4-9 电路的冲激响应
4-9-1 单位冲激信号和
1)( dtt
0
00)(
t
tt?
单位冲激信号记为 δ( t )，定义为和
1)( 0 dttt?
0
0
0
0)(
tt
tttt?
延迟单位冲激信号记为 δ( t-t0 )，定义为
0 t
(1)
)(t?
0 t
(1)
)( 0tt
t0
工程定义：出现时间极短和面积为 1
单位冲激函数 δ( t )不是普通函数，而是一个 广义函数
)(lim)( 0 tgt
0 t
)(tg
1
δ( t )可看成许多普通函数的极限，
如可看成右图所示窄矩形脉冲函数（或门函数） g( t )当 Δ→ 0时的极限。
0 t
(1)
)(t?
t ttd 01 00)(
类似还有如下关系成立单位冲激信号与单位阶跃信号之间的关系
0 t
(1)
)(t?
因而也有下式成立
)(t
)(d )(d ttt
)(
d
)(d
)(
1
0
)(
0
0
0
0
0
0
tt
t
tt
tt
tt
tt
dt
t
和
4-9-2 单位冲激函数的筛选特性
)()()()( 000 tttftttf
由于 t ≠ t0 时 δ( t-t0 )＝ 0，因此若 t0＝ 0，则有
)()0()()( tfttf
将以上两式从 -∞ 到 +∞ 对 t 积分，可得
)()()()()( 0000 tfdttttfdttttf
)0()()0()()( fdttfdtttf
可见，单位冲激函数可通过与普通函数相乘、积分的运算，
将函数在冲激出现的时刻的函数值筛选出来。这就是冲激函数的 筛选性质 或抽样性质。
例如
t d tt s in)(
t d tt s in)41(
0)(s in)(s in 0 tttt t
)41(2 2)41(s in)41(s in
4
1 ttttt t
0s in 0tt?
2
2s in
4
1tt?
)(',)]2()([)( tfttttf 求
)2(2)]2()([
)2(2)(0)]2()([
)]2()([)]2()([)('
ttt
tttt
ttttttf
)(tf
0 t2
2
0 t
(2)
1
)(' tf
2
例,已知解,
4-9-3 单位冲激响应系统的初始状态为零，激励为单位冲激信号 δ(t) 作用下的零状态响应，用 h(t) 表示。
由于冲激函数仅在 t =0 处作用，而在 t > 0 的区间恒为零。
也就是说，激励信号 δ(t) 的作用是在 t = 0 的瞬间给系统输入了若干能量，贮存在系统的各储能元件中，而在 t > 0 后系统的激励为零，只有冲激引入的那些储能在起作用，
因而，系统的冲激响应由上述储能唯一地确定解,列微分方程：
)( tRudtduC CC
例 4-9-1 图示电路若电流源 iS(t) =δ(t)，求电容电压 uC 的冲激响应 h(t) 。
t >0 时 δ(t) = 0，则
00 tRudtduC CC,
即 t >0 后 电路是一个零输入响应问题
uC (0_) = 0，电容在 t = 0 瞬间相当于短路,如右图所示
)()0( tiC
)(t? R C
+
_Cu
Ci
)(t? R
+
_ )0(Cu
C
dtt
C
u
dtti
C
uu
C
CCC
1
)(
1
)0(
)(
1
)0()0(
0
0
0
0
电容电压在冲激信号作用下，从零跃变到
C
1
由三要素公式得
)(1)()0()()( teCteututh RC
tt
CC
Ci
)(t? R
+
_ )0(Cu
解,列微分方程：
)()()( tdt tdiLtRi LL
例 4-9-2 求图示电路在电压源 uS(t) =δ(t)作用下的电感电流
iL 的冲激响应 h(t) 。
+
- )(t?
