同学们好！
大学物理
第 2页 共 40页
1913年诺贝尔物理学将授予荷兰莱
顿大学大卡末林 -昂内斯 以表彰他
对低温物质特性的研究，特别是这
些研究导致液氦的生产。
19世纪末,20世纪初，在低温的实
验研究上展开过一场世界性的角逐
。在这场轰动科坛的竞赛中，领先
的是西北欧的一个小国 --荷兰首都
莱顿的低温实验室。
末林 -昂内斯
(Heike
Kamerlingh
Onnes,荷兰，
1853～ 1936)
大学物理
第 3页 共 40页
劳厄斑 X射线管
1914年诺贝尔物理学奖授予德国法兰克福大学
的劳厄,以表彰他发现了晶体的 X射线衍射。
劳厄 X射线衍射的发现不仅说明了 X射线的认
识迈出了关键的一步,而且还第一次对晶体的
空间点阵假说作出了实验验证,使晶体物理 学
发生了质的飞跃, 从此以后,X射线学在理论和
实验方法上飞速发展,形成了一门内容极其丰富
、应用极其广泛的综合学科。
劳厄
(Max von
Laue,德国，
1879～ 1960)
大学物理
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d
布拉格公式,
?? kd ?s in2
1915年诺贝尔物理学奖授予英国伦敦大学的亨利 ·布拉格和
他的儿子英国曼彻斯特维克托利亚大学的劳伦斯 ·布拉格,
以表彰他们用 X射线对晶体结构的分析所作的贡献。
亨利 ·布拉格 (Sir William Henry Bragg,1862～ 1942)
劳伦斯 ·布拉格 (Sir William Lawrence Bragg,1890～ 1971）
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四、角动量定理
1,角动量定理的微分形式
(1) 质点的角动量定理
MFrtprptrprttL
??????????
????????? dddd)(ddddprL
??? ??
质点角动量的时间变化率等于质点所受的合力矩
(2) 质点系 的角动量定理
外外 ii FrMt
L ???? ??? ?
id
d? ?? ???
i i
ii
i
i MMt
LL
t 内外
????
d
d
d
d
0??
i i
M 内?
质点系总角动量的时间变化率等于质点系所受外力
矩的矢量和。内力矩只改变质点系总角动量在系内的
分配，不影响总角动量。
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第 6页 共 40页
(3) 定轴刚体的角动量定理
比较
?
?
?
?
?
?JM
amF
z
??
由
外Mt
L ?
?
?dd
??? JtJJttLM zz ???? dd)(dddd
?? JmrL
i
iiz ? ??
2
得
J 是物体转动惯性的量度
m 是物体平动惯性的量度
改变物体平动状态的原因
zM
F?
改变物体绕轴转动状态的原因
?JM z ? 刚体定轴转动定律
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例, 一定滑轮的质量为 m，半径为 r ; 一轻绳两边分
别系 m1和 m2两物体挂于滑轮上，绳不伸长，绳与滑轮
间无相对滑动。不计轴的摩擦，初角速度为零，求滑
轮转动角速度随时间变化的规律。
2m
1m
r
m
解,在地面参考系中,分别以 m,m1,
m2为研究对象，用隔离法建立方程
思考,
2121 TTaa ??
? ×
以向下为正方向
m1g
T1
a1
)1(,11111 amTgmm ??
以向上为正方向
a2
T2
m2g
)2(,22222 amgmTm ??
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第 8页 共 40页
以顺时针方向为正方向
四个未知数,
三个方程？
?,,,2121 TTaaa ??
绳与滑轮间无相对滑动，由角量和线量的关系,
)4(?ra ?
解得,
? ?
rmmm
gmm
?
?
?
?
?
? ??
?
?
2
1
21
21?
? ?
rmmm
gtmm
t
?
?
?
?
?
?
??
?
???
2
1
21
21
0 ???
r
+
1T2T
N
mg
?
O
)3(21 221 ?? mrJrTrT ???
滑轮 m,
大学物理
第 9页 共 40页
2m
1m
o mr?
解,在地面参考系中，选取 m1, m2和滑轮 m为研
究对象，分别运用牛顿定律和刚体定轴转动定律得。
如所图示，两物体质量分别为 m1和 m2，滑轮质量
为 m，半径为 r。已知 m2与桌面间的滑动摩擦因数为 ?，
求 m1下落的加速度和两段绳中的张力。
练习
gm1
1T
a
gm2
2T
gm2?
N a
1T
2T
mg
yN
xN
列方程如下,
?
?
?
ra
mrrTrT
amgmT
amTgm
?
??
??
??
2
21
222
111
2
1
可求解
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2,角动量定理的积分形式
积分形式 微分形式
质点
质点系
定轴刚体
LLtM L
L
t
t
??? ?
? ??? ??
