第二章 简单电阻电路分析
1 简单电阻电路的分析
2 电路的等效变换方法
* 电阻网络的等效化简
* 实际电源的两种模型
* 含独立电源网络的等效变换
* 含受控电源网络的等效变换电阻电路：除独立源外,由电阻,受控源以及独立源组成的电路 。
第一节 电阻串、并、混联电路分析方法,等效变换等效变换,网络的一部分 用 VCR完全相同的另一部分 来代替。用等效的概念可化简电路。
二端网络 N1,N2等效,N1与 N2的 VCR完全相同
iRR
iRiRu
)( 21
21
i
R1
R2
+
u
-
N1
+
u
-
i
N2
Req
21Re RRq
注意：对外等效，对内不等效一、电阻串联若干个电阻首尾相接，且通过同一电流
n
k
kneq RRRRRR
1
321?
uRRiRu
eq
k
kk
电阻 Rk上的电压（分压公式）
n
n
pppp
iRiRiRiRp
321
22
3
2
2
2
1
功率
,:::::::,321321321 RRRpppuuu
二、电阻并联
n
k
kneq GGGGG
121
iGGuG
eq
k
kki
电导 Gk上的电流（分流）
iRR RiGG Gi
21
2
21
1
1
两个电阻并联时若干个电阻元件两端分别跨接到同一电压上。
iRR RiGG Gi
21
1
21
2
2
与电导值成正比，
与电阻值成反比。
n
n
pppp
uGuGuGuGp
321
22
3
2
2
2
1
,:::::::,321321321 GGGpppiii
功率三、电阻混联
R2
+ -u
s
R4
R1
R3K
例,R1=40Ω,R2=30Ω,R3=20Ω,R4=10Ω,
u s = 60V
（ 1） K打开时，求开关两端电压
（ 2） K闭合 时，求流经开关的电流分析方法,应用电阻串并联等效化简的方法解,(1) 各支路电流如图，
则
A
RR
u
I
A
RR
u
I
S
S
2
7
6
43
4
21
1
由假想回路，得
+ 60V -
R4
R1
R3
R2I1
I4
+
u
-
VRIRIu 71003421
A
I
RR
R
I
A
I
RR
R
I
S
S
2.1
6.0
32
3
2
41
4
1
(2)
ARRRR uI SS 3////
3241
所以
AIII 6.021
+ us -
R4
R1
R3
R2I1
I
Is
I2
例,平衡电路。求 I。 I a
3Ω 6Ω
15Ω 30Ω
b
3Ω
+
15V
-
R
解,由于平衡，
(1) R上电流为 0。
R可看作开路 。
12
)306/ / ()153(abR
因此，两种方法都可得
AI 1123 15
(2) R上电压为 0。
R可看作短路。
12)30//15()6//3(abR
例 2-1-1 求下图电路 a,b端看进去的等效电阻。
15
61290
)612(90
eqR
解,
在混联电路的等效化简过程中应 注意 以下几个问题：
①短路线尽量缩短甚至可缩至一点
②看清串联与并联串联一定是流过同一个电流并联一定是跨接同一个电压
+
60V
-
15?10
30?15
0I 2I
1I
例 2-1-2 计算下图电路中各支路的电流与电压。
A4.21510 600I
解,
+
60V
-
15?10
30?18?90
0I 2I
1I 3I 4I
+
60V
-
10
15
0I
第二节 实际电源的两种模型及简单含源电路分析
Su
i +
u
-
a
b
SR 外电路
iRuu SS
一、实际电源的两种模型及其等效互换
1,代维宁电路模型
iRuu SS
（ 1） i 增大,RS压降增大,u 减小
（ 2） i =0,u =uS=u o c,开路电压
（ 3） u =0,i =i S c=u s /R s,短路电流
（ 4） R S =0，理想电压源 （黄线）
i
u
Su
sc
SS
i
Ru /
ocu
代维宁特性
2,诺顿电路模型
'u / Rii SS
Si
i +
u
-
'SR 外电路
（ 1） u增大,RS分流增大,i 减小
（ 2） i =0,u =u o c= RS′i S,开路电压
（ 3） u=0,i =i S c=i s,短路电流
（ 4） Rs′无穷大，理想电流源
'u / Rii SS
i
u
Si'
SSoc Riu
诺顿特性
Sci
i
u
Su
sc
SS
i
Ru /
ocu
代维宁特性
3,两种电源模型的等效转换
sSs
sSs
i'Ru
i/Ru
i
u
Si'Riu
SSoc
诺顿特性
Sci
'RR
/Rui
SS
Sss
等效转换条件
（ 1）两种电源模型可互为等效转换
s
S
R
u
i +
u
-
SR
Su
i +
u
-
SR
（ 2）对外等效，对内不等效
（ 3）理想电压源,RS=0,两种电源模型不能等效转换例 将电源模型等效转换为另一形式
A2
a
b
5
V10
b
5
a
A3
c
d
10
V30
d
c
10
二、含独立源的简单电路的等效化简
1,电压源串联
a + u - b
+ - + - - + + -1Su 2Su 3Su Snu
n
1k
SkS e q uu SnSSS uuuu?321
a + u - b
+ -Sequ
2,电压源与电流源串联
S
S
i
u
i +
u
-
a
b
Si
i +
u
-
a
b
N
推广
b
i +
u
-
a
Si
b
3,电流源串联
a + u - b
Si
i
a + u - b
i
SiSi Si,..
