9-3 拉普拉斯反变换
1,简单的直接用表 9-1-1及性质 <表 9-2-1>得到
tetttt t 000 s in,c o s,s in),(),(
tttte t c o s h,s in h,,c o s 20?
例,
1
21
s
e s?
)(2)( )( tete tt
se
ss
1
2
1
1
例,
的原函数求 22
)3(
)(
s
ssF
解,
t
s
3s in
3
3
2
tt
s
s
sds
d 3s in
)3(
32)
3
3(
222
)(3s in
32
1
)3(
)( 22 ttt
s
ssF
22
)3(
1)(
s
sF求例,
解,
)(3s in
32
1
)3( 22
ttt
s
s
d
s
s
s
t
022
3s in
32
1
)3(
1
)(]3s in
36
13c o s
6
[ tttt
化简的第一步是 化成真分式
1
132
s
ss例,
1
12
s
s
)()(2)( tett t
求取复杂拉氏变换式的反变换可采用：围线积分或 部分分式展开法。
2,部分分式展开含真分式
)(
)()(
sD
sNsF?
(1),D(s) = 0 的根是实根且无重根
D(s)是 s的多项式，可以进行因式分解
)())(()( 21 nn ssssssasD
)())((
)(
)(
)(
21 nn ssssssa
sN
sD
sN
n
n
ss
k
ss
k
ss
k
2
2
1
1
左右两边同乘以因子 ( s-si )，再令 s =si ( i=1,2,…,n )
),2,1(
)(
)(
)( ni
sD
sN
ssk
iss
ii
][][][)]([ 1
2
21
1
111
n
n
ss
kL
ss
kL
ss
kLsFL
)(][ 21 21 tekekek tsntsts n
例,的拉氏反变换求
352
10114)(
2
2
ss
sssF
解,
)
2
3
)(1(2
4
2)(
ss
s
sF
]
2
31
[
2
1
2 21
s
k
s
k
2
31
)
2
3
)(1(
4 21
s
k
s
k
ss
s
)()
2
53()(2)( 23 teetsF tt
]
2
3
5
1
6
[
2
1
2)(
ss
sF
5
2
1
2
5
1
4
,6
2
1
3
2
3
4
2
3
2
1
1
s
s
s
s
k
s
s
k
(2),D(s) = 0 的根有复根且无重根
))(())(()( 2221 cbssssssssasD nn
))(( 21 cbsssD
则构成一对共轭复根。二次多项式中，若,42 cb?
)(
)(
)(
)()(
1
1
2
21
sD
sN
cbss
ksk
sD
sNsF?
211,)( kksN 系数相等的方法求的系数，再利用对应项先求的反变换可用配方法。cbss ksk2 21
的原函数例：求 463 3)( 23 sss ssF
)42)(1(463 223 ssssss解：试探得
421)( 2
ss
CBs
s
AsF故由掩盖法得：
3
2?A
421
3
2
463
3
223
ss
CBs
ssss
s
43
2
4
3,0 Cs左右两边令
Bss ＋令两边乘
3
20,,
421
3
2
463
3
223
ss
CBs
ssss
s
3
1 C
3
2 B
3)1(
3
1
3
2
1
3
2
)( 2
s
s
s
sF
22 )3()1(
3
3
1
)1(
3
2
1
3
2
s
s
s
)(]3s in
3
13c o s
3
2
3
2[)( tteteetf ttt
(3),D(s) = 0 的根有重根可写成则重根只有一个若 )(,0)( sDpsD?
)()()()( 11 nppn ssssssasD
)(
)(
)()()()()( 1
1
1
11
2
1
12
1
1
)1(1
1
1
sD
sN
ss
k
ss
k
ss
k
ss
ksF
p
p
p
p?
可通过对应项系数相等或公式法得到
111,kk p?
得公式法：上式两边同乘,)( 1 pss?
