第六章 互感与变压器电路分析前几章已学过的无源元件有,R,L,C。
R,耗能、静态、无记忆；
L,C,储能、动态、有记忆；
它们都是 二端元件 。本章介绍两种 四端元件,
1.耦合电感,具有电感的特性；
2.理想变压器,是静态、无记忆的，但不耗能。
受控源也是 四端元件,它与将要介绍的耦合电感均属 耦合元件 。
6－ 1 耦合电感的电压电流关系与同名端磁耦合现象,一个线圈中的变化电流在另一个线圈中产生感应电压的现象，也叫互感现象。产生磁耦合现象的这对线圈称作互感线圈或耦合线圈。
dt
di
L
dt
d
u
i
N
i
L
N
磁链 =匝数乘磁通：
自感 =磁链比电流：
若 u,i 方向关联，
由电磁感应定律：
复习,单个线圈 (电感、或称自感 )的 VCR：
耦合电感,指多个线圈 (这里先介绍两个线圈 )相互之间存在磁场的联系。它是耦合线圈的理想化模型。
设两线圈的电压和电流参考方向均各自关联。如图所示，磁通方向与电流方向符合 右手螺旋法则。
6-1-1 耦合电感的伏安关系 (VCR)
每一线圈中的磁链由两部分组成：
12?
21?
22?11?
2i1i
I II
图中自磁链与互磁链的参考方向一致。
其中?11 表示线圈 1电流在本线圈中产生的磁链，称为 自感磁链,简称 自磁链,类此有?22 ；
12表示线圈 2的线圈电流在线圈 1
中产生的磁链，称为 互感磁链,简称 互磁链,类此有? 21 。
12111
21222
上图中显示自磁链与互磁链的参考方向一致；若将线圈 II
的电流方向改为红笔所示，则自磁链与互磁链参考方向将不一致。
12?
21?
22?11?
2i1i
I II
因此，穿过一个线圈的总磁链有两种可能，可表示为：
自磁链的符号恒为正；
互磁链的符号可正可负。
2121112111 iMiL
1212221222 iMiL
式中 L1,L2称为 自感系数,简称自感，单位亨 (利 ) H,
2
22
2
1
11
1,iLiL
M12,M21称为 互感系数,简称互感，单位亨 (利 ) H，
1
21
21
2
12
12,iMiM
表示电流产生自磁链的能力。
表示电流产生互磁链的能力。
可以证明 M12 =M21 =M。 今后一律记为 M。
dt
diM
dt
diLuu
dt
d
dt
d
dt
du
ML
21
111
12111
1
dt
diM
dt
diLuu
dt
d
dt
d
dt
du
ML
12
222
21222
2
耦合电感 伏安关系 (VCR)表达式：
式中,uL1 uL2为 自感电压,符号总为正； uM1 uM2为 互感电压,
取正号或负号，由互磁链与自磁链的参考方向是否一致而定。
若线圈电流变化，则自磁链、互磁链也随之变化。由电磁感应定律，线圈两端会产生 感应电压 。若感应电压与电流采取关联参考方向，则：
耦合电感的 VCR中有三个参数,L1,L2和 M。
耦合电感的电路符号：
VCR中互感电压取 -
2L1L
2i1i
+
-
1u 2u
+
-
Ma
db
c
**
2L1L
2i1i
+
-
1u 2u
+
-
M
a
db
c
*
*
VCR中互感电压取 +
(当各线圈的电压、电流方向关联时只有这两种可能。 )
6-1-2 耦合电感的同名端耦合线圈自磁链和互磁链的参考方向是否一致，不仅与线圈电流的参考方向有关，还与线圈的绕向及相对位置有关。但线圈的绕向及位置常常不能从外部认出，也不便于画出，为便于判断互感电压前的符号，故引入 同名端 的概念。
a b a,b是同名端
1,顾名思义，指绕法相同的一对端钮；
2,起的作用相同的一对端钮；
或者说,
(2) 同名端就是当电流分别流入线圈时，能使 电压增加 的一对端钮；
(3) 产生自感电压与互感电压 极性相同 的一对端钮。
(1) 同名端就是当电流分别流入线圈时，能使 磁场加强 的一对端钮；
当线圈电流同时流入 (或流出 )该对端钮时，各线圈中产生的 磁通方向一致 （自磁链与互磁链参考方向一致）的一对端钮。磁通方向不一致的一对端钮则称 异名端 。
同名端用标志‘ ·’或‘ *’等表示。
注意,
