5-7 正弦稳态电路的功率正弦稳态电路的主要用途,传输能量 。
本节讨论正弦稳态单口网络的瞬时功率、平均功率、
视在功率、复功率和功率因数，以及正弦稳态单口网络向可变负载传输最大功率的问题。
一、二端网络的功率图示二端网络 N,假定其无源且无受控源,端口电压和电流采用关联参考方向 。 任一瞬间,它吸收的功率为
)()()( titutp?
正弦稳态时，端口电压和电流是相同频率的正弦量，即
)c os (2)(
c os2)(
z
tUtu
tIti
1、瞬时功率二端网络 N的阻抗角则瞬时功率为
ttUI
tItUtitutp
z
z
c o s)c o s (2
c o s2)c o s (2)()()(
瞬时功率由一个恒定分量 UIcos?z 和一个角频率为 2ω的正弦分量 UIcos(2ωt+?z) 组成，周期性变化。
)c o s ()c o s ( c o sc o s2
)2c o s (c o s)( zz tUItp
当 p(t)>0时，网络吸收功率；当 p(t)<0时，网络发出功率。于是在电路与外电路之间形成了能量的往返传递现象。瞬时功率的波形如图所示。
Z
Z
瞬时功率的波形如图所示。
Z
T
ZZ
TT
UI
ttUI
T
tui
T
ttp
T
P
c os
d)2c os (c os
1
d
1
d)(
1
0
0
0
平均功率不仅取决于电压电流有效值乘积 UI，还与阻抗角
Z =?u -?i 有关。
2、平均功率简称功率,在一个周期内的平均值，又称 有功功率 。
几种特殊情况,
)t2c o s1(t2c o s)( IUUIUItp R
此时网络电压与电流相位相同，即?Z = 0,cos?Z =1，二端网络等效为纯阻 R,U=UR,瞬时功率为波形如图 。 p(t)在任何时刻均大于或等于零,
电阻始终吸收功率和消耗能量 。
① 网络等效阻抗为一个电阻。
平均功率,P=UI=URI
② 网络等效阻抗为一个电抗。
此时网络电压与电流相位为正交关系，即?Z =?90?,
cos?Z =0，二端网络等效为纯电抗 X,U=UX,瞬时功率为是角频率为 2?的正弦量,在一段时间内 p(t)>0，电感或电容吸收功率获得能量；另外一段时间内 p(t)<0，电感或电容发出功率释放出它所获得的全部能量。
平均功率为 0)09c o s (UIP
)902c o s (
)902c o s ()(
tIU
tUItp
X?
)9022c o s ()(
)9022c o s ()(
uC
uL
tUItp
tUItp
3、视在功率表示一个电气设备的容量，是单口网络所吸收平均功率的最大值，单位：伏安 (VA)。
UIS?
例如我们说某个发电机的容量为 100KVA，而不说其容量为 100kW。
任何电机、电器在使用时须使其电压、电流不超过允许限值，此值称 额定值 。许多交流电机、电器的额定容量以视在功率表示。
4,功率因数
ZS
P c os
Z =?u-?i 为 功率因数角 。当网络等效为一个电阻与电感或电容连接时,|?Z|<90?,0<λ <1。
网络吸收的平均功率 P与 cos?Z 的大小密切相关，
cos?Z 表示功率的利用程度，平均功率与视在功率的比值称为功率因数
Z < 0,电路容性,电流导前电压；?Z > 0,电路感性,电流滞后电压 。
为了提高电能的利用效率，电力部门采用各种措施力求提高功率因数。例如使用镇流器的日光灯电路，它等效于一个电阻和电感的串联，其功率因数小于 1，它要求线路提供更大的电流。为了提高日光灯电路的功率因数，一个常用的办法是在它的输入端 并联一个适当数值的电容 来抵消电感分量，使其端口特性接近一个纯电阻以便使功率因数接近于 1。
反映电源和单口网络内储能元件之间的能量交换情况
，单位为乏 (Var)
5、无功功率
ZUIQ?s in?
)
2
2c os (s i n)2c os1(c os
2s i ns i n2c osc osc os
)2c os (c os
c os)c os (2
c os2)c os (2)(
tUItUI
tUItUIUI
tUI
ttUI
tItUtp
zz
zzz
zz
z
z
XzRz UUUU s i nc o s
XU?
RU?
二端网络电压 U的分解
U?
1?
I?
Z?
)
2
2c os ()2c os1(
)
2
2c os ()2c os1()(
tIUtIU
tIUtIUtp
XR
XR
等效电抗吸收的瞬时功率等效电阻吸收的瞬时功率，恒为正值
00s i ns i n 0 UIUIQ ZR?
若二端网络等效为纯电阻时，有
UIUIUIQ ZL
2
s i ns i n
若二端网络等效为纯电感时，有
UIUIUIQ ZC )
2
s i n (s i n
若二端网络等效为纯电容时，有上述讨论的公式不但适用于 RLC组成的无源二端网络，
也适用于任意无源或有源二端网络。
注意：
6、复 功 率为了便于用相量来计算平均功率,引入复功率 。 工作于正弦稳态的网络,其电压电流采用关联的参考方向,设
iu IIUU
QPUIUI
UIUIIUS iu
js i njc o s
~ *
电流相量的共轭复数为：
I?
U?
N
i
* II
复功率?单位为伏安（ VA）,?的模为视在功率 S，实部为平均功率 P，虚部为无功功率 Q。
7、功率三角形
Z
P
Q
S
s in
c os
c os
22
SQ
SP
S
P
QPS
8,复功率守恒复功率守恒定理：对于工作于正弦稳态的电路,由每个独立电源发出的复功率的总和等于电路中其它电路元件所吸收复功率的总和：
吸收发出 SS ~~
由此可以导出一个正弦稳态电路的有功功率和无功功率也是守恒的结论。
CkLkk
kkk
QQjP
QjPSQPS
~
j
~
正弦稳态电路中，由每个独立电源发出的有功功率的总和等于电路中其它元件所吸收的有功功率的总和；由每个独立电源发出的无功功率的总和等于电路中其它元件所吸收的无功功率的总和：
吸收发出吸收发出 QQPP
由此可得网络吸收的有功功率等于该网络内每个电阻吸收的平均功率总和。
注意正弦稳态电路中视在功率并不守恒。
例 17 电路相量模型如图,端口电压的有效值 U=100V.试求该网络的 P,Q,?,S,λ。
解,设端口电压相量为：
9.36106j8
8j814j
j 1 616
j 1 661
14jZ
16? j16?
-j14?
+
-
U?
网络的等效阻抗：
V01 0 0U
VA6 0 08 0 09.361 0 0 0
9.361001 0 0~
*
j
IUS
因此 A9.3610
9.3610
0100?
ZUI
故：
所以 8.0)9.36c o s (c o s
Z
（导前）
V a r600]
~
I m [
W800]
~
R e [
VA1000
~
SQ
SP
SS
9.36Z?由于例 18 感性负载接在 U=220V,f =50Hz的交流电源上,其平均功率 P=1.1KW,功率因数 λ =0.5，欲并联电容使负载的功率因数提高到 0.8(滞后 ),求电容。
解：
A105.02 2 0 101.1
3
U PI
感性负载的阻抗角,
I?
U?
感性负载
'I?
CI?C
605.0a r c c o sZ?
设电压相量为,V0220U
功率因数后注明,滞后,是指：电流滞后电压,?Z > 0，电路 为感性；反之，注明,导前,是指电流导前电压,?Z < 0，电路容性。
负载电流有效值,
则负载电流相量,
9.368.0a r c c o s'Z?
A6010I
并联电容后，电源电流有效值,
A25.68.02 2 0 101.1''
3
U PI
由于 λ ’=0.8 (滞后 ),因此功率因数角,
A9.3625.6'I
U?'I?
I?
CI?
A9091.4j 8,6 6 )-(5-,7 53j5
60109.3625.6'
III C
并联电容后，不会影响电阻吸收的平均功率。但电容电流抵消了部分感性负载的电流，功率因数变大，电源电流的有效值由原来的 10A减小到 6.25A，提高了电源效率。
Fμ71
2 2 03 1 4
91.4C?
U
I
CUI
C
C
由于,
得,
例 19 电路工作于正弦稳态,已知电压源电压为
,试求该电压源发出的平均功率 。
V c o s22)(S ttu?
