同学们好
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第 2页 共 41页
第四章 力学中的守恒定律
(1)守恒定律与对称性
守恒量 —— 系统变换过程中保持不变的量
守恒定律 —— 自然界的普遍规律
—— 自然界某种对称性的反映
(2)守恒律的特点
不究过程细节而对系统的状态下结论。
(3)守恒律的意义
体现在方法论上的意义
例如,在物理学中如何建立起多种形式能量的概念？
热能；电能；化学能；生物能；核能
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第 3页 共 41页
例如, 1914年，查德维克（ J.Chadwich）发现 衰变
的“能量失窃”现象。
?
e
A
Z
A
Z eYX ????
?
? 1
1931年，泡利提出中微子存在
的假设。
1953年，美国的雷因斯 (F.Reins)
和柯恩用实验直接证明了中微
子的存在。
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第 4页 共 41页
结构框图
动能 机械能守 恒定律
动量守恒
定律
动能的时
间变化率
动量
势能
动量的时
间变化率
动量
定理
角动量 角动量时间变化率 角动量 定理 角动量守 恒定律
三
个
守
恒
定
律
应用
动能
定理
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结构框图
动能 动能
定理
功能
原理
机械能
守恒
能量守恒与
时间平移对称性
动 能 变
化率
功
势能
?力对空间的积累,功 效果：改变 动能
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第 6页 共 41页
第一节 能量守恒定律
一、动能 功 动能定理
动能的时间变化率
t
rF
t
E
d
d
d
d k ?? ?? rFE ?? dd
k ?? ??
状态改变量 过程量
※ 迄今，最不可思议的动能是，宇宙射线中有些质子的动能
达到 1019 eV，是其静止能量的 1010倍。
1,动能
vvmmvE ?? ??? 2121 2k
质点的动能
质点系的动能
2
kk 2
1
ii
i i
i vmEE ? ???
x y
z
1r?
2r? cr?
Nr?
1m 2m
cm
NmO
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??
i
iFF 外外
??
质点系内质点间的内力总是成对出现，因此必有
? ??
i
iFF 0内内
??
同一力对某一系统为外力，而对另一系统则可能为
内力。
内力和外力,
内力,系统内质点间的
相互作用力。
外力,系统外的物体对系
统内任一质点的作用力。 1m
2m
3m
12F
?
21F
?
13F
?
31F
?
32F
?
23F
?外1
F?
外3F
?
外2F
?
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中学知识恒力作功
sFsFA ?? ????? ?c o s
2,功 力对空间累积
元功,
?
?
c o sd
c o sd
dd
sF
rF
rFA
?
???
??
?
??
zFyFxFrFA zyx ddddd ????? ??
直角坐标系,
kFjFiFF zyx ???? ???
kzjyixr ???? dddd ???
(1) 变力的功
a
b
O
F?
r?d
sd
r?
r??
?
?
s?
F?F?
s
a b
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总功,
rFsFAA
b
a
b
a
b
a
????? ???? ddc o sd ?
? ?? ???
b
a
zyx zFyFxF ddd
(2) 示功图
dA
Fcos?
s
a
b
O
Fcos? — s曲线下的面积表示力 F所作的功的大小
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第 10页 共 41页
① 功是标量 (代数量 )
A总 =A1+A2+……
A > 0 力对物体做功
A < 0 物体反抗阻力做功
A = 0 力作用点无位移
力与位移相互垂直
(3) 功的性质
rFsFAA
b
a
b
a
b
a
??
??? ????? ddc o sd
② 功是过程量
与作用点的 位移 相关
说 某时刻的功是没有意义的
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第 11页 共 41页
③ 功是相对量
与作用点的 位移 相关
一个力所做的功与参考系的选择
相关，是相对量
地面系
AN≠0
电梯系
AN=0
h v
N
④ 一对 作用力 与 反作用力 做功的代数和不一定为零
力作用点的位移不一定相同
0?? ?ff AA
v m
c ff?
s
s?
M
质点系内力做功的
代数和 不一定 为零
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系统内力总是成对出现
A1
B1
O
1f
?
1dr?
1r?
2f?
A2
B2
2dr?
m2
m1
2r?
? ?
212
122
d
d
rf
rrf
??
???
??
???
d
1
??? ? ?
?
i
N
i
i rfA
??
内
?? ??? BABAAB rfAA 212 dd ??