1。同名端不一定满足递推性，故当有多个线圈时有时必要两两标出。
2。在 VCR中 到底取正还是取负，要根据电流参考方向和同名端来确定,dt
diMu
M 21
当自磁链与互磁链的参考方向一致时取正号，不一致时取负号。或者说，根据同名端，电流在本线圈中产生的自感电压与该电流在另一个线圈中产生的互感电压极性是相同的。
确定互感线圈电压前正负号的简单规律：
当互感电压的参考方向与产生该互感电压的电流之间对同名端方向一致时，互感电压前取,+”，不一致时取,-”。
2L1L
2i1i
+
-
1u 2u
+
-
Ma
db
c
**
2L1L
2i1i
+
-
1u 2u
+
-
Ma
db
c
*
*
dt
diM
dt
diLuu
dt
d
dt
d
dt
du
ML
21
111
12111
1
dt
diM
dt
diLuu
dt
d
dt
d
dt
du
ML
12
222
21222
2
规则,
(2) 互感电压极性,若耦合电感的电压正极性端与另一线圈的电流流入端为同名端时，则该线圈的互感电压前取正号，
否则取负号。
根据同名端标记，根据线圈电流和电压的参考方向，就可以直接列写耦合电感伏安关系。
(1) 自感电压极性,若耦合电感电压与电流为关联参考方向时，
则取正号，否则取负号；
p,335 例 6-1-1
图 (a)中,uL1与 i1方向不一致，
2L1L
2i1i
-
+
1u 2u
-
+
Ma
db
c
**
111 ML uuu 222 ML uuu
dt
diM
dt
diLu 21
11 dt
diM
dt
diLu 12
22
dt
diLu
L
1
11
uM1与产生它的 i2对同名端方向不一致，
dt
diMu
M
2
1
uL2与 i2方向不一致，
dt
diLu
L
2
22
uM2与产生它的 i1对同名端方向不一致，
dt
diMu
M
1
2
所以有 VCR为：
(a)
2L1L
2i
1i
-
+
1u 2u
+
-
Ma
db
c
*
*
2L1L
2i
1i
-
+
1u 2u
-
+
Ma
db
c
*
*
dt
diM
dt
diLu 21
11
dt
diM
dt
diLu 12
22
dt
diM
dt
diLu 21
11
dt
diM
dt
diLu 12
22
(b)
(c)
在绕法无法知道的情况下，同名端的测定,实验方法正偏,a,c 同名端反偏,a,d 同名端根据 VCR，K
SU
+
-
V
2mU
+
-
a
b d
c
L1 L2
p,336 例 6-1-2 自学
(1) 直流法
(2) 交流法原图电源改为正弦电源，开关移去，
直流电压表改为交流电压表，
bd 端连接。
根据其 VCR的相量形式同样能判定其同名端 。
+
ù
-
+
V um2
-
a
b d
c
L1 L2
电路模型也可用受控源的形式表示：
对含有耦合电感的电路分析要较前面所遇到过的电路分析都复杂，特别是容易犯 遗漏或错写互感电压项 的错误。
2L1L
2i1i
-
+
1u 2u
-
+
a
db
c
dt
diM 2
dt
diM 1
耦合电感是一种动态、有记忆的四端元件 (与电感有类似的特性 ) 。耦合电感的 VCR中有三个参数,L1,L2和 M。
受控电压源的方向 为：若控制电流从同名端到异名端，则受控电压源的电压降方向也从同名端到异名端。
当两线圈的电流、电压参考方向关联时，相应耦合电感的受控源电路模型为：
2L1L
2i1i
+
-
1u 2u
+
-
a
db
c
dt
diM 2
dt
diM 1
(a)(c)同名端
2L1L
2i1i
+
-
1u 2u
+
-
a
db
c
dt
diM 2
dt
diM 1
(a)(d)同名端在正弦稳态电路中，耦合电感的相量 (模型 )形式为
2111 IMjILjU
1222 IMjILjU
jωL1,jωL2 称为 自感阻抗,jωM 称为 互感阻抗
+
-
+
-
a
db
c
(a)(d)同名端
2Lj?1Lj?
2I?1I?
1U? 2U?
2IMj
1IMj
2Lj?1Lj?
2I?1I?
+
-
1U? 2U?