解,电路的相量模型如图 (b)所示。先求出连接电压源单口网络的等效阻抗
1j15.0j5.05.1j5.0j11 j 1 )1j 1 ) ( j 1(5.1j5.0Z
分流公式求电流
A9011j452452 1j1j1 1j 12 II
可用以下几种方法求电源发出的平均功率
W212)1j1R e ()R e (4
W2115.023
W2)
~
R e (2j24522
~
2
W2c os 4522c os1
2
1
2
1
2
2
21
2
1
1
*
S
1S
IZIP
RIRIP
SPIUS
IUP
Z
发出发出发出
用欧姆定律求电流 A452
1j1
02S
1
ZUI
二、最大功率传输图 (a)所示含独立电源网络用戴维南等效电路代替,得到图 (b)。 其中,是含源网络的开路电压,
Zo=Ro+jXo是含源网络的输出阻抗,ZL=RL+jXL是负载阻抗 。
ocU?
负载电流：
LLL jXRjXR
U
ZZ
UI
00
oc
0
oc
2
0
2
0
oc
)()( LL XXRR
UI
2
0
2
0
2
2
)()( LL
Loc
L XXRR
RURIP
负载吸收的平均功率：
当 XL=-Xo时，分母最小，此时得 RL=Ro
负载获得最大功率的条件是 ooo*LLL jj XRZXRZ
所获最大功率：
o
2
oc
m a x 4 R
UP?
2
0
2
)( L
Loc
RR
RUP
求导数，并令其等于零
0
)(
)(2)(
d
d 2
4
0
0
2
0?
oc
L
LLL
L
U
RR
RRRRR
R
P
负载与信号源共轭匹配工作于正弦稳态的网络向一个负载 ZL=RL+jXL供电,如果该网络可用戴维南等效电路 (其中 Zo=Ro+jXo)代替,则在负载阻抗等于含源网络输出阻抗的共轭复数 (即 ） 时
,负载可以获得最大平均功率：
最大功率传输定理,
o
2
oc
m a x 4 R
UP?
o
*
L ZZ?
满足 的匹配，称为 共轭匹配 。o*
L ZZ?
另外，当 时称负载阻抗与信号源的内阻抗 模匹配 。
显然模匹配时获得的最大功率要小于共轭匹配时的功率。 0L ZZ?
例 20 图示电路,已知 ZL为可调负载,试求 ZL为何值时可获最大功率?最大功率为多少?
解,ab以左用戴维南电路替代,得 右图,
4525010
2j2
2j
OCU
j2? ZL
2?
+
10∠0 oV
-
a
b
ZL
Z0
+
-
a
b
ocU?
1j12j2 2j2OZ
所以,当 时, 1j1*
OL ZZ
可获最大功率：
W5.12
14
)25(
4
2
o
2
oc
m a x R
UP
在通信和电子设备的设计中,常常要求满足共轭匹配,以便使负载得到最大功率 。 在负载不能任意变化的情况下,
可以在含源单口网络与负载之间插入一个匹配网络来满足负载获得最大功率的条件 。
例 21 单口网络如图，电源角频率 ω=1000rad/s,为使 RL从单口网络中获得最大功率，试设计一个由电抗元件组成的网络来满足共轭匹配条件。
RL=
1000?
100?
+
100∠0 oV
-
a
b
解,1 若不用匹配网络，将 1000Ω 负载与电抗网络直接相连时，负载电阻获得的平均功率为
W26.81 0 0 01 0 0 01 0 0 1 0 0
2
L
P
2 若采用匹配网络满足共轭匹配条件,1000Ω 负载电阻可能获得的最大平均功率为可见，采用共轭匹配网络，负载获得的平均功率将大大增加。
W251 0 01 0 01 0 01 0 0
2
L
P
由 LC匹配网络和负载形成网络的输入阻抗,
ooo
*
2
2
2
L
L
ab
j
)(1
j
)(1
j
j
1
j
1
j
XRZ
CR
CR
CR
R
L
C
R
C
R
LZ
L
L
L
L
3 设计一个由电感和电容构成的网络来满足共轭匹配条件,以使负载获最大功率 。
上图网络是可满足上述条件的一种方案。
令上式两边实部与虚部分别相等可得,
11
o
L
L
RRRC?
代入参数,得,
F33 m S mS31101000 1 CC
oL RCRL
2
2
o
2o
)(1
)(1
CR
CR
LX
CR
R
R
L
L
L
L
即,
H3.0
1 0 0 0
300
3001010 23oL
L
L
RCRL 3103
以上计算表明，如果选择 L=0.3H,C=3?F，图中 ab两端以右单口网络的输入阻抗等于 100Ω，它可以获得 25W的最大功率，由于其中的电感和电容平均功率为零，根据平均功率守恒定理，这些功率将为 RL=1000?的负载全部吸收。
5-26
5-27
5-28
作业,p.326
5－ 8 三相电路由三相电源、三相线路和三相负载组成的电路称为三相电路。三相供电系统具有很多优点，为各国广泛采用。
三相电路的分析计算其实可以看成一个正弦稳态电路的分析计算问题。 对于对称三相电路由其特殊性，可以用更简单的方法去分析计算。
三相发电机三相供电系统的三相电源是三相发电机
。三相发电机的结构如图，它有定子和转子两大部分。定子铁心的内圆周的槽中对称地安放着三个绕组 AX,BY和 CZ。 A,B、
C为首端； X,Y,Z为末端。三绕组在空间上彼此间隔 120?。转子是旋转的电磁铁。
它的铁心上绕有励磁绕组。
一、三相电源当转子恒速旋转时,AX,BY,CZ 三绕组的两端将分别感应振幅相等,频率相同的三个正弦电压 uA(t),uB(t)、
uC(t)。 三个电源的的初相互相差 120?。
若以 作为参考相量,这三个电压相量为AU?
120 120 0 pCpBpA UUUUUU
12 0
12 0
0
pC
pB
pA
UU
UU
UU
对称三相电压源的相量图和波形图相量图和波形图分别如图 (a),(b)所示。这样三个振幅相等、频率相同、相位差 120° 的一组正弦电源称为对称三相正弦电源。它们分别称为 A相,B相和 C相，每相的电压称为相电压。
按照各相电压经过正峰值的先后次序来说，它们的相序是 A
,B,C（或 B,C,A;C,A,B）称为正序 (顺序 )，如果各相电压到达正峰值的次序为 A,C,B（ 或 C,B,A； B,A,C）则称为负序 (逆序 )。用户可以改变三相电源与三相电动机的连接方式来改变相序，从而改变三相电动机的旋转方向。
通常，非特别说明，三相电源均为正序连接。
三相电源有两种基本联接方式：
1.星形联接 。星形联接 (Y形联接 )是将三相电源的末端 X,Y、
Z接在一起，形成一个节点，记为 N，称为中性点或中点，将各相的首端 A,B,C以及中点 N与四根输电线（分别称为火线和中线）联接，如图 7.7-1(a)所示。与传输线相联接的负载，
可以从火线与中线之间得到三个相电压，用 表示，
也可以从三根火线之间得到三个线电压，用表示。线电压与相电压之间的关系可以从图 7.7-1(b)相量图中计算出来。
CBA UUU,、
CABCAB UUU,、
即
1 503
903
303
PACCA
PCBBC
PBAAB
UUUU
UUUU
UUUU
7.7-1三相电压源的星形联接线电压是相电压的 倍，即 。
例如日常生活用电是 220V相电压，相应的线电压则是 380V。
3 p3UU l?
从相量图上可以看出，三个对称相电压以及三个对称线电压之间存在以下关系：
0
0
CABCAB
CBA
UUU
UUU
此结论可以推广到任意对称多相电路的（线、相）电压和电流之和为零。
流过火线的线电流等于流过每相电源的相电流，即
pl II?
