同
学
们
好
大学物理
第 2页 共 46页
第二节 运动的描述
一, 描述质点运动的基本物理量及其直角坐标描述
二, 质点运动的自然坐标描述
三, 圆周运动的角量描述
四, 刚体的运动
五, 运动的相空间描述
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上讲内容
位置 )(,trr ??
12 rrr ??? ???
位移
速度
t
rv
d
d ?? ?
加速度
2
2
d
d
d
d
t
r
t
va ??? ??
直角坐标系
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质点运动的直角坐标描述
kji zyxr ???? ???
ktzjtyitxv ???? dddddd ???
kt zjt yit xa ????
2
2
2
2
2
2
d
d
d
d
d
d ???
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二、质点运动的自然坐标描述
(1) 位置,在轨道上取一固定点 O,用质点距离 O的路程
长度 s，可惟一确定质点的位置。 位置 s有正负之分。
(2) 位置变化, s?
(3) 速度,沿切线方向 。
t
s
t
rv
d
d
d
d ?? ??因为
dd τtsτvv ???? ??所以
??
n?
自然坐标系 —— 坐标原点固接于质点,坐标轴沿质点运
动轨道的切向和法向的坐标系，叫做自然坐标系。切向
以质点前进方向为正，记做,法向以曲线凹侧方向
为正，记做 。
A
B
??
n?
n?
??
o
s
?s
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(4) 加速度,
速度的改变为,
nτ vvv
??? ?????
B
Av?
Bv?
v??
t
v
t
v
t
va
ttt ?
??
?
??
?
??
??????
n
0
τ
00
limlimlim
????
nstsvtvntvtv ???? dddddddddd ???? ????
nv
t
v ??
?
?
2
d
d ??
切向加速度
法向加速度
A
B
Bv
?
Av?
v??
??
nv?? τv??
D C
E
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(1) a? = 0 匀速率运动 ; a?≠ 0 变速运动
(2) an = 0 直线运动 ; an≠ 0 曲线运动
nv
t
vnaaa ?????
?
??
2
d
d
nτ ????
??? tva ddτ ?
切向加速度,
描述速度大小变化的快慢，不影响速度的方向
nva ??
?
2
n ?
法向加速度,
描述速度方向变化的快慢，不影响速度的大小
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nv
t
vnaaa ?????
?
??
2
d
d
nτ ????
讨论
dddd tvtv ?
?
a? τa?
大小,2
n
2
τ aaa ??
?
方向,
τ
na r c t g
a
a??
的夹角与 τaa ??
a?
τa
?
na
?
??
n?
?
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例,设一质点在半径为 r的圆周上以速率 v0运动，写出,
自然坐标系中质点的速度和加速度。
解, 以 O?为自然坐标系的原点和计时起点
r
vv
a
t
v
a
2
0
2
0
??
??
?
n
τ
d
d
n
r
vaaa ???? 20
nτ ???
?? ??? 00 vtsvtsv ??? dddd
O O?
s
0v?
r
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第 10页 共 46页
取圆心 O为坐标原点，计时起点同上
于是,t = 0时,x = r,y = 0
O O?
s x
y
?
0v?
r
a?
0v
? 在直角坐标中重做，可发现
用自然坐标描述匀速率圆周
运动较直角坐标简便。
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练习, 一物体做抛体运动,已知 v0,?,讨论
g?g?g?
?sing?sing? 0
?cosg ?cosgg
?cos
2
0
g
v
?cos
2
0
g
v
g
v ?220 co s
CA
B
0v
?
?
g?
g?g?
n?
n?
n?
??
??
??
CA B
a?
τa
na
?
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线量, 在自然坐标系下，基本 参量
以运动曲线为基准，称为线量。
角量, 在极坐标系下，以旋转角度
为基准的基本参量，称为角量。
(2) 角位移, ??
三、圆周运动的角量描述
(1) 角位置,
?
单位,rad
反常规定,
逆时针为正 O O?
P? (t+?t)
P(t)
x R
? s ??
?
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(3) 角速度
平均角速度,
t?
?? ??
角速度,
ttt d
dl i m
0
??? ?
?
??
??
角速度矢量, ?? 方向按右手
螺旋规定
O R ?
旋转方向
v?
??
P
大小, ?? s i nrv ?
方向, 右手螺旋法则
?
rv ??? ?? ?
r?
O?角速度与线速度关系,
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(4) 角加速度
平均角加速度,
t?
?? ??
角加速度,
2
2
d
d
d
dlim
0 tttt
???? ??
?
??
??
?
?
?
R
t
R
t
s
v
Rs
???
?
d
d
d
d
2
22
)(
d
d
d
d
n
τ
?
?
?
?
?
R
R
Rv
a
R
t
R
t
v
a
???
???
(5) 角量与线量的关系
O O?
P? (t+?t)
P(t)
x R
? s ??
?
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第 15页 共 46页
解, (1)
tttt 6dd43dd 2 ????? ????
)SI(343 ??? tt?
某发动机工作时，主轴边缘一点作圆
周运动方程为 )SI(343 ??? tt?