)(
)(
)(
)()(
)(
)(
)(
)(
1
1
1
1
111
2
112
1)1(111
sD
sN
ss
sskssk
sskk
sD
sN
ss
p
pp
pp
p
1
)(
)()(
11
ss
p
p sD
sNssk
1
]
)(
)()[(
1)1(1
ss
p
p sD
sNss
ds
dk
依次类推
1
]}
)(
)()[({
)!(
1
11
ss
p
kp
kp
k sD
sNss
ds
d
kp
k
它们的拉氏反变换可通过频域微分性质得到
tskk
k
k et
k
k
ss
kL
111
1
11
)!1(])([
的原函数例：求 23
2
2
132)(
ss
sssF
22
132)( 212
2
11
23
2
s
k
s
k
s
k
ss
sssF解：
掩盖法
4
3,
2
1
211 kk
4
5
4
1
2
1
3
6,1
1212 kks,令
)()
4
3
4
5
2
1()( 2 tetsF t
2
4
3
4
5
2
1
)(
2?
sss
sF
的原函数例：求 22 ]1)2[( 1)( s ssF
可展开为故的根有二重根解,)(,120)( 2,1 sFjssD
)12()12()12()12()(
22
2
2112
2
11
js
k
js
k
js
k
js
ksF
4
12
2
11 4
2)()12(?j
js esFjsk
2
12
2
12 4
1)]()12[(?j
js esFjsds
dk
)()]2c o s (21)4c o s (21[)( 22 ttettetf tt
另解,先不考虑频移，
的原函数即先求 22 ]1[ 1)( s ssF
已知
ts sts c o s1,s in11 22
ttsstts s c o s)1( 1,s in)1( 2 22
2
22
ttssssss c o s)1( 211)1( 21)1( 1 22222
2
22
2
ttts s inc o s)1( 2 22
tttttss ss s s in21c o s21s in21]1[ 1]1[ 221]1[ 1 222222
)()]2c o s (21)4c o s (21[ tttt
)()]2c o s (21)4c o s (21[]1)2[( 1 2222 ttettes s tt
例,求下列函数的拉氏反变换
)4(
1)(.1
2
2
ss
esF s
解,
s
s
e
ssssss
e 2
222
2
)4(
1
)4(
1
)4(
1
)4(
1
2?ss 4
0
4
1
4
1
2?
s
s
s
)()2c o s1(41 tt
)2()]2(2c o s1[41)()2c o s1(41)( ttttsF
se
ss
2
2 )4(
1?
)2()]2(2c o s1[41 tt?
时移性质
s
s
e
ssssss
e 2
222
2
)4(
1
)4(
1
)4(
1
1
11)(
2 ssssF
1)(.2 2
3
ss
ssF
解,长除法
22
)
2
3
()
2
1
(
2
3
3
2
1
s
s
)(
2
3s in
3
2)()()( 21 ttettsF t
dssFds
sss
s
ss
)()
1
11(1ln
1
)()1()]([)( 111 tesFLtf t
)()1(11ln te
ts
s t
s
ssF 1ln)(.3
解,频域积分
)()3( 1.4 22 tfs
3
1
6
1)
3
(
6
1
)3(
33
6
1
)3(
1
2222
22
22
ss
s
ds
d
s
ss
s
)(]3s in
36
13c o s
6
1[)( tttttf
例 求 拉氏反变换
2
.1
)2(2
s
e s
s
ee ss )1)(1(.2 3
)(1.1 t
s
解,
t
s
et
s
e 2)2(2 )2(
2
)2(1 2 te
s
s?
s
eee
s
ee sssss 433 1)1)(1(.2
)4()3()1()( tttt
)3()(1),1()(1 3
ttettse s
s
或
)]3()([)]1()([ tttt
)4()3()1()( tttt
的原函数求
]1)[1(
]1[)(.3
)1(2
2)1(
s
s
es
esF
域右移一个单位，在的形式可见，将解：观察 ssFsF )()(
有即令 ),1()(1 sFsF
ss
ss
s
s
esFes
ee
es
esF
222
2
2
2
1 1
1)(
1
121
)1(
)1()(
)2()1(2)()()( 22 ttttfsF
1
-1
0 2 t
)(2 tf
1
-1
0 2
)(1 tf
t
的有始方波，如图所示是周期为 2)(1 tf
波形如图所示据复频移特性可得 ),()( 1 tfetf t
1
-1 0 2
)(tf
t
22422444 4444 saasas
s
as
s
2222 )2()2( asas
s
)22)(22( 2222 aassaass
s
)(4.4 44 tfas s
])()([4 1 22222 aas aaas aa
)(]s ins in[4 1)( 2 tateateatf atat
]
)(
1[1
222
2
224 as
sa
as
s
sa?
22s in h as
aat
22222 )(
2][s in h
as
as
as
a
ds
datt
]
)(
21[1
)(
1.5
222
23
4222 as
sas
saass?