? 一对力 所作的总功的只取决于两质点的相对运动；
? 一对力做功的代数和与参考系的选择无关；
? ?122
2211
dd
ddd
rrf
rfrfA
???
????
???
????
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第 13页 共 41页
什么条件下,一对内力做功为零?
? 作用点无相对位移
? 相互作用力与相对位移垂直
0?? ?NN AA
N
C
N?
v
0?? ?ff AA
v
m
C
ff?
s
s?
M
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第 14页 共 41页
解,
jyFixFF ??? 00 ??
jyixr ??? ??
jyixr ??? ddd ??
? ?? rFA ?? d
C,
x
y
o
P
r?
R m
F?
练习 1 一质点做圆周运动，有一力 作
用于质点，在质点由原点至 P(0,2R)点过程中，力 做
的功 A =？
? ?jyixFF ??? ?? 0
F?
?? ??
R
yyFxxF
2
0
0
0
0
0 dd
202 RF?
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第 15页 共 41页
m2.0
m1.00 00
?
????
s
xMgkx
弹簧伸长 0.1 m
物体上升 0.1 m 得
练习 2 如图 M =2kg,k =200N ? m-1,s = 0.2m,g ≈ 10m?s -2
不计轮、绳质量和摩擦,弹簧最初为自然长度,
缓慢下拉 s,则 AF =?
M
F
k
s
缓慢下拉, 每时刻物体处于平衡态
F = kx (0 < x ≤ 0.1m) 前 0.1m为变力 kx
0 =Mg (0.1 < x ≤0.2m) 后 0.1m为恒力
J3dd
2.0
1.0
1.0
0
??? ?? xMgxkxA
解,
x
O
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第 16页 共 41页
iiiii ErfFA Kd)( ????? ?
???
对于第 i个质点 mi,所有外力、
内力共同做功，其动能定理为 x
y
z
1r?
2r? cr?
Nr?
1m 2m
cm
NmO
由质点系的动能
2
kk 2
1
ii
i i
i vmEE ? ???
3,动能定理
由 得 质点的动能定理
rFE ?? dd k ?? ??
k1k2kk
2k
1k
2
1
dd EEEErFA E
E
r
r
??????? ?? ??
?
?
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第 17页 共 41页
质点系动能定理,质点系所有外力、内力做功的代数
和等于质点系总动能的增量。
i
N
i
ii
N
i
i
N
i
i ErfFA K
111
d)( ?? ??
???
????? ?
??
对于整个系统，其动能定理为
i
N
i
i
N
i
i
N
i
ii ErfrFA K
111
dd ?? ?? ?
???
?????? ?
???
KEAA ??? 内外
d
1
??? ? ?
?
i
N
i
i rfA
??
内
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第 18页 共 41页
1,计算重力、弹力、引力的功
二、保守力 势能 功能原理
x
k m
o m
o
o
m
x
k
k x1
x2
x F?
F?
h
h2
h1 m
mg
o
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第 19页 共 41页
共同特点,
① 做功与路径无关，只与起、末点位置有关。
② 做功等于与相互作用物体的相对位置有关的 某函
数 在始末位置的值之差。
O M
m F? r?
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第 20页 共 41页
1,保守力
?对沿闭合路径运动一周的物体做功为零
0d ??? ?
L
rFA ??
否则为非保守力（耗散力）
（四种基本相互作用力均是保守力）
?做功与路径无关，只与起点、终点位置有关
? ??? ??
b
a
b
a
rFrFA ???? dd
（路径 L1） （路径 L2）
a
m
b
L1
L2
F?
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第 21页 共 41页
2,势能
保守力的功均可表示为与相互作用物体相对位置
有关的 某函数 在始末位置的值之差。
定义为此物体系的势能函数，简称势能,。
PE
PPP EEEA BAAB ?????
系统由位置状态 A改变到位置状态 B的过程中，保守内
力的功等于系统势能的减少（或势能增量的负值）
?要确定某一位置处的势能值时，要选择一参考位置
作为 势能零点 ；
?只有对存在保守内力的物体系 才能 引入势能的概念，
所以它属于以保守力相互作用的 整个物体系 。
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第 22页 共 41页
重力势能,
弹性势能,
引力势能,
地球与物体 m组成的系统的势能
以地面为重力势能零点,h为物体离地面的高度
m g hE ?P
弹簧与物体组成的系统的势能
以弹簧原长处为势能零点,x为弹簧伸长的长度
2
P 2
1 kxE ?