练习
(1) t = 2s时，该点的角速度和角加速度为多大？
(2) 若主轴直径 D = 40 cm，求 t = 1s时该点的速度和
加速度
-1-12 sr ad16sr ad)423(:s2 ??????? ?t
22 sr ad12sr ad26 ?? ??????
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? ? ? ?
? ? 2.0432.12.06
432.04.043
2
1
2
1
222
22
????????
????????
trattra
ttDrv
n ??
??
?
(2)由角量和线量的关系，得边缘一点的速度、切向加
速度和法向加速度
? ? 222n2τ
11
sm8.9sm8.29.043sm2.1
sm4.1sm)43(2.0s1
???
??
????????
???????
aa
vt 时，
???
0.83
2.1
8.9
a r c t ga r c t g:
sm87.9sm8.92.1
τ
n
22222
τ
2
n
???
???????
??
a
a
va
aaa
?的夹角为与
此时总加速度的大小为 v?
a?
τa
?
na
?
?
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第 17页 共 46页
四、刚体的运动 平动
转动 (特例,定轴转动 )
平动＋转动
运动
平动,刚体运动时,若其上任意两点连线的方向始终
不变,这种运动称为刚体的平动。 可视为质点 。
定轴转动,刚体内各质点都绕同一固定直线做圆周运
动，叫做刚体的定轴转动。 该直线叫刚体的转轴 。
一般运动, 平动与转动叠加。
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第 18页 共 46页
刚体定轴转动
?
? ? ? ?
? ? ?
?
rv ??? ?? ?
刚体定轴转动的特点,
1,转动平面垂直于转轴。
2,转动平面上各点均做圆
周运动，角量相同，线量不
同。
3,定轴转动刚体上各点的
角速度矢量 的方向均沿轴
线。
??
定义 定轴转动刚体上各质点的运动面为 转动平面
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第 19页 共 46页
处理方法,
1) 简化为转动平面内的
运动。
2) 用角量作整体描述。
3) 在轴上选正方向，各
角量均表示为代数量
????,,,?
?
r?
R
v?
??
O
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五、运动的相空间描述
相空间,以系统的状态参量为变量，建立的坐标系。
运动相空间,用位置、速度建立坐标系。
相图,在坐标面上的点对应系统的状态，称为 相点 。
相点在相空间的运动轨迹即是 相图 。
x
v
O
v
x O
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第 21页 共 46页
第三节 运动学的两类基本问题
一、已知质点运动方程，求任一时刻的速度、加
速度 （ 微分法 ）
???,)(,)( ?? tavtr ???
二、已知加速度（或速度）及初始条件，求质
点任一时刻的速度和运动方程 (积分法 )
)(,)(),0(,)( 00 trtvvrtta ????? ?? 时
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第 22页 共 46页
第一类问题
1,其轨迹为一条直线
注意 —— 凡直线运动，可将坐标原点选在轨道直
线上，建立一维坐标，将各矢量按代数量处理 。
avrr ????,,,?
2
2
d
d,
d
d,,
t
xa
t
xvxx ???
66
963
593
2
23
??
???
????
ta
ttv
tttx
例题 1.已知粒子运动方程 )SI(593 23 ???? tttx
分析粒子的运动情况。
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第 23页 共 46页
转折性时刻,
12022:3
0126:1
695:0
333
111
000
?????
??????
??????
avxt
avxt
avxt
0 < t < 3,粒子向 - x 运动； 0 < t < 1,加速
1 < t < 3,减速
t > 3,粒子向 + x 运动
注意, 由运动叠加原理，质点的一般曲线运动可
以归结为直线运动处理。
-1
-6
2 1 3
-12
o /st
-1sm/ ?v
-1
-6
2 1 3
-12
o
-2sm/ ?a
/st
66
963
593
2
23
??
???
????
ta
ttv
tttx
2,该粒子作一般变速直线运动
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第 24页 共 46页
(2) 找一个实例
平面曲线运动
jajtiv ????? 10)1015(5 ?????
斜抛运动
(3) 求轨道方程、抛射角、射程、射高
练习 已知,)SI()515(5 2 jttitr ??? ???
(1) 质点做什么运动？
?27ar ct g 3 ???
53
2x
xy ??
2515
5
tty
tx
??
?
O X
y
x
Y
2/X
0v?
?
m150 ?? Xy
射程,
m25.11m5.7 ?? Yx
射高,
gatvy
avx
yy
xx
??????
??
101015:
05:
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第 25页 共 46页
例题 2,距海岸 (视为直线 )500m处有一艘静止的船，
船上的探照灯以 1r/min的转速旋转，当光束与岸边成
60?角 时，光束沿岸边移动速度多大？
解,首先建立 P点 的运动方程 x(t)
?
??
?
?
22 c o sd
d
c o sd
d
t a n
h
t
h
t
x
v
hx
???
??
1-
2
sm8.69
30c o s
60
π2
5 0 0
3060
??
?
?
??
?
??
Pv
?? P
?
?
pv
h
A
?x o
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第 26页 共 46页
讨论
hvv
h
APv
p ??
?
??
??
??
c o s
c o s
错在哪里？ P? ox
?
?
pv
h
A
v?
t
rv
tp ?
??
??
??
0
l i m
o
A
x
r?
r??
r??