)(]s in h2c o s h1[1)( 4 tattaatatf
9-8 (5)
9-9 (1)
作业,p,562
9-4 拉普拉斯变换分析法拉普拉斯变换分析法 (复频域分析法 )是分析线性连续系统的有力工具，它将描述系统的时域微积分方程变换为 s 域的代数方程，便于运算和求解；变换自动包含初始状态，
既可分别求得零输入响应、零状态响应，也可同时求得系统的全响应。
线性网络
（ 零状态 ）
输入激励
9-4-1 零状态响应时域 e(t) * h(t) = r(t)
输出响应卷积法频 域 E(ω)? H(ω) = R(ω) 傅氏分析法复频域 E(s)? H(s) = R(s) 拉氏分析法零状态响应的拉氏分析法步骤
)()(1 sEte 从时域变换为复频域的将输入激励
)(3 sH确定系统的网络函数
)()()(4 sHsEsR求出响应的拉氏变换
)()(5 trsR 求出，即从再从复频域返回到时域
SC
SLR
sIsU
1
)()(
2
、、表示为复频域的电阻、电感、电容分别
、表示为其中，电压、电流分别作出电路的复频域模型例 9-4-1
,F21,H1,H2,2 21 CLLR已知
。求零状态响应 )(,V)(4)( 22 titetu ts
解,(1)
2
4)](4[)()]([ 2
s
tesUtu tss?LL
)(2 ti2L
RC)(tu
s
+
-
1L
(2) 作出电路的复频域模型
)(2 sI2sL
R
sC
1)(sU
s
+
-
1sL
)2)(1(
1
232
1
1
1
1
)(
1
1
)(
)(
)(
223
2
2
2
1
2
ssssss
sC
sLR
sC
sLR
sC
sLR
sC
sL
sU
sI
sH
s
(3) 求网络函数 H(s) )(
2 sI2sL
R
sC
1)(sU
s
+
-
1sL
)()()(2 sHsUsI s?
(4) 求响应的变换 I2(s) )(
2 sI2sL
R
sC
1)(sU
s
+
-
1sL
)2)(1(
1
2
4
2 ssss
2
1
1
2
2
1
212 22
4321
ss
s
ssss
KsK
s
K
s
K
2222
)
2
7
()
2
1
(
2
7
7
1
)
2
7
()
2
1
(
2
1
1
2
2
1
ss
s
ss
2222
2
)
2
7
()
2
1
(
2
7
7
1
)
2
7
()
2
1
(
2
1
1
2
2
1
)(
ss
s
ss
sI
(5) 求 i2(t)
)(]
2
7
s in
7
1
2
7
c o s2[
)]([)(
222
2
1
2
tteteee
sIti
tt
tt?
L
)(]
2
7
s in
7
1
2
7
c o s2[ 222 tteteee
tt
tt?
固有响应强制响应
。求响应例：已知 )(),()( 2 tuttu s
解：复频域电路模型如图所示
)(tus F1F1?1
H2?1
)(2 tu
)(1tu
s
1
s
1
s
1?1
s2?1
)(2 sU
)(1 sU
0)()1
2
1
()(
2
1
1
)(
2
1
)()
2
1
1(
21
21
sUs
s
sU
s
s
sU
s
sU
s
s
对节点 a,b列写节点方程
a b
s
1
s
1
s
1?1
s2?1
)(2 sU
)(1 sU
经整理并联立求解得
)22(2
1)(
2342 sssssU )1)(1(2
1
2 ssss
)11111(21 2 ssss
]
)
2
3
()
2
1
(
2
3
3
2
1
11
[
2
1
22
s
ss
)()]2 3s in (
3
21[
2
1)( 2
2 tteetu
t
t
拉氏变换分析的优点
1,把微分方程转化成代数方程
3,已知电路也可求解
2,0- 到? 作单边拉氏变换，零状态自动包含其中
9-4-2 全响应拉氏变换分析法的优越性之一是：不仅能分析零状态响应，还能分析全响应。
。0)(;0;0)(;0
sUuK V L
sIiK C L
可根据复频域电路模型，从电路中直接列写求解复频域响应的代数方程，反变换求得响应。
电阻
)()( tRitu RR?
)()( sRIsU RR?
基本元件的复频域模型
+ -
)(tuR
)(tiR
+ -
)(sUR
)(sIR
电容
)0()(1)(
0?
C
t
CC udiCtu
)0(1)(1)( CCC u
s
sI
sC
sU
C)(tiC
+ -
)(tuC
)0(?Cu
)(sIC
+ -)(sUC
)0(1?Cus
+ -
sC
1
)0()()( CCC Cuss C UsI或
)(sIC
+ -
)(sUC
)0(?CCu
sC
1
电感
dt
tdiLtu L
L
)()(?
