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16.06 第6讲
S平面，极点和零点
Karen Willcox
2003.9.15
今天的主题
1、极点和零点
2、暂态响应和拉普拉斯逆变换
3、留数的图解确定法
阅读：1.7（从第14页上端开始），1.8，1.9
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1 S平面
我们可得：
() () ()Cs GsRs=
其中C，G和R是关于s的多项式的分式，即：()
numG
Gs
denG
=。
考虑到如下定义：
null C，G和R的零点
null C，G和R的极点
null 系统的零点和极点
null 系统的特征多项式
null 系统的特征方程
特征方程的特征根
由于多项式的系数是实数，则极点和零点是
3
在复平面上()sjσ ω+上画出极点和零点。
例：
设
1
()Rs
s
=
，则() () ()Cs RsGs=的零极点形式就是
()Rs
和
()Gs
形式的叠加：
(2)
()
(4)
Ks
Cs
ss
+
=
+
4
2 暂态响应和拉普拉斯逆变换
问题：给定()Cs的零极点图，如何获得()ct？
回答：进行拉普拉斯逆变换
(a) 如果()Cs形式简单，可以查表获得
如果()Cs形式很复杂，我们可以使用部分分式展开法（PFE）。
例：
(b) 这里还有一种可供选择的方法，在今后会很有用。
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3 留数的图解确定法（实极点）
(a) 部分分式展开法当中的典型因子是
（a是正数，b是负数）
我们可以写出
其中()ba??是
因此在S平面中：
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(b) 在上例中，
1
K的一般表示形式为
(c) 使用实际值，可得：
且对于
2
K：
(d) 因此，如前所示
4
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() ( )
22
t
ct K e
?
=+
7
4 根轨迹增益（vdv 第20页）
定义：一个变换或者一个传递函数的根轨迹增益是分子和分母多
项式中，s的最高次幂的系数为1的结果。
举例说明
0.5 1 2(0.5) 2
() 2
(3)(0.11) 0.1(3)(10)
ss
Cs
ss ss
++
==
++ ++
则根轨迹增益是2（0.5/0.1）=10
回顾
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,KK和
3
K的表达式，揭示了如下的一般规律。
图解留数规则：()Cs的极点
i
p?的留数
i
K等于根轨迹增益乘以
()Cs中所有零点对应于
i
p?的矢量乘积，再除以()Cs的所有除
i
p?以外
的极点对应于
i
p?的矢量乘积。