P
P?
t
r
t
r
tt ?
??
?
??
????
2
0
1
0
l i ml i m
??
1r?? 2r??
v?
A
r?
x
o
P
Pv?
1v
?
2v
?
21 vv
?? ??
大学物理
第 27页 共 46页
例题 3,一质点沿半径为 R的圆周运动，路程与时
间的关系为
求,(1) 任意时刻 t，质点加速度的大小和方向。
(2) 什么时刻质点加速度的大小等于 b，这时
质点已转了几圈？
? ?。SI21 20 bttvs ??
解, 质点的速率
btv
t
sv ???
0d
d
大学物理
第 28页 共 46页
? ?
? ?
? ? ? ?
224
0
2
2
4
02
τ
2
n
τ
2
0
2
n
1
d
d
,)1(
Rbbtv
R
b
R
btv
aaa
b
t
v
a
R
btv
R
v
at
?????
?
???
???
?
??
加速度的大小为
，任意时刻
? ?
? ?Rb
btv
a
a
a
?
?
??
2
0
τ
n a r c t ga r c t g?
与切向轴的夹角为
?
?
a?
? ?
b
v
t
bRbbtv
R
a
0
222
0
1
)2(
?
????
解得时间
，令加速度
τa
?
na?
大学物理
第 29页 共 46页
Rb
v
n
Rb
v
b
v
R
b
b
v
R
v
π4π2
22
2
0
2
0
2
000
??
??
?
?
?
?
?
??
?
?
转过的圈数为
20
2
1
bt
RR
tv
R
s
????
程为用角量表示质点运动方
R
bt
R
v
t ???
0
d
d ??
:
0
00
0
可得
代入运动方程，。将时质点还没有反向转动可见，
，，解得令
b
v
t
b
v
t
b
v
t
??
???
?
P
s
R
?
O
x
大学物理
第 30页 共 46页
第二类问题
例题 4,已知,质点沿直线运动,
00:0;)( vvxxttaa ????
求,)(,)( txtv
解,
*d
d
dd
dd
d
d
0
0
0
0
0
0
tavv
tavv
tav
tav
t
v
a
t
t
tv
v
?
?
??
??
??
?
?
?
*d
d
dd
dd
d
d
0
0
0
0
0
0
?
?
??
??
??
?
?
?
t
t
tx
x
tvxx
tvxx
tvx
tvx
t
x
v
大学物理
第 31页 共 46页
?
??
??
?????
x
x
x
x
v
v
xavv
xavv
x
vv
t
x
x
v
t
v
a
0
00
*d2
dd
d
d
d
d
d
d
d
d
2
0
2
思考 若加速度 a = 恒量，上面三个 *式成为什么形式？
*d00 tavv t???
*d00 ??? t tvxx
??? xx xavv 0 *d2202 )(2
2
1
0
2
0
2
2
00
0
xxavv
attvxx
atvv
???
???
??
大学物理
第 32页 共 46页
用类比方法写出用角量表示的圆周运
动公式和 ? = 恒量 时的形式 思考
??? t tvxx 00 d
??? xx xavv 0 d2202
tavv t d00 ???
tt d00 ??? ???
??? t t00 d???
??? ?? ???? 0 d2202
)(2
2
1
0
2
0
2
2
00
0
xxavv
attvxx
atvv
???
???
??
)(2
2
1
0
2
0
2
2
00
0
?????
????
???
???
???
??
tt
t
大学物理
第 33页 共 46页
例题 5,火箭竖直向上发射，加速度随时间变化规律
如图所示。求火箭在 t = 50s时燃料用完瞬间的速度和
高度。
20 50
10
15
0
-2sm/ ?a
s/t
解, 写出 a(t) 表达式
1-50
20
20
00
sm475d)20(6110d21 ???
?
?
??
? ????? ?? ttttvv
或曲线下的面积 ??? t tavv
00
d
?a
)5020()20(
6
1
10
)200(
2
1
????
??
tt
tt
大学物理
第 34页 共 46页
高度分两段算,
m7.666,sm100:s20
12
1
d
4
1
d
4
1
d
2
1
2
1
:s200
1
1-
1
0 0
32
101
0
2
011
????
????
?????
? ?
?
hvt
ttttvhh
tttvvta
t t
t
? ? ???????
? ? ????????
????
50
20
50
20
2
212
20 20
2
212
2
m7.8 9 1 6d)
3
200
3
20
12
(7.666d
3
200
3
20
12
1
d)
3
20
6
(100d
)20(
6
1
10:s5020
t
tt
tvhh
ttt
t
tavv
ta
t t
大学物理
第 35页 共 46页
例题 6,一艘快艇在速率为 时关闭发动机，其
加速度,式中 k为常数，试证明关闭发动机
后又行驶距离 x时，快艇速率为,
0v
2kva ??
kxevv ?? 0
证明,
2
d
d
d
d
d
d
d
d kv
x
vv
t
x
x
v
t
va ??????
证毕
? ? ??
??
v
v
x
xk
v
v
xk
v
v
0 0
d
d
d
d
kxevv
kx
v
v
??
??