)0()()( LLL Liss L IsU
L
+ -)(tuL
)0(?Li)(tiL
sL
+ -)(sUL
)0(?LLi)(sI
L
- +
s
isU
sL
sI LLL )0()(1)(或
sL
+ -)(sU
L
s
iL )0(?
)(sIL
注意
2,等效端子
1)t(,s11.3
4,初始状态是电感电流或电容电压时，
才用运算等效电路
1,内电源极性只与电容两端电压有关例：,1)0(),()1()( 3 Vutetu
Cts＋已知 )(tu c求响应电压
3
11)(
ss
sU s
解,
sc
R
s
u
sU
sI
C
s
1
)0(
)(
)(
由 KVL?
)(tuc
+
-)(tus
R
C?1
F1
)(sUc
+
-)(sUs
R
1 sc1
s
uc )0(?
+
-
)(sI
s
usI
sc
sU CC )0()(1)(
s
u
R s c
s
u
sU
C
C
s )0(
1
)0(
)(
1
)0(
1
)(
R s c
R C u
R s c
sU Cs
)(sUc
+
-)(sUs
R
1 sc1
s
uc )0(?
+
-
)(sI
零状态响应
1
3
11
1
)(
)(
s
ss
R s c
sU
sU sC z s
)3s)(1s(s
3s2
3s
2
1
1s
2
1
s
1
)()
2
1
2
11()]([)( 3 teesUtu tt
C z sC z s?
1-L
零输入响应
1
1
1
)0()(
sR s c
R c usU C
C z i
)0()]([)( tesUtu tC z iC z i -1L
)0(
2
1
2
11)()()( 3 teetututu tt
C z iC z sC
全响应
,3,F1,H1,V12)( 1 RCLtu S知例：如图所示电路，已闭合。时，开关当。原电路已处于稳态。 StRR 01,2 32
)()(3 tytyRS zszi 和零状态响应两端电压的零输入响应闭合后求
L
)(tus C 3R
3
)(ty
)(tuc
1R
2R
S
)(tiL
)0(),0( Lc iu感电流的初始值解：先求电容电压和电
V6)0(
321
32?
sc uRRR
RRu A21)0(
321
sL uRRRi
选定参考节点后，列写 a点的节点方程
1131
)(
1
)0(
)0(
)()
11
(
RsL
sU
sC
s
u
RsL
Li
sY
R
sC
RsL
s
c
L
asL
)(sUs sC1 3R
)(sY
1R
)0(?LLi
)(sIL
- +
s
uc )0(
其次画出电路的复频域电路模型，如图所示代入数据整理得
44
)(
44
)0()3()0()(
22
ss
sU
ss
usisY scL
44
206
44
)0()3()0()(
22
ss
s
ss
usisY cL
zi
2
6
)2(
8
2 ss
Vtetty tzi )()68()( 2
44
)()(
2 ss
sUsY s
zs
sLsU s
12]12[)(
2
3
)2(
63
)44(
12)(
22 sssssssY zs
V)(])36(3[)( 2 tetty tzs
例,给定系统的微分方程 x2x3xy6y5y
已知激励信号 )t()e1()t(x t
对应的响应为
)t()
3
1e
3
4e4()t(y t3t2
求系统的初始状态 y(0-),y'(0-)及系统的零输入响应，
零状态响应。
线性时不变电路的激励响应关系总可由 微分方程 来描述。当电路的微分方程给定时（激励已知），则只要 对微分方程进行拉氏变换,将时域中的 微分方程 变成复频域中的 代数方程,再进行反变换求得响应的时域解。
解,根据拉氏变换的微分性，对微分方程两边作拉氏变换
)s(Y6)0(y5)s(sY5)0(y)0(sy)s(Ys 2
)s(X2)s(sX3)s(Xs 2
6s5s
)0(y5)0(y)0(sy)s(X
6s5s
2s3s)s(Y
22
2
激励信号
1s
1
s
1)s(X
代入上式
6s5s
)0(y5)0(y)0(sy
)1s(s
1s2
6s5s
2s3s)s(Y
22
2
6s5s
)0(y5)0(y)0(sy
3s
3
5
s
3
1
2
对全响应作拉氏变换，有
s
3
1
3s
1
3
4
2s
4
)s(Y?