R
)0(Lu
+
-
+
-
R
L
)(tiL
)(tuS
t >0 时 δ(t) = 0，则
00)()( tdt tdiLtRi LL,
即 t >0 后 电路是一个零输入响应问题
iL (0_) = 0，电感在 t = 0 瞬间相当于开路,如右图所示
)()0( tu L
L
dtt
L
i
dttu
L
ii
L
LLL
1
)(
1
)0(
)(
1
)0()0(
0
0
0
0
电感电流在冲激信号作用下，从零跃变到
L
1
路的固有性质。
反映了电响应。所以，冲激响应规律完全同电路的固有化的零输入响应，它的变，此时电路是一个特殊时，储能。当瞬间给储能元件以初始冲激信号在
0)(
00
t
tt
由三要素公式得
)(1)()0()()( teLteitith tL
Rt
LL
+
- )(t?
R
)0(Lu
+
-
计算系统的冲激响应 h(t) 的另一途径对线性时不变系统定有先计算系统的阶跃响应 s(t),然后利用冲激响应 h(t) 与阶跃响应 s(t) 的关系求冲激响应
dt
tdt )()(
dt
tdsth )()(?
即冲激响应是阶跃响应的导数
0)0()0( LL ii
)()1(1)( teRts
t
)(1)()1(1)()( teLteRdt tdsth
tt
+
-
)(tus
R
L
)(tiL
0)()1(1),()0()()( teRtfttf
t
故由于
)(1)( teLth L
Rt
例,如图所示电路，求阶跃响应和冲激响应解,先用三要素法求阶跃响应
R
L
Ri L,
1)(
例,如图所示电路,R1=R2=1?,C=1F,求阶跃响应和冲激响应解,先用三要素法求阶跃响应
0)0()0( CC uu?
)(tu
+
-
)(tuS
1R
2R
C
sRCVuVu 2,1)(,21)0(
冲激响应会少一项不能不写，否则，注意：求阶跃响应时,)( t?
)(41)(21)(),()211()( 22 tetthtets
tt
解,先用三要素法求阶跃响应
)()1()( teRts RCt
例 4-9-3 图示电路若电流源 iS(t) =δ(t)，求电容电压 uC 的冲激响应 h(t) 。
可得
dt
teRd
dt
tds
th
RC
t
)()1(
)(
)(
)()1()(1 teRteC RC
t
RC
t
)(t? R C
+
_Cu
)(1 teC RC
t
4-21 (1)
作业 12,p,231
4-10 电路在任意激励下的响应 —— 卷积积分一、信号的时域分解任意波形的信号可以纵向分割成许多相邻的矩形脉冲，
如图所示
)(te
n
)0(e
)(?e
)(?ne
2?3
t
0
e(t)可用阶梯曲线 ea(t)来近似代替可用阶跃信号来表示每个矩形脉冲
)(te
n
)0(e
)(?e
)(?ne
2?3
t
0
)]()()[0()( ttetg
第一个矩形脉冲
)]2()()[()( ttetg
第二个矩形脉冲
)])1(()()[()( ntntnentg第 n+1个矩形脉冲
)()( tete a
)])1(()()[(
)]2()()[(
)]()()[0(
ntntne
tte
tte
)])1(()()[(
ntntne
n
)()( tete a? )])1(()()[(
ntntne
n
)])1(()([1)( ntntne
n
1
)(tg?
t
0?
)()( ntgne
n
)()(lim0 0 ntntg?当
nΔ变成连续变量，记作 τ；而 Δ可用 dτ表示
dtete )()()(
说明任意波形 e(t) 可表示为具有强度 e (τ) d τ,出现时间 t
=τ的无穷多个冲激信号之和。
二、任意信号的零状态响应
e(t) 作用于线性时不变网络的零状态响应为：
线性时不变网络
)(t?
)(t
dte )()(?