0
0
ln
大学物理
第 36页 共 46页
第四节 相对运动
一,运动的绝对性和描述运动的相对性
只有相对确定的参考系才能具体描述物体的运动，
选择的参考系不同，对同一物体运动的描述不相同。
一个坐标系
中的描述
另一个坐标
系中的描述
变换
二,低速 下的变换 )( cv??
分别从 系和 系描述
质点 的运动
)( xyzoS ? )( zyxoS ??????
p
大学物理
第 37页 共 46页
P
O
O?
x
y y?
x?
OPr ??
POr?
s s?
v?
OOOPPO rrr ?? ??
???
位置矢量
OOOPPO aaa
oo
?? ??
?
???
),( 间只有相对平动时当加速度矢量
DOCDBCABAO rrrrr
????? ????
推广,
DOCDBCABAO vvvvv
????? ????
OOOPPO
OOOPPO
vvv
rrr
??
??
??
?????
???
???
:
:
速度矢量
位移矢量
大学物理
第 38页 共 46页
设 系相对于 系沿 方向以速率 运动，以 和
重合时为计时起点
SS? x u o o?
z z?y y?// //
x
y
z
x?
y?
z?
u
ut
S S?
O O?
伽利略
坐标变换
tt
zz
yy
utxx
??
??
??
???
zz
yy
xx
vv
vv
uvv
??
??
???伽利略
速度变换
大学物理
第 39页 共 46页
三,变换参考系的运动学意义, 处理问题简便
解 1,以岸为参考系，分别写出船和艇的运动方程，
令其坐标相等，得相遇条件。
建立如图坐标系
例题,一条船平行于平直海岸航行，离岸距离为 D，
速率为 V。一艘快艇从港口出发去拦截这条船，快
艇速率 v<V，试证明快艇必须在船驶过海岸线上某
点以前出发才行，该点离港口的距离为,
22 vV
v
Dx ??
o
x
x
D
v?
V
?
大学物理
第 40页 共 46页
船
Dy
Vtx
?
?
1
1
艇
?
?
s i n
c o s
2
2
vty
vtxx
?
??
相遇,
21
21
yy
xx
?
?
?
?
s i n
c o s
vtD
vtxVt
?
??即
消去 t得,? ?
*s i nc o s? ?v DvVx ??
令
0dd ??x
解出 代入 * 得
? minx
o
x
x
D
v?
V
?
y
大学物理
第 41页 共 46页
思考,以船为参考系，相遇条件是什么？
A
B
Av?
Bv?
? ?
AB
AwBw
wABwBA
vv
vv
vvv
??
??
???
??
???
??
若 的延长线过,则, 相撞。
BAv
? A A
解 2,以船为参考系，设艇对船的速度为
v??
Vvv ??? ???
Av??
BAv?
B
大学物理
第 42页 共 46页
o
x
D V
?
x
v?
V?
v??
?
Vvv ??? ???
艇出发时,
22
s in
xD
D
?
??
相遇条件,
最小时当 xm,???? ??
证毕。得：由,22m i n
22
vVvDxVv
xD
D ???
?
有最大值：?Vv ?
V
v
m ??s i m
? m?
大学物理
第 43页 共 46页
例题,河水自西向东流动，速度为 10km?h-1 。一轮船
在水中航行，船相对于河水的航向为北偏西 30?，相对
于河水的航速为 10km?h-1 。此时风向为由东向西，风
速为 10km?h-1。试求在船上观察到的烟囱冒出的烟缕
的飘向 (设烟离开烟囱后很快就获得与风相同的速度 )。
解析法,
建立如图所示坐标系,
由题意可知 风地v?
船水v
?
水地v
?
?30
北 y
x
东 O
大学物理
第 44页 共 46页
)hkm(30c o s20
30s i n20
)hkm(10
)hkm(10
1
1
1
?
?
?
??
??
???
??
j
iv
iv
iv
?
??
??
??
?
?
船水
风地
水地
根据相对速度公式,
)hkm(3.1710
10)30c o s2030s in20()10(
1?
????
??????
???
????
ji
ijii
vvv
vvvvv
??
????
???
?????
??
）（
水地船水风地
水船地水风地风船烟船
风地v
?
船水v
?
水地v
?
?30
北 y
x
东 O
大学物理
第 45页 共 46页
.30hkm20
30
10
3.17
a r c t g
)hkm(20)3.17()10
1
122
飘去的速率向南偏西即在船上观察，烟以
（
烟船
?
?
?
?
?
??
??????
?
v
北 y
x
东
?
O
风船v?
-10
-17.3
风地v
?
船水v
?
水地v
?
?30
北 y
x
东 O
大学物理
第 46页 共 46页
图解法,
根据相对速度公式,
)()( 船水水地风地
水船地水风地风船烟船
vvv
vvvvv
???
?????
?????
????
?30
)hkm(20 1
?
?? ?
?
烟船v
.30
hkm20 1
飘去的速率向南偏西
即在船上观察，烟以
?
??
风地v
?
水地v
??
船水v
??
风船v
? ??30
风地v
?
船水v
?
水地v
?