2
1
2
1
dd
LLtM L
L
t
t
??? ?
? ??? ??
2
1
2
1
dd外
t
LM
d
d
??
?
t
LM
d
d
??
?外
tJJM d
d ?? ??
轴 ??
?
?
???? ?2
1
2
1
ddt
t
JJtM 轴
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第 11页 共 40页
注意
(1) 力矩对时间的积累,角冲量
定义,
?
2
1
d
t
t
tM
? 效果,改变角动量
(3) 同一式中,等角量
要对同一参考点或同一轴计算。
????,,,JLM
p? 变化量与 对应
?
2
1
d
t
t
tF
?
变化率与 对应 F?
(2) 比较,
L? 变化量与 对应
?
2
1
d
t
t
tM
?
变化率与 对应 M?
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五、角动量守恒定律
1,角动量守恒定律
由角动量定理,? ?? LtM ?? d
外
当 时,0?
外M
? 0??L? ?L
? 恒矢量
研究对象：质点系
恒量时
恒量时
恒量时
??
??
??
zz
yy
xx
LM
LM
LM
0
0
0分量式,
对定轴转动刚体，当
0?轴M
时,
恒量轴 ?L
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第 13页 共 40页
当质点系所受外力对某参考点 (或轴 )的力矩的矢量
和为零时，质点系对该参考点 (或轴 )的角动量守恒。
角动量守恒定律,
注意 1)守恒条件,或
0?轴M0?外M?
能否为?0d? ?tM
外
?
2)与动量守恒定律对比,
当 时,
0?外M?
?L? 恒矢量
?p? 恒矢量 当 时,0?
外F
? 彼此独立
大学物理
第 14页 共 40页
例, 一半径为 R、质量为 M 的转台，可绕通过其中心的
竖直轴转动,质量为 m 的人站在转台边缘，最初人和台
都静止。若人沿转台边缘跑一周 (转轴处摩擦可忽略 )，
相对于地面，人和台各转了多少角度？
解,选地面为参考系,设对转轴
人,J,? ; 台,J?,??
系统对转轴角动量守恒
0???? ?? JJ
2
21
2 MRJmRJ ???
??
M
m2??
R
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人沿转台边缘跑一周,
? ? ??? π2dd tt ??
? ? ?? π2d2d tM mt ??
人相对地面转过的角度,
Mm
Mt
?
?? ?
2
π2d??
台相对地面转过的角度,
Mm
mt
?
???? ?
2
)2(π2d??
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第 16页 共 40页
2,角动量守恒定律应用举例
(1)对于单一刚体,J,均不变,
则匀速转动
??
(2) 对于系统, Ji,均可以变化，但 不变
i?
? ?
iiJ ?
?
角动量守恒定律适用于以下情况,
大学物理
第 17页 共 40页
(3) 对于变形体,均可以变化，但 不变 ??,J ??J
大学物理
第 18页 共 40页
请看, 猫刚掉下的时候，由
于体重的缘故，四脚朝天，脊
背朝地，这样下来肯定会摔死
。请你注意，猫狠狠地甩了一
下尾巴，结果，四脚转向地面
，当它着地时，四脚伸直，通
过下蹲，缓解了冲击。那么，
甩尾巴而获得四脚转向的过程
，就是角动量守恒过程。
为什么猫从高处落下时总能四脚着地？
大学物理
第 19页 共 40页
(4) 角动量定理适用于一切转动问题，大至天体，小至
粒子、电子 ……
为什么银河系呈旋
臂盘形结构？
芭蕾、花样滑冰、跳水 …..,
为什么直升飞机的尾翼要安
装螺旋桨？
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第 20页 共 40页
3,有心力场中的运动
物体在 有心力 作用下的运动
力的作用线始终通过某 定点 的力
力心
有心力对力心的力矩为零，只受有心力作用的物体对
力心的角动量守恒。
应用广泛，例如,
天体运动 （行星绕恒星、卫星绕行星 …… ）
微观粒子运动 （电子绕核运动；加速器中粒子与靶
核散射 …… ）
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第 21页 共 40页
例, P.109 4-17(P.113 4.17)
已知, 地球 R = 6378 km
卫星 近地, h1= 439 km
v1 = 8.1 km?s-1
远地, h2= 2384 km
求, v2
解,卫星 ~ 质点 m
地球 ~ 均匀球体
O.dF m
dm
dm
dF1
dF2
对称性：引力矢量和过地心
对地心力矩为零
卫星 m 对地心 o 角动量守恒
h2 mh1
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第 22页 共 40页
卫星 m 对地心 O角动量守恒
1
1
2
1
2 skm3.61.82 3 8 46 3 7 8
4 3 96 3 7 8 ????
?
???
?