只有电流相等且参考方向相同时，电流源才能串联。
+
u
-
+
v
-
a
b
u
iS
i
4,电流源并联
i
iS1 iS2
a
b
iSn
n
k
SksnssS ii iii
1
21?
5,电压源与电流源并联
Su
i +
u
-
a
b
Si
b
i +
u
-
a
Su
Su
i +
u
-
a
b
N
推广
6,电压源并联只有电压相等且极性相同时，电压源才能并联。
+
u
-
i
+
uS
-
+
uS
-
+
uS
-
a
b
+
u
-
i
+
uS
-
a
b
Ai S 33?
AiS 64?
Su
Ai S 21?Ai S 12?
R1
R2
Vu S 2?例 化简下图解,并联与
32 SS ii
AiS 2?
AiS 64?
Su
Ai S 21?
R1
R2
并联与 11,Rui SS
Su可简化为电压源
AiS 2?
AiS 64?
Su
R2
串联与 SS ui
Si可简化为电流源串联与 24 RiS
4Si可简化为电流源
AiS 2?
AiS 64? AiS 4
例 求电流 I
V10
a
b
5
A3
10
V20
10
I
V10?10
V8
解,ab以左等效化简
V10
a
bA3
10
V20
10
V10
10
V8
a
b
A3
10
V20
10
V8
a
bA1
5
V8
a
b
A3
10
A2
10
V8
a
b
V5
5
V8
a
b
V3
5
a
b
V3
5?5
I
AI 3.055 3
作业 3,PP.82~85
2-3,2-4,2-6,2-11
(a) Us = 3e-4t mV
第三节 含受控源的简单电路分析原则,
（ 1）与独立源一样处理
（ 2）受控源存在时，控制量不能消失例 2-3-1 化简下图电路为最简形式。
解,
00 643 uiu
图 (c)电路 a,b上 VCR为
b
a
V4
1
2
03u
(a)
+
-
0u
b
a?1
2
03u
(b)
A2
+
-
0u
b
a
V4
3
06u
(c)
+
-
0u
+
-
+
-
i
即 iu
7
3
7
4
0
b
a
V74
73
(d)
+
-
0u
+
-
i
例 2-3-2 化简下图电路为最简形式。
解,
12 uiu
图 (c)电路 a,b上 VCR为即 iu
5
33
1
b
a
V3
75
(d)
+
-
u
+
-
i
b
a
A5
2
3
16u
(a)
1u
+
-
+
-
b
a?2
3
12u
(b)
A5 1u
+
- b
a
5V1
2
16u
(c)
+
-
u+
-
+
-
i
3
+
-
1u
11 6315 uiu又则 iu
7
53
例 2-3-3 化简下图 a,b以左的有源二端网络。
解,
Vu 3523 31
控制量 u1 与受控电流源不在一个连通的电路里，受控电流源的源电流与其端电压大小无关,受控电流源表现为具有 独立电流源 的性质。
求取含受控源的无源二端网络输入电阻的一般方法：
加压求流法 或 加流求压法
u
i
无源
u
无源i
同理，若受控电压源与它的控制量不在一个连通的电路里，此时的受控电压源的源电压也流过它的电流无关，受控电压源表现为具有独立电压源的性质。
u = Ri i
例 2-3-4 求图中所示无源二端网络的输入电阻 Rab 。
解,a,b端子上的 VCR为：
4i u2 R1
i
u
R2
u = R2 i + R1 ( i – 4i ) = (R2 – 3R1) i
所以,Rab = u / i = R2 – 3R1
Rab 可正、可负、可为零。 为正输入功率，为负输出功率。
例 2-3-5 求图中电路的输入电阻 Ri 。
解,方法一,a,b端子上 加压求流法
u = 5 i + 1.5 i + 3 u2
又,u2 = 1.5 i + 3 u2 则,u2 = - 0.75 i
则,u = 5 i + 1.5 i - 3* 0.75 i = 4.25 i
3Ω
i
u
5Ωa
b
3Ω
6u2 +
- u2
i
u
5Ωa
b
3Ω 2u2 u2 3Ω
i
u
5Ωa
b
1.5Ω
+
-
+
-
3u2
u2
所以,Ri = u / i = 4.25Ω
例 2-3-5 求图中电路的输入电阻 Ri 。
解,方法二,数值设定法设 u2 = 3 V
u = 5 i + u2 = - 17 Vi = i1 + i2 = 1-5 = -4 A
u2 3Ω
i2
i
u
5Ωa
b
3Ω
6u2 +
-i1
于是,Ri = u / i = - 17 / (-4) = 4.25Ω
则,i2 = u2 / 3 = 1 A A5
3
5
3
6 222
1
uuui
例 2-3-6 求图中电路的输入电阻 Rab 。