?30
北
y
x
东 O
学
们
好
大学物理
第 2页 共 46页
第二节 运动的描述
一, 描述质点运动的基本物理量及其直角坐标描述
二, 质点运动的自然坐标描述
三, 圆周运动的角量描述
四, 刚体的运动
五, 运动的相空间描述
大学物理
第 3页 共 46页
上讲内容
位置 )(,trr ??
12 rrr ??? ???
位移
速度
t
rv
d
d ?? ?
加速度
2
2
d
d
d
d
t
r
t
va ??? ??
直角坐标系
大学物理
第 4页 共 46页
质点运动的直角坐标描述
kji zyxr ???? ???
ktzjtyitxv ???? dddddd ???
kt zjt yit xa ????
2
2
2
2
2
2
d
d
d
d
d
d ???
大学物理
第 5页 共 46页
二、质点运动的自然坐标描述
(1) 位置,在轨道上取一固定点 O,用质点距离 O的路程
长度 s，可惟一确定质点的位置。 位置 s有正负之分。
(2) 位置变化, s?
(3) 速度,沿切线方向 。
t
s
t
rv
d
d
d
d ?? ??因为
dd τtsτvv ???? ??所以
??
n?
自然坐标系 —— 坐标原点固接于质点,坐标轴沿质点运
动轨道的切向和法向的坐标系，叫做自然坐标系。切向
以质点前进方向为正，记做,法向以曲线凹侧方向
为正，记做 。
A
B
??
n?
n?
??
o
s
?s
大学物理
第 6页 共 46页
(4) 加速度,
速度的改变为,
nτ vvv
??? ?????
B
Av?
Bv?
v??
t
v
t
v
t
va
ttt ?
??
?
??
?
??
??????
n
0
τ
00
limlimlim
????
nstsvtvntvtv ???? dddddddddd ???? ????
nv
t
v ??
?
?
2
d
d ??
切向加速度
法向加速度
A
B
Bv
?
Av?
v??
??
nv?? τv??
D C
E
大学物理
第 7页 共 46页
(1) a? = 0 匀速率运动 ; a?≠ 0 变速运动
(2) an = 0 直线运动 ; an≠ 0 曲线运动
nv
t
vnaaa ?????
?
??
2
d
d
nτ ????
??? tva ddτ ?
切向加速度,
描述速度大小变化的快慢，不影响速度的方向
nva ??
?
2
n ?
法向加速度,
描述速度方向变化的快慢，不影响速度的大小
大学物理
第 8页 共 46页
nv
t
vnaaa ?????
?
??
2
d
d
nτ ????
讨论
dddd tvtv ?
?
a? τa?
大小,2
n
2
τ aaa ??
?
方向,
τ
na r c t g
a
a??
的夹角与 τaa ??
a?
τa
?
na
?
??
n?
?
大学物理
第 9页 共 46页
例,设一质点在半径为 r的圆周上以速率 v0运动，写出,
自然坐标系中质点的速度和加速度。
解, 以 O?为自然坐标系的原点和计时起点
r
vv
a
t
v
a
2
0
2
0
??
??
?
n
τ
d
d
n
r
vaaa ???? 20
nτ ???
?? ??? 00 vtsvtsv ??? dddd
O O?
s
0v?
r
大学物理
第 10页 共 46页
取圆心 O为坐标原点，计时起点同上
于是,t = 0时,x = r,y = 0
O O?
s x
y
?
0v?
r
a?
0v
? 在直角坐标中重做，可发现
用自然坐标描述匀速率圆周
运动较直角坐标简便。
大学物理
第 11页 共 46页
练习, 一物体做抛体运动,已知 v0,?,讨论
g?g?g?
?sing?sing? 0
?cosg ?cosgg
?cos
2
0
g
v
?cos
2
0
g
v
g
v ?220 co s
CA
B
0v
?
?
g?
g?g?
n?
n?
n?
??
??
??
CA B
a?
τa
na
?
大学物理
第 12页 共 46页
线量, 在自然坐标系下，基本 参量
以运动曲线为基准，称为线量。
角量, 在极坐标系下，以旋转角度
为基准的基本参量，称为角量。
(2) 角位移, ??
三、圆周运动的角量描述
(1) 角位置,
?
单位,rad
反常规定,
逆时针为正 O O?
P? (t+?t)
P(t)
x R
? s ??
?
大学物理
第 13页 共 46页
(3) 角速度
平均角速度,
t?
?? ??
角速度,
ttt d
dl i m
0
??? ?
?
??
??
角速度矢量, ?? 方向按右手
螺旋规定
O R ?
旋转方向
v?
??
P
大小, ?? s i nrv ?
方向, 右手螺旋法则
?
rv ??? ?? ?
r?
O?角速度与线速度关系,
大学物理
第 14页 共 46页
(4) 角加速度
平均角加速度,
t?
?? ??
角加速度,
2
2
d
d
d
dlim
0 tttt
???? ??
?
??
??
?
?
?
R
t
R
t
s
v
Rs
???
?
d
d
d
d
2
22
)(
d
d
d
d
n
τ
?
?
?
?
?
R
R
Rv
a
R
t
R
t
v
a
???
???
(5) 角量与线量的关系
O O?
P? (t+?t)
P(t)
x R
? s ??
?
大学物理
第 15页 共 46页
解, (1)
tttt 6dd43dd 2 ????? ????