)(th
)(th
dthe )()(?
dthetr )()()( 称做 e(t) 与 h(t) 的 卷积积分,记作：
dthethtetr )()()(*)()(
对任意线性时不变网络，一旦求得网络的冲激响应 h(t)，则只要计算 e(t) * h(t)，即可求得任意信号 e(t) 作用下的零状态响应 r(t) 。这种分析方法称为 卷积分析法 。
dthethtetr )()()(*)()(
注意：
② τ 为积分变量，表示冲激出现的时刻，在 -∞ 至 +∞ 间连续变化；
① 求 e(t) * h(t) 时，要将 e(t)变成 e(τ),h(t)变成 h( t-τ)；
③ t 为积分参变量，在积分过程中可视为定值，表示所要考察的响应时刻；
④ 积分上下限的确定：
a) 有始信号,e( t ) | t < 0 = 0,因此积分下限取 0 ；
b) 因果系统 (响应不能领先于激励的系统 ),h(t) 有始，
h( t -τ) | t <τ = 0,即 t ≥τ才有响应，因此积分上限取 t 。
有始信号 e( t ) 作用于 因果系统 时，零状态响应 r(t) 为：
c) 若激励信号 e( t ) 或冲激响应 h( t ) 是分段函数，则可用阶跃信号表示 e( t ) 与 h( t ) 。
dthethtetr t )()()(*)()( 0
)()()(),()()( 2010 ttththtttete设
dttthte
dthethte
)()()()(
)()()(*)(
2010
0)(,0)( 111 ttt 时即?
0)(,0)( 222 tttttt 时即
0)()( the被积函数
21 ttt 到积分限取为从由于积分上限 t - t2 不小于下限 t1，即 t - t2 ≥ t1，故 t 的范围为 t ≥ t1 + t2,将卷积结果乘以 ε( t - t2 - t1 )。
)()()()(*)( 12002
1
tttdthethte ttt
)()()()()( ttedtete
⑤ 任意信号与冲激信号的卷积即为信号本身。
冲激信号的 重现特性（ replication property）
)()()( 11 ttettte
冲激信号的 重现特性 （ replication property）
)()()( 11 ttxtttx
证明,
)()()(
)()(
)()()()(
111
1
11
ttxdtttx
dttx
dttxtttx
例
0 t
(1) (1)
-2 2
)(2 tf
0 t-2 2
A )(3 tf
0 t
A
1
)(1 tf
。响应用卷积分析法求零状态电路如图，已知例：
)(
,
2
1
,1),()(
tu
FCRtetuRC
c
t
s
)(tuc
+
- )(tus
R
C
)()1()(2
d
)(d)( 22 tete
t
tsth tt
则电路的冲激响应为：
解,先求电容电压的单位阶跃响应
V)()1()( 2 tets t
)()0()()( tfttf
：由冲激函数的筛选性质
)(2d )(d)( 2 tettsth t
)()(2
)()1(2
)(2
2
2
0
2
tee
tee
tdee
tt
tt
t
t
)(2
)()(
)()()(
)(2
0
0
tdee
dthu
thtutu
t
t
t
s
sc
)(2d )(d)(),()( 2 tettsthtetu tts
)2()1( tete tt例：求
)3(21 )( tdet t
)12()(21 tdee tt解：原式
)3(21 tde tt
)3(21 te tt
)3()3( tte t?
。求电路的零状态响应已知 )(),(3)( 2 tuteti CtS
)()1(4)( 5.2 tets t解：
)(10)()( 5.2 tedt tdsth t则例 4-10-1
)(10*)(3)(*)()( 5.22 tetethtitu ttSC
)(30 0 5.05.2 tdee tt
)(tiS
+
_CuF1.0?4
dtee t )(10)(3 )(5.22
)(
5.0
30
0
5.0
5.2 tee
t
t?
)()(60 5.22 tee tt
求电路的零状态响应。
已知 ),(3)(,)3()1()( 2 tethttete tt
dthethtetr )()()()()(解：
dtee t )(3)3()1( )(2
例 4-10-2
dtee
dtee
t
t
)(3)3(
)(3)1(
)(2
)(2
)3(3
)1(3
3
22
1
22
tdeee
tdeee
t
t
t
t
)3(3
)1(3)(
3
22
1
22
tdeee
tdeeetr
t
t
t
t
)3(3)1(3 3212 teetee tttt
)3(13)1(13 )3()1( teetee tttt
0)(0 ttt,时即?