+
-
a
db
c
1IMj
(a)(c)同名端
2IMj
6-1-3 耦合电感的储能
dtidtdiMdtdiLdtidtdiMdtdiL tt 21221211 )()(
02121 21222211 iMiiLiL
无源元件也可以用其 VCR和上式代入下式来验证
2211)(
)( iuiutp
td
twd
tt dtiudtiutw 2211)(
6-1
6-2
6-3 单号 (a) (c) 双号 (b) (d)
作业,p,370
6-2 耦合电感的联接及去耦等效耦合电感基本联接方式：串联，并联和三端联接。
去耦等效,
把以上联接方式的耦合电感用无耦合的等效电路模型去代替。
含耦合电感的电路不容易用观察法直接写出其电路方程，
因此本节介绍采用等效变换的方法来消除两个线圈之间的互感耦合。
6-2-1 耦合电感的串联耦合电感的两线圈串联有两种可能：
* L1 M * L2
+ u1 - + u2 -
i
+ u -
顺串
i
L1 * M * L2
+ u1 - + u2 -
+ u -
反串顺串,异名端相接。 反串,同名端相接在图示参考方向下，耦合电感的伏安关系为：
(下面推导中，顺串则互感电压取 +，反串取－ )
dt
diM
dt
diL
dt
diM
dt
diLuuu
2121
* L1 M * L2
+ u1 - + u2 -
i
+ u -
顺串
( )L L M di
dt
L di
dteq1 2
2
+ u -i
串联等效
eqL 顺串等效,MLLL
eq 221
反串等效,MLLL
eq 221
由耦合电感 储能公式,
算术平均值
021)2(21)( 2221 iLiMLLtw eq
)(
2
1
02
21
21
LLM
MLL
得：
6-2-2 耦合电感的并联同侧并联,(顺并 )同名端两两相接。
异侧并联,(反并 )异名端两两相接。
MLL
MLLL
eq 2
21
2
21
M+
u
-
*
L2
i2
同侧并联
*
L1
i1
i +
u
-
i
耦合电感的两线圈并联也有两种可能：
图示电压、电流参考方向下，由耦合电感的伏安关系：
MLL
MLLL
eq 2
21
2
21
M+
u
-
L2
*
i2
异侧并联
*
L1
i1
i +
u
-
i
u
MLL
ML
dt
di
u
MLL
ML
dt
di
dt
di
L
dt
di
Mu
dt
di
M
dt
di
Lu
2
21
12
2
21
21
2
2
1
21
1
td
idL
td
id
MLL
MLLu
eq
221
2
21
u
MLL
MLL
td
iid
td
id
2
21
2121 2)(
MLL
MLLL
eq 2
21
2
21
21LLM?
几何平均值
)(21 2121 LLLL
w t L ieq( )12 02
L L M
L L M
L L M1 2
2
1 2
1 2
2
2
0
由耦合电感 储能公式,
21m a x LLM
算术平均值
)(21 21 LLM
由电感串联：
几何平均值 ≤算术平均值
21LL
Mk?
耦合系数通常把 M 与它可能达到的最大值的比值叫做两耦合电感的耦合系数，记为 k，即耦合系数反映了耦合电感的耦合程度：
k = 1,全耦合；
k≈1,紧耦合；
k < 0.2,松耦合；
k = 0,无耦合。
10 k
6-2-3 耦合电感的三端联接将耦合电感的两个线圈各取一端联接起来就成了耦合电感的三端联接电路。这种联接也有两种可能：
(1) 同名端相联 (2) 异名端相联
ML?1
1u
+
-
2u
+
-
1i 2i
ML?2
M
同名端接去耦等效
21 ii?
1 2
3
(1) 同名端相接
M+
u1
-
*
L2
*
L1
i1
i1 + i2
i2 +
u2
-
1 2
3
dt
iidM
dt
diML
dt
diM
dt
diLu )()( 211
1
21
11
dt
iidM
dt
diML
dt
diM
dt
diLu )()( 212
2
12
22
ML?1
1u
+
-
2u
+
-
1i 2i
ML?2
M?
异名端接去耦等效
21 ii?
1 2
3
(2) 异名端相接
M+
u1
-
L2
*
*
L1
i1
i1 + i2
i2 +
u2
-
1 2
3
例 1 已知
080,6
,12,4
,12
1
,6,6
21
21
UM
LL
C
RR
求：开关打开和闭合时的电流。
+
-
I?
1R
2R
Cj?
1
K
1Lj?
Mj?
*
*
2Lj?
U?
a
b
解,这种互感线圈常称 自耦变压器
)( 2 MLj K
)( 1 MLj
Mj
+
-
I?
1R
2R
Cj?
1
U?
a
b
异名端接去耦等效
+
-
I?
1R
2R
Cj?
1
K
1Lj?
Mj?
*
*
2Lj?
U?
a
b
Cj
MLLjRRZ
1)2( 2121
1612 j
A
jZ
U
I
1.534
1.5320
080
1612
080
开关 K 打开时
)( 2 MLj K
)( 1 MLj
Mj
+
-
I?
1R
2R
Cj?
1
U?
a
b
异名端接去耦等效
A
Z
UI
4.181024.18104
080
412
1
)(
]
1
)([
)(
22
22
11
j
Cj
MLjRMj
Cj
MLjRMj
MLjRZ
开关 K 闭合时
)( 2 MLj
)( 1 MLj
Mj
+
-
I?
1R
2R
Cj?
1
U?
a
b
Leq = 8+8//2 = 9.6 H
6+3-2+1
4+3 +2-1
8-3-2-1?L
eq
例 2：求等效电感 Leq。 解,两两去耦
**
6 2
1
3
4
8
eqL?
°
°
6+3 2
14+3
8-3
eqL?
°
°
6+3-2
14+3+2
8-3-2
eqL?