2.三角形联接 对称三相电源可以采用三角形联接 (又称 Δ 联接 )
，它是将三相电源各相的始端和末端依次相连，再由 A,B,C引出三根火线线与负载相连，如图所示。
三相电源的三角形联接作三角形联接时，要求三绕组的电压对称，如不对称程度比较大，所产生的环路电流将烧坏绕组。对称三相电源在
Δ 联接时，不能将各电源的始末端接错，否则将烧坏绕组
。
应该指出，由图 7.7-1可以看出：
对称三相电源可以认为它是星形连接的，
也可以认为是三角形连接的。
这要根据具体情况来选择。
二,Y－ Y联接的三相电路三相负载也有 Y和 Δ 两种连接方式 。 下图表示 Y形三相负载连接到 Y形对称三相电源的情况 。 当三相负载相同时,即
ZA=ZB=ZC=Z,三相的线路也完全一样,则称为对称三相电路
。
对称 Y－ Y三相电路列出电路的节点方程，并代入 得到 0
CBA UUU
0
1313
N
CBA
N
CBA
NN
'
ZZ
Z
UUU
ZZ
Z
U
Z
U
Z
U
U
由于,相当于中线短路，每相负载上的电压是相电压，其电流可以各相单独计算如下：
0NN‘?U?
120
||
120
||
||
pC
C
pB
B
pA
A
Z
U
Z
U
I
Z
U
Z
U
I
Z
U
Z
U
I
注意：在对称三相四线制电路中，
中线阻抗并不影响相电流。
例 7-1 对称 Y-Y电路中,已知试求三相电流 。
解：由于,相当于中线短路，可以按单相电路计算出三相电流,
j 1 0 )( 1 0V 314c o s2220)(A Zttu,
0NN‘?U?
A7556.15
10j10
120220
A16556.15
10j10
120220
A4556.15
10j10
0220
C
C
B
B
A
A
Z
U
I
Z
U
I
Z
U
I
在 Y－ Y形联接的对称三相电路中，由于，中线电流为零，中线可以不用，可以只用三根火线传输 (称为三相三线制 )，适合于高压远距离传输电之用。对于日常生活的低压用电，由于三相负载可能不完全对称，还有一定的中线电流存在，中线还必须保留，即采用三相四线制供电系统。假如不用中线
，不对称三相负载的三相电压将不相同，过高的相电压可能损坏电气设备。例如将例 7-7-1中的 C相负载阻抗变为
ZC=(2+j2)?，用正弦稳态电路的计算方法可以得到在不用中线时的三相电压为
V12029.94
V95.981.303
V05.211.303
C
B
A
U
U
U
可见,A相和 B相的电压由 220伏升高到 303伏，这两相的电气设备可能损坏； B相的电压降低到 94伏，使得 C相的电气设备不能正常工作。由此可知，在三相四线制供电系统中，保险丝绝对不能接在中线上，因为中线断开后，各相负载上的电压将随负载大小变化，过高的电压可能损坏电气设备。
可以看出，在 Y－ Y联接的对称三相电路中，其负载电压电流关系为
pp3 IIUU ll
三,Y－ Δ 联接的三相电路三相负载也可以按照三角形方式联接 。 图 (a)表示 Y形联接的对称三相电源和 Δ 联接的对称负载,这也是一个对称三相电路 。 每相负载上的电压为线电压,其相电流为
BC II
B
AB
A
I
I
I
BCC
CA
II
I
12 0
||
12 0
||
||
CA
CA
BC
BC
AB
AB
Z
U
Z
U
I
Z
U
Z
U
I
Z
U
Z
U
I
l
l
l
其实,已经把电源理解成三角形连接了 。
(这是把线电压相位分别默认为 0°,－ 120°,120° )
BC II
B
AB
A
I
I
I
BCC
CA
II
I
此时三根火线中的线电流为
CBA,,III
15 03
903
303
BCCAC
ABBCB
CAABA
l
l
l
IIII
IIII
IIII
由此看出,Y－ Δ 联接的对称三相电路中
，线电流是相电流的 倍，即3
p3 II l?
BC II
B
AB
A
I
I
I
BCC
CA
II
I
例 7-2 对称 Y－ Δ 三相电路中,已知试求相电流和线电流 。
解：三个相电流为
60210V 314c o s2220)(AB Zttu,
A6056.15
60210
120220
A18056.15
60210
120220
A6056.15
60210
0220
CA
CA
BC
BC
AB
AB
Z
U
I
Z
U
I
Z
U
I
三个线电流为
A90356.156056.156056.15
A150356.156056.1518056.15
A30356.1518056.156056.15
ABCAC
CaBcB
BCABA
III
III
III
相电流和线电流的相量图，如前图 (b)所示。
可以看出，在 Y－ Δ 对称联接时，其负载电压电流关系为
pp 3 IIUU ll
当然，对称三相电路中的三角形负载也可以等效成星形负载来计算线电流。
c o s3c o s33 ppAAAY IUIUPP
其中 cos?是功率因数,?是相电压与相电流的相位差,UA,IA是相电压和相电流的有效值。
由于线电压和线电流容易测量，注意到关系式,上式变为pp,3 IIUU ll
c o s3c o s33Y llll IUIUP
四，对称三相电路的功率对称 Y形联接负载吸收的总平均功率用相似的方法，得到对称 Δ 形联接负载吸收的总平均功率
c o s3c o s3c o s33 ppABABAB ll IUIUIUPP
最后得到对称三相电路中三相负载吸收的平均功率的一般公式
c o s3c o s3 pp ll IUIUP
在例 7-7-2的电路中，三相负载吸收的平均功率为
W726245c os56.152203P
c os3
)]240c os ( 2[ c os
)]240c os ( 2[ c os
)]c os ( 2[ c os
)120) c os (120c os (
)120) c os (120c os (
)c os ()c os (
)()()()(
pp
pp
pp
pp
pmpm
pmpm
pmpm
CBA
IU
tIU
tIU
tIU
ttIU
tω tIU
ttIU
tptptptp
由于上式中的三项交变分量之和为零，三相瞬时功率是不随时间变化的常数，并且等于其平均功率。
在这种情况下，三相电动机的转矩是恒定的，有利于发电机和电动机的工作，是三相电路的优点之一
。
下面讨论对称三相电路的瞬时功率,
例 7-3 三相电炉的三个电阻，可以接成星形
，也可以接成三角形，常以此来改变电炉的功率。假设某三相电炉的三个电阻都是
43.32Ω,求在 380V线电压上，把它们接成星形和三角形时的功率各为多少?
