
2
1
2
1
dd得：
质点所受合力的冲量等于质点动量的增量
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z
t
t
zz
y
t
t
yy
x
t
t
xx
ptFI
ptFI
ptFI
???
???
???
?
?
?
d
d
d
2
1
2
1
2
1分量式,
tFItFItFtFI zzyytt xxx ????? ???,,d21
tFtFI t
t
??? ? ??? 2
1
d
冲量 是 对时间的累积效应，其效果在于改变物
体的动量 。
I? F?
冲量和平均冲力 O t
xF
xF
1t 2t
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第 16页 共 36页
2,质点系的动量定理
微分形式,
外Ft
p ?? ?
d
d
pptFI p
p
t
t
???? ?
? ???? ??
2
1
2
1
dd外外
积分形式,
质点系所受外力矢量和的冲量等于质点系动量的增量。
分量式,
z
t
t
zz
y
t
t
yy
x
t
t
xx
ptFI
ptFI
ptFI
???
???
???
?
?
?
2
1
2
1
2
1
d
d
d
外
外
外 0
1
?? ?
?
N
i
iFF 内内
??
0d2
1
?? ? tFI tt 内内 ??
注意,
质点系总动量的变化与内力
的冲量无关。
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第 17页 共 36页
牛顿第二定律反映了力的瞬时效应；而动量定理则
反映力对时间的累积效应，即加速度与合外力对应，
而动量变化与合外力的冲量对应。
内力的冲量起什么作用？
改变质点系总动量在系内各质点间的分配。
练习：教材 108页 4-11(p84 4.9)
求,
已知,
2-
0
sm102.0
3712.10kg1
???
????
g
tFvm
?
? ?
s3 ?? vt ?时
请自行列方程。
?
F?
?m
o
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第 18页 共 36页
F?
?m
mg
N
f o x
y
解 1,
? ?
? ?
? ?
? ?4d
3203.1c o s 3 7
21344.02
1672.010
0s i n 3 7
3
3
0
mvmvtF
tfFF
tNf
tN
FmgNF
xx
x
y
???
????
???
??
????
?
?
?
?
对不对？
问题：物体何时飞离桌面？
s9.140672.010 ??? tt 得：令
)s9.14(0
)s9.140(0, 6 7 2-10
??
???
tN
ttN
方向。沿时 xvt ?,s3?
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第 19页 共 36页
问题：静摩擦力达到最大值以前与正压力无关。
物体何时开始运动？
? ?
? ?9.1494.11 3 4 4.02
1, 9 400, 8 9 6c o s
1, 9 4 s0, 1 3 4 4-20, 8 9 6c o s
?????
????
???
ttNf
ttFf
tttNF
?
?
??
则,
?? fFF x -co s? ? ?
? ?9.1494.1203.1
94.100
???
??
tt
t
)sm(58.0)sm(58.0
d)203.1(d
1-
3
1-
3
3
3
1, 9 4
3
0
????
?????
ivv
mvtttF x
??
通过本题体会存在变力作用时的动量定理应用
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第 20页 共 36页
例题, 如图用传送带 A输送煤粉，料斗口在 A上方高
h=0.5m处，煤粉自料斗口自由落在 A上。设料斗口连
续卸煤的流量为 q=40kg·s-1,A以 v = 2.0m·s -1的水平速
度匀速向右移动。求装煤的过程中，煤粉对 A的作用
力的大小和方向。 (不计相对传送带静止的煤粉质量 )
h A
v?
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第 21页 共 36页
解,煤粉对 A的作用力即单位时间内落下的煤粉给
A的平均冲力。这个 冲力 大小等于煤粉 单位时间内的
动量改变量,方向与煤粉动量改变量的方向相反 。
如何求煤粉动量的改变量？
ghm
vmpp
mvpp
y
x
2
)(00
0
1
2
??
????????
?????
设 时间内落下的煤
粉质量为 则有
t?
m?
由动量定理
ptFtFI t
t
???? ????? ? 2
1
d
?
?
x
y
1p?
初动量
2p?