?? v
hR
hRv
? ? ? ?2211 hRmvhRmv ???
h2 mh1
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第 23页 共 40页
角动量守恒定律习题课
复习提要
一、转动惯量
?? ??
mi
ii mrJrmJ d
22
二、角动量
质点
质点系
定轴刚体
vmrL ??? ??
? ??????
i
iiicc vmrvmrLLL
???????
自旋轨道
J ωL z ?
三、力矩
0;; ?????? ??
i
iz MFrMFrM 内
??????
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第 24页 共 40页
质点
? ???
2
1
d
d
d
t
t
LtM
t
L
M
??
?
?
质点系
定轴刚体
? ???
2
1
d
d
d t
t
LtM
t
L
M
??
?
?
外外
J βM z ?
? ??
2
1
d
t
t
zz LtM
五、角动量守恒
恒量
恒矢量外
??
??
zz LM
LM
0
0
??
四、角动量定理
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第 25页 共 40页
例 1,质量为 M 的匀质圆盘，可绕通过盘中心垂直于
盘的固定光滑轴转动，绕过盘的边缘有质量为 m、长为
l 的匀质柔软绳索 (如图 )。设绳与圆盘无相对滑动，试求
当圆盘两侧绳长差为 s 时，绳的加速度的大小。
解, 在地面参考系中，建立如图 x
坐标，设滑轮半径为 r,有,
rxxBBABAAl ????????? 21
,,21 xlmmxlmm BBAA ???? ??
rlmm AB ???21 xxs ??
o
s
M A B
A?
B?
m r
x1
x2
x
大学物理
第 26页 共 40页
22
2
1 rmMrJJJ
ABABM ????
amTgm AA ?? 1
J βrTrT ?? 21
amgmT BB ??2 解得,
lMm
m g sa
)
2
1
( ?
?
?ra ?又：
21 xxs ??
o
x1
x2
s
M A B
A?
B?
r
x
CB C
A
用隔离法列方程, (以逆时针方向为正 )
T1
J
T2
r,C
A
T1
mAg
,CB
T2
mBg
a a
N
(mAB+M)g
?
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第 27页 共 40页
.O1 m1 R
1
.O2
R2
m2 10
? 20?
例 2,如图所示，质量分别为 m1和 m2、半径为 R1和 R2
的两个均匀圆柱的转轴相互平行。最初它们在水平面
内分别以 和 沿同一方向转动。平移二轴，使两
圆柱体的边缘接触，求接触处无相对滑动时，两个圆
柱体的角速度 。
20?
21 ?? 和
10?
解, 因摩擦力为内力,外力
过轴,外力矩为零,则,J1 + J2
系统角动量守恒，以顺时针
方向为正,
.O1 m1 R
1
.O2
R2
m2
1? 2?
大学物理
第 28页 共 40页
接触点无相对滑 动,
? ?22211 RR ?? ?
? ?321 2111 RmJ ?
? ?421 2222 RmJ ?
联立 (1),(2),(3),(4)式求解，对不对？
.O1 m1 R
1
.O2
R2
m2
1? 2? ? ?12211202101 ???? JJJJ ???
大学物理
第 29页 共 40页
问题, (1) 式中各角量是否对同轴而言？
(2) J1 +J2 系统角动量是否守恒？
0 )2(
0 )1(
1
2
2
1
?
?
F
F
MO
MO
?
?
为轴
为轴
系统角动量不守恒！
分别以 m1,m2 为研究对象，受力如图,
O2
F2
O1,
F1
f1
f2
N
N N
大学物理
第 30页 共 40页
对 m1,m2,受力如图,
选顺时针转动为正向,
分别对 m1,m2 应用角动量定理,
101111 d
2
1
?? JJtfRt
t
??? ?
202222 d
2
1
?? JJtfRt
t
???? ?
对 O1,
对 O2,
2
222
2
111 2
1
2
1 RmJRmJ ?? 2211 RR ?? ?无滑动
121
20221011
1 )( Rmm
RmRm
?
?? ???
221
20221011
2 )( Rmm
RmRm
?
?? ???
O2
F2
O1,
F1
f1
f2
N
N N
大学物理
第 31页 共 40页
注意：区分两类冲击摆
?水平方向,Fx = 0, px 守恒
mv0 = (m+M)v
? 对 O点：, 守恒
mv0 l = (m+M)vl
0?M? L?
质点 定轴刚体 （不能简化为质点）
0v
?
O
l
m M
Fx
Fy (2)
轴作用力不能忽略，动量不守恒，
但对 O 轴合力矩为零，角动量守恒
lvMlmllmv ??? ???? 220 31
(1) O
l
m M 0v
?
质点 质点 柔绳无切向力
大学物理
第 32页 共 40页
练习, 已知 m = 20 g,M = 980 g,v 0 =400m?s-1，绳
不可伸长。求 m 射入 M 后共同的 v =?