°
°
6-3 空芯变压器电路分析变压器是利用耦合线圈间的磁耦合来传输能量或信号的器件。通常有两个线圈。与电源相接的为 初级线圈 (原边 ),与负载相接的为 次级线圈 (副边 ) 。
习惯上，线圈绕在铁芯上，构成 铁芯变压器 ；芯子是非铁磁材料时，构成 空芯变压器 。
铁芯变压器 一般耦合系数接近 1，属紧耦合，用于输配电设备； 空芯变压器 耦合系数一般较小，属松耦合，用于高频电路和测量仪器。
注意,
空芯变压器的分析是以互感的 VCR作为基础；铁芯变压器的分析是以理想变压器作为基础。 它们 是两种不同的分析方法。
正弦稳态分析空芯变压器可用耦合电感与电阻的组合作为其电路模型。
R1,R2,初、次级线圈的电阻
Mj?
sU?
+
-
LZ
1Lj? 2Lj?
* *
1I? 2I?2R1R
空芯变压器电路相量模型
sU?
+
-
+
-
1I? 1R
+
-
2IMj
LZ
2I?2R
1IMj
受控源等效电路
1Lj? 2Lj?
原副边两回路的 KVL方程为
0)(
)(
2221
2111
IZLjRIMj
UIMjILjR
L
s
MjZZZLjRZLjRZ L 211222221111,，令其中 Z11,Z22 分别是初、次级回路在无互感耦合时本身的阻抗，即初、次级回路的 自阻抗 。
1。 列写回路方程
sU?
+
-
+
-
1I? 1R
+
-
2IMj
LZ
2I?2R
1IMj
受控源等效电路
1Lj? 2Lj?
联立求解，得
22
2
11
1
)(
Z
M
Z
U
I s
从初级线圈两端看入的等效阻抗（初级输入阻抗）为：
22
2
11
1
)(
Z
MZ
I
UZ s
i
22
2)(
Z
M? 称为次级回路对初级回路的 反映阻抗 或 引入阻抗 。
0222121
212111
IZIZ
UIZIZ s
将 反映阻抗 记为 Zref,它反映了次级回路通过磁耦合对初级回路的影响。则 Zi = Z11 + Zref 。
据此，可作出初级等效回路，很方便地求出初级回路电流。
2。初、次级等效电路
sU?
+
-
1I? 1R
refZ
1Lj?
初级引入阻抗等效电路
2IMj
引入阻抗特点：
(1)与同名端无关；
(2)引入阻抗改变了初级阻抗的性质。
若 ZL =?,相当于次级未接,Zi =
Z11,即次级对初级无影响；
若 ZL = 0,当 k=1，线圈绕组近似为零时，
Z j L Mj L j L j MLi1
2
2
1
2
2
0( )
即次级短路相当于 (近似于 )初级短路。
本分析方法,
(1) 先求输入阻抗，
(2) 求初级电流 (与同名端无关 )，
(3) 求次级电流 (与同名端有关 )
次级等效电路
+
-
LZ
2I?2R
1IMj
2Lj?
次级回路的电流为
22
1
2 Z
IMjI
空芯变压器电路也可用去耦等效电路来分析。
sU?
+
-
LZ1Lj? 2Lj?
* *
2R1R
Mj?
1I? 2I
)( 1 MLj
1R 2R
Mj?
)( 2 MLj
sU?
+
- L
Z
1I? 2I?
例,
Vttu
FCCR
RmHM
mHLmHL
s
4
212
1
21
10c o s210)(
10,40
,9.9,2.0
,1,2
已知求次级回路电流 )(
2 ti
解,
sra d
U s
/10
V010
4?
1L 2L
2i1i 2
C1C M
su
+
-
2R
1R * *
109.9)1(
1
1111 jCLjRZ
40)1(
2
2222 CLjRZ
1Lj? 2Lj?
2I?1I?
1
1
Cj?
Mj?
sU?
+
-
2R
1R * * 2
1
Cj?
(1) 反映阻抗的概念
1.0
40
2)( 2
22
2
Z
MZ
r e f
A45
220
1
A45
2
1
1.0109.9
010
22
1
2
11
1
Z
IMj
I
jZZ
U
I
r e f
s
refZ
1I?
sU?
+
-
11Z
初级等效电路
2Lj?
2I?
2R
2
1
Cj?
1IMj
+
-
次级等效电路
A)4510c o s (05.0)( 42 tti
(2) 去耦等效电路
2I?
2R
1
1
Cj?
sU?
+
-
1R 2
1
Cj?
)( 2 MLj)( 1 MLj
Mj?
1I?
0)
1
(
)
1
(
2
2
221
21
1
11
I
Cj
LjRIMj
UIMjI
Cj
LjR
s
带入数据
0102)109.9( 21 IjIj
0402 21 IIj
用克莱姆法则
0)
1
(
)
1
(
2
2
221
21
1
11
I
Cj
LjRIMj
UIMjI
Cj
LjR
s
400400
40
2
2
109.9
j
j
j
j
D
20
0
10
2
109.9
2 jj
j
D?
45
220
1
400400
20
2 j
jI?