解,方法二,数值设定法设 i1 = 1A
u = 3 i + u2 = 0.5 V
i = i1 + i2 = -0.5 A
于是,Ri = u / i = - 1Ω
则,u2 = 2i1 = 2 V
A232 1522 5 122 iui
u2
i2i
u
3Ω 2Ω
a
b
2Ω 5i1+
-i
1
c i
u
3Ω
a
b
2Ω 2Ω
i1
2.5i1
c
方法一,加压求流法
u = 3 i + 2 i1
对 c点列 KCL：
i - 2i1 + 2.5 i1 = 0
u = 3 i - 2* 2i = - i
则,i1 = -2 i
所以,Rab = u / i = -1Ω
例 2-3-7 求图中电路的电压 U1 。
2A 3Ω 5Ω 3U1
2Ω
U1
I
+
-
2Ω
U1 -
+6V 15U1
3Ω 5Ω
解,由右图得,6 = ( 2+5+3 ) I - 15 U1
又因为,U1 = 2 I
则,6 = 10 I - 15 * 2 I = - 20 I
所以,I = - 0.3 A U1 = 2 I = - 0.6 V
作业 4,PP.86~87
2-13
2-14
2-15
第四节 电阻星形联接与三角形联接的等效互换端子只有 2个电流独立； 2个电压独立。
若 N1与 N2的 i1,i2,u13,u23 间的关系完全相同，则 N1与 N2
等效。
三端网络的等效
1 2
3
i1 i2
i3
N1 1 2
3
i1 i2
i3
N2
i1
1
i2
2
i3 3
R1 R2
R3
Δ — Y 互换两网络等效 ←→ 对应端子上的 VCR相同
i1
1
i2
2
i3 3
R12
R13 R23
三角形、△形,π形 星形,Y形,T形
Δ — Y 互换
(a),(b)等效 →
i1= i1’,i2= i2’,i3= i3’ i1
1
i2
2
i3 3
R1 R2
R3
(a)
i1’
1
i2’
2
i3’ 3
R12
R13 R23
'12i
'23i'31i
(b)
对 (b)：
31
31'
31
23
23'
23
12
12'
12,,R
ui
R
ui
R
ui
按 KCL，端子处电流分别为：
23
23
31
31'
23
'
31
'
3
12
12
23
23'
12
'
23
'
2
31
31
12
12'
31
'
12
'
1
R
u
R
u
iii
R
u
R
u
iii
R
u
R
u
iii
①
Δ — Y 互换
i1
1
i2
2
i3 3
R1 R2
R3
(a)
133221
231
133221
312
3
133221
123
133221
231
2
133221
312
133221
123
1
RRRRRR
uR
RRRRRR
uR
i
RRRRRR
uR
RRRRRR
uR
i
RRRRRR
uR
RRRRRR
uR
i
对 (a)，要找出端子处电流与端子间电压的关系稍许复杂一些，但是根据：
②
u12 = R1 i1 - R2 i2
u23 = R2 i2 - R3 i3
和 i1 + i2 + i3 = 0
可以解出电流：
不论电压 u12,u23,u31 为何值，两个电路要等效，
流入对应端子的电流就必须相等。
故①、②中电压前的系数应对应等效，于是得：
2
13
31
2
133221
31
1
32
32
1
133221
23
3
21
21
3
133221
12
R
RR
RR
R
RRRRRR
R
R
RR
RR
R
RRRRRR
R
R
RR
RR
R
RRRRRR
R
③
Y→ Δ
23
23
31
31'
3
12
12
23
23'
2
31
31
12
12'
1
R
u
R
u
i
R
u
R
u
i
R
u
R
u
i
133221
231
133221
312
3
133221
123
133221
231
2
133221
312
133221
123
1
RRRRRR
uR
RRRRRR
uR
i
RRRRRR
uR
RRRRRR
uR
i
RRRRRR
uR
RRRRRR
uR
i
① ②
由③式可以解得：
Δ →Y
312312
3123
3
312312
2312
2
312312
1231
1
RRR
RR
R
RRR
RR
R
RRR
RR
R
321
13
31
1321
32
23
321
21
12
GGG
GG
G
GGG
GG
G
GGG
GG
G
③ 式用电导可表示为：
为便于记忆，可利用下面的 一般公式：
三电阻之和形三角形端相邻两电阻的乘积形三角形
)(
)(
iR
i
三角形 (Δ 形 )
三电导之和形星形相邻两电导的乘积形星形
)Y(
)Y(?