物体 m与物体 M组成的系统的势能
以 m与 M相距无穷远处为势能零点,r为两物体
间的距离
r
mMGE ??
P
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第 23页 共 41页
3,保守力与相关势能的关系,
保守力的功等于其相关势能增量的负值
A保 = -ΔEp
物体在场中某点的势能等于将物体从该点移到零势
点过程中保守力做的功
如何从势能函数求出相应的保守力？
m
lF
l ?
F?
l?d pl
ElF dd ???
lFlFA dc o sdd ???? ??
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第 24页 共 41页
pl ElFlFA dddd ?????
??
?
?
?
?
?
???
l
E
F l
d
d p
保守力在 l 方向投影 E p 在 l 方向
空间变化率
m
lF
l θ
F?
l?d
直角坐标系,
z
EF
y
EF
x
EF
zyx ?
???
?
???
?
??? PPP ;;
? ?kjiF zEyExE ???? ?????? ???? ppp保
保守力与相关势能的关系,
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第 25页 共 41页
ppg r a d EEF ?????保
?
? ?kji zEyExE ??? ?????? ???? ppp
保守力为其相
关势能梯度的
负值
保守力与相关势能的关系,
4,势能曲线,
x
E p
0
r
E p
保守力
重 力
弹 力
引 力
势能（ E p ） 势能零点 势能曲线
mgh
2
21 kx
r
mMG?
h = 0
x = 0
r = ∞
h
E p
0
0
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第 26页 共 41页
ppg r a d EEF ?????保
? 保守力为其相关势
能梯度的负值
?由势能曲线求保守内力,
势能曲线在某点处的斜率的负值即为物体系在相
应位置的保守内力
?由势能曲线分析物体的运动特性,
P.83 分析例子
P.107 4-8题
2E
1E
1r 0r 2r
3E
PE
rO
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第 27页 共 41页
练习 3 质量为 m的质点在外力 F的作用下沿 x轴运动。
已知 t = 0时质点位于原点，初速度为零。力 F随距离线
性减小,x = 0处,F=F0; x=L处,F = 0。试求质点在
x=L处的速率。
解, 应用动能定理 0
2
1 2 ?? mvA
xLFFF 00 ??由题意
2d)(d
00
000
LFxx
L
FFxFA LL ???? ??
m
LFv 0?
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第 28页 共 41页
练习 4 均匀链 m,长 l 置于光滑桌面上,下垂部分长
0.2 l,施力将其缓慢拉回桌面。 用两种方法求出此过
程中外力所做的功。
解一, 用变力做功计算
光滑平面,缓慢拉回,则拉
力与链下垂部分重力平衡,
设下垂部分长为 x,质
量,以向下为正,
l
xm?
glmxG ? 50dd
0
2.0
m g lxx
l
mgxFA
l
GG ???? ??
50
m glAA
GF ???
0.8 l
0.2 l
0??
x
F
O
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第 29页 共 41页
解二,
用保守力做功与势
能变化的关系计算
令桌面 0
p ?E
5010551
m g llmghmgE
c ????
??
?
? ???
p初态,
02p ?E末态,
? ? 501p2pp m g lEEEA ?????????重力做功,
50
m g lAA ????外力功,
0.8 l 0.2 l
0?? Ep=0
质心 C
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第 30页 共 41页
4.功能原理
KEAAA ???? 非保内保内外
PE??
（动能和势能统称 机械能 ）
PK EEE ??
? ? EEEAA ?????? pK非保内外
质点系的动能定理
KEAA ??? 内外
质点系所受外力和非保守内力做功的总和等于质
点系机械能的增量。
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第 31页 共 41页
功能原理 ? ? EEEAA ??????
pK非保内外
质点系所受外力和非保守内力做功的总和等于质
点系机械能的增量。
注意
① 机械能是指物体系的动能与势能的和；
② 决定 是外力的功和非保守内力的功，不能理
解为合力的功；
E?
③ 不出现在功能原理表达式中，即保守内力做
功不影响系统的总机械能。 保内
A
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第 32页 共 41页
练习 5 如图所示, 质量 m = 2kg的物体从静止开始,
沿 1/4圆弧从 A滑到 B,在 B处速度的大小为 。
已知圆的半径 R = 4m,求物体从 A到 B的过程中
(1) 重力对它作的功 。
(2) 摩擦力对它作的功 。
1sm6 ???v
R
A
m
B
O
J84.7
J48.92
d
?