提示：哪些量守恒？请列方程。
解,
m,M系统水平方向动量守恒 (F x = 0)
竖直方向动量不守恒 (绳冲力不能忽略 )
对 O点轴角动量守恒 (外力矩和为零 )
? ?vMmmv ???30s i n0
或,? ? ?? 90s i n30s i n
0 ????? lMmvlmv
得,v = 4 m?s-1
m
M v
?
?30
0v?
O
大学物理
第 33页 共 40页
解,碰撞前后 AB棒对 O的角动量守恒
思考,碰撞前棒对 O角动量 L=?
碰撞后棒对 O角动量 =？ L?
例 3,已知,匀质细棒 m,长 2l ；在光滑水平面内以
v0 平动，与支点 O 完全非弹性碰撞。
求,碰后瞬间棒绕 O 的 ?
v0
c
l
B
A
l /2
l /2
O
m
撞前,
自旋轨道 LLL
??? ??
020 ??? lmvL
(1)
大学物理
第 34页 共 40页
(2) 各微元运动速度相同，但到 O距离不等，棒
上段、下段对轴 O角动量方向相反
设垂直向外为正方向，总角动量,
lmvxx
l
mv
xx
l
mv
L
l
l
0
0
2
0
23
0
0
2
1
d
2
d
2
??? ??
?
l
m
2??
l
xmxm
2
ddd ??? ?
xx
l
mvxvmL d
2
dd 00 ????
质元角动量,
线密度,
取质元,
x
dm
-l/2
3l/2
0v
?
O
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第 35页 共 40页
撞后,
?
?
)( 上下 JJ
JL
??
??
令
??
??
2
0
12
7
2
1
mllmv
LL
得,
l
v
7
6 0??
c
l
B
A
l /2
l /2
O
m
? ? 2234331 )( lmJ ???下
?2127 mlL ??
? ?2214131 )( lmJ ???上
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第 36页 共 40页
三个守恒定律综合应用
0 0 恒矢量外 ???? ppF ???
恒矢量外 ???? L LM ??? 0 0
0dd ?? 非保内外 AA
dE = 0 E=恒量
注意, 动量、角动量、能量守恒定律彼此独立
恒矢量?p?
恒矢量?L ?
dE = 0 E = 恒量 时间平移对称性
空间旋转对称性
空间平移对称性
大学物理
第 37页 共 40页
解一, m 和 M2 系统动量守恒
mv0 = (m+M2)v
解二, m 和 (M1+ M2 )系统动量守恒
Mv0 = (m + M1 + M2)v
解三, mv0 = (m + M2) v + M1 ? 2v
以上解法对不对？
例 4,P.110 4-20(P.140 6.13) 已知 一轻杆 (l＝ 1m),M1
= m,M2 = 4m,油灰球 m,m 以速度 撞击 M2,使棒
恰好能转过 90。 而达到水平位置（设碰撞为完全非弹
性碰撞）。 求 油灰球的速率 v0。
0v
?
M2
M1
m 0v
? 2l
2l
A
大学物理
第 38页 共 40页
因为相撞时轴 A作用力不能忽略
不计，故 系统动量不守恒 。
因为重力、轴作用力过轴，对轴
力矩为零，故 系统角动量守恒 。
? ? lvMlvMmlmv ??????? 2
22 120
或,
由此列出以下方程,
? ?
v
l
v
l
lM
l
Mm
l
m
????
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
????
?
?
?
?
?
2;
2
22
00
2
1
2
20
2
??
??
得,
90
vv ?
M2
M1
m 0v?
2l
2l
A
yF
xF
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第 39页 共 40页
glMMm
lM
l
gMmvMm
)(
)(
2
1
2
)()(
2
1
21
2
12
2
2
???
???? ?
因为轴作用力没有作功，故 系统能量守恒
l
gv
9
72 ?
1
0 sm85.2463
????
l
gv
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第 40页 共 40页
练习 6 P.106 例 11 (P134 例 5) 如图所示,
已知, 光滑桌面,m,M,k,l 0,l, 求, Bv?
0v
?
思考,
分几个阶段
处理？
各阶段分别
遵循什么规
律？ m
M
A
B
M+m
o
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第 41页 共 40页
M + m
mg与 N平衡
弹簧为原长
F外 =0
动量守恒
? ? AvMmmv ??0
M + m
+ 弹簧
只有弹力作功
0?? 非保内外 AA
机械能守恒
过程 研究对象 条件 原理
A
m与 M相撞
A B
A B M + m
各力力矩
都为零
0?外M?
角动量守恒
? ? ? ? ???? s in0 lvMmlvMm BA
由此可解出,?