A)4510c o s (05.0)( 42 tti
6-5 单号 (a) 双号 (b)
6-7 单号 (a) 双号 (b)
6-10
6-13 单号 (a) 双号 (b)
作业,p,370
R,耗能、静态、无记忆；
L,C,储能、动态、有记忆；
它们都是 二端元件 。本章介绍两种 四端元件,
1.耦合电感,具有电感的特性；
2.理想变压器,是静态、无记忆的，但不耗能。
受控源也是 四端元件,它与将要介绍的耦合电感均属 耦合元件 。
6－ 1 耦合电感的电压电流关系与同名端磁耦合现象,一个线圈中的变化电流在另一个线圈中产生感应电压的现象，也叫互感现象。产生磁耦合现象的这对线圈称作互感线圈或耦合线圈。
dt
di
L
dt
d
u
i
N
i
L
N
磁链 =匝数乘磁通：
自感 =磁链比电流：
若 u,i 方向关联，
由电磁感应定律：
复习,单个线圈 (电感、或称自感 )的 VCR：
耦合电感,指多个线圈 (这里先介绍两个线圈 )相互之间存在磁场的联系。它是耦合线圈的理想化模型。
设两线圈的电压和电流参考方向均各自关联。如图所示，磁通方向与电流方向符合 右手螺旋法则。
6-1-1 耦合电感的伏安关系 (VCR)
每一线圈中的磁链由两部分组成：
12?
21?
22?11?
2i1i
I II
图中自磁链与互磁链的参考方向一致。
其中?11 表示线圈 1电流在本线圈中产生的磁链，称为 自感磁链,简称 自磁链,类此有?22 ；
12表示线圈 2的线圈电流在线圈 1
中产生的磁链，称为 互感磁链,简称 互磁链,类此有? 21 。
12111
21222
上图中显示自磁链与互磁链的参考方向一致；若将线圈 II
的电流方向改为红笔所示，则自磁链与互磁链参考方向将不一致。
12?
21?
22?11?
2i1i
I II
因此，穿过一个线圈的总磁链有两种可能，可表示为：
自磁链的符号恒为正；
互磁链的符号可正可负。
2121112111 iMiL
1212221222 iMiL
式中 L1,L2称为 自感系数,简称自感，单位亨 (利 ) H,
2
22
2
1
11
1,iLiL
M12,M21称为 互感系数,简称互感，单位亨 (利 ) H，
1
21
21
2
12
12,iMiM
表示电流产生自磁链的能力。
表示电流产生互磁链的能力。
可以证明 M12 =M21 =M。 今后一律记为 M。
dt
diM
dt
diLuu
dt
d
dt
d
dt
du
ML
21
111
12111
1
dt
diM
dt
diLuu
dt
d
dt
d
dt
du
ML
12
222
21222
2
耦合电感 伏安关系 (VCR)表达式：
式中,uL1 uL2为 自感电压,符号总为正； uM1 uM2为 互感电压,
取正号或负号，由互磁链与自磁链的参考方向是否一致而定。
若线圈电流变化，则自磁链、互磁链也随之变化。由电磁感应定律，线圈两端会产生 感应电压 。若感应电压与电流采取关联参考方向，则：
耦合电感的 VCR中有三个参数,L1,L2和 M。
耦合电感的电路符号：
VCR中互感电压取 -
2L1L
2i1i
+
-
1u 2u
+
-
Ma
db
c
**
2L1L
2i1i
+
-
1u 2u
+
-
M
a
db
c
*
*
VCR中互感电压取 +
(当各线圈的电压、电流方向关联时只有这两种可能。 )
6-1-2 耦合电感的同名端耦合线圈自磁链和互磁链的参考方向是否一致，不仅与线圈电流的参考方向有关，还与线圈的绕向及相对位置有关。但线圈的绕向及位置常常不能从外部认出，也不便于画出，为便于判断互感电压前的符号，故引入 同名端 的概念。
a b a,b是同名端
1,顾名思义，指绕法相同的一对端钮；
2,起的作用相同的一对端钮；
或者说,
(2) 同名端就是当电流分别流入线圈时，能使 电压增加 的一对端钮；
(3) 产生自感电压与互感电压 极性相同 的一对端钮。
(1) 同名端就是当电流分别流入线圈时，能使 磁场加强 的一对端钮；
当线圈电流同时流入 (或流出 )该对端钮时，各线圈中产生的 磁通方向一致 （自磁链与互磁链参考方向一致）的一对端钮。磁通方向不一致的一对端钮则称 异名端 。