???
?? ? m g RhgmA
B
A
重力
解, (1) 重力的功
R
A
m
B
O
hd
hmgA dd ?重力
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第 33页 共 41页
由功能原理 得 EAA ???
非保内外
摩支撑摩非保内
外因为
AAAA
A
???
? 0
(2) 以 B点为重力势能零点，求摩
擦力的功为
J4.42J)48.9262
2
1
(
2
1
2
2
????????
?? m g RmvA
摩
所以
R
A
m
B
O
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第 34页 共 41页
练习 6(p107 4-5)
一质量为 m 的人造地球卫星沿一圆形轨道运动
(v ＜＜ c), 离开地面的高度等于地球半径的二倍
(即 2R)。 试以 m,R,引力恒量 G,地球质量 M
表示出,
(1) 卫星的动能。
(2) 卫星在地球引力场中的引力势能。
(3) 卫星的总机械能。
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第 35页 共 41页
解,,cv ?? 非相对论问题
? ?
R
G m M
mvE
R
v
m
R
mM
G
62
1
33
2
k
2
2
??
?
(1)
(2)
R
mM
Gr
r
mM
GE
R 3
d
3
2p ???? ?
?
(3)
R
G M mEEE
6pk
????
约束于引力场中，未摆脱地球影响
O
r F
2R
R
M
m
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第 36页 共 41页
ab
aR
bR
思考, 卫星对接问题
设飞船 a, b 圆轨道在同一平面内，飞船 a 要追上 b
并与之对接，能否直接加速？
R
G M mEEE
6pk
????
加速，发动机做功,ΔE＞ 0,
轨道半径 R增大,不能对接 ;
方法, a 减速
ΔE< 0
R减小 R
C轨道
加速 R
b轨道
Rc
c
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第 37页 共 41页
三、机械能守恒定律
(1) 当各微元过程都满足 时,
,系统机械能守恒。
0dd ?? 非保内外 AA
恒量?? EE 0d
(2)当过程满足 时,
系统初、末态机械能相等。
0?? 非保内外 AA 21 EE ?
(3)能量守恒定律对应于时间平移对称性
时间平移对称性,一个静止不变或匀速直线运动的
体系对任何时间间隔 ?t 的时间平移表现出不变性。
测定能量的物理实验可以在不同时间重复，其遵循的
规律不变，则能量守恒。即是说，能量的测定不依赖于
绝对的时间坐标。
大学物理
第 38页 共 41页
① 非保守内力做功，总是与机械运动和其它运动形式相互
转换相联系的；非保守内力的总功对一给定过程为一确定
值，不依赖于参考系的选取；
② 如果在某惯性系中机械能守恒，在其它惯性系中机械能
不一定守恒；
(m+地球 )系统 车厢系, AN = 0 E 守恒
地面系, AN≠0 E不守恒
N m
匀速 v m N
注意,
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第 39页 共 41页
练习 7(p107 4-8) 质量为 m 的质点位于一维势场中 (如图 )
已知,
m7
ms2
kg2
0
1
0
?
??
?
?
x
iv
m
??
求, (1) m 运动范围
(2) 何处 F > 0
(3) 何处 vmax=?
x/m
2
Ep/J
4
-4
0 1 4 7 9 mv0
?
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第 40页 共 41页
解, (1) 初态
J4
2
1 2
0
0p0k0
??
??
mv
EEE
E 守恒,当 Ek= 0时
? ? J40m a xp ?? EE
作曲线 知运动范围 J4
p ?E
1?x
(2) 要
0dd0dd pp ???? xExEF
势能曲线斜率为负, 941 ??? xx
J4?pE
x/m
2
Ep/J
4
-4
0 1 4 7 9 mv0
?
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第 41页 共 41页
(3) x = 4m 处,势能最小
动能最大,v 最大
? ? EmvE ?? 2m a xm i np 21
11m ax sm82.2sm22 ?? ????v
? ? J8J)]4(4[
2
1
m i np
2
m a x ?????? EEmv
J4?pE
x/m
2
Ep/J
4
-4
0 1 4 7 9 mv0
?