BA vv
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第 42页 共 40页
复习第三章、第四章，下周交作业 No.4。
预习第六章, 狭义相对论, 。
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第 2页 共 40页
1913年诺贝尔物理学将授予荷兰莱
顿大学大卡末林 -昂内斯 以表彰他
对低温物质特性的研究，特别是这
些研究导致液氦的生产。
19世纪末,20世纪初，在低温的实
验研究上展开过一场世界性的角逐
。在这场轰动科坛的竞赛中，领先
的是西北欧的一个小国 --荷兰首都
莱顿的低温实验室。
末林 -昂内斯
(Heike
Kamerlingh
Onnes,荷兰，
1853～ 1936)
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第 3页 共 40页
劳厄斑 X射线管
1914年诺贝尔物理学奖授予德国法兰克福大学
的劳厄,以表彰他发现了晶体的 X射线衍射。
劳厄 X射线衍射的发现不仅说明了 X射线的认
识迈出了关键的一步,而且还第一次对晶体的
空间点阵假说作出了实验验证,使晶体物理 学
发生了质的飞跃, 从此以后,X射线学在理论和
实验方法上飞速发展,形成了一门内容极其丰富
、应用极其广泛的综合学科。
劳厄
(Max von
Laue,德国，
1879～ 1960)
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第 4页 共 40页
d
布拉格公式,
?? kd ?s in2
1915年诺贝尔物理学奖授予英国伦敦大学的亨利 ·布拉格和
他的儿子英国曼彻斯特维克托利亚大学的劳伦斯 ·布拉格,
以表彰他们用 X射线对晶体结构的分析所作的贡献。
亨利 ·布拉格 (Sir William Henry Bragg,1862～ 1942)
劳伦斯 ·布拉格 (Sir William Lawrence Bragg,1890～ 1971）
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第 5页 共 40页
四、角动量定理
1,角动量定理的微分形式
(1) 质点的角动量定理
MFrtprptrprttL
??????????
????????? dddd)(ddddprL
??? ??
质点角动量的时间变化率等于质点所受的合力矩
(2) 质点系 的角动量定理
外外 ii FrMt
L ???? ??? ?
id
d? ?? ???
i i
ii
i
i MMt
LL
t 内外
????
d
d
d
d
0??
i i
M 内?
质点系总角动量的时间变化率等于质点系所受外力
矩的矢量和。内力矩只改变质点系总角动量在系内的
分配，不影响总角动量。
大学物理
第 6页 共 40页
(3) 定轴刚体的角动量定理
比较
?
?
?
?
?
?JM
amF
z
??
由
外Mt
L ?
?
?dd
??? JtJJttLM zz ???? dd)(dddd
?? JmrL
i
iiz ? ??
2
得
J 是物体转动惯性的量度
m 是物体平动惯性的量度
改变物体平动状态的原因
zM
F?
改变物体绕轴转动状态的原因
?JM z ? 刚体定轴转动定律
大学物理
第 7页 共 40页
例, 一定滑轮的质量为 m，半径为 r ; 一轻绳两边分
别系 m1和 m2两物体挂于滑轮上，绳不伸长，绳与滑轮
间无相对滑动。不计轴的摩擦，初角速度为零，求滑
轮转动角速度随时间变化的规律。
2m
1m
r
m
解,在地面参考系中,分别以 m,m1,
m2为研究对象，用隔离法建立方程
思考,
2121 TTaa ??
? ×
以向下为正方向
m1g
T1
a1
)1(,11111 amTgmm ??
以向上为正方向
a2
T2
m2g
)2(,22222 amgmTm ??
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第 8页 共 40页
以顺时针方向为正方向
四个未知数,
三个方程？
?,,,2121 TTaaa ??
绳与滑轮间无相对滑动，由角量和线量的关系,
)4(?ra ?
解得,
? ?
rmmm
gmm
?
?
?
?
?
? ??
?
?
2
1
21
21?
? ?
rmmm
gtmm
t
?
?
?
?
?
?
??
?
???
2
1
21
21
0 ???
r
+
1T2T
N
mg
?
O
)3(21 221 ?? mrJrTrT ???
滑轮 m,
大学物理
第 9页 共 40页
2m
1m
o mr?
解,在地面参考系中，选取 m1, m2和滑轮 m为研
究对象，分别运用牛顿定律和刚体定轴转动定律得。
如所图示，两物体质量分别为 m1和 m2，滑轮质量
为 m，半径为 r。已知 m2与桌面间的滑动摩擦因数为 ?，
求 m1下落的加速度和两段绳中的张力。
练习
gm1
1T
a
gm2
2T
gm2?
N a
1T
2T
mg
yN
xN
列方程如下,
?
?
?
ra
mrrTrT
amgmT
amTgm
?
??
??
??
2
21
222
111
2
1
可求解
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2,角动量定理的积分形式
积分形式 微分形式
质点
质点系
定轴刚体
LLtM L
L
t
t
??? ?
? ??? ??
2
1
2
1
dd
LLtM L
L
t
t
??? ?