末动量
ppp ??? ??? 12
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第 22页 共 36页
煤粉给传送带的平均冲力为
??? 6.1224.57180 ????轴的夹角为与 x
N149??F
可得煤粉所受的平均冲力为
N2.1 2 52
N80
??
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
ghq
t
p
F
qv
t
mv
t
p
F
y
y
x
x
N1 4 922 ??? yx FFF
?4.57
80
2.125a r c t ga r c t g ???
x
y
F
Fx ?轴的夹角与
1p?
?
x
y
2p?
ppp ??? ??? 12
F?
O
?
F??
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第 23页 共 36页
解, 火箭和燃气组成一个质点系。
t时刻,系统总质量为
系统总动量为 vmp ?? ?
1
m
火箭的运动, 火箭依靠排出其内部燃烧室中
产生的气体来获得向前的推力。设火箭发射时
的质量为 m0，速率为 v0，燃料烧尽时的质量为
m?，气体相对于火箭排出的速率为 ve。不计空
气阻力，求火箭所能达到的最大速率。
v
tt d? 时刻,
)0d(d ?? mmm
排出的燃气质量为 md?
火箭速度为 vv ?? d?
排出的燃气速度为
)d( vvv e ??? ??
火箭质量为
md?
ev
?
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第 24页 共 36页
系统的总动量为
mvvmvm
vvvmvvmmp
e
e
dd
)d)(d()d)(d(2
???
??????
???
???????
mvvmppp e dd12 ????? ?????
dt 时间内系统的动量增量为,
设 时刻燃料烧尽，对上式两边积分得 t?
???
??
???
m
me
v
v
t
m
mvvtg
0
m
0
ddd
0
vv ?? d?
ev?
mm d?
md?
火箭竖直向上运动时，忽略空气阻力，外力为重力
mg 。取向上为正，由质点系动量定理得
mvvmtmg e ddd ???
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第 25页 共 36页
tgmmvvvtgmmvvv ee ?????????? 00m00m lnln
火箭在自由空间飞行时,
m
mvvv
e ???
0
0m ln
用增大喷气 速度 和增大 质量比 的方法可以提高火箭末
速度。
多级火箭,
nenee NvNvNvvv lnlnln 22110m ????? ?
设,
足以发射人造地球卫星
1-3
m
321
-1
321
sm1 3 4 4 0l n 62500
6
sm2500
????
???
????
v
NNN
vvv
eee
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第 26页 共 36页
四、动量守恒定律
1,动量守恒定律
孤立系统的总动量不随时间变化 。
不受外力作用且总质量不变的系统。
由质点系动量定理,
t
pF
d
d ?? ?
外
当质点系所受外力的矢量和 时，质点系动量的
时间变化率为零 。 即当质点系所受外力矢量和为零时，
质点系的总动量不随时间变化。
0?外F?
孤立系统的质心作匀速直线运动
恒矢量时当 外 ??? cvMpF ??? 0
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第 27页 共 36页
(2) 若系统 内力 >>外力,以致外力可以略而不计
时，可以近似应用动量守恒定律处理问题。
思考,系统动量守恒条件能否为,?
?? 2
1
0dtt tFI 外外 ??
恒量时
恒量时
恒量时
外
外
外
???
???
???
?
?
?
iz
i
izz
iy
i
iyy
ix
i
ixx
vmpF
vmpF
vmpF
0
0
0
说明, (1) 当 时，系统总动量不守恒，但 0?
外F
?
(3) 式中各速度应对同一参考系而言。
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第 28页 共 36页
2,动量守恒定律的应用
解,
“碰撞”：相互靠近，由于斥
力而分离的过程 ——散射 。
例题, ? 粒子散射中，质量为 m的 ? 粒子与质量为
M的静止氧原子核发生“碰撞”。实验测出碰撞后,
? 粒子沿与入射方向成 ? =72? 角方向运动，而氧原
子核沿与 ? 粒子入射方向成 ? =41? 角反冲，如图所
示，求,碰撞”前后 ? 粒子速率之比。
对 ?粒子和氧原子核系统，碰撞过程中无外力作用,
系统总动量守恒。
?M
m
?
1v?
2v?
v?