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第 2页 共 41页
第四章 力学中的守恒定律
(1)守恒定律与对称性
守恒量 —— 系统变换过程中保持不变的量
守恒定律 —— 自然界的普遍规律
—— 自然界某种对称性的反映
(2)守恒律的特点
不究过程细节而对系统的状态下结论。
(3)守恒律的意义
体现在方法论上的意义
例如,在物理学中如何建立起多种形式能量的概念？
热能；电能；化学能；生物能；核能
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第 3页 共 41页
例如, 1914年，查德维克（ J.Chadwich）发现 衰变
的“能量失窃”现象。
?
e
A
Z
A
Z eYX ????
?
? 1
1931年，泡利提出中微子存在
的假设。
1953年，美国的雷因斯 (F.Reins)
和柯恩用实验直接证明了中微
子的存在。
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第 4页 共 41页
结构框图
动能 机械能守 恒定律
动量守恒
定律
动能的时
间变化率
动量
势能
动量的时
间变化率
动量
定理
角动量 角动量时间变化率 角动量 定理 角动量守 恒定律
三
个
守
恒
定
律
应用
动能
定理
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第 5页 共 41页
结构框图
动能 动能
定理
功能
原理
机械能
守恒
能量守恒与
时间平移对称性
动 能 变
化率
功
势能
?力对空间的积累,功 效果：改变 动能
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第 6页 共 41页
第一节 能量守恒定律
一、动能 功 动能定理
动能的时间变化率
t
rF
t
E
d
d
d
d k ?? ?? rFE ?? dd
k ?? ??
状态改变量 过程量
※ 迄今，最不可思议的动能是，宇宙射线中有些质子的动能
达到 1019 eV，是其静止能量的 1010倍。
1,动能
vvmmvE ?? ??? 2121 2k
质点的动能
质点系的动能
2
kk 2
1
ii
i i
i vmEE ? ???
x y
z
1r?
2r? cr?
Nr?
1m 2m
cm
NmO
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第 7页 共 41页
??
i
iFF 外外
??
质点系内质点间的内力总是成对出现，因此必有
? ??
i
iFF 0内内
??
同一力对某一系统为外力，而对另一系统则可能为
内力。
内力和外力,
内力,系统内质点间的
相互作用力。
外力,系统外的物体对系
统内任一质点的作用力。 1m
2m
3m
12F
?
21F
?
13F
?
31F
?
32F
?
23F
?外1
F?
外3F
?
外2F
?
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中学知识恒力作功
sFsFA ?? ????? ?c o s
2,功 力对空间累积
元功,
?
?
c o sd
c o sd
dd
sF
rF
rFA
?
???
??
?
??
zFyFxFrFA zyx ddddd ????? ??
直角坐标系,
kFjFiFF zyx ???? ???
kzjyixr ???? dddd ???
(1) 变力的功
a
b
O
F?
r?d
sd
r?
r??
?
?
s?
F?F?
s
a b
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总功,
rFsFAA
b
a
b
a
b
a
????? ???? ddc o sd ?
? ?? ???
b
a
zyx zFyFxF ddd
(2) 示功图
dA
Fcos?
s
a
b
O
Fcos? — s曲线下的面积表示力 F所作的功的大小
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① 功是标量 (代数量 )
A总 =A1+A2+……
A > 0 力对物体做功
A < 0 物体反抗阻力做功
A = 0 力作用点无位移
力与位移相互垂直
(3) 功的性质
rFsFAA
b
a
b
a
b
a
??
??? ????? ddc o sd
② 功是过程量
与作用点的 位移 相关
说 某时刻的功是没有意义的
大学物理
第 11页 共 41页
③ 功是相对量
与作用点的 位移 相关
一个力所做的功与参考系的选择
相关，是相对量
地面系
AN≠0
电梯系
AN=0
h v
N
④ 一对 作用力 与 反作用力 做功的代数和不一定为零
力作用点的位移不一定相同
0?? ?ff AA
v m
c ff?
s
s?
M
质点系内力做功的
代数和 不一定 为零
大学物理
第 12页 共 41页
系统内力总是成对出现
A1
B1
O
1f
?
1dr?
1r?
2f?
A2
B2
2dr?
m2
m1
2r?
? ?
212
122
d
d
rf
rrf
??
???
??
???
d
1
??? ? ?
?
i
N
i
i rfA
??
内
?? ??? BABAAB rfAA 212 dd ??