同名端用标志‘ ·’或‘ *’等表示。
注意,
1。同名端不一定满足递推性，故当有多个线圈时有时必要两两标出。
2。在 VCR中 到底取正还是取负，要根据电流参考方向和同名端来确定,dt
diMu
M 21
当自磁链与互磁链的参考方向一致时取正号，不一致时取负号。或者说，根据同名端，电流在本线圈中产生的自感电压与该电流在另一个线圈中产生的互感电压极性是相同的。
确定互感线圈电压前正负号的简单规律：
当互感电压的参考方向与产生该互感电压的电流之间对同名端方向一致时，互感电压前取,+”，不一致时取,-”。
2L1L
2i1i
+
-
1u 2u
+
-
Ma
db
c
**
2L1L
2i1i
+
-
1u 2u
+
-
Ma
db
c
*
*
dt
diM
dt
diLuu
dt
d
dt
d
dt
du
ML
21
111
12111
1
dt
diM
dt
diLuu
dt
d
dt
d
dt
du
ML
12
222
21222
2
规则,
(2) 互感电压极性,若耦合电感的电压正极性端与另一线圈的电流流入端为同名端时，则该线圈的互感电压前取正号，
否则取负号。
根据同名端标记，根据线圈电流和电压的参考方向，就可以直接列写耦合电感伏安关系。
(1) 自感电压极性,若耦合电感电压与电流为关联参考方向时，
则取正号，否则取负号；
p,335 例 6-1-1
图 (a)中,uL1与 i1方向不一致，
2L1L
2i1i
-
+
1u 2u
-
+
Ma
db
c
**
111 ML uuu 222 ML uuu
dt
diM
dt
diLu 21
11 dt
diM
dt
diLu 12
22
dt
diLu
L
1
11
uM1与产生它的 i2对同名端方向不一致，
dt
diMu
M
2
1
uL2与 i2方向不一致，
dt
diLu
L
2
22
uM2与产生它的 i1对同名端方向不一致，
dt
diMu
M
1
2
所以有 VCR为：
(a)
2L1L
2i
1i
-
+
1u 2u
+
-
Ma
db
c
*
*
2L1L
2i
1i
-
+
1u 2u
-
+
Ma
db
c
*
*
dt
diM
dt
diLu 21
11
dt
diM
dt
diLu 12
22
dt
diM
dt
diLu 21
11
dt
diM
dt
diLu 12
22
(b)
(c)
在绕法无法知道的情况下，同名端的测定,实验方法正偏,a,c 同名端反偏,a,d 同名端根据 VCR，K
SU
+
-
V
2mU
+
-
a
b d
c
L1 L2
p,336 例 6-1-2 自学
(1) 直流法
(2) 交流法原图电源改为正弦电源，开关移去，
直流电压表改为交流电压表，
bd 端连接。
根据其 VCR的相量形式同样能判定其同名端 。
+
ù
-
+
V um2
-
a
b d
c
L1 L2
电路模型也可用受控源的形式表示：
对含有耦合电感的电路分析要较前面所遇到过的电路分析都复杂，特别是容易犯 遗漏或错写互感电压项 的错误。
2L1L
2i1i
-
+
1u 2u
-
+
a
db
c
dt
diM 2
dt
diM 1
耦合电感是一种动态、有记忆的四端元件 (与电感有类似的特性 ) 。耦合电感的 VCR中有三个参数,L1,L2和 M。
受控电压源的方向 为：若控制电流从同名端到异名端，则受控电压源的电压降方向也从同名端到异名端。
当两线圈的电流、电压参考方向关联时，相应耦合电感的受控源电路模型为：
2L1L
2i1i
+
-
1u 2u
+
-
a
db
c
dt
diM 2
dt
diM 1
(a)(c)同名端
2L1L
2i1i
+
-
1u 2u
+
-
a
db
c
dt
diM 2
dt
diM 1
(a)(d)同名端在正弦稳态电路中，耦合电感的相量 (模型 )形式为
2111 IMjILjU
1222 IMjILjU
jωL1,jωL2 称为 自感阻抗,jωM 称为 互感阻抗
+
-
+
-
a
db
c
(a)(d)同名端
2Lj?1Lj?
2I?1I?
1U? 2U?
2IMj
1IMj
2Lj?1Lj?
2I?1I?
+
-
1U? 2U?