jkG
星形（ Y形）
特例：
R12 = R23 = R31 = RΔ时，则 R1 = R2 = R3 = RY,且
YY 33
1 RRRR
或例 8 求,I
解,Δ — Y 转换
425100
231312
1312
1 RRR
RRR
3
1
2
R1
R2 R3
3
I
10 Ω
4
2.6Ω
+
9V
-
5Ω2
10 Ω
4 Ω 2 Ω
1
225 12233 RRR
225 13232 RRR
4.64//64
)//()( 343242
114
RRRR
RR
ARR uI
S
S 1
14
4 2
4
2.6
+
9V
-
1
I
32
R1
R2 R3
作业 5,P.86
2-12 (1)
V6
4S
a
A8
b
A8
c
2S
0.5S
例 13 求 U a b和 U b c
25.0
2
5.0?
V4
V6
V16
a
b
c
解：
25.0
2
5.0?
V4
V6
V16
a
b
c
I设电流 I
AI 117225.05.02 4166
VIV ab 11805.04
VIV bc 1132216
例 15 求电压 u及受控源的功率,
i
3
4
1A 2i +
u
-
KCL:
i v
v
i i
4
3
2 1
V v
A i
12
3
i
3
4
1A 2i +
u
-
提供功率 —— 有源性受控源的 电阻性, 22iuR受
72W1232u2ip× × ×
例 16 求电流 i
解,去 5欧电阻，诺顿模型化为戴维南模型
2i
- u1 +
5.1
2
2A
5
- 6u1+
i?5.0
- v1 +
5.1
2
+
4V
- +
3i
-
- 6v1+
5.0
i
iv
iiivi
5.0
35.15.0624
1
1
得,i = -0.4A
例 17 化简 电路解：受控源诺顿模型化为戴维南模型，去与电流源串联电阻
a
b
5
A5.0
V15
i
i5
5
5
合并电阻戴维南模型化为诺顿模型
a
b
A5.0
V15
i i25?5
5
a
b
A5.0
V15
i
i25
10
a
bA5.0
A5.1
i
i5.2
10
a
b
A1
i
i5.2
10
a
b
V10
i
i25
10
设端口电压 v,KVL
a
b
V10
i
i25
10?
v
1015
102510
iv
iiv
a
b
V10
i
15?
v
得负电阻例 18 化简 电路解：若电压源戴维南模型化为诺顿模型，则 i1
将消失，受控源失控
a
b
V25
1i
10
10
15i
6
列端口 VCR，设电压 v，电流 i
a
b
V25
1i
10
10
15i
6
i
v
a
b
V15
10
iiv
iiiiv
62510
6)(105
1
11
1510 iv
例 19 求等效 电阻 Rab
解：端口加电压 v，设电流 i,
列端口 VCR
a
bi4
2R
1R
i +
v-
)4(12 iiRiRv
12 3 RRi
vR
ab
例 20 求等效 电阻 Rab
解：端口加电压 v,列端口 VCR
+
v
-
2)(
))(23(22
1
1
iiv
iiivv
4
i
vR
ab
i a
b?
1v
i?2?3
2
12v
消去 v1
摘 要
1．等效：两个单口 (或多端 )网络的端口电压电流关系 (VCR)
完全相同。网络的等效变换可以简化电路分析，而不会影响电路其余部分的电压和电流,
2,常用电阻串并联公式来计算仅由线性电阻所构成单口网络的等效电阻。
计算含受控源电阻单口网络等效电阻的基本方法是加压求流法。
电阻星形联接与电阻三角形联接的等效变换。
电压源和电阻串联单口与电流源和电阻并联单口的等效变换等。
4．由线性电阻和受控源构成的电阻单口网络，就端口特性而言，等效为一个线性电阻，其电阻值为
i
uR?