? 一对力 所作的总功的只取决于两质点的相对运动；
? 一对力做功的代数和与参考系的选择无关；
? ?122
2211
dd
ddd
rrf
rfrfA
???
????
???
????
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第 13页 共 41页
什么条件下,一对内力做功为零?
? 作用点无相对位移
? 相互作用力与相对位移垂直
0?? ?NN AA
N
C
N?
v
0?? ?ff AA
v
m
C
ff?
s
s?
M
大学物理
第 14页 共 41页
解,
jyFixFF ??? 00 ??
jyixr ??? ??
jyixr ??? ddd ??
? ?? rFA ?? d
C,
x
y
o
P
r?
R m
F?
练习 1 一质点做圆周运动，有一力 作
用于质点，在质点由原点至 P(0,2R)点过程中，力 做
的功 A =？
? ?jyixFF ??? ?? 0
F?
?? ??
R
yyFxxF
2
0
0
0
0
0 dd
202 RF?
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第 15页 共 41页
m2.0
m1.00 00
?
????
s
xMgkx
弹簧伸长 0.1 m
物体上升 0.1 m 得
练习 2 如图 M =2kg,k =200N ? m-1,s = 0.2m,g ≈ 10m?s -2
不计轮、绳质量和摩擦,弹簧最初为自然长度,
缓慢下拉 s,则 AF =?
M
F
k
s
缓慢下拉, 每时刻物体处于平衡态
F = kx (0 < x ≤ 0.1m) 前 0.1m为变力 kx
0 =Mg (0.1 < x ≤0.2m) 后 0.1m为恒力
J3dd
2.0
1.0
1.0
0
??? ?? xMgxkxA
解,
x
O
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第 16页 共 41页
iiiii ErfFA Kd)( ????? ?
???
对于第 i个质点 mi,所有外力、
内力共同做功，其动能定理为 x
y
z
1r?
2r? cr?
Nr?
1m 2m
cm
NmO
由质点系的动能
2
kk 2
1
ii
i i
i vmEE ? ???
3,动能定理
由 得 质点的动能定理
rFE ?? dd k ?? ??
k1k2kk
2k
1k
2
1
dd EEEErFA E
E
r
r
??????? ?? ??
?
?
大学物理
第 17页 共 41页
质点系动能定理,质点系所有外力、内力做功的代数
和等于质点系总动能的增量。
i
N
i
ii
N
i
i
N
i
i ErfFA K
111
d)( ?? ??
???
????? ?
??
对于整个系统，其动能定理为
i
N
i
i
N
i
i
N
i
ii ErfrFA K
111
dd ?? ?? ?
???
?????? ?
???
KEAA ??? 内外
d
1
??? ? ?
?
i
N
i
i rfA
??
内
大学物理
第 18页 共 41页
1,计算重力、弹力、引力的功
二、保守力 势能 功能原理
x
k m
o m
o
o
m
x
k
k x1
x2
x F?
F?
h
h2
h1 m
mg
o
大学物理
第 19页 共 41页
共同特点,
① 做功与路径无关，只与起、末点位置有关。
② 做功等于与相互作用物体的相对位置有关的 某函
数 在始末位置的值之差。
O M
m F? r?
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第 20页 共 41页
1,保守力
?对沿闭合路径运动一周的物体做功为零
0d ??? ?
L
rFA ??
否则为非保守力（耗散力）
（四种基本相互作用力均是保守力）
?做功与路径无关，只与起点、终点位置有关
? ??? ??
b
a
b
a
rFrFA ???? dd
（路径 L1） （路径 L2）
a
m
b
L1
L2
F?
大学物理
第 21页 共 41页
2,势能
保守力的功均可表示为与相互作用物体相对位置
有关的 某函数 在始末位置的值之差。
定义为此物体系的势能函数，简称势能,。
PE
PPP EEEA BAAB ?????
系统由位置状态 A改变到位置状态 B的过程中，保守内
力的功等于系统势能的减少（或势能增量的负值）
?要确定某一位置处的势能值时，要选择一参考位置
作为 势能零点 ；
?只有对存在保守内力的物体系 才能 引入势能的概念，
所以它属于以保守力相互作用的 整个物体系 。
大学物理
第 22页 共 41页
重力势能,
弹性势能,
引力势能,
地球与物体 m组成的系统的势能
以地面为重力势能零点,h为物体离地面的高度
m g hE ?P
弹簧与物体组成的系统的势能
以弹簧原长处为势能零点,x为弹簧伸长的长度
2
P 2
1 kxE ?