6s5s
6s
3s
3
2s
4
6s5s
)0(y5)0(y)0(sy
22
1)0(y,1)0(y
3s
3
5
s
3
1
)s(Y zs
)()34()()()( 32 teetytyty ttzszi
)()
3
5
3
1()( 3 tety t
zs?
9-19
9-20
作业,p,565
1,简单的直接用表 9-1-1及性质 <表 9-2-1>得到
tetttt t 000 s in,c o s,s in),(),(
tttte t c o s h,s in h,,c o s 20?
例,
1
21
s
e s?
)(2)( )( tete tt
se
ss
1
2
1
1
例,
的原函数求 22
)3(
)(
s
ssF
解,
t
s
3s in
3
3
2
tt
s
s
sds
d 3s in
)3(
32)
3
3(
222
)(3s in
32
1
)3(
)( 22 ttt
s
ssF
22
)3(
1)(
s
sF求例,
解,
)(3s in
32
1
)3( 22
ttt
s
s
d
s
s
s
t
022
3s in
32
1
)3(
1
)(]3s in
36
13c o s
6
[ tttt
化简的第一步是 化成真分式
1
132
s
ss例,
1
12
s
s
)()(2)( tett t
求取复杂拉氏变换式的反变换可采用：围线积分或 部分分式展开法。
2,部分分式展开含真分式
)(
)()(
sD
sNsF?
(1),D(s) = 0 的根是实根且无重根
D(s)是 s的多项式，可以进行因式分解
)())(()( 21 nn ssssssasD
)())((
)(
)(
)(
21 nn ssssssa
sN
sD
sN
n
n
ss
k
ss
k
ss
k
2
2
1
1
左右两边同乘以因子 ( s-si )，再令 s =si ( i=1,2,…,n )
),2,1(
)(
)(
)( ni
sD
sN
ssk
iss
ii
][][][)]([ 1
2
21
1
111
n
n
ss
kL
ss
kL
ss
kLsFL
)(][ 21 21 tekekek tsntsts n
例,的拉氏反变换求
352
10114)(
2
2
ss
sssF
解,
)
2
3
)(1(2
4
2)(
ss
s
sF
]
2
31
[
2
1
2 21
s
k
s
k
2
31
)
2
3
)(1(
4 21
s
k
s
k
ss
s
)()
2
53()(2)( 23 teetsF tt
]
2
3
5
1
6
[
2
1
2)(
ss
sF
5
2
1
2
5
1
4
,6
2
1
3
2
3
4
2
3
2
1
1
s
s
s
s
k
s
s
k
(2),D(s) = 0 的根有复根且无重根
))(())(()( 2221 cbssssssssasD nn
))(( 21 cbsssD
则构成一对共轭复根。二次多项式中，若,42 cb?
)(
)(
)(
)()(
1
1
2
21
sD
sN
cbss
ksk
sD
sNsF?
211,)( kksN 系数相等的方法求的系数，再利用对应项先求的反变换可用配方法。cbss ksk2 21
的原函数例：求 463 3)( 23 sss ssF
)42)(1(463 223 ssssss解：试探得
421)( 2
ss
CBs
s
AsF故由掩盖法得：
3
2?A
421
3
2
463
3
223
ss
CBs
ssss
s
43
2
4
3,0 Cs左右两边令
Bss ＋令两边乘
3
20,,
421
3
2
463
3
223
ss
CBs
ssss
s
3
1 C
3
2 B
3)1(
3
1
3
2
1
3
2
)( 2
s
s
s
sF
22 )3()1(
3
3
1
)1(
3
2
1
3
2
s
s
s
)(]3s in
3
13c o s
3
2
3
2[)( tteteetf ttt
(3),D(s) = 0 的根有重根可写成则重根只有一个若 )(,0)( sDpsD?
)()()()( 11 nppn ssssssasD
)(
)(
)()()()()( 1
1
1
11
2
1
12
1
1
)1(1
1
1
sD
sN
ss
k
ss
k
ss
k
ss
ksF
p
p
p
p?
可通过对应项系数相等或公式法得到
111,kk p?
得公式法：上式两边同乘,)( 1 pss?