解,1,三相负载为星形联接时，如图 (a)所示，则线电流为
A0 6 4.5
32.43
3
3 8 0
p
p R
U
II l
三相负载吸收的功率为
W02.3 3 3 3064.53803c o s3Yll IUP
2.三相负载为三角形联接时，如图 (b)所示，
则相电流为
A7719.832.43 380pp RURUI l
线电流为
A193.157719.833 p II l
W10W10000193.1538033 kIUP ll
三相电炉接成三角形吸收的功率是联接成星形时的三倍。
三相负载吸收的功率为本节讨论几种不同频率正弦信号激励的非正弦稳态的平均功率。图 7-8-1所示单口网络
，在端口电压和电流采用关联参考方向的条件下，假设其电压和电流为
21
i222mi111m
u222mu111m
)c o s ()c o s ()(
)c o s ()c o s ()(
且
tItIti
tUtUtu
图 7-8-1
非正弦稳态的单口网络
7-8 非正弦周期电路的稳态分析单口网络的瞬时功率为
)c o s ()c o s (
)c o s ()c o s (
)c o s ()c o s (
)c o s ()c o s (
)()()(
i111mu222m
i222mu111m
i222mu222m
i111mu111m
tItU
tItU
tItU
tItU
titutp
瞬时功率随时间作周期性变化，有正交函数的特性，它在一个周期内的平均值（平均功率）为
21
2
0 22111
00c o sc o sd)(
1
PP
IUIUttp
T
P
T
这说明两种不同频率正弦信号激励的单口网络所吸收的平均功率等于每种正弦信号单独引起平均功率之和 。
一般来说,n 种不同频率正弦信号作用于单口网络引起的平均功率等于每种频率正弦信号单独引起的平均功率之和，即
nPPPPP 321
其中
kkkikukkkk IUIUP c o s)c o s (
例 8-1 已知图 7-8-1所示单口网络的电压和电流为试求单口网络吸收的平均功率 。
解：分别计算每种频率正弦信号单独作用产生的平均功率
A)1353co s (2A)601 0 co s (( t )
V)3co s302co s50co s100100()(
tti
ttttu
W2.21135c os
2
230
0
W25060c os
2
10100
0
3
2
1
0
P
P
P
P
将这些平均功率相加得到单口网络吸收的平均功率
W8.228)2.2102500(3220 PPPPP
例 8-2 已知流过 5Ω 电阻的电流为
,求电阻吸收的平均功率 。
解：分别计算各种频率成分的平均功率再相加，即
A)2c o s25c o s2105()( ttti
W75051505)5105(
W7501255001255551055
2222
222
210
＝或
＝
P
PPPP
式中的 是周期性非正弦电流的有效值。
150?I
22
2
2
1
2
0
22
2
2
1
2
0
n
n
UUUUU
IIIII
一般来说，周期性非正弦电压和电流，用傅里叶级数分解出它的直流分量和各种谐波分量后，可以用以下公式计算其有效值。
计算周期性非正弦电压和电流其有效值的公式为：
22
2
2
1
2
0
22
2
2
1
2
0
n
n
UUUUU
IIIII
引入周期性非正弦电压和电流的有效值后，可以用以下公式计算电阻的平均功率。
R
URIP 22
应该特别注意的是：
电路在频率相同的几个正弦信号激励时，
不能用平均功率叠加的方法来计算正弦稳态的平均功率。应该先计算出总的电压和电流后，再用公式 P=UIcos?来计算平均功率。
思 考 与 练 习
7-8-1(1) 试计算图 7-8-1(a)所示单口网络在任意角频率时的输出阻抗。
(2) 试计算图 7-8-1(b)所示单口网络在任意角频率时的等效阻抗，它与上面计算的输出阻抗有什么关系？
(3) 你能说明图 7-8-1 (c)所示电路中，含源单口网络
N1在其正弦电压源 u(t)的频率为任何数值时，均能输出最大平均功率吗？
图 7-8-1
摘 要
1，常用函数式和波形图来表示一个正弦电压电流，正弦电压电流的瞬时值表达式是
)c o s (2)c o s ()(
)c o s (2)c o s ()(
iim
uum
tItIti
tUtUtu
确定一个正弦电压 (或电流 )的是振幅 Um(或 Im)、角频率?和初相?，它们称为正弦量的三要素。正弦电压电流的有效值 U,I与振幅 Um,Im间的关系为
II
I
I
UU
U
U
2
2
2
2
m
m
m
m
2,正弦电压和电流可以用一个称为相量的复数表示
，相量的模是正弦电压和电流的振幅 (或有效值 )，
相量的幅角是正弦电压和电流的初相。电压相量与正弦电压时间函数的关系是
uu jj
mm
j
u
j
mum
ee
)e 2R e ()c o s ( 2
)eR e ()c o s ()(
UUUU
UtU
UtUtu
t
t
其中电流相量与正弦电流时间函数的关系是
ii jj
mm
j
i
j
mim
ee
)e 2R e ()c o s ( 2
)eR e ()c o s ()(
IIiI
ItI
ItIti
t
t
其中
3,线性时不变动态电路在角频率为?的正弦电压源和电流源激励下,随着时间的增长,当暂态响应消失,只剩下正弦稳态响应,电路中全部电压电流都是角频率为?的正弦波时,称电路处于正弦稳态 。
满足这类条件的动态电路通常称为正弦电路或正弦稳态电路 。 分析研究正弦稳态响应的工作称为正弦稳态分析 。
分析正弦稳态的有效方法是相量法，相量法的基础在于用相量表示相同频率的各正弦电压和电流
。
4,相量法分析正弦稳态的主要步骤是
1)画出电路的相量模型根据电路的时域模型画出电路的相量模型的方法是
(1)，将时域模型中各正弦电压电流，用相应的量表示，并标明在电路图上。对于已知的正弦电压和电流，计算出相应的电压电流相量。
C
C
L
L
GR
j 或
j
1
C 电容
j
1
或 j L 电感或 R 电阻相量形式 时域形式
（ 2)，根据时域模型中 RLC元件的参数，用相应的阻抗 (或导纳 )表示，并标明在电路图上。对于已知的
RLC参数，按照下式计算出相应的阻抗 (或导纳 )。
UYIIZU
U
I
n
k
k
n
k
k
0
0
1
1
欧姆定律基尔霍夫电压定律基尔霍夫电流定律
2) 根据下列 KCL,KVL和二端元件 VCR相量形式
,建立复系数电路方程或写出相应公式,并求解得到电压电流的相量表达式 。
3) 根据所计算得到的电压相量和电流相量，写出相应的瞬时值表达式。
5，不含独立电源单口网络相量模型等效于一个阻抗或导纳导纳阻抗
BG
U
I
Y
XR
I
U
Z
j
j
其等效电路是一个电阻和一个电感 (X>0)或电容 (X<0)
的串联，或者是一个电阻和一个电容 (B>0)或电感
(B<0)的并联。这两种等效电路之间的转换公式是
2222
2222
j
1
j
j
1
j
BG
B
BG
G
Z
BGY
XR
X
XR
R
Y
XRZ
6，包含独立电源单口网络相量模型的端口电源电流关系为
sc
o
oco
1
IU
Z
I
UIZU
这表明包含独立电源单口网络相量模型等效于一个电压源和阻抗的串联或一个电流源和导纳的并联 。
7，可以利用叠加定理来计算几种不同频率正弦激励的非正弦稳态响应，其方法是用相量法分别计算每种频率分量的响应相量，分别得到相应的正弦时间函数，然后相加得到包含几种不同频率的非正弦稳态响应的瞬时值表达式。
8,工作于正弦稳态的单口网络,电压电流采用关联参考方向时吸收的瞬时功率为它由一个恒定分量和交变分量组成 。
9,工作于正弦稳态的单口网络,电压电流采用关联参考方向时吸收的平均功率为其中 U,I是端口电压和电流的有效值,cos?是功率因数,功率因数角?是端口电压与电流的相位差 。
对于电阻元件来说,由于功率因数 cos?=1,其平均功率为对于电感和电容,由于功率因数 cos?=0,其平均功率为零 。
)22c os (c os)()()( u φψω tUIφUItitutp －
φUIttpTP T co sd)(1 0
R
URIUIP 22
对于无源单口网络来说,由于功率因数 cos0,其平均功率为其中,功率因数角?是阻抗角 。 当无源单口网络可以等效为一个电阻和电抗元件的串联和一个电导和电纳并联时,其平均功率为
10,复功率是电压相量与电流相量共轭复数的乘积,即
0c o s φUIP
)R e ()R e ( 22 YUZIP
jQPφUIφUIIUS s i njc o s~ *?
复功率的实部是平均功率,称为有功功率；虚部称为无功功率 。
正弦稳态电路的复功率是守恒的,即由此得到正弦稳态电路的有功功率和无功功率也是守恒的,即对于一个不包含独立电源的单口网络来说，它吸收的平均功率等于网络内全部电阻元件吸收平均功率之和。
吸收发出 SS ~~
吸收发出吸收发出 QQPP
11，含独立源单口网络向可变负载传输最大平均功率的条件是负载阻抗等于含源单口输出阻抗的共轭复数，即
o
*
L ZZ?
满足共轭匹配的条件下，负载获得的最大平均功率为
R
UP
4
2
oc
m a x?
12，由几个不同频率正弦信号激励的非正弦稳态电路中，单口网络吸收的平均功率等于每个频率正弦信号单独激励引起的平均功率之和，即
nPPPPP 210
13，周期性非正弦等于电流信号的有效值为
22
2
2
1
2
0
22
2
2
1
2
0
n
n
UUUUU
IIIII
U0,I0表示电压电流的直流分量,Uk,Ik表示电压电流 k次谐波的有效值。
已知周期性非正弦电压电流的有效值，可以利用以下公式来计算电阻吸收的平均功率
R
URIP 22
14，由三相电源供电的电路，称为三相电路。对称三相电源的电压是频率相同、相位相差 120° 的正弦电压，其瞬时值和相量表达式如下所示：
1 2 0)1 2 0c o s ()(
1 2 0)1 2 0c o s ()(
0 c o s)(
pCPmC
pBPmB
pAPmA
UUtUtu
UUtUtu
UUtUtu
15，对称 Y－ Y联接的三相电路中，其线电压和相电压以及线电流和相电流的关系为
pp3 IIUU ll
对称 Y－ Δ或 Δ－ Δ联接的三相电路中，三相负载的线电压和相电压以及线电流和相电流的关系为
pp 3 IIUU ll
其中,Ul,Il表示三根火线的线电压和线电流的有效值； UP,IP表示每相负载中的相电压和相电流的有效值。
16，对称三相电路中，三相负载吸收的瞬时功率和平均功率相等，并且等于
c o s3c o s3)( pp ll IUIUPtp
其中?是每相负载电压与电流的相位差。
本节讨论正弦稳态单口网络的瞬时功率、平均功率、
视在功率、复功率和功率因数，以及正弦稳态单口网络向可变负载传输最大功率的问题。
一、二端网络的功率图示二端网络 N,假定其无源且无受控源,端口电压和电流采用关联参考方向 。 任一瞬间,它吸收的功率为
)()()( titutp?