物体 m与物体 M组成的系统的势能
以 m与 M相距无穷远处为势能零点,r为两物体
间的距离
r
mMGE ??
P
大学物理
第 23页 共 41页
3,保守力与相关势能的关系,
保守力的功等于其相关势能增量的负值
A保 = -ΔEp
物体在场中某点的势能等于将物体从该点移到零势
点过程中保守力做的功
如何从势能函数求出相应的保守力？
m
lF
l ?
F?
l?d pl
ElF dd ???
lFlFA dc o sdd ???? ??
大学物理
第 24页 共 41页
pl ElFlFA dddd ?????
??
?
?
?
?
?
???
l
E
F l
d
d p
保守力在 l 方向投影 E p 在 l 方向
空间变化率
m
lF
l θ
F?
l?d
直角坐标系,
z
EF
y
EF
x
EF
zyx ?
???
?
???
?
??? PPP ;;
? ?kjiF zEyExE ???? ?????? ???? ppp保
保守力与相关势能的关系,
大学物理
第 25页 共 41页
ppg r a d EEF ?????保
?
? ?kji zEyExE ??? ?????? ???? ppp
保守力为其相
关势能梯度的
负值
保守力与相关势能的关系,
4,势能曲线,
x
E p
0
r
E p
保守力
重 力
弹 力
引 力
势能（ E p ） 势能零点 势能曲线
mgh
2
21 kx
r
mMG?
h = 0
x = 0
r = ∞
h
E p
0
0
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第 26页 共 41页
ppg r a d EEF ?????保
? 保守力为其相关势
能梯度的负值
?由势能曲线求保守内力,
势能曲线在某点处的斜率的负值即为物体系在相
应位置的保守内力
?由势能曲线分析物体的运动特性,
P.83 分析例子
P.107 4-8题
2E
1E
1r 0r 2r
3E
PE
rO
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第 27页 共 41页
练习 3 质量为 m的质点在外力 F的作用下沿 x轴运动。
已知 t = 0时质点位于原点，初速度为零。力 F随距离线
性减小,x = 0处,F=F0; x=L处,F = 0。试求质点在
x=L处的速率。
解, 应用动能定理 0
2
1 2 ?? mvA
xLFFF 00 ??由题意
2d)(d
00
000
LFxx
L
FFxFA LL ???? ??
m
LFv 0?
大学物理
第 28页 共 41页
练习 4 均匀链 m,长 l 置于光滑桌面上,下垂部分长
0.2 l,施力将其缓慢拉回桌面。 用两种方法求出此过
程中外力所做的功。
解一, 用变力做功计算
光滑平面,缓慢拉回,则拉
力与链下垂部分重力平衡,
设下垂部分长为 x,质
量,以向下为正,
l
xm?
glmxG ? 50dd
0
2.0
m g lxx
l
mgxFA
l
GG ???? ??
50
m glAA
GF ???
0.8 l
0.2 l
0??
x
F
O
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第 29页 共 41页
解二,
用保守力做功与势
能变化的关系计算
令桌面 0
p ?E
5010551
m g llmghmgE
c ????
??
?
? ???
p初态,
02p ?E末态,
? ? 501p2pp m g lEEEA ?????????重力做功,
50
m g lAA ????外力功,
0.8 l 0.2 l
0?? Ep=0
质心 C
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第 30页 共 41页
4.功能原理
KEAAA ???? 非保内保内外
PE??
（动能和势能统称 机械能 ）
PK EEE ??
? ? EEEAA ?????? pK非保内外
质点系的动能定理
KEAA ??? 内外
质点系所受外力和非保守内力做功的总和等于质
点系机械能的增量。
大学物理
第 31页 共 41页
功能原理 ? ? EEEAA ??????
pK非保内外
质点系所受外力和非保守内力做功的总和等于质
点系机械能的增量。
注意
① 机械能是指物体系的动能与势能的和；
② 决定 是外力的功和非保守内力的功，不能理
解为合力的功；
E?
③ 不出现在功能原理表达式中，即保守内力做
功不影响系统的总机械能。 保内
A
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第 32页 共 41页
练习 5 如图所示, 质量 m = 2kg的物体从静止开始,
沿 1/4圆弧从 A滑到 B,在 B处速度的大小为 。
已知圆的半径 R = 4m,求物体从 A到 B的过程中
(1) 重力对它作的功 。
(2) 摩擦力对它作的功 。
1sm6 ???v
R
A
m
B
O
J84.7
J48.92
d
?