)(
)(
)(
)()(
)(
)(
)(
)(
1
1
1
1
111
2
112
1)1(111
sD
sN
ss
sskssk
sskk
sD
sN
ss
p
pp
pp
p
1
)(
)()(
11
ss
p
p sD
sNssk
1
]
)(
)()[(
1)1(1
ss
p
p sD
sNss
ds
dk
依次类推
1
]}
)(
)()[({
)!(
1
11
ss
p
kp
kp
k sD
sNss
ds
d
kp
k
它们的拉氏反变换可通过频域微分性质得到
tskk
k
k et
k
k
ss
kL
111
1
11
)!1(])([
的原函数例：求 23
2
2
132)(
ss
sssF
22
132)( 212
2
11
23
2
s
k
s
k
s
k
ss
sssF解：
掩盖法
4
3,
2
1
211 kk
4
5
4
1
2
1
3
6,1
1212 kks,令
)()
4
3
4
5
2
1()( 2 tetsF t
2
4
3
4
5
2
1
)(
2?
sss
sF
的原函数例：求 22 ]1)2[( 1)( s ssF
可展开为故的根有二重根解,)(,120)( 2,1 sFjssD
)12()12()12()12()(
22
2
2112
2
11
js
k
js
k
js
k
js
ksF
4
12
2
11 4
2)()12(?j
js esFjsk
2
12
2
12 4
1)]()12[(?j
js esFjsds
dk
)()]2c o s (21)4c o s (21[)( 22 ttettetf tt
另解,先不考虑频移，
的原函数即先求 22 ]1[ 1)( s ssF
已知
ts sts c o s1,s in11 22
ttsstts s c o s)1( 1,s in)1( 2 22
2
22
ttssssss c o s)1( 211)1( 21)1( 1 22222
2
22
2
ttts s inc o s)1( 2 22
tttttss ss s s in21c o s21s in21]1[ 1]1[ 221]1[ 1 222222
)()]2c o s (21)4c o s (21[ tttt
)()]2c o s (21)4c o s (21[]1)2[( 1 2222 ttettes s tt
例,求下列函数的拉氏反变换
)4(
1)(.1
2
2
ss
esF s
解,
s
s
e
ssssss
e 2
222
2
)4(
1
)4(
1
)4(
1
)4(
1
2?ss 4
0
4
1
4
1
2?
s
s
s
)()2c o s1(41 tt
)2()]2(2c o s1[41)()2c o s1(41)( ttttsF
se
ss
2
2 )4(
1?
)2()]2(2c o s1[41 tt?
时移性质
s
s
e
ssssss
e 2
222
2
)4(
1
)4(
1
)4(
1
1
11)(
2 ssssF
1)(.2 2
3
ss
ssF
解,长除法
22
)
2
3
()
2
1
(
2
3
3
2
1
s
s
)(
2
3s in
3
2)()()( 21 ttettsF t
dssFds
sss
s
ss
)()
1
11(1ln
1
)()1()]([)( 111 tesFLtf t
)()1(11ln te
ts
s t
s
ssF 1ln)(.3
解,频域积分
)()3( 1.4 22 tfs
3
1
6
1)
3
(
6
1
)3(
33
6
1
)3(
1
2222
22
22
ss
s
ds
d
s
ss
s
)(]3s in
36
13c o s
6
1[)( tttttf
例 求 拉氏反变换
2
.1
)2(2
s
e s
s
ee ss )1)(1(.2 3
)(1.1 t
s
解,
t
s
et
s
e 2)2(2 )2(
2
)2(1 2 te
s
s?
s
eee
s
ee sssss 433 1)1)(1(.2
)4()3()1()( tttt
)3()(1),1()(1 3
ttettse s
s
或
)]3()([)]1()([ tttt
)4()3()1()( tttt
的原函数求
]1)[1(
]1[)(.3
)1(2
2)1(
s
s
es
esF
域右移一个单位，在的形式可见，将解：观察 ssFsF )()(
有即令 ),1()(1 sFsF
ss
ss
s
s
esFes
ee
es
esF
222
2
2
2
1 1
1)(
1
121
)1(
)1()(
)2()1(2)()()( 22 ttttfsF
1
-1
0 2 t
)(2 tf
1
-1
0 2
)(1 tf
t
的有始方波，如图所示是周期为 2)(1 tf
波形如图所示据复频移特性可得 ),()( 1 tfetf t
1
-1 0 2
)(tf
t
22422444 4444 saasas
s
as
s
2222 )2()2( asas
s
)22)(22( 2222 aassaass
s
)(4.4 44 tfas s
])()([4 1 22222 aas aaas aa
)(]s ins in[4 1)( 2 tateateatf atat
]
)(
1[1
222
2
224 as
sa
as
s
sa?
22s in h as
aat
22222 )(
2][s in h
as
as
as
a
ds
datt
]
)(
21[1
)(
1.5
222
23
4222 as
sas
saass?