3 实际电源的两种模型 —— 戴维南电路模型和诺顿电路模型。它们之间的相互转换
1 简单电阻电路的分析
2 电路的等效变换方法
* 电阻网络的等效化简
* 实际电源的两种模型
* 含独立电源网络的等效变换
* 含受控电源网络的等效变换电阻电路：除独立源外,由电阻,受控源以及独立源组成的电路 。
第一节 电阻串、并、混联电路分析方法,等效变换等效变换,网络的一部分 用 VCR完全相同的另一部分 来代替。用等效的概念可化简电路。
二端网络 N1,N2等效,N1与 N2的 VCR完全相同
iRR
iRiRu
)( 21
21
i
R1
R2
+
u
-
N1
+
u
-
i
N2
Req
21Re RRq
注意：对外等效，对内不等效一、电阻串联若干个电阻首尾相接，且通过同一电流
n
k
kneq RRRRRR
1
321?
uRRiRu
eq
k
kk
电阻 Rk上的电压（分压公式）
n
n
pppp
iRiRiRiRp
321
22
3
2
2
2
1
功率
,:::::::,321321321 RRRpppuuu
二、电阻并联
n
k
kneq GGGGG
121
iGGuG
eq
k
kki
电导 Gk上的电流（分流）
iRR RiGG Gi
21
2
21
1
1
两个电阻并联时若干个电阻元件两端分别跨接到同一电压上。
iRR RiGG Gi
21
1
21
2
2
与电导值成正比，
与电阻值成反比。
n
n
pppp
uGuGuGuGp
321
22
3
2
2
2
1
,:::::::,321321321 GGGpppiii
功率三、电阻混联
R2
+ -u
s
R4
R1
R3K
例,R1=40Ω,R2=30Ω,R3=20Ω,R4=10Ω,
u s = 60V
（ 1） K打开时，求开关两端电压
（ 2） K闭合 时，求流经开关的电流分析方法,应用电阻串并联等效化简的方法解,(1) 各支路电流如图，
则
A
RR
u
I
A
RR
u
I
S
S
2
7
6
43
4
21
1
由假想回路，得
+ 60V -
R4
R1
R3
R2I1
I4
+
u
-
VRIRIu 71003421
A
I
RR
R
I
A
I
RR
R
I
S
S
2.1
6.0
32
3
2
41
4
1
(2)
ARRRR uI SS 3////
3241
所以
AIII 6.021
+ us -
R4
R1
R3
R2I1
I
Is
I2
例,平衡电路。求 I。 I a
3Ω 6Ω
15Ω 30Ω
b
3Ω
+
15V
-
R
解,由于平衡，
(1) R上电流为 0。
R可看作开路 。
12
)306/ / ()153(abR
因此，两种方法都可得
AI 1123 15
(2) R上电压为 0。
R可看作短路。
12)30//15()6//3(abR
例 2-1-1 求下图电路 a,b端看进去的等效电阻。
15
61290
)612(90
eqR
解,
在混联电路的等效化简过程中应 注意 以下几个问题：
①短路线尽量缩短甚至可缩至一点
②看清串联与并联串联一定是流过同一个电流并联一定是跨接同一个电压
+
60V
-
15?10
30?15
0I 2I
1I
例 2-1-2 计算下图电路中各支路的电流与电压。
A4.21510 600I
解,
+
60V
-
15?10
30?18?90
0I 2I
1I 3I 4I
+
60V
-
10
15
0I
第二节 实际电源的两种模型及简单含源电路分析
Su
i +
u
-
a
b
SR 外电路
iRuu SS
一、实际电源的两种模型及其等效互换
1,代维宁电路模型
iRuu SS
（ 1） i 增大,RS压降增大,u 减小
（ 2） i =0,u =uS=u o c,开路电压
（ 3） u =0,i =i S c=u s /R s,短路电流
（ 4） R S =0，理想电压源 （黄线）
i
u
Su
sc
SS
i
Ru /
ocu
代维宁特性
2,诺顿电路模型
'u / Rii SS
Si
i +
u
-
'SR 外电路
（ 1） u增大,RS分流增大,i 减小
（ 2） i =0,u =u o c= RS′i S,开路电压
（ 3） u=0,i =i S c=i s,短路电流
（ 4） Rs′无穷大，理想电流源
'u / Rii SS
i
u
Si'
SSoc Riu
诺顿特性
Sci
i
u
Su
sc
SS
i
Ru /
ocu
代维宁特性
3,两种电源模型的等效转换
sSs
sSs
i'Ru
i/Ru
i
u
Si'Riu
SSoc
诺顿特性
Sci
'RR
/Rui
SS
Sss
等效转换条件
（ 1）两种电源模型可互为等效转换
s
S
R
u
i +
u
-
SR
Su
i +
u
-
SR
（ 2）对外等效，对内不等效
（ 3）理想电压源,RS=0,两种电源模型不能等效转换例 将电源模型等效转换为另一形式
A2
a
b
5
V10
b
5
a
A3
c
d
10
V30
d
c
10
二、含独立源的简单电路的等效化简
1,电压源串联
a + u - b
+ - + - - + + -1Su 2Su 3Su Snu
n
1k
SkS e q uu SnSSS uuuu?321
a + u - b
+ -Sequ
2,电压源与电流源串联
S
S
i
u
i +
u
-
a
b
Si
i +
u
-
a
b
N
推广
b
i +
u
-
a
Si
b
3,电流源串联
a + u - b
Si
i
a + u - b
i
SiSi Si,..