+
-
a
db
c
1IMj
(a)(c)同名端
2IMj
6-1-3 耦合电感的储能
dtidtdiMdtdiLdtidtdiMdtdiL tt 21221211 )()(
02121 21222211 iMiiLiL
无源元件也可以用其 VCR和上式代入下式来验证
2211)(
)( iuiutp
td
twd
tt dtiudtiutw 2211)(
6-1
6-2
6-3 单号 (a) (c) 双号 (b) (d)
作业,p,370
6-2 耦合电感的联接及去耦等效耦合电感基本联接方式：串联，并联和三端联接。
去耦等效,
把以上联接方式的耦合电感用无耦合的等效电路模型去代替。
含耦合电感的电路不容易用观察法直接写出其电路方程，
因此本节介绍采用等效变换的方法来消除两个线圈之间的互感耦合。
6-2-1 耦合电感的串联耦合电感的两线圈串联有两种可能：
* L1 M * L2
+ u1 - + u2 -
i
+ u -
顺串
i
L1 * M * L2
+ u1 - + u2 -
+ u -
反串顺串,异名端相接。 反串,同名端相接在图示参考方向下，耦合电感的伏安关系为：
(下面推导中，顺串则互感电压取 +，反串取－ )
dt
diM
dt
diL
dt
diM
dt
diLuuu
2121
* L1 M * L2
+ u1 - + u2 -
i
+ u -
顺串
( )L L M di
dt
L di
dteq1 2
2
+ u -i
串联等效
eqL 顺串等效,MLLL
eq 221
反串等效,MLLL
eq 221
由耦合电感 储能公式,
算术平均值
021)2(21)( 2221 iLiMLLtw eq
)(
2
1
02
21
21
LLM
MLL
得：
6-2-2 耦合电感的并联同侧并联,(顺并 )同名端两两相接。
异侧并联,(反并 )异名端两两相接。
MLL
MLLL
eq 2
21
2
21
M+
u
-
*
L2
i2
同侧并联
*
L1
i1
i +
u
-
i
耦合电感的两线圈并联也有两种可能：
图示电压、电流参考方向下，由耦合电感的伏安关系：
MLL
MLLL
eq 2
21
2
21
M+
u
-
L2
*
i2
异侧并联
*
L1
i1
i +
u
-
i
u
MLL
ML
dt
di
u
MLL
ML
dt
di
dt
di
L
dt
di
Mu
dt
di
M
dt
di
Lu
2
21
12
2
21
21
2
2
1
21
1
td
idL
td
id
MLL
MLLu
eq
221
2
21
u
MLL
MLL
td
iid
td
id
2
21
2121 2)(
MLL
MLLL
eq 2
21
2
21
21LLM?
几何平均值
)(21 2121 LLLL
w t L ieq( )12 02
L L M
L L M
L L M1 2
2
1 2
1 2
2
2
0
由耦合电感 储能公式,
21m a x LLM
算术平均值
)(21 21 LLM
由电感串联：
几何平均值 ≤算术平均值
21LL
Mk?
耦合系数通常把 M 与它可能达到的最大值的比值叫做两耦合电感的耦合系数，记为 k，即耦合系数反映了耦合电感的耦合程度：
k = 1,全耦合；
k≈1,紧耦合；
k < 0.2,松耦合；
k = 0,无耦合。
10 k
6-2-3 耦合电感的三端联接将耦合电感的两个线圈各取一端联接起来就成了耦合电感的三端联接电路。这种联接也有两种可能：
(1) 同名端相联 (2) 异名端相联
ML?1
1u
+
-
2u
+
-
1i 2i
ML?2
M
同名端接去耦等效
21 ii?
1 2
3
(1) 同名端相接
M+
u1
-
*
L2
*
L1
i1
i1 + i2
i2 +
u2
-
1 2
3
dt
iidM
dt
diML
dt
diM
dt
diLu )()( 211
1
21
11
dt
iidM
dt
diML
dt
diM
dt
diLu )()( 212
2
12
22
ML?1
1u
+
-
2u
+
-
1i 2i
ML?2
M?
异名端接去耦等效
21 ii?
1 2
3
(2) 异名端相接
M+
u1
-
L2
*
*
L1
i1
i1 + i2
i2 +
u2
-
1 2
3
例 1 已知
080,6
,12,4
,12
1
,6,6
21
21
UM
LL
C
RR
求：开关打开和闭合时的电流。
+
-
I?
1R
2R
Cj?
1
K
1Lj?
Mj?
*
*
2Lj?
U?
a
b
解,这种互感线圈常称 自耦变压器
)( 2 MLj K
)( 1 MLj
Mj
+
-
I?
1R
2R
Cj?
1
U?
a
b
异名端接去耦等效
+
-
I?
1R
2R
Cj?
1
K
1Lj?
Mj?
*
*
2Lj?
U?
a
b
Cj
MLLjRRZ
1)2( 2121
1612 j
A
jZ
U
I
1.534
1.5320
080
1612
080
开关 K 打开时
)( 2 MLj K
)( 1 MLj
Mj
+
-
I?
1R
2R
Cj?
1
U?
a
b
异名端接去耦等效
A
Z
UI
4.181024.18104
080
412
1
)(
]
1
)([
)(
22
22
11
j
Cj
MLjRMj
Cj
MLjRMj
MLjRZ
开关 K 闭合时
)( 2 MLj
)( 1 MLj
Mj
+
-
I?
1R
2R
Cj?
1
U?
a
b
Leq = 8+8//2 = 9.6 H
6+3-2+1
4+3 +2-1
8-3-2-1?L
eq
例 2：求等效电感 Leq。 解,两两去耦
**
6 2
1
3
4
8
eqL?
°
°
6+3 2
14+3
8-3
eqL?
°
°
6+3-2
14+3+2
8-3-2
eqL?