正弦稳态时，端口电压和电流是相同频率的正弦量，即
)c os (2)(
c os2)(
z
tUtu
tIti
1、瞬时功率二端网络 N的阻抗角则瞬时功率为
ttUI
tItUtitutp
z
z
c o s)c o s (2
c o s2)c o s (2)()()(
瞬时功率由一个恒定分量 UIcos?z 和一个角频率为 2ω的正弦分量 UIcos(2ωt+?z) 组成，周期性变化。
)c o s ()c o s ( c o sc o s2
)2c o s (c o s)( zz tUItp
当 p(t)>0时，网络吸收功率；当 p(t)<0时，网络发出功率。于是在电路与外电路之间形成了能量的往返传递现象。瞬时功率的波形如图所示。
Z
Z
瞬时功率的波形如图所示。
Z
T
ZZ
TT
UI
ttUI
T
tui
T
ttp
T
P
c os
d)2c os (c os
1
d
1
d)(
1
0
0
0
平均功率不仅取决于电压电流有效值乘积 UI，还与阻抗角
Z =?u -?i 有关。
2、平均功率简称功率,在一个周期内的平均值，又称 有功功率 。
几种特殊情况,
)t2c o s1(t2c o s)( IUUIUItp R
此时网络电压与电流相位相同，即?Z = 0,cos?Z =1，二端网络等效为纯阻 R,U=UR,瞬时功率为波形如图 。 p(t)在任何时刻均大于或等于零,
电阻始终吸收功率和消耗能量 。
① 网络等效阻抗为一个电阻。
平均功率,P=UI=URI
② 网络等效阻抗为一个电抗。
此时网络电压与电流相位为正交关系，即?Z =?90?,
cos?Z =0，二端网络等效为纯电抗 X,U=UX,瞬时功率为是角频率为 2?的正弦量,在一段时间内 p(t)>0，电感或电容吸收功率获得能量；另外一段时间内 p(t)<0，电感或电容发出功率释放出它所获得的全部能量。
平均功率为 0)09c o s (UIP
)902c o s (
)902c o s ()(
tIU
tUItp
X?
)9022c o s ()(
)9022c o s ()(
uC
uL
tUItp
tUItp
3、视在功率表示一个电气设备的容量，是单口网络所吸收平均功率的最大值，单位：伏安 (VA)。
UIS?
例如我们说某个发电机的容量为 100KVA，而不说其容量为 100kW。
任何电机、电器在使用时须使其电压、电流不超过允许限值，此值称 额定值 。许多交流电机、电器的额定容量以视在功率表示。
4,功率因数
ZS
P c os
Z =?u-?i 为 功率因数角 。当网络等效为一个电阻与电感或电容连接时,|?Z|<90?,0<λ <1。
网络吸收的平均功率 P与 cos?Z 的大小密切相关，
cos?Z 表示功率的利用程度，平均功率与视在功率的比值称为功率因数
Z < 0,电路容性,电流导前电压；?Z > 0,电路感性,电流滞后电压 。
为了提高电能的利用效率，电力部门采用各种措施力求提高功率因数。例如使用镇流器的日光灯电路，它等效于一个电阻和电感的串联，其功率因数小于 1，它要求线路提供更大的电流。为了提高日光灯电路的功率因数，一个常用的办法是在它的输入端 并联一个适当数值的电容 来抵消电感分量，使其端口特性接近一个纯电阻以便使功率因数接近于 1。
反映电源和单口网络内储能元件之间的能量交换情况
，单位为乏 (Var)
5、无功功率
ZUIQ?s in?
)
2
2c os (s i n)2c os1(c os
2s i ns i n2c osc osc os
)2c os (c os
c os)c os (2
c os2)c os (2)(
tUItUI
tUItUIUI
tUI
ttUI
tItUtp
zz
zzz
zz
z
z
XzRz UUUU s i nc o s
XU?
RU?
二端网络电压 U的分解
U?
1?
I?
Z?
)
2
2c os ()2c os1(
)
2
2c os ()2c os1()(
tIUtIU
tIUtIUtp
XR
XR
等效电抗吸收的瞬时功率等效电阻吸收的瞬时功率，恒为正值
00s i ns i n 0 UIUIQ ZR?
若二端网络等效为纯电阻时，有
UIUIUIQ ZL
2
s i ns i n
若二端网络等效为纯电感时，有
UIUIUIQ ZC )
2
s i n (s i n
若二端网络等效为纯电容时，有上述讨论的公式不但适用于 RLC组成的无源二端网络，
也适用于任意无源或有源二端网络。
注意：
6、复 功 率为了便于用相量来计算平均功率,引入复功率 。 工作于正弦稳态的网络,其电压电流采用关联的参考方向,设
iu IIUU
QPUIUI
UIUIIUS iu
js i njc o s
~ *
电流相量的共轭复数为：
I?
U?
N
i
* II
复功率?单位为伏安（ VA）,?的模为视在功率 S，实部为平均功率 P，虚部为无功功率 Q。
7、功率三角形
Z
P
Q
S
s in
c os
c os
22
SQ
SP
S
P
QPS
8,复功率守恒复功率守恒定理：对于工作于正弦稳态的电路,由每个独立电源发出的复功率的总和等于电路中其它电路元件所吸收复功率的总和：
吸收发出 SS ~~
由此可以导出一个正弦稳态电路的有功功率和无功功率也是守恒的结论。
CkLkk
kkk
QQjP
QjPSQPS
~
j
~
正弦稳态电路中，由每个独立电源发出的有功功率的总和等于电路中其它元件所吸收的有功功率的总和；由每个独立电源发出的无功功率的总和等于电路中其它元件所吸收的无功功率的总和：
吸收发出吸收发出 QQPP
由此可得网络吸收的有功功率等于该网络内每个电阻吸收的平均功率总和。
注意正弦稳态电路中视在功率并不守恒。
例 17 电路相量模型如图,端口电压的有效值 U=100V.试求该网络的 P,Q,?,S,λ。
解,设端口电压相量为：
9.36106j8
8j814j
j 1 616
j 1 661
14jZ
16? j16?
-j14?
+
-
U?
网络的等效阻抗：
V01 0 0U
VA6 0 08 0 09.361 0 0 0
9.361001 0 0~
*
j
IUS
因此 A9.3610
9.3610
0100?
ZUI
故：
所以 8.0)9.36c o s (c o s
Z
（导前）
V a r600]
~
I m [
W800]
~
R e [
VA1000
~
SQ
SP
SS
9.36Z?由于例 18 感性负载接在 U=220V,f =50Hz的交流电源上,其平均功率 P=1.1KW,功率因数 λ =0.5，欲并联电容使负载的功率因数提高到 0.8(滞后 ),求电容。
解：
A105.02 2 0 101.1
3
U PI
感性负载的阻抗角,
I?
U?
感性负载
'I?
CI?C
605.0a r c c o sZ?
设电压相量为,V0220U
功率因数后注明,滞后,是指：电流滞后电压,?Z > 0，电路 为感性；反之，注明,导前,是指电流导前电压,?Z < 0，电路容性。
负载电流有效值,
则负载电流相量,
9.368.0a r c c o s'Z?
A6010I
并联电容后，电源电流有效值,
A25.68.02 2 0 101.1''
3
U PI
由于 λ ’=0.8 (滞后 ),因此功率因数角,
A9.3625.6'I
U?'I?
I?
CI?
A9091.4j 8,6 6 )-(5-,7 53j5
60109.3625.6'
III C
并联电容后，不会影响电阻吸收的平均功率。但电容电流抵消了部分感性负载的电流，功率因数变大，电源电流的有效值由原来的 10A减小到 6.25A，提高了电源效率。
Fμ71
2 2 03 1 4
91.4C?
U
I
CUI
C
C
由于,
得,
例 19 电路工作于正弦稳态,已知电压源电压为
,试求该电压源发出的平均功率 。
V c o s22)(S ttu?