)SI(343 ??? tt?
某发动机工作时，主轴边缘一点作圆
周运动方程为 )SI(343 ??? tt?
练习
(1) t = 2s时，该点的角速度和角加速度为多大？
(2) 若主轴直径 D = 40 cm，求 t = 1s时该点的速度和
加速度
-1-12 sr ad16sr ad)423(:s2 ??????? ?t
22 sr ad12sr ad26 ?? ??????
大学物理
第 16页 共 46页
? ? ? ?
? ? 2.0432.12.06
432.04.043
2
1
2
1
222
22
????????
????????
trattra
ttDrv
n ??
??
?
(2)由角量和线量的关系，得边缘一点的速度、切向加
速度和法向加速度
? ? 222n2τ
11
sm8.9sm8.29.043sm2.1
sm4.1sm)43(2.0s1
???
??
????????
???????
aa
vt 时，
???
0.83
2.1
8.9
a r c t ga r c t g:
sm87.9sm8.92.1
τ
n
22222
τ
2
n
???
???????
??
a
a
va
aaa
?的夹角为与
此时总加速度的大小为 v?
a?
τa
?
na
?
?
大学物理
第 17页 共 46页
四、刚体的运动 平动
转动 (特例,定轴转动 )
平动＋转动
运动
平动,刚体运动时,若其上任意两点连线的方向始终
不变,这种运动称为刚体的平动。 可视为质点 。
定轴转动,刚体内各质点都绕同一固定直线做圆周运
动，叫做刚体的定轴转动。 该直线叫刚体的转轴 。
一般运动, 平动与转动叠加。
大学物理
第 18页 共 46页
刚体定轴转动
?
? ? ? ?
? ? ?
?
rv ??? ?? ?
刚体定轴转动的特点,
1,转动平面垂直于转轴。
2,转动平面上各点均做圆
周运动，角量相同，线量不
同。
3,定轴转动刚体上各点的
角速度矢量 的方向均沿轴
线。
??
定义 定轴转动刚体上各质点的运动面为 转动平面
大学物理
第 19页 共 46页
处理方法,
1) 简化为转动平面内的
运动。
2) 用角量作整体描述。
3) 在轴上选正方向，各
角量均表示为代数量
????,,,?
?
r?
R
v?
??
O
大学物理
第 20页 共 46页
五、运动的相空间描述
相空间,以系统的状态参量为变量，建立的坐标系。
运动相空间,用位置、速度建立坐标系。
相图,在坐标面上的点对应系统的状态，称为 相点 。
相点在相空间的运动轨迹即是 相图 。
x
v
O
v
x O
大学物理
第 21页 共 46页
第三节 运动学的两类基本问题
一、已知质点运动方程，求任一时刻的速度、加
速度 （ 微分法 ）
???,)(,)( ?? tavtr ???
二、已知加速度（或速度）及初始条件，求质
点任一时刻的速度和运动方程 (积分法 )
)(,)(),0(,)( 00 trtvvrtta ????? ?? 时
大学物理
第 22页 共 46页
第一类问题
1,其轨迹为一条直线
注意 —— 凡直线运动，可将坐标原点选在轨道直
线上，建立一维坐标，将各矢量按代数量处理 。
avrr ????,,,?
2
2
d
d,
d
d,,
t
xa
t
xvxx ???
66
963
593
2
23
??
???
????
ta
ttv
tttx
例题 1.已知粒子运动方程 )SI(593 23 ???? tttx
分析粒子的运动情况。
大学物理
第 23页 共 46页
转折性时刻,
12022:3
0126:1
695:0
333
111
000
?????
??????
??????
avxt
avxt
avxt
0 < t < 3,粒子向 - x 运动； 0 < t < 1,加速
1 < t < 3,减速
t > 3,粒子向 + x 运动
注意, 由运动叠加原理，质点的一般曲线运动可
以归结为直线运动处理。
-1
-6
2 1 3
-12
o /st
-1sm/ ?v
-1
-6
2 1 3
-12
o
-2sm/ ?a
/st
66
963
593
2
23
??
???
????
ta
ttv
tttx
2,该粒子作一般变速直线运动
大学物理
第 24页 共 46页
(2) 找一个实例
平面曲线运动
jajtiv ????? 10)1015(5 ?????
斜抛运动
(3) 求轨道方程、抛射角、射程、射高
练习 已知,)SI()515(5 2 jttitr ??? ???
(1) 质点做什么运动？
?27ar ct g 3 ???
53
2x
xy ??
2515
5
tty
tx
??
?
O X
y
x
Y
2/X
0v?
?
m150 ?? Xy
射程,
m25.11m5.7 ?? Yx
射高,
gatvy
avx
yy
xx
??????
??
101015:
05:
大学物理
第 25页 共 46页
例题 2,距海岸 (视为直线 )500m处有一艘静止的船，
船上的探照灯以 1r/min的转速旋转，当光束与岸边成
60?角 时，光束沿岸边移动速度多大？
解,首先建立 P点 的运动方程 x(t)
?
??
?
?
22 c o sd
d
c o sd
d
t a n
h
t
h
t
x
v
hx
???
??