只有电流相等且参考方向相同时，电流源才能串联。
+
u
-
+
v
-
a
b
u
iS
i
4,电流源并联
i
iS1 iS2
a
b
iSn
n
k
SksnssS ii iii
1
21?
5,电压源与电流源并联
Su
i +
u
-
a
b
Si
b
i +
u
-
a
Su
Su
i +
u
-
a
b
N
推广
6,电压源并联只有电压相等且极性相同时，电压源才能并联。
+
u
-
i
+
uS
-
+
uS
-
+
uS
-
a
b
+
u
-
i
+
uS
-
a
b
Ai S 33?
AiS 64?
Su
Ai S 21?Ai S 12?
R1
R2
Vu S 2?例 化简下图解,并联与
32 SS ii
AiS 2?
AiS 64?
Su
Ai S 21?
R1
R2
并联与 11,Rui SS
Su可简化为电压源
AiS 2?
AiS 64?
Su
R2
串联与 SS ui
Si可简化为电流源串联与 24 RiS
4Si可简化为电流源
AiS 2?
AiS 64? AiS 4
例 求电流 I
V10
a
b
5
A3
10
V20
10
I
V10?10
V8
解,ab以左等效化简
V10
a
bA3
10
V20
10
V10
10
V8
a
b
A3
10
V20
10
V8
a
bA1
5
V8
a
b
A3
10
A2
10
V8
a
b
V5
5
V8
a
b
V3
5
a
b
V3
5?5
I
AI 3.055 3
作业 3,PP.82~85
2-3,2-4,2-6,2-11
(a) Us = 3e-4t mV
第三节 含受控源的简单电路分析原则,
（ 1）与独立源一样处理
（ 2）受控源存在时，控制量不能消失例 2-3-1 化简下图电路为最简形式。
解,
00 643 uiu
图 (c)电路 a,b上 VCR为
b
a
V4
1
2
03u
(a)
+
-
0u
b
a?1
2
03u
(b)
A2
+
-
0u
b
a
V4
3
06u
(c)
+
-
0u
+
-
+
-
i
即 iu
7
3
7
4
0
b
a
V74
73
(d)
+
-
0u
+
-
i
例 2-3-2 化简下图电路为最简形式。
解,
12 uiu
图 (c)电路 a,b上 VCR为即 iu
5
33
1
b
a
V3
75
(d)
+
-
u
+
-
i
b
a
A5
2
3
16u
(a)
1u
+
-
+
-
b
a?2
3
12u
(b)
A5 1u
+
- b
a
5V1
2
16u
(c)
+
-
u+
-
+
-
i
3
+
-
1u
11 6315 uiu又则 iu
7
53
例 2-3-3 化简下图 a,b以左的有源二端网络。
解,
Vu 3523 31
控制量 u1 与受控电流源不在一个连通的电路里，受控电流源的源电流与其端电压大小无关,受控电流源表现为具有 独立电流源 的性质。
求取含受控源的无源二端网络输入电阻的一般方法：
加压求流法 或 加流求压法
u
i
无源
u
无源i
同理，若受控电压源与它的控制量不在一个连通的电路里，此时的受控电压源的源电压也流过它的电流无关，受控电压源表现为具有独立电压源的性质。
u = Ri i
例 2-3-4 求图中所示无源二端网络的输入电阻 Rab 。
解,a,b端子上的 VCR为：
4i u2 R1
i
u
R2
u = R2 i + R1 ( i – 4i ) = (R2 – 3R1) i
所以,Rab = u / i = R2 – 3R1
Rab 可正、可负、可为零。 为正输入功率，为负输出功率。
例 2-3-5 求图中电路的输入电阻 Ri 。
解,方法一,a,b端子上 加压求流法
u = 5 i + 1.5 i + 3 u2
又,u2 = 1.5 i + 3 u2 则,u2 = - 0.75 i
则,u = 5 i + 1.5 i - 3* 0.75 i = 4.25 i
3Ω
i
u
5Ωa
b
3Ω
6u2 +
- u2
i
u
5Ωa
b
3Ω 2u2 u2 3Ω
i
u
5Ωa
b
1.5Ω
+
-
+
-
3u2
u2
所以,Ri = u / i = 4.25Ω
例 2-3-5 求图中电路的输入电阻 Ri 。
解,方法二,数值设定法设 u2 = 3 V
u = 5 i + u2 = - 17 Vi = i1 + i2 = 1-5 = -4 A
u2 3Ω
i2
i
u
5Ωa
b
3Ω
6u2 +
-i1
于是,Ri = u / i = - 17 / (-4) = 4.25Ω
则,i2 = u2 / 3 = 1 A A5
3
5
3
6 222
1
uuui
例 2-3-6 求图中电路的输入电阻 Rab 。