解,电路的相量模型如图 (b)所示。先求出连接电压源单口网络的等效阻抗
1j15.0j5.05.1j5.0j11 j 1 )1j 1 ) ( j 1(5.1j5.0Z
分流公式求电流
A9011j452452 1j1j1 1j 12 II
可用以下几种方法求电源发出的平均功率
W212)1j1R e ()R e (4
W2115.023
W2)
~
R e (2j24522
~
2
W2c os 4522c os1
2
1
2
1
2
2
21
2
1
1
*
S
1S
IZIP
RIRIP
SPIUS
IUP
Z
发出发出发出
用欧姆定律求电流 A452
1j1
02S
1
ZUI
二、最大功率传输图 (a)所示含独立电源网络用戴维南等效电路代替,得到图 (b)。 其中,是含源网络的开路电压,
Zo=Ro+jXo是含源网络的输出阻抗,ZL=RL+jXL是负载阻抗 。
ocU?
负载电流：
LLL jXRjXR
U
ZZ
UI
00
oc
0
oc
2
0
2
0
oc
)()( LL XXRR
UI
2
0
2
0
2
2
)()( LL
Loc
L XXRR
RURIP
负载吸收的平均功率：
当 XL=-Xo时，分母最小，此时得 RL=Ro
负载获得最大功率的条件是 ooo*LLL jj XRZXRZ
所获最大功率：
o
2
oc
m a x 4 R
UP?
2
0
2
)( L
Loc
RR
RUP
求导数，并令其等于零
0
)(
)(2)(
d
d 2
4
0
0
2
0?
oc
L
LLL
L
U
RR
RRRRR
R
P
负载与信号源共轭匹配工作于正弦稳态的网络向一个负载 ZL=RL+jXL供电,如果该网络可用戴维南等效电路 (其中 Zo=Ro+jXo)代替,则在负载阻抗等于含源网络输出阻抗的共轭复数 (即 ） 时
,负载可以获得最大平均功率：
最大功率传输定理,
o
2
oc
m a x 4 R
UP?
o
*
L ZZ?
满足 的匹配，称为 共轭匹配 。o*
L ZZ?
另外，当 时称负载阻抗与信号源的内阻抗 模匹配 。
显然模匹配时获得的最大功率要小于共轭匹配时的功率。 0L ZZ?
例 20 图示电路,已知 ZL为可调负载,试求 ZL为何值时可获最大功率?最大功率为多少?
解,ab以左用戴维南电路替代,得 右图,
4525010
2j2
2j
OCU
j2? ZL
2?
+
10∠0 oV
-
a
b
ZL
Z0
+
-
a
b
ocU?
1j12j2 2j2OZ
所以,当 时, 1j1*
OL ZZ
可获最大功率：
W5.12
14
)25(
4
2
o
2
oc
m a x R
UP
在通信和电子设备的设计中,常常要求满足共轭匹配,以便使负载得到最大功率 。 在负载不能任意变化的情况下,
可以在含源单口网络与负载之间插入一个匹配网络来满足负载获得最大功率的条件 。
例 21 单口网络如图，电源角频率 ω=1000rad/s,为使 RL从单口网络中获得最大功率，试设计一个由电抗元件组成的网络来满足共轭匹配条件。
RL=
1000?
100?
+
100∠0 oV
-
a
b
解,1 若不用匹配网络，将 1000Ω 负载与电抗网络直接相连时，负载电阻获得的平均功率为
W26.81 0 0 01 0 0 01 0 0 1 0 0
2
L
P
2 若采用匹配网络满足共轭匹配条件,1000Ω 负载电阻可能获得的最大平均功率为可见，采用共轭匹配网络，负载获得的平均功率将大大增加。
W251 0 01 0 01 0 01 0 0
2
L
P
由 LC匹配网络和负载形成网络的输入阻抗,
ooo
*
2
2
2
L
L
ab
j
)(1
j
)(1
j
j
1
j
1
j
XRZ
CR
CR
CR
R
L
C
R
C
R
LZ
L
L
L
L
3 设计一个由电感和电容构成的网络来满足共轭匹配条件,以使负载获最大功率 。
上图网络是可满足上述条件的一种方案。
令上式两边实部与虚部分别相等可得,
11
o
L
L
RRRC?
代入参数,得,
F33 m S mS31101000 1 CC
oL RCRL
2
2
o
2o
)(1
)(1
CR
CR
LX
CR
R
R
L
L
L
L
即,
H3.0
1 0 0 0
300
3001010 23oL
L
L
RCRL 3103
以上计算表明，如果选择 L=0.3H,C=3?F，图中 ab两端以右单口网络的输入阻抗等于 100Ω，它可以获得 25W的最大功率，由于其中的电感和电容平均功率为零，根据平均功率守恒定理，这些功率将为 RL=1000?的负载全部吸收。
5-26
5-27
5-28
作业,p.326
5－ 8 三相电路由三相电源、三相线路和三相负载组成的电路称为三相电路。三相供电系统具有很多优点，为各国广泛采用。
三相电路的分析计算其实可以看成一个正弦稳态电路的分析计算问题。 对于对称三相电路由其特殊性，可以用更简单的方法去分析计算。
三相发电机三相供电系统的三相电源是三相发电机
。三相发电机的结构如图，它有定子和转子两大部分。定子铁心的内圆周的槽中对称地安放着三个绕组 AX,BY和 CZ。 A,B、
C为首端； X,Y,Z为末端。三绕组在空间上彼此间隔 120?。转子是旋转的电磁铁。
它的铁心上绕有励磁绕组。
一、三相电源当转子恒速旋转时,AX,BY,CZ 三绕组的两端将分别感应振幅相等,频率相同的三个正弦电压 uA(t),uB(t)、
uC(t)。 三个电源的的初相互相差 120?。
若以 作为参考相量,这三个电压相量为AU?
120 120 0 pCpBpA UUUUUU
12 0
12 0
0
pC
pB
pA
UU
UU
UU
对称三相电压源的相量图和波形图相量图和波形图分别如图 (a),(b)所示。这样三个振幅相等、频率相同、相位差 120° 的一组正弦电源称为对称三相正弦电源。它们分别称为 A相,B相和 C相，每相的电压称为相电压。
按照各相电压经过正峰值的先后次序来说，它们的相序是 A
,B,C（或 B,C,A;C,A,B）称为正序 (顺序 )，如果各相电压到达正峰值的次序为 A,C,B（ 或 C,B,A； B,A,C）则称为负序 (逆序 )。用户可以改变三相电源与三相电动机的连接方式来改变相序，从而改变三相电动机的旋转方向。
通常，非特别说明，三相电源均为正序连接。
三相电源有两种基本联接方式：
1.星形联接 。星形联接 (Y形联接 )是将三相电源的末端 X,Y、
Z接在一起，形成一个节点，记为 N，称为中性点或中点，将各相的首端 A,B,C以及中点 N与四根输电线（分别称为火线和中线）联接，如图 7.7-1(a)所示。与传输线相联接的负载，
可以从火线与中线之间得到三个相电压，用 表示，
也可以从三根火线之间得到三个线电压，用表示。线电压与相电压之间的关系可以从图 7.7-1(b)相量图中计算出来。
CBA UUU,、
CABCAB UUU,、
即
1 503
903
303
PACCA
PCBBC
PBAAB
UUUU
UUUU
UUUU
7.7-1三相电压源的星形联接线电压是相电压的 倍，即 。
例如日常生活用电是 220V相电压，相应的线电压则是 380V。
3 p3UU l?
从相量图上可以看出，三个对称相电压以及三个对称线电压之间存在以下关系：
0
0
CABCAB
CBA
UUU
UUU
此结论可以推广到任意对称多相电路的（线、相）电压和电流之和为零。
流过火线的线电流等于流过每相电源的相电流，即
pl II?
2.三角形联接 对称三相电源可以采用三角形联接 (又称 Δ 联接 )
，它是将三相电源各相的始端和末端依次相连，再由 A,B,C引出三根火线线与负载相连，如图所示。
三相电源的三角形联接作三角形联接时，要求三绕组的电压对称，如不对称程度比较大，所产生的环路电流将烧坏绕组。对称三相电源在
Δ 联接时，不能将各电源的始末端接错，否则将烧坏绕组
。
应该指出，由图 7.7-1可以看出：
对称三相电源可以认为它是星形连接的，
也可以认为是三角形连接的。
这要根据具体情况来选择。
二,Y－ Y联接的三相电路三相负载也有 Y和 Δ 两种连接方式 。 下图表示 Y形三相负载连接到 Y形对称三相电源的情况 。 当三相负载相同时,即
ZA=ZB=ZC=Z,三相的线路也完全一样,则称为对称三相电路
。
对称 Y－ Y三相电路列出电路的节点方程，并代入 得到 0
CBA UUU
0
1313
N
CBA
N
CBA
NN
'
ZZ
Z
UUU
ZZ
Z
U
Z
U
Z
U
U
由于,相当于中线短路，每相负载上的电压是相电压，其电流可以各相单独计算如下：
0NN‘?U?