)(]s in h2c o s h1[1)( 4 tattaatatf
9-8 (5)
9-9 (1)
作业,p,562
9-4 拉普拉斯变换分析法拉普拉斯变换分析法 (复频域分析法 )是分析线性连续系统的有力工具，它将描述系统的时域微积分方程变换为 s 域的代数方程，便于运算和求解；变换自动包含初始状态，
既可分别求得零输入响应、零状态响应，也可同时求得系统的全响应。
线性网络
（ 零状态 ）
输入激励
9-4-1 零状态响应时域 e(t) * h(t) = r(t)
输出响应卷积法频 域 E(ω)? H(ω) = R(ω) 傅氏分析法复频域 E(s)? H(s) = R(s) 拉氏分析法零状态响应的拉氏分析法步骤
)()(1 sEte 从时域变换为复频域的将输入激励
)(3 sH确定系统的网络函数
)()()(4 sHsEsR求出响应的拉氏变换
)()(5 trsR 求出，即从再从复频域返回到时域
SC
SLR
sIsU
1
)()(
2
、、表示为复频域的电阻、电感、电容分别
、表示为其中，电压、电流分别作出电路的复频域模型例 9-4-1
,F21,H1,H2,2 21 CLLR已知
。求零状态响应 )(,V)(4)( 22 titetu ts
解,(1)
2
4)](4[)()]([ 2
s
tesUtu tss?LL
)(2 ti2L
RC)(tu
s
+
-
1L
(2) 作出电路的复频域模型
)(2 sI2sL
R
sC
1)(sU
s
+
-
1sL
)2)(1(
1
232
1
1
1
1
)(
1
1
)(
)(
)(
223
2
2
2
1
2
ssssss
sC
sLR
sC
sLR
sC
sLR
sC
sL
sU
sI
sH
s
(3) 求网络函数 H(s) )(
2 sI2sL
R
sC
1)(sU
s
+
-
1sL
)()()(2 sHsUsI s?
(4) 求响应的变换 I2(s) )(
2 sI2sL
R
sC
1)(sU
s
+
-
1sL
)2)(1(
1
2
4
2 ssss
2
1
1
2
2
1
212 22
4321
ss
s
ssss
KsK
s
K
s
K
2222
)
2
7
()
2
1
(
2
7
7
1
)
2
7
()
2
1
(
2
1
1
2
2
1
ss
s
ss
2222
2
)
2
7
()
2
1
(
2
7
7
1
)
2
7
()
2
1
(
2
1
1
2
2
1
)(
ss
s
ss
sI
(5) 求 i2(t)
)(]
2
7
s in
7
1
2
7
c o s2[
)]([)(
222
2
1
2
tteteee
sIti
tt
tt?
L
)(]
2
7
s in
7
1
2
7
c o s2[ 222 tteteee
tt
tt?
固有响应强制响应
。求响应例：已知 )(),()( 2 tuttu s
解：复频域电路模型如图所示
)(tus F1F1?1
H2?1
)(2 tu
)(1tu
s
1
s
1
s
1?1
s2?1
)(2 sU
)(1 sU
0)()1
2
1
()(
2
1
1
)(
2
1
)()
2
1
1(
21
21
sUs
s
sU
s
s
sU
s
sU
s
s
对节点 a,b列写节点方程
a b
s
1
s
1
s
1?1
s2?1
)(2 sU
)(1 sU
经整理并联立求解得
)22(2
1)(
2342 sssssU )1)(1(2
1
2 ssss
)11111(21 2 ssss
]
)
2
3
()
2
1
(
2
3
3
2
1
11
[
2
1
22
s
ss
)()]2 3s in (
3
21[
2
1)( 2
2 tteetu
t
t
拉氏变换分析的优点
1,把微分方程转化成代数方程
3,已知电路也可求解
2,0- 到? 作单边拉氏变换，零状态自动包含其中
9-4-2 全响应拉氏变换分析法的优越性之一是：不仅能分析零状态响应，还能分析全响应。
。0)(;0;0)(;0
sUuK V L
sIiK C L
可根据复频域电路模型，从电路中直接列写求解复频域响应的代数方程，反变换求得响应。
电阻
)()( tRitu RR?
)()( sRIsU RR?
基本元件的复频域模型
+ -
)(tuR
)(tiR
+ -
)(sUR
)(sIR
电容
)0()(1)(
0?