解,方法二,数值设定法设 i1 = 1A
u = 3 i + u2 = 0.5 V
i = i1 + i2 = -0.5 A
于是,Ri = u / i = - 1Ω
则,u2 = 2i1 = 2 V
A232 1522 5 122 iui
u2
i2i
u
3Ω 2Ω
a
b
2Ω 5i1+
-i
1
c i
u
3Ω
a
b
2Ω 2Ω
i1
2.5i1
c
方法一,加压求流法
u = 3 i + 2 i1
对 c点列 KCL：
i - 2i1 + 2.5 i1 = 0
u = 3 i - 2* 2i = - i
则,i1 = -2 i
所以,Rab = u / i = -1Ω
例 2-3-7 求图中电路的电压 U1 。
2A 3Ω 5Ω 3U1
2Ω
U1
I
+
-
2Ω
U1 -
+6V 15U1
3Ω 5Ω
解,由右图得,6 = ( 2+5+3 ) I - 15 U1
又因为,U1 = 2 I
则,6 = 10 I - 15 * 2 I = - 20 I
所以,I = - 0.3 A U1 = 2 I = - 0.6 V
作业 4,PP.86~87
2-13
2-14
2-15
第四节 电阻星形联接与三角形联接的等效互换端子只有 2个电流独立； 2个电压独立。
若 N1与 N2的 i1,i2,u13,u23 间的关系完全相同，则 N1与 N2
等效。
三端网络的等效
1 2
3
i1 i2
i3
N1 1 2
3
i1 i2
i3
N2
i1
1
i2
2
i3 3
R1 R2
R3
Δ — Y 互换两网络等效 ←→ 对应端子上的 VCR相同
i1
1
i2
2
i3 3
R12
R13 R23
三角形、△形,π形 星形,Y形,T形
Δ — Y 互换
(a),(b)等效 →
i1= i1’,i2= i2’,i3= i3’ i1
1
i2
2
i3 3
R1 R2
R3
(a)
i1’
1
i2’
2
i3’ 3
R12
R13 R23
'12i
'23i'31i
(b)
对 (b)：
31
31'
31
23
23'
23
12
12'
12,,R
ui
R
ui
R
ui
按 KCL，端子处电流分别为：
23
23
31
31'
23
'
31
'
3
12
12
23
23'
12
'
23
'
2
31
31
12
12'
31
'
12
'
1
R
u
R
u
iii
R
u
R
u
iii
R
u
R
u
iii
①
Δ — Y 互换
i1
1
i2
2
i3 3
R1 R2
R3
(a)
133221
231
133221
312
3
133221
123
133221
231
2
133221
312
133221
123
1
RRRRRR
uR
RRRRRR
uR
i
RRRRRR
uR
RRRRRR
uR
i
RRRRRR
uR
RRRRRR
uR
i
对 (a)，要找出端子处电流与端子间电压的关系稍许复杂一些，但是根据：
②
u12 = R1 i1 - R2 i2
u23 = R2 i2 - R3 i3
和 i1 + i2 + i3 = 0
可以解出电流：
不论电压 u12,u23,u31 为何值，两个电路要等效，
流入对应端子的电流就必须相等。
故①、②中电压前的系数应对应等效，于是得：
2
13
31
2
133221
31
1
32
32
1
133221
23
3
21
21
3
133221
12
R
RR
RR
R
RRRRRR
R
R
RR
RR
R
RRRRRR
R
R
RR
RR
R
RRRRRR
R
③
Y→ Δ
23
23
31
31'
3
12
12
23
23'
2
31
31
12
12'
1
R
u
R
u
i
R
u
R
u
i
R
u
R
u
i
133221
231
133221
312
3
133221
123
133221
231
2
133221
312
133221
123
1
RRRRRR
uR
RRRRRR
uR
i
RRRRRR
uR
RRRRRR
uR
i
RRRRRR
uR
RRRRRR
uR
i
① ②
由③式可以解得：
Δ →Y
312312
3123
3
312312
2312
2
312312
1231
1
RRR
RR
R
RRR
RR
R
RRR
RR
R
321
13
31
1321
32
23
321
21
12
GGG
GG
G
GGG
GG
G
GGG
GG
G
③ 式用电导可表示为：
为便于记忆，可利用下面的 一般公式：
三电阻之和形三角形端相邻两电阻的乘积形三角形
)(
)(
iR
i
三角形 (Δ 形 )
三电导之和形星形相邻两电导的乘积形星形
)Y(
)Y(?