120
||
120
||
||
pC
C
pB
B
pA
A
Z
U
Z
U
I
Z
U
Z
U
I
Z
U
Z
U
I
注意：在对称三相四线制电路中，
中线阻抗并不影响相电流。
例 7-1 对称 Y-Y电路中,已知试求三相电流 。
解：由于,相当于中线短路，可以按单相电路计算出三相电流,
j 1 0 )( 1 0V 314c o s2220)(A Zttu,
0NN‘?U?
A7556.15
10j10
120220
A16556.15
10j10
120220
A4556.15
10j10
0220
C
C
B
B
A
A
Z
U
I
Z
U
I
Z
U
I
在 Y－ Y形联接的对称三相电路中，由于，中线电流为零，中线可以不用，可以只用三根火线传输 (称为三相三线制 )，适合于高压远距离传输电之用。对于日常生活的低压用电，由于三相负载可能不完全对称，还有一定的中线电流存在，中线还必须保留，即采用三相四线制供电系统。假如不用中线
，不对称三相负载的三相电压将不相同，过高的相电压可能损坏电气设备。例如将例 7-7-1中的 C相负载阻抗变为
ZC=(2+j2)?，用正弦稳态电路的计算方法可以得到在不用中线时的三相电压为
V12029.94
V95.981.303
V05.211.303
C
B
A
U
U
U
可见,A相和 B相的电压由 220伏升高到 303伏，这两相的电气设备可能损坏； B相的电压降低到 94伏，使得 C相的电气设备不能正常工作。由此可知，在三相四线制供电系统中，保险丝绝对不能接在中线上，因为中线断开后，各相负载上的电压将随负载大小变化，过高的电压可能损坏电气设备。
可以看出，在 Y－ Y联接的对称三相电路中，其负载电压电流关系为
pp3 IIUU ll
三,Y－ Δ 联接的三相电路三相负载也可以按照三角形方式联接 。 图 (a)表示 Y形联接的对称三相电源和 Δ 联接的对称负载,这也是一个对称三相电路 。 每相负载上的电压为线电压,其相电流为
BC II
B
AB
A
I
I
I
BCC
CA
II
I
12 0
||
12 0
||
||
CA
CA
BC
BC
AB
AB
Z
U
Z
U
I
Z
U
Z
U
I
Z
U
Z
U
I
l
l
l
其实,已经把电源理解成三角形连接了 。
(这是把线电压相位分别默认为 0°,－ 120°,120° )
BC II
B
AB
A
I
I
I
BCC
CA
II
I
此时三根火线中的线电流为
CBA,,III
15 03
903
303
BCCAC
ABBCB
CAABA
l
l
l
IIII
IIII
IIII
由此看出,Y－ Δ 联接的对称三相电路中
，线电流是相电流的 倍，即3
p3 II l?
BC II
B
AB
A
I
I
I
BCC
CA
II
I
例 7-2 对称 Y－ Δ 三相电路中,已知试求相电流和线电流 。
解：三个相电流为
60210V 314c o s2220)(AB Zttu,
A6056.15
60210
120220
A18056.15
60210
120220
A6056.15
60210
0220
CA
CA
BC
BC
AB
AB
Z
U
I
Z
U
I
Z
U
I
三个线电流为
A90356.156056.156056.15
A150356.156056.1518056.15
A30356.1518056.156056.15
ABCAC
CaBcB
BCABA
III
III
III
相电流和线电流的相量图，如前图 (b)所示。
可以看出，在 Y－ Δ 对称联接时，其负载电压电流关系为
pp 3 IIUU ll
当然，对称三相电路中的三角形负载也可以等效成星形负载来计算线电流。
c o s3c o s33 ppAAAY IUIUPP
其中 cos?是功率因数,?是相电压与相电流的相位差,UA,IA是相电压和相电流的有效值。
由于线电压和线电流容易测量，注意到关系式,上式变为pp,3 IIUU ll
c o s3c o s33Y llll IUIUP
四，对称三相电路的功率对称 Y形联接负载吸收的总平均功率用相似的方法，得到对称 Δ 形联接负载吸收的总平均功率
c o s3c o s3c o s33 ppABABAB ll IUIUIUPP
最后得到对称三相电路中三相负载吸收的平均功率的一般公式
c o s3c o s3 pp ll IUIUP
在例 7-7-2的电路中，三相负载吸收的平均功率为
W726245c os56.152203P
c os3
)]240c os ( 2[ c os
)]240c os ( 2[ c os
)]c os ( 2[ c os
)120) c os (120c os (
)120) c os (120c os (
)c os ()c os (
)()()()(
pp
pp
pp
pp
pmpm
pmpm
pmpm
CBA
IU
tIU
tIU
tIU
ttIU
tω tIU
ttIU
tptptptp
由于上式中的三项交变分量之和为零，三相瞬时功率是不随时间变化的常数，并且等于其平均功率。
在这种情况下，三相电动机的转矩是恒定的，有利于发电机和电动机的工作，是三相电路的优点之一
。
下面讨论对称三相电路的瞬时功率,
例 7-3 三相电炉的三个电阻，可以接成星形
，也可以接成三角形，常以此来改变电炉的功率。假设某三相电炉的三个电阻都是
43.32Ω,求在 380V线电压上，把它们接成星形和三角形时的功率各为多少?