? ??? ??
2
1
2
1
dd外
t
LM
d
d
??
?
t
LM
d
d
??
?外
tJJM d
d ?? ??
轴 ??
?
?
???? ?2
1
2
1
ddt
t
JJtM 轴
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第 11页 共 40页
注意
(1) 力矩对时间的积累,角冲量
定义,
?
2
1
d
t
t
tM
? 效果,改变角动量
(3) 同一式中,等角量
要对同一参考点或同一轴计算。
????,,,JLM
p? 变化量与 对应
?
2
1
d
t
t
tF
?
变化率与 对应 F?
(2) 比较,
L? 变化量与 对应
?
2
1
d
t
t
tM
?
变化率与 对应 M?
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第 12页 共 40页
五、角动量守恒定律
1,角动量守恒定律
由角动量定理,? ?? LtM ?? d
外
当 时,0?
外M
? 0??L? ?L
? 恒矢量
研究对象：质点系
恒量时
恒量时
恒量时
??
??
??
zz
yy
xx
LM
LM
LM
0
0
0分量式,
对定轴转动刚体，当
0?轴M
时,
恒量轴 ?L
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第 13页 共 40页
当质点系所受外力对某参考点 (或轴 )的力矩的矢量
和为零时，质点系对该参考点 (或轴 )的角动量守恒。
角动量守恒定律,
注意 1)守恒条件,或
0?轴M0?外M?
能否为?0d? ?tM
外
?
2)与动量守恒定律对比,
当 时,
0?外M?
?L? 恒矢量
?p? 恒矢量 当 时,0?
外F
? 彼此独立
大学物理
第 14页 共 40页
例, 一半径为 R、质量为 M 的转台，可绕通过其中心的
竖直轴转动,质量为 m 的人站在转台边缘，最初人和台
都静止。若人沿转台边缘跑一周 (转轴处摩擦可忽略 )，
相对于地面，人和台各转了多少角度？
解,选地面为参考系,设对转轴
人,J,? ; 台,J?,??
系统对转轴角动量守恒
0???? ?? JJ
2
21
2 MRJmRJ ???
??
M
m2??
R
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第 15页 共 40页
人沿转台边缘跑一周,
? ? ??? π2dd tt ??
? ? ?? π2d2d tM mt ??
人相对地面转过的角度,
Mm
Mt
?
?? ?
2
π2d??
台相对地面转过的角度,
Mm
mt
?
???? ?
2
)2(π2d??
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第 16页 共 40页
2,角动量守恒定律应用举例
(1)对于单一刚体,J,均不变,
则匀速转动
??
(2) 对于系统, Ji,均可以变化，但 不变
i?
? ?
iiJ ?
?
角动量守恒定律适用于以下情况,
大学物理
第 17页 共 40页
(3) 对于变形体,均可以变化，但 不变 ??,J ??J
大学物理
第 18页 共 40页
请看, 猫刚掉下的时候，由
于体重的缘故，四脚朝天，脊
背朝地，这样下来肯定会摔死
。请你注意，猫狠狠地甩了一
下尾巴，结果，四脚转向地面
，当它着地时，四脚伸直，通
过下蹲，缓解了冲击。那么，
甩尾巴而获得四脚转向的过程
，就是角动量守恒过程。
为什么猫从高处落下时总能四脚着地？
大学物理
第 19页 共 40页
(4) 角动量定理适用于一切转动问题，大至天体，小至
粒子、电子 ……
为什么银河系呈旋
臂盘形结构？
芭蕾、花样滑冰、跳水 …..,
为什么直升飞机的尾翼要安
装螺旋桨？
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第 20页 共 40页
3,有心力场中的运动
物体在 有心力 作用下的运动
力的作用线始终通过某 定点 的力
力心
有心力对力心的力矩为零，只受有心力作用的物体对
力心的角动量守恒。
应用广泛，例如,
天体运动 （行星绕恒星、卫星绕行星 …… ）
微观粒子运动 （电子绕核运动；加速器中粒子与靶
核散射 …… ）
大学物理
第 21页 共 40页
例, P.109 4-17(P.113 4.17)
已知, 地球 R = 6378 km
卫星 近地, h1= 439 km
v1 = 8.1 km?s-1
远地, h2= 2384 km
求, v2
解,卫星 ~ 质点 m
地球 ~ 均匀球体
O.dF m
dm
dm
dF1
dF2
对称性：引力矢量和过地心
对地心力矩为零
卫星 m 对地心 o 角动量守恒
h2 mh1
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第 22页 共 40页
卫星 m 对地心 O角动量守恒
1
1
2
1
2 skm3.61.82 3 8 46 3 7 8
4 3 96 3 7 8 ????
?
???
?