1-
2
sm8.69
30c o s
60
π2
5 0 0
3060
??
?
?
??
?
??
Pv
?? P
?
?
pv
h
A
?x o
大学物理
第 26页 共 46页
讨论
hvv
h
APv
p ??
?
??
??
??
c o s
c o s
错在哪里？ P? ox
?
?
pv
h
A
v?
t
rv
tp ?
??
??
??
0
l i m
o
A
x
r?
r??
r??
P
P?
t
r
t
r
tt ?
??
?
??
????
2
0
1
0
l i ml i m
??
1r?? 2r??
v?
A
r?
x
o
P
Pv?
1v
?
2v
?
21 vv
?? ??
大学物理
第 27页 共 46页
例题 3,一质点沿半径为 R的圆周运动，路程与时
间的关系为
求,(1) 任意时刻 t，质点加速度的大小和方向。
(2) 什么时刻质点加速度的大小等于 b，这时
质点已转了几圈？
? ?。SI21 20 bttvs ??
解, 质点的速率
btv
t
sv ???
0d
d
大学物理
第 28页 共 46页
? ?
? ?
? ? ? ?
224
0
2
2
4
02
τ
2
n
τ
2
0
2
n
1
d
d
,)1(
Rbbtv
R
b
R
btv
aaa
b
t
v
a
R
btv
R
v
at
?????
?
???
???
?
??
加速度的大小为
，任意时刻
? ?
? ?Rb
btv
a
a
a
?
?
??
2
0
τ
n a r c t ga r c t g?
与切向轴的夹角为
?
?
a?
? ?
b
v
t
bRbbtv
R
a
0
222
0
1
)2(
?
????
解得时间
，令加速度
τa
?
na?
大学物理
第 29页 共 46页
Rb
v
n
Rb
v
b
v
R
b
b
v
R
v
π4π2
22
2
0
2
0
2
000
??
??
?
?
?
?
?
??
?
?
转过的圈数为
20
2
1
bt
RR
tv
R
s
????
程为用角量表示质点运动方
R
bt
R
v
t ???
0
d
d ??
:
0
00
0
可得
代入运动方程，。将时质点还没有反向转动可见，
，，解得令
b
v
t
b
v
t
b
v
t
??
???
?
P
s
R
?
O
x
大学物理
第 30页 共 46页
第二类问题
例题 4,已知,质点沿直线运动,
00:0;)( vvxxttaa ????
求,)(,)( txtv
解,
*d
d
dd
dd
d
d
0
0
0
0
0
0
tavv
tavv
tav
tav
t
v
a
t
t
tv
v
?
?
??
??
??
?
?
?
*d
d
dd
dd
d
d
0
0
0
0
0
0
?
?
??
??
??
?
?
?
t
t
tx
x
tvxx
tvxx
tvx
tvx
t
x
v
大学物理
第 31页 共 46页
?
??
??
?????
x
x
x
x
v
v
xavv
xavv
x
vv
t
x
x
v
t
v
a
0
00
*d2
dd
d
d
d
d
d
d
d
d
2
0
2
思考 若加速度 a = 恒量，上面三个 *式成为什么形式？
*d00 tavv t???
*d00 ??? t tvxx
??? xx xavv 0 *d2202 )(2
2
1
0
2
0
2
2
00
0
xxavv
attvxx
atvv
???
???
??
大学物理
第 32页 共 46页
用类比方法写出用角量表示的圆周运
动公式和 ? = 恒量 时的形式 思考
??? t tvxx 00 d
??? xx xavv 0 d2202
tavv t d00 ???
tt d00 ??? ???
??? t t00 d???
??? ?? ???? 0 d2202
)(2
2
1
0
2
0
2
2
00
0
xxavv
attvxx
atvv
???
???
??
)(2
2
1
0
2
0
2
2
00
0
?????
????
???
???
???
??
tt
t
大学物理
第 33页 共 46页
例题 5,火箭竖直向上发射，加速度随时间变化规律
如图所示。求火箭在 t = 50s时燃料用完瞬间的速度和
高度。
20 50
10
15
0
-2sm/ ?a
s/t
解, 写出 a(t) 表达式
1-50
20
20
00
sm475d)20(6110d21 ???
?
?
??
? ????? ?? ttttvv
或曲线下的面积 ??? t tavv
00
d
?a
)5020()20(
6
1
10
)200(
2
1
????
??
tt
tt
大学物理
第 34页 共 46页
高度分两段算,
m7.666,sm100:s20
12
1
d
4
1
d
4
1
d
2
1
2
1
:s200
1
1-
1
0 0
32
101
0
2
011
????
????
?????
? ?
?
hvt
ttttvhh
tttvvta
t t
t
? ? ???????
? ? ????????
????
50
20
50
20
2
212
20 20
2
212
2
m7.8 9 1 6d)
3
200
3
20
12
(7.666d
3
200
3
20
12
1
d)
3
20
6
(100d
)20(
6
1
10:s5020
t
tt
tvhh
ttt
t
tavv
ta
t t
大学物理
第 35页 共 46页
例题 6,一艘快艇在速率为 时关闭发动机，其
加速度,式中 k为常数，试证明关闭发动机
后又行驶距离 x时，快艇速率为,
0v
2kva ??
kxevv ?? 0
证明,
2
d
d
d
d
d
d
d
d kv
x
vv
t
x
x
v
t
va ??????