解,1,三相负载为星形联接时，如图 (a)所示，则线电流为
A0 6 4.5
32.43
3
3 8 0
p
p R
U
II l
三相负载吸收的功率为
W02.3 3 3 3064.53803c o s3Yll IUP
2.三相负载为三角形联接时，如图 (b)所示，
则相电流为
A7719.832.43 380pp RURUI l
线电流为
A193.157719.833 p II l
W10W10000193.1538033 kIUP ll
三相电炉接成三角形吸收的功率是联接成星形时的三倍。
三相负载吸收的功率为本节讨论几种不同频率正弦信号激励的非正弦稳态的平均功率。图 7-8-1所示单口网络
，在端口电压和电流采用关联参考方向的条件下，假设其电压和电流为
21
i222mi111m
u222mu111m
)c o s ()c o s ()(
)c o s ()c o s ()(
且
tItIti
tUtUtu
图 7-8-1
非正弦稳态的单口网络
7-8 非正弦周期电路的稳态分析单口网络的瞬时功率为
)c o s ()c o s (
)c o s ()c o s (
)c o s ()c o s (
)c o s ()c o s (
)()()(
i111mu222m
i222mu111m
i222mu222m
i111mu111m
tItU
tItU
tItU
tItU
titutp
瞬时功率随时间作周期性变化，有正交函数的特性，它在一个周期内的平均值（平均功率）为
21
2
0 22111
00c o sc o sd)(
1
PP
IUIUttp
T
P
T
这说明两种不同频率正弦信号激励的单口网络所吸收的平均功率等于每种正弦信号单独引起平均功率之和 。
一般来说,n 种不同频率正弦信号作用于单口网络引起的平均功率等于每种频率正弦信号单独引起的平均功率之和，即
nPPPPP 321
其中
kkkikukkkk IUIUP c o s)c o s (
例 8-1 已知图 7-8-1所示单口网络的电压和电流为试求单口网络吸收的平均功率 。
解：分别计算每种频率正弦信号单独作用产生的平均功率
A)1353co s (2A)601 0 co s (( t )
V)3co s302co s50co s100100()(
tti
ttttu
W2.21135c os
2
230
0
W25060c os
2
10100
0
3
2
1
0
P
P
P
P
将这些平均功率相加得到单口网络吸收的平均功率
W8.228)2.2102500(3220 PPPPP
例 8-2 已知流过 5Ω 电阻的电流为
,求电阻吸收的平均功率 。
解：分别计算各种频率成分的平均功率再相加，即
A)2c o s25c o s2105()( ttti
W75051505)5105(
W7501255001255551055
2222
222
210
＝或
＝
P
PPPP
式中的 是周期性非正弦电流的有效值。
150?I
22
2
2
1
2
0
22
2
2
1
2
0
n
n
UUUUU
IIIII
一般来说，周期性非正弦电压和电流，用傅里叶级数分解出它的直流分量和各种谐波分量后，可以用以下公式计算其有效值。
计算周期性非正弦电压和电流其有效值的公式为：
22
2
2
1
2
0
22
2
2
1
2
0
n
n
UUUUU
IIIII
引入周期性非正弦电压和电流的有效值后，可以用以下公式计算电阻的平均功率。
R
URIP 22
应该特别注意的是：
电路在频率相同的几个正弦信号激励时，
不能用平均功率叠加的方法来计算正弦稳态的平均功率。应该先计算出总的电压和电流后，再用公式 P=UIcos?来计算平均功率。
思 考 与 练 习
7-8-1(1) 试计算图 7-8-1(a)所示单口网络在任意角频率时的输出阻抗。
(2) 试计算图 7-8-1(b)所示单口网络在任意角频率时的等效阻抗，它与上面计算的输出阻抗有什么关系？
(3) 你能说明图 7-8-1 (c)所示电路中，含源单口网络
N1在其正弦电压源 u(t)的频率为任何数值时，均能输出最大平均功率吗？
图 7-8-1
摘 要
1，常用函数式和波形图来表示一个正弦电压电流，正弦电压电流的瞬时值表达式是
)c o s (2)c o s ()(
)c o s (2)c o s ()(
iim
uum
tItIti
tUtUtu
确定一个正弦电压 (或电流 )的是振幅 Um(或 Im)、角频率?和初相?，它们称为正弦量的三要素。正弦电压电流的有效值 U,I与振幅 Um,Im间的关系为
II
I
I
UU
U
U
2
2
2
2
m
m
m
m
2,正弦电压和电流可以用一个称为相量的复数表示
，相量的模是正弦电压和电流的振幅 (或有效值 )，
相量的幅角是正弦电压和电流的初相。电压相量与正弦电压时间函数的关系是
uu jj
mm
j
u
j
mum
ee
)e 2R e ()c o s ( 2
)eR e ()c o s ()(
UUUU
UtU
UtUtu
t
t
其中电流相量与正弦电流时间函数的关系是
ii jj
mm
j
i
j
mim
ee
)e 2R e ()c o s ( 2
)eR e ()c o s ()(
IIiI
ItI
ItIti
t
t
其中
3,线性时不变动态电路在角频率为?的正弦电压源和电流源激励下,随着时间的增长,当暂态响应消失,只剩下正弦稳态响应,电路中全部电压电流都是角频率为?的正弦波时,称电路处于正弦稳态 。
满足这类条件的动态电路通常称为正弦电路或正弦稳态电路 。 分析研究正弦稳态响应的工作称为正弦稳态分析 。
分析正弦稳态的有效方法是相量法，相量法的基础在于用相量表示相同频率的各正弦电压和电流
。
4,相量法分析正弦稳态的主要步骤是
1)画出电路的相量模型根据电路的时域模型画出电路的相量模型的方法是
(1)，将时域模型中各正弦电压电流，用相应的量表示，并标明在电路图上。对于已知的正弦电压和电流，计算出相应的电压电流相量。
C
C
L
L
GR
j 或
j
1
C 电容
j
1
或 j L 电感或 R 电阻相量形式 时域形式
（ 2)，根据时域模型中 RLC元件的参数，用相应的阻抗 (或导纳 )表示，并标明在电路图上。对于已知的
RLC参数，按照下式计算出相应的阻抗 (或导纳 )。
UYIIZU
U
I
n
k
k
n
k
k
0
0
1
1
欧姆定律基尔霍夫电压定律基尔霍夫电流定律
2) 根据下列 KCL,KVL和二端元件 VCR相量形式
,建立复系数电路方程或写出相应公式,并求解得到电压电流的相量表达式 。
3) 根据所计算得到的电压相量和电流相量，写出相应的瞬时值表达式。
5，不含独立电源单口网络相量模型等效于一个阻抗或导纳导纳阻抗
BG
U
I
Y
XR
I
U
Z
j
j
其等效电路是一个电阻和一个电感 (X>0)或电容 (X<0)
的串联，或者是一个电阻和一个电容 (B>0)或电感
(B<0)的并联。这两种等效电路之间的转换公式是
2222
2222
j
1
j
j
1
j
BG
B
BG
G
Z
BGY
XR
X
XR
R
Y
XRZ
6，包含独立电源单口网络相量模型的端口电源电流关系为
sc
o
oco
1
IU
Z
I
UIZU
这表明包含独立电源单口网络相量模型等效于一个电压源和阻抗的串联或一个电流源和导纳的并联 。
7，可以利用叠加定理来计算几种不同频率正弦激励的非正弦稳态响应，其方法是用相量法分别计算每种频率分量的响应相量，分别得到相应的正弦时间函数，然后相加得到包含几种不同频率的非正弦稳态响应的瞬时值表达式。
8,工作于正弦稳态的单口网络,电压电流采用关联参考方向时吸收的瞬时功率为它由一个恒定分量和交变分量组成 。
9,工作于正弦稳态的单口网络,电压电流采用关联参考方向时吸收的平均功率为其中 U,I是端口电压和电流的有效值,cos?是功率因数,功率因数角?是端口电压与电流的相位差 。
对于电阻元件来说,由于功率因数 cos?=1,其平均功率为对于电感和电容,由于功率因数 cos?=0,其平均功率为零 。
)22c os (c os)()()( u φψω tUIφUItitutp －
φUIttpTP T co sd)(1 0
R
URIUIP 22
对于无源单口网络来说,由于功率因数 cos0,其平均功率为其中,功率因数角?是阻抗角 。 当无源单口网络可以等效为一个电阻和电抗元件的串联和一个电导和电纳并联时,其平均功率为
10,复功率是电压相量与电流相量共轭复数的乘积,即
0c o s φUIP
)R e ()R e ( 22 YUZIP
jQPφUIφUIIUS s i njc o s~ *?
复功率的实部是平均功率,称为有功功率；虚部称为无功功率 。
正弦稳态电路的复功率是守恒的,即由此得到正弦稳态电路的有功功率和无功功率也是守恒的,即对于一个不包含独立电源的单口网络来说，它吸收的平均功率等于网络内全部电阻元件吸收平均功率之和。
吸收发出 SS ~~
吸收发出吸收发出 QQPP
11，含独立源单口网络向可变负载传输最大平均功率的条件是负载阻抗等于含源单口输出阻抗的共轭复数，即
o
*
L ZZ?
满足共轭匹配的条件下，负载获得的最大平均功率为
R
UP
4
2
oc
m a x?
12，由几个不同频率正弦信号激励的非正弦稳态电路中，单口网络吸收的平均功率等于每个频率正弦信号单独激励引起的平均功率之和，即
nPPPPP 210
13，周期性非正弦等于电流信号的有效值为
22
2
2
1
2
0
22
2
2
1
2
0
n
n
UUUUU
IIIII
U0,I0表示电压电流的直流分量,Uk,Ik表示电压电流 k次谐波的有效值。
已知周期性非正弦电压电流的有效值，可以利用以下公式来计算电阻吸收的平均功率
R
URIP 22
14，由三相电源供电的电路，称为三相电路。对称三相电源的电压是频率相同、相位相差 120° 的正弦电压，其瞬时值和相量表达式如下所示：
1 2 0)1 2 0c o s ()(
1 2 0)1 2 0c o s ()(
0 c o s)(
pCPmC
pBPmB
pAPmA
UUtUtu
UUtUtu
UUtUtu
15，对称 Y－ Y联接的三相电路中，其线电压和相电压以及线电流和相电流的关系为
pp3 IIUU ll
对称 Y－ Δ或 Δ－ Δ联接的三相电路中，三相负载的线电压和相电压以及线电流和相电流的关系为
pp 3 IIUU ll
其中,Ul,Il表示三根火线的线电压和线电流的有效值； UP,IP表示每相负载中的相电压和相电流的有效值。
16，对称三相电路中，三相负载吸收的瞬时功率和平均功率相等，并且等于
c o s3c o s3)( pp ll IUIUPtp
其中?是每相负载电压与电流的相位差。