?? v
hR
hRv
? ? ? ?2211 hRmvhRmv ???
h2 mh1
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第 23页 共 40页
角动量守恒定律习题课
复习提要
一、转动惯量
?? ??
mi
ii mrJrmJ d
22
二、角动量
质点
质点系
定轴刚体
vmrL ??? ??
? ??????
i
iiicc vmrvmrLLL
???????
自旋轨道
J ωL z ?
三、力矩
0;; ?????? ??
i
iz MFrMFrM 内
??????
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第 24页 共 40页
质点
? ???
2
1
d
d
d
t
t
LtM
t
L
M
??
?
?
质点系
定轴刚体
? ???
2
1
d
d
d t
t
LtM
t
L
M
??
?
?
外外
J βM z ?
? ??
2
1
d
t
t
zz LtM
五、角动量守恒
恒量
恒矢量外
??
??
zz LM
LM
0
0
??
四、角动量定理
大学物理
第 25页 共 40页
例 1,质量为 M 的匀质圆盘，可绕通过盘中心垂直于
盘的固定光滑轴转动，绕过盘的边缘有质量为 m、长为
l 的匀质柔软绳索 (如图 )。设绳与圆盘无相对滑动，试求
当圆盘两侧绳长差为 s 时，绳的加速度的大小。
解, 在地面参考系中，建立如图 x
坐标，设滑轮半径为 r,有,
rxxBBABAAl ????????? 21
,,21 xlmmxlmm BBAA ???? ??
rlmm AB ???21 xxs ??
o
s
M A B
A?
B?
m r
x1
x2
x
大学物理
第 26页 共 40页
22
2
1 rmMrJJJ
ABABM ????
amTgm AA ?? 1
J βrTrT ?? 21
amgmT BB ??2 解得,
lMm
m g sa
)
2
1
( ?
?
?ra ?又：
21 xxs ??
o
x1
x2
s
M A B
A?
B?
r
x
CB C
A
用隔离法列方程, (以逆时针方向为正 )
T1
J
T2
r,C
A
T1
mAg
,CB
T2
mBg
a a
N
(mAB+M)g
?
大学物理
第 27页 共 40页
.O1 m1 R
1
.O2
R2
m2 10
? 20?
例 2,如图所示，质量分别为 m1和 m2、半径为 R1和 R2
的两个均匀圆柱的转轴相互平行。最初它们在水平面
内分别以 和 沿同一方向转动。平移二轴，使两
圆柱体的边缘接触，求接触处无相对滑动时，两个圆
柱体的角速度 。
20?
21 ?? 和
10?
解, 因摩擦力为内力,外力
过轴,外力矩为零,则,J1 + J2
系统角动量守恒，以顺时针
方向为正,
.O1 m1 R
1
.O2
R2
m2
1? 2?
大学物理
第 28页 共 40页
接触点无相对滑 动,
? ?22211 RR ?? ?
? ?321 2111 RmJ ?
? ?421 2222 RmJ ?
联立 (1),(2),(3),(4)式求解，对不对？
.O1 m1 R
1
.O2
R2
m2
1? 2? ? ?12211202101 ???? JJJJ ???
大学物理
第 29页 共 40页
问题, (1) 式中各角量是否对同轴而言？
(2) J1 +J2 系统角动量是否守恒？
0 )2(
0 )1(
1
2
2
1
?
?
F
F
MO
MO
?
?
为轴
为轴
系统角动量不守恒！
分别以 m1,m2 为研究对象，受力如图,
O2
F2
O1,
F1
f1
f2
N
N N
大学物理
第 30页 共 40页
对 m1,m2,受力如图,
选顺时针转动为正向,
分别对 m1,m2 应用角动量定理,
101111 d
2
1
?? JJtfRt
t
??? ?
202222 d
2
1
?? JJtfRt
t
???? ?
对 O1,
对 O2,
2
222
2
111 2
1
2
1 RmJRmJ ?? 2211 RR ?? ?无滑动
121
20221011
1 )( Rmm
RmRm
?
?? ???
221
20221011
2 )( Rmm
RmRm
?
?? ???
O2
F2
O1,
F1
f1
f2
N
N N
大学物理
第 31页 共 40页
注意：区分两类冲击摆
?水平方向,Fx = 0, px 守恒
mv0 = (m+M)v
? 对 O点：, 守恒
mv0 l = (m+M)vl
0?M? L?
质点 定轴刚体 （不能简化为质点）
0v
?
O
l
m M
Fx
Fy (2)
轴作用力不能忽略，动量不守恒，
但对 O 轴合力矩为零，角动量守恒
lvMlmllmv ??? ???? 220 31
(1) O
l
m M 0v
?
质点 质点 柔绳无切向力
大学物理
第 32页 共 40页
练习, 已知 m = 20 g,M = 980 g,v 0 =400m?s-1，绳
不可伸长。求 m 射入 M 后共同的 v =?
