1 16.06 第32讲 增益裕量和相角裕量 2003.11.20 今天的主题： 1、相角裕量和增益裕量的定义 2、与-1点间的距离的说明 3、举例 2 通常，在没有开环极点位于右半平面上的情况下，可以用增益裕 量和相角裕量来评价反馈控制系统的性能。特别地，可以根据-1点附 近区域内的奈奎斯特图对系统进行性能评价。 现在考虑-1点到()Gjω曲线上的任一点的向量，它实际上就是 ()1Gjω +。因此，频率为ω的闭环响应的模即为这两个向量的比值。 显然，如果曲线通过-1点，那么该比率将趋于无穷大，在该点系 统处于临界稳定状态，在该频率下系统将有一个无穷大幅值的谐振峰 值。 增益裕量和相角裕量是开环系统的模和相角变化的度量，该变化 可能导致曲线刚好通过-1点。增益裕量和相角裕量的定义如下： 增益裕量——使()Gjω曲线通过-1点所需的开环增益增大的倍数 就是增益裕量。 相角裕量——使()Gjω曲线通过-1点所需的附加负相移就是相角 裕量。 3 考虑如下曲线 ()Gjω曲线与负实轴的交点标为C，因此()Gjω在C点的相角为 180? o 。在该图中，增益裕量就是从原点O到C点距离的倒数。 开环增益增大增益裕量（1/OC）倍之后，将导致曲线刚好通过-1 点。 采用同样的方式，图中的角度φ就是相角裕量。 这也刚好是使曲线刚好通过-1点所需的额外的负相移量。 4 多大的增益裕量可以使系统具有良好的性能呢？为获得一些主 意，我们可以计算在相角等于180? o 点的闭环响应的模，即为增益裕 量函数。由下图可知 在()Gjω的相角为180? o 时所对应的ω值，我们可以马上获得如下 计算闭环响应的幅值的方程， 下图描述了该方程 注意：在增益裕量低于5db时，闭环响应幅值增长得很快，导致 在闭环响应中出现了谐振峰值。因此，我们期望的增益裕量值应高于 5db。 5 现在考虑下图 奈奎斯特图上的B点是()Gjω的模恰好等于1的点。因此三角形 OAB是等腰三角形，且其两腰长度都为1，因此 这样，在()Gjω的幅值刚好等于1时所对应的频率上，闭环响应 的模是 下图描述了该函数 注意：当相角裕量小于30度时，闭环响应的幅值增长很快，将 导致在闭环响应中出现谐振峰值。因此，我们期望相角裕量值应当大 于30度。 6 例— 回顾Willcox教授用来阐述运用超前校正装置设计控制系统时的 例子，该系统的传递函数是 且闭环系统的方框图是—— 她所设计的超前校正装置是—— 我们希望对校正前和校正后系统的增益裕量和相角裕量进行比 较。对于未校正的系统，() c Gs是纯增益。 7 两个系统在前向通道中都存在一个积分环节，因此它们都是Ⅰ型 系统。为了进行公平的比较，我们对两个系统给定相同的速度误差系 数。这样，未校正的系统增益选为29.8，因此未校正的系统的开环传 递函数如下 下图为校正前后系统在-1点附近的奈奎斯特图。 正如我们所看见的，两个系统都具有极大的增益裕量，但是未校 正系统的相角裕量仅为21度，而Willcox教授设计的系统相角裕量 为44度。结果，未校正系统的谐振峰值约为9db（M=2.8），而校正 后的系统得谐振峰值约为2.5db（M=1.3）。