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第 29页 共 36页
由动量守恒定律得 vMvmvm ??? ??
21
碰后,?粒子动量为 氧原子核动量为 vM?
2vm?
碰前,?粒子动量为 氧原子核动量为 0 1vm?
解得“碰撞”前后,? 粒子速率之比为
? ? ? ? 71.04172s i n
41s i n
s i n
s i n
1
2 ?
?
?
?
? ??
?
??
?
v
v
直角坐标系中
??
??
s i ns i n0
c o sc o s
2
21
Mvmv
Mvmvmv
??
??
x
y
?
?
1vm
?
2vm
?
o
vM?
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第 30页 共 36页
例题, 如图，水平地面上一辆静止的炮车发射炮弹。
炮车质量为 M，炮身仰角为 ?，炮弹质量为 m，炮弹刚
出口时相对炮身的速率为 u，不计地面摩擦，求,
(1) 炮弹刚出口时，炮车反冲速度的大小。
(2) 若炮筒长为 l,求发炮过程中炮车移动的距离。
M
m
?
x
u?
解,(1)以炮车、炮弹系统为研究对象，选地面为参考
系，忽略地面摩擦力，系统水平方向动量守恒。
设炮弹出口后，炮车相对于地面
的速率为,则,v
? ?vumMv ??? ?co s0
解得,
Mm
muv
???
?c o s
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第 31页 共 36页
(2) 设发射炮弹过程中，任一时刻炮弹相对于炮身
的速率为 u(t)，炮身相对于地面的速率为 v(t)，则利用
前面的结果可得
Mm
tmutv
???
?c o s)()(
已知弹筒长度为
?? t ttul 0 d)(
则炮身在此过程中的位移为
?? ????? tt ttuMmmttvx 00 )(c o s)( dd ?
Mm
mlx
?????
?c o s
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第 32页 共 36页
例题, 一绳跨过一定滑轮，两端分别系有质量 m及
M的物体，且 M >m 。最初 M静止在桌上，抬高 m使绳
处于松弛状态。当 m自由下落距离 h后，绳才被拉紧，
求此时两物体的速率 v和 M所能上升的最大高度 (不计
滑轮和绳的质量、轴承摩擦及绳的伸长 )。
hM
m
运动过程分析
a
vH
2
2
?
当 m自由下落 h距离，绳被拉紧
的瞬间 m和 M获得相同的运动速率
v，此后 m向下减速运动,M向上
减速运动。 M上升的最大高度为
分两个阶段求解
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第 33页 共 36页
Mm ?
解 1,绳拉紧时冲力很大，忽略重力,
系统动量守恒
Mm
ghm
v
vMmghm
?
?
??
2;)(2
第一阶段,绳拉紧,求共同速率 v
解 2,动量是矢量，以向下为正，系统动量守恒,
Mm
ghmvvMmvghm
?
???? 2);(2
hM
m
+
以上两种解法均不对 ！
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第 34页 共 36页
设平均冲力大小为,取向上为正方向 F
Mg
F
mg
F
+
? ?
? ? MvMvtMgFI
ghmmvtmgFI
??????
???????
0
)2(
2
1
hM
m
+
xN
yN 正确解法,绳拉紧时冲力很大，轮
轴反作用力不能忽略, m+M系统动量
不守恒，应 分别对它们用动量定理。
大学物理
第 35页 共 36页
hM
m
+
忽略重力，则有
mM
ghm
v
Mvghmmv
?
?
????
2
)2(
21 II ?
? ?
? ? MvtMgFI
ghmmvtmgFI
????
???????
2
1 )2(
A
C B作业中类似问题
（ P108 4-12）
大学物理
第 36页 共 36页
M
m
+
第二阶段,M与 m有大小相等，方向相反的加速度 a
设绳拉力为 T，画出 m与 M的受力图
a
Mg
T a
mg
T
+
由牛顿运动定律
?
?
?
??
??
mamgT
MaTMg 解得
mM
gmMa
?
?? )(
22
2
2
2
))(2()2((
2 mM
hm
mM
gmM
mM
ghm
a
vH
?
?
?
?
?
??
上升的最大高度为 M