证毕
? ? ??
??
v
v
x
xk
v
v
xk
v
v
0 0
d
d
d
d
kxevv
kx
v
v
??
??
0
0
ln
大学物理
第 36页 共 46页
第四节 相对运动
一,运动的绝对性和描述运动的相对性
只有相对确定的参考系才能具体描述物体的运动，
选择的参考系不同，对同一物体运动的描述不相同。
一个坐标系
中的描述
另一个坐标
系中的描述
变换
二,低速 下的变换 )( cv??
分别从 系和 系描述
质点 的运动
)( xyzoS ? )( zyxoS ??????
p
大学物理
第 37页 共 46页
P
O
O?
x
y y?
x?
OPr ??
POr?
s s?
v?
OOOPPO rrr ?? ??
???
位置矢量
OOOPPO aaa
oo
?? ??
?
???
),( 间只有相对平动时当加速度矢量
DOCDBCABAO rrrrr
????? ????
推广,
DOCDBCABAO vvvvv
????? ????
OOOPPO
OOOPPO
vvv
rrr
??
??
??
?????
???
???
:
:
速度矢量
位移矢量
大学物理
第 38页 共 46页
设 系相对于 系沿 方向以速率 运动，以 和
重合时为计时起点
SS? x u o o?
z z?y y?// //
x
y
z
x?
y?
z?
u
ut
S S?
O O?
伽利略
坐标变换
tt
zz
yy
utxx
??
??
??
???
zz
yy
xx
vv
vv
uvv
??
??
???伽利略
速度变换
大学物理
第 39页 共 46页
三,变换参考系的运动学意义, 处理问题简便
解 1,以岸为参考系，分别写出船和艇的运动方程，
令其坐标相等，得相遇条件。
建立如图坐标系
例题,一条船平行于平直海岸航行，离岸距离为 D，
速率为 V。一艘快艇从港口出发去拦截这条船，快
艇速率 v<V，试证明快艇必须在船驶过海岸线上某
点以前出发才行，该点离港口的距离为,
22 vV
v
Dx ??
o
x
x
D
v?
V
?
大学物理
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船
Dy
Vtx
?
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1
1
艇
?
?
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c o s
2
2
vty
vtxx
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相遇,
21
21
yy
xx
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c o s
vtD
vtxVt
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消去 t得,? ?
*s i nc o s? ?v DvVx ??
令
0dd ??x
解出 代入 * 得
? minx
o
x
x
D
v?
V
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y
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思考,以船为参考系，相遇条件是什么？
A
B
Av?
Bv?
? ?
AB
AwBw
wABwBA
vv
vv
vvv
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???
??
???
??
若 的延长线过,则, 相撞。
BAv
? A A
解 2,以船为参考系，设艇对船的速度为
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Vvv ??? ???
Av??
BAv?
B
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o
x
D V
?
x
v?
V?
v??
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Vvv ??? ???
艇出发时,
22
s in
xD
D
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??
相遇条件,
最小时当 xm,???? ??
证毕。得：由,22m i n
22
vVvDxVv
xD
D ???
?
有最大值：?Vv ?
V
v
m ??s i m
? m?
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例题,河水自西向东流动，速度为 10km?h-1 。一轮船
在水中航行，船相对于河水的航向为北偏西 30?，相对
于河水的航速为 10km?h-1 。此时风向为由东向西，风
速为 10km?h-1。试求在船上观察到的烟囱冒出的烟缕
的飘向 (设烟离开烟囱后很快就获得与风相同的速度 )。
解析法,
建立如图所示坐标系,
由题意可知 风地v?
船水v
?
水地v
?
?30
北 y
x
东 O
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)hkm(30c o s20
30s i n20
)hkm(10
)hkm(10
1
1
1
?
?
?
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??
???
??
j
iv
iv
iv
?
??
??
??
?
?
船水
风地
水地
根据相对速度公式,
)hkm(3.1710
10)30c o s2030s in20()10(
1?
????
??????
???
????
ji
ijii
vvv
vvvvv
??
????
???
?????
??
）（
水地船水风地
水船地水风地风船烟船
风地v
?
船水v
?
水地v
?
?30
北 y
x
东 O
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.30hkm20
30
10
3.17
a r c t g
)hkm(20)3.17()10
1
122
飘去的速率向南偏西即在船上观察，烟以
（
烟船
?
?
?
?
?
??
??????
?
v
北 y
x
东
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O
风船v?
-10
-17.3
风地v
?
船水v
?
水地v
?
?30
北 y
x
东 O
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图解法,
根据相对速度公式,
)()( 船水水地风地
水船地水风地风船烟船
vvv
vvvvv
???
?????
?????
????
?30
)hkm(20 1
?
?? ?
?
烟船v
.30
hkm20 1
飘去的速率向南偏西
即在船上观察，烟以
?
??
风地v
?
水地v
??
船水v
??
风船v
? ??30
风地v
?
船水v
?
水地v
?
?30
北
y
x
东 O