???
?? ? m g RhgmA
B
A
重力
解, (1) 重力的功
R
A
m
B
O
hd
hmgA dd ?重力
大学物理
第 33页 共 41页
由功能原理 得 EAA ???
非保内外
摩支撑摩非保内
外因为
AAAA
A
???
? 0
(2) 以 B点为重力势能零点，求摩
擦力的功为
J4.42J)48.9262
2
1
(
2
1
2
2
????????
?? m g RmvA
摩
所以
R
A
m
B
O
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第 34页 共 41页
练习 6(p107 4-5)
一质量为 m 的人造地球卫星沿一圆形轨道运动
(v ＜＜ c), 离开地面的高度等于地球半径的二倍
(即 2R)。 试以 m,R,引力恒量 G,地球质量 M
表示出,
(1) 卫星的动能。
(2) 卫星在地球引力场中的引力势能。
(3) 卫星的总机械能。
大学物理
第 35页 共 41页
解,,cv ?? 非相对论问题
? ?
R
G m M
mvE
R
v
m
R
mM
G
62
1
33
2
k
2
2
??
?
(1)
(2)
R
mM
Gr
r
mM
GE
R 3
d
3
2p ???? ?
?
(3)
R
G M mEEE
6pk
????
约束于引力场中，未摆脱地球影响
O
r F
2R
R
M
m
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第 36页 共 41页
ab
aR
bR
思考, 卫星对接问题
设飞船 a, b 圆轨道在同一平面内，飞船 a 要追上 b
并与之对接，能否直接加速？
R
G M mEEE
6pk
????
加速，发动机做功,ΔE＞ 0,
轨道半径 R增大,不能对接 ;
方法, a 减速
ΔE< 0
R减小 R
C轨道
加速 R
b轨道
Rc
c
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第 37页 共 41页
三、机械能守恒定律
(1) 当各微元过程都满足 时,
,系统机械能守恒。
0dd ?? 非保内外 AA
恒量?? EE 0d
(2)当过程满足 时,
系统初、末态机械能相等。
0?? 非保内外 AA 21 EE ?
(3)能量守恒定律对应于时间平移对称性
时间平移对称性,一个静止不变或匀速直线运动的
体系对任何时间间隔 ?t 的时间平移表现出不变性。
测定能量的物理实验可以在不同时间重复，其遵循的
规律不变，则能量守恒。即是说，能量的测定不依赖于
绝对的时间坐标。
大学物理
第 38页 共 41页
① 非保守内力做功，总是与机械运动和其它运动形式相互
转换相联系的；非保守内力的总功对一给定过程为一确定
值，不依赖于参考系的选取；
② 如果在某惯性系中机械能守恒，在其它惯性系中机械能
不一定守恒；
(m+地球 )系统 车厢系, AN = 0 E 守恒
地面系, AN≠0 E不守恒
N m
匀速 v m N
注意,
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第 39页 共 41页
练习 7(p107 4-8) 质量为 m 的质点位于一维势场中 (如图 )
已知,
m7
ms2
kg2
0
1
0
?
??
?
?
x
iv
m
??
求, (1) m 运动范围
(2) 何处 F > 0
(3) 何处 vmax=?
x/m
2
Ep/J
4
-4
0 1 4 7 9 mv0
?
大学物理
第 40页 共 41页
解, (1) 初态
J4
2
1 2
0
0p0k0
??
??
mv
EEE
E 守恒,当 Ek= 0时
? ? J40m a xp ?? EE
作曲线 知运动范围 J4
p ?E
1?x
(2) 要
0dd0dd pp ???? xExEF
势能曲线斜率为负, 941 ??? xx
J4?pE
x/m
2
Ep/J
4
-4
0 1 4 7 9 mv0
?
大学物理
第 41页 共 41页
(3) x = 4m 处,势能最小
动能最大,v 最大
? ? EmvE ?? 2m a xm i np 21
11m ax sm82.2sm22 ?? ????v
? ? J8J)]4(4[
2
1
m i np
2
m a x ?????? EEmv
J4?pE
x/m
2
Ep/J
4
-4
0 1 4 7 9 mv0
?