jkG
星形（ Y形）
特例：
R12 = R23 = R31 = RΔ时，则 R1 = R2 = R3 = RY,且
YY 33
1 RRRR
或例 8 求,I
解,Δ — Y 转换
425100
231312
1312
1 RRR
RRR
3
1
2
R1
R2 R3
3
I
10 Ω
4
2.6Ω
+
9V
-
5Ω2
10 Ω
4 Ω 2 Ω
1
225 12233 RRR
225 13232 RRR
4.64//64
)//()( 343242
114
RRRR
RR
ARR uI
S
S 1
14
4 2
4
2.6
+
9V
-
1
I
32
R1
R2 R3
作业 5,P.86
2-12 (1)
V6
4S
a
A8
b
A8
c
2S
0.5S
例 13 求 U a b和 U b c
25.0
2
5.0?
V4
V6
V16
a
b
c
解：
25.0
2
5.0?
V4
V6
V16
a
b
c
I设电流 I
AI 117225.05.02 4166
VIV ab 11805.04
VIV bc 1132216
例 15 求电压 u及受控源的功率,
i
3
4
1A 2i +
u
-
KCL:
i v
v
i i
4
3
2 1
V v
A i
12
3
i
3
4
1A 2i +
u
-
提供功率 —— 有源性受控源的 电阻性, 22iuR受
72W1232u2ip× × ×
例 16 求电流 i
解,去 5欧电阻，诺顿模型化为戴维南模型
2i
- u1 +
5.1
2
2A
5
- 6u1+
i?5.0
- v1 +
5.1
2
+
4V
- +
3i
-
- 6v1+
5.0
i
iv
iiivi
5.0
35.15.0624
1
1
得,i = -0.4A
例 17 化简 电路解：受控源诺顿模型化为戴维南模型，去与电流源串联电阻
a
b
5
A5.0
V15
i
i5
5
5
合并电阻戴维南模型化为诺顿模型
a
b
A5.0
V15
i i25?5
5
a
b
A5.0
V15
i
i25
10
a
bA5.0
A5.1
i
i5.2
10
a
b
A1
i
i5.2
10
a
b
V10
i
i25
10
设端口电压 v,KVL
a
b
V10
i
i25
10?
v
1015
102510
iv
iiv
a
b
V10
i
15?
v
得负电阻例 18 化简 电路解：若电压源戴维南模型化为诺顿模型，则 i1
将消失，受控源失控
a
b
V25
1i
10
10
15i
6
列端口 VCR，设电压 v，电流 i
a
b
V25
1i
10
10
15i
6
i
v
a
b
V15
10
iiv
iiiiv
62510
6)(105
1
11
1510 iv
例 19 求等效 电阻 Rab
解：端口加电压 v，设电流 i,
列端口 VCR
a
bi4
2R
1R
i +
v-
)4(12 iiRiRv
12 3 RRi
vR
ab
例 20 求等效 电阻 Rab
解：端口加电压 v,列端口 VCR
+
v
-
2)(
))(23(22
1
1
iiv
iiivv
4
i
vR
ab
i a
b?
1v
i?2?3
2
12v
消去 v1
摘 要
1．等效：两个单口 (或多端 )网络的端口电压电流关系 (VCR)
完全相同。网络的等效变换可以简化电路分析，而不会影响电路其余部分的电压和电流,
2,常用电阻串并联公式来计算仅由线性电阻所构成单口网络的等效电阻。
计算含受控源电阻单口网络等效电阻的基本方法是加压求流法。
电阻星形联接与电阻三角形联接的等效变换。
电压源和电阻串联单口与电流源和电阻并联单口的等效变换等。
4．由线性电阻和受控源构成的电阻单口网络，就端口特性而言，等效为一个线性电阻，其电阻值为
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3 实际电源的两种模型 —— 戴维南电路模型和诺顿电路模型。它们之间的相互转换