C
t
CC udiCtu
)0(1)(1)( CCC u
s
sI
sC
sU
C)(tiC
+ -
)(tuC
)0(?Cu
)(sIC
+ -)(sUC
)0(1?Cus
+ -
sC
1
)0()()( CCC Cuss C UsI或
)(sIC
+ -
)(sUC
)0(?CCu
sC
1
电感
dt
tdiLtu L
L
)()(?
)0()()( LLL Liss L IsU
L
+ -)(tuL
)0(?Li)(tiL
sL
+ -)(sUL
)0(?LLi)(sI
L
- +
s
isU
sL
sI LLL )0()(1)(或
sL
+ -)(sU
L
s
iL )0(?
)(sIL
注意
2,等效端子
1)t(,s11.3
4,初始状态是电感电流或电容电压时，
才用运算等效电路
1,内电源极性只与电容两端电压有关例：,1)0(),()1()( 3 Vutetu
Cts＋已知 )(tu c求响应电压
3
11)(
ss
sU s
解,
sc
R
s
u
sU
sI
C
s
1
)0(
)(
)(
由 KVL?
)(tuc
+
-)(tus
R
C?1
F1
)(sUc
+
-)(sUs
R
1 sc1
s
uc )0(?
+
-
)(sI
s
usI
sc
sU CC )0()(1)(
s
u
R s c
s
u
sU
C
C
s )0(
1
)0(
)(
1
)0(
1
)(
R s c
R C u
R s c
sU Cs
)(sUc
+
-)(sUs
R
1 sc1
s
uc )0(?
+
-
)(sI
零状态响应
1
3
11
1
)(
)(
s
ss
R s c
sU
sU sC z s
)3s)(1s(s
3s2
3s
2
1
1s
2
1
s
1
)()
2
1
2
11()]([)( 3 teesUtu tt
C z sC z s?
1-L
零输入响应
1
1
1
)0()(
sR s c
R c usU C
C z i
)0()]([)( tesUtu tC z iC z i -1L
)0(
2
1
2
11)()()( 3 teetututu tt
C z iC z sC
全响应
,3,F1,H1,V12)( 1 RCLtu S知例：如图所示电路，已闭合。时，开关当。原电路已处于稳态。 StRR 01,2 32
)()(3 tytyRS zszi 和零状态响应两端电压的零输入响应闭合后求
L
)(tus C 3R
3
)(ty
)(tuc
1R
2R
S
)(tiL
)0(),0( Lc iu感电流的初始值解：先求电容电压和电
V6)0(
321
32?
sc uRRR
RRu A21)0(
321
sL uRRRi
选定参考节点后，列写 a点的节点方程
1131
)(
1
)0(
)0(
)()
11
(
RsL
sU
sC
s
u
RsL
Li
sY
R
sC
RsL
s
c
L
asL
)(sUs sC1 3R
)(sY
1R
)0(?LLi
)(sIL
- +
s
uc )0(
其次画出电路的复频域电路模型，如图所示代入数据整理得
44
)(
44
)0()3()0()(
22
ss
sU
ss
usisY scL
44
206
44
)0()3()0()(
22
ss
s
ss
usisY cL
zi
2
6
)2(
8
2 ss
Vtetty tzi )()68()( 2
44
)()(
2 ss
sUsY s
zs
sLsU s
12]12[)(
2
3
)2(
63
)44(
12)(
22 sssssssY zs
V)(])36(3[)( 2 tetty tzs
例,给定系统的微分方程 x2x3xy6y5y
已知激励信号 )t()e1()t(x t
对应的响应为
)t()
3
1e
3
4e4()t(y t3t2
求系统的初始状态 y(0-),y'(0-)及系统的零输入响应，
零状态响应。
线性时不变电路的激励响应关系总可由 微分方程 来描述。当电路的微分方程给定时（激励已知），则只要 对微分方程进行拉氏变换,将时域中的 微分方程 变成复频域中的 代数方程,再进行反变换求得响应的时域解。
解,根据拉氏变换的微分性，对微分方程两边作拉氏变换
)s(Y6)0(y5)s(sY5)0(y)0(sy)s(Ys 2
)s(X2)s(sX3)s(Xs 2
6s5s
)0(y5)0(y)0(sy)s(X
6s5s
2s3s)s(Y
22
2
激励信号
1s
1
s
1)s(X
代入上式
6s5s
)0(y5)0(y)0(sy
)1s(s
1s2
6s5s
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9-19
9-20
作业,p,565