提示：哪些量守恒？请列方程。
解,
m,M系统水平方向动量守恒 (F x = 0)
竖直方向动量不守恒 (绳冲力不能忽略 )
对 O点轴角动量守恒 (外力矩和为零 )
? ?vMmmv ???30s i n0
或,? ? ?? 90s i n30s i n
0 ????? lMmvlmv
得,v = 4 m?s-1
m
M v
?
?30
0v?
O
大学物理
第 33页 共 40页
解,碰撞前后 AB棒对 O的角动量守恒
思考,碰撞前棒对 O角动量 L=?
碰撞后棒对 O角动量 =？ L?
例 3,已知,匀质细棒 m,长 2l ；在光滑水平面内以
v0 平动，与支点 O 完全非弹性碰撞。
求,碰后瞬间棒绕 O 的 ?
v0
c
l
B
A
l /2
l /2
O
m
撞前,
自旋轨道 LLL
??? ??
020 ??? lmvL
(1)
大学物理
第 34页 共 40页
(2) 各微元运动速度相同，但到 O距离不等，棒
上段、下段对轴 O角动量方向相反
设垂直向外为正方向，总角动量,
lmvxx
l
mv
xx
l
mv
L
l
l
0
0
2
0
23
0
0
2
1
d
2
d
2
??? ??
?
l
m
2??
l
xmxm
2
ddd ??? ?
xx
l
mvxvmL d
2
dd 00 ????
质元角动量,
线密度,
取质元,
x
dm
-l/2
3l/2
0v
?
O
大学物理
第 35页 共 40页
撞后,
?
?
)( 上下 JJ
JL
??
??
令
??
??
2
0
12
7
2
1
mllmv
LL
得,
l
v
7
6 0??
c
l
B
A
l /2
l /2
O
m
? ? 2234331 )( lmJ ???下
?2127 mlL ??
? ?2214131 )( lmJ ???上
大学物理
第 36页 共 40页
三个守恒定律综合应用
0 0 恒矢量外 ???? ppF ???
恒矢量外 ???? L LM ??? 0 0
0dd ?? 非保内外 AA
dE = 0 E=恒量
注意, 动量、角动量、能量守恒定律彼此独立
恒矢量?p?
恒矢量?L ?
dE = 0 E = 恒量 时间平移对称性
空间旋转对称性
空间平移对称性
大学物理
第 37页 共 40页
解一, m 和 M2 系统动量守恒
mv0 = (m+M2)v
解二, m 和 (M1+ M2 )系统动量守恒
Mv0 = (m + M1 + M2)v
解三, mv0 = (m + M2) v + M1 ? 2v
以上解法对不对？
例 4,P.110 4-20(P.140 6.13) 已知 一轻杆 (l＝ 1m),M1
= m,M2 = 4m,油灰球 m,m 以速度 撞击 M2,使棒
恰好能转过 90。 而达到水平位置（设碰撞为完全非弹
性碰撞）。 求 油灰球的速率 v0。
0v
?
M2
M1
m 0v
? 2l
2l
A
大学物理
第 38页 共 40页
因为相撞时轴 A作用力不能忽略
不计，故 系统动量不守恒 。
因为重力、轴作用力过轴，对轴
力矩为零，故 系统角动量守恒 。
? ? lvMlvMmlmv ??????? 2
22 120
或,
由此列出以下方程,
? ?
v
l
v
l
lM
l
Mm
l
m
????
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
????
?
?
?
?
?
2;
2
22
00
2
1
2
20
2
??
??
得,
90
vv ?
M2
M1
m 0v?
2l
2l
A
yF
xF
大学物理
第 39页 共 40页
glMMm
lM
l
gMmvMm
)(
)(
2
1
2
)()(
2
1
21
2
12
2
2
???
???? ?
因为轴作用力没有作功，故 系统能量守恒
l
gv
9
72 ?
1
0 sm85.2463
????
l
gv
大学物理
第 40页 共 40页
练习 6 P.106 例 11 (P134 例 5) 如图所示,
已知, 光滑桌面,m,M,k,l 0,l, 求, Bv?
0v
?
思考,
分几个阶段
处理？
各阶段分别
遵循什么规
律？ m
M
A
B
M+m
o
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第 41页 共 40页
M + m
mg与 N平衡
弹簧为原长
F外 =0
动量守恒
? ? AvMmmv ??0
M + m
+ 弹簧
只有弹力作功
0?? 非保内外 AA
机械能守恒
过程 研究对象 条件 原理
A
m与 M相撞
A B
A B M + m
各力力矩
都为零
0?外M?
角动量守恒
? ? ? ? ???? s in0 lvMmlvMm BA
由此可解出,?
BA vv
大学物理
第 42页 共 40页
复习第三章、第四章，下周交作业 No.4。
预习第六章, 狭义相对论, 。