°
°
6-3 空芯变压器电路分析变压器是利用耦合线圈间的磁耦合来传输能量或信号的器件。通常有两个线圈。与电源相接的为 初级线圈 (原边 ),与负载相接的为 次级线圈 (副边 ) 。
习惯上，线圈绕在铁芯上，构成 铁芯变压器 ；芯子是非铁磁材料时，构成 空芯变压器 。
铁芯变压器 一般耦合系数接近 1，属紧耦合，用于输配电设备； 空芯变压器 耦合系数一般较小，属松耦合，用于高频电路和测量仪器。
注意,
空芯变压器的分析是以互感的 VCR作为基础；铁芯变压器的分析是以理想变压器作为基础。 它们 是两种不同的分析方法。
正弦稳态分析空芯变压器可用耦合电感与电阻的组合作为其电路模型。
R1,R2,初、次级线圈的电阻
Mj?
sU?
+
-
LZ
1Lj? 2Lj?
* *
1I? 2I?2R1R
空芯变压器电路相量模型
sU?
+
-
+
-
1I? 1R
+
-
2IMj
LZ
2I?2R
1IMj
受控源等效电路
1Lj? 2Lj?
原副边两回路的 KVL方程为
0)(
)(
2221
2111
IZLjRIMj
UIMjILjR
L
s
MjZZZLjRZLjRZ L 211222221111,，令其中 Z11,Z22 分别是初、次级回路在无互感耦合时本身的阻抗，即初、次级回路的 自阻抗 。
1。 列写回路方程
sU?
+
-
+
-
1I? 1R
+
-
2IMj
LZ
2I?2R
1IMj
受控源等效电路
1Lj? 2Lj?
联立求解，得
22
2
11
1
)(
Z
M
Z
U
I s
从初级线圈两端看入的等效阻抗（初级输入阻抗）为：
22
2
11
1
)(
Z
MZ
I
UZ s
i
22
2)(
Z
M? 称为次级回路对初级回路的 反映阻抗 或 引入阻抗 。
0222121
212111
IZIZ
UIZIZ s
将 反映阻抗 记为 Zref,它反映了次级回路通过磁耦合对初级回路的影响。则 Zi = Z11 + Zref 。
据此，可作出初级等效回路，很方便地求出初级回路电流。
2。初、次级等效电路
sU?
+
-
1I? 1R
refZ
1Lj?
初级引入阻抗等效电路
2IMj
引入阻抗特点：
(1)与同名端无关；
(2)引入阻抗改变了初级阻抗的性质。
若 ZL =?,相当于次级未接,Zi =
Z11,即次级对初级无影响；
若 ZL = 0,当 k=1，线圈绕组近似为零时，
Z j L Mj L j L j MLi1
2
2
1
2
2
0( )
即次级短路相当于 (近似于 )初级短路。
本分析方法,
(1) 先求输入阻抗，
(2) 求初级电流 (与同名端无关 )，
(3) 求次级电流 (与同名端有关 )
次级等效电路
+
-
LZ
2I?2R
1IMj
2Lj?
次级回路的电流为
22
1
2 Z
IMjI
空芯变压器电路也可用去耦等效电路来分析。
sU?
+
-
LZ1Lj? 2Lj?
* *
2R1R
Mj?
1I? 2I
)( 1 MLj
1R 2R
Mj?
)( 2 MLj
sU?
+
- L
Z
1I? 2I?
例,
Vttu
FCCR
RmHM
mHLmHL
s
4
212
1
21
10c o s210)(
10,40
,9.9,2.0
,1,2
已知求次级回路电流 )(
2 ti
解,
sra d
U s
/10
V010
4?
1L 2L
2i1i 2
C1C M
su
+
-
2R
1R * *
109.9)1(
1
1111 jCLjRZ
40)1(
2
2222 CLjRZ
1Lj? 2Lj?
2I?1I?
1
1
Cj?
Mj?
sU?
+
-
2R
1R * * 2
1
Cj?
(1) 反映阻抗的概念
1.0
40
2)( 2
22
2
Z
MZ
r e f
A45
220
1
A45
2
1
1.0109.9
010
22
1
2
11
1
Z
IMj
I
jZZ
U
I
r e f
s
refZ
1I?
sU?
+
-
11Z
初级等效电路
2Lj?
2I?
2R
2
1
Cj?
1IMj
+
-
次级等效电路
A)4510c o s (05.0)( 42 tti
(2) 去耦等效电路
2I?
2R
1
1
Cj?
sU?
+
-
1R 2
1
Cj?
)( 2 MLj)( 1 MLj
Mj?
1I?
0)
1
(
)
1
(
2
2
221
21
1
11
I
Cj
LjRIMj
UIMjI
Cj
LjR
s
带入数据
0102)109.9( 21 IjIj
0402 21 IIj
用克莱姆法则
0)
1
(
)
1
(
2
2
221
21
1
11
I
Cj
LjRIMj
UIMjI
Cj
LjR
s
400400
40
2
2
109.9
j
j
j
j
D
20
0
10
2
109.9
2 jj
j
D?
45
220
1
400400
20
2 j
jI?
A)4510c o s (05.0)( 42 tti
6-5 单号 (a) 双号 (b)
6-7 单号 (a) 双号 (b)
6-10
6-13 单号 (a) 双号 (b)
作业,p,370