求零状态响应例：已知 ),()(,1)( tethte t
dthethtetr )()()()()(解：
dte t )()(
t ttt eede 1)(原式
4-22
4-23
4-24 (2) (6)
作业 13,p,232
4-9-1 单位冲激信号和
1)( dtt
0
00)(
t
tt?
单位冲激信号记为 δ( t )，定义为和
1)( 0 dttt?
0
0
0
0)(
tt
tttt?
延迟单位冲激信号记为 δ( t-t0 )，定义为
0 t
(1)
)(t?
0 t
(1)
)( 0tt
t0
工程定义：出现时间极短和面积为 1
单位冲激函数 δ( t )不是普通函数，而是一个 广义函数
)(lim)( 0 tgt
0 t
)(tg
1
δ( t )可看成许多普通函数的极限，
如可看成右图所示窄矩形脉冲函数（或门函数） g( t )当 Δ→ 0时的极限。
0 t
(1)
)(t?
t ttd 01 00)(
类似还有如下关系成立单位冲激信号与单位阶跃信号之间的关系
0 t
(1)
)(t?
因而也有下式成立
)(t
)(d )(d ttt
)(
d
)(d
)(
1
0
)(
0
0
0
0
0
0
tt
t
tt
tt
tt
tt
dt
t
和
4-9-2 单位冲激函数的筛选特性
)()()()( 000 tttftttf
由于 t ≠ t0 时 δ( t-t0 )＝ 0，因此若 t0＝ 0，则有
)()0()()( tfttf
将以上两式从 -∞ 到 +∞ 对 t 积分，可得
)()()()()( 0000 tfdttttfdttttf
)0()()0()()( fdttfdtttf
可见，单位冲激函数可通过与普通函数相乘、积分的运算，
将函数在冲激出现的时刻的函数值筛选出来。这就是冲激函数的 筛选性质 或抽样性质。
例如
t d tt s in)(
t d tt s in)41(
0)(s in)(s in 0 tttt t
)41(2 2)41(s in)41(s in
4
1 ttttt t
0s in 0tt?
2
2s in
4
1tt?
)(',)]2()([)( tfttttf 求
)2(2)]2()([
)2(2)(0)]2()([
)]2()([)]2()([)('
ttt
tttt
ttttttf
)(tf
0 t2
2
0 t
(2)
1
)(' tf
2
例,已知解,
4-9-3 单位冲激响应系统的初始状态为零，激励为单位冲激信号 δ(t) 作用下的零状态响应，用 h(t) 表示。
由于冲激函数仅在 t =0 处作用，而在 t > 0 的区间恒为零。
也就是说，激励信号 δ(t) 的作用是在 t = 0 的瞬间给系统输入了若干能量，贮存在系统的各储能元件中，而在 t > 0 后系统的激励为零，只有冲激引入的那些储能在起作用，
因而，系统的冲激响应由上述储能唯一地确定解,列微分方程：
)( tRudtduC CC
例 4-9-1 图示电路若电流源 iS(t) =δ(t)，求电容电压 uC 的冲激响应 h(t) 。
t >0 时 δ(t) = 0，则
00 tRudtduC CC,
即 t >0 后 电路是一个零输入响应问题
uC (0_) = 0，电容在 t = 0 瞬间相当于短路,如右图所示
)()0( tiC
)(t? R C
+
_Cu
Ci
)(t? R
+
_ )0(Cu
C
dtt
C
u
dtti
C
uu
C
CCC
1
)(
1
)0(
)(
1
)0()0(
0
0
0
0
电容电压在冲激信号作用下，从零跃变到
C
1
由三要素公式得
)(1)()0()()( teCteututh RC
tt
CC
Ci
)(t? R
+
_ )0(Cu
解,列微分方程：
)()()( tdt tdiLtRi LL
例 4-9-2 求图示电路在电压源 uS(t) =δ(t)作用下的电感电流
iL 的冲激响应 h(t) 。
+
- )(t?
R
)0(Lu
+
-
+
-
R
L
)(tiL
)(tuS
t >0 时 δ(t) = 0，则
00)()( tdt tdiLtRi LL,
即 t >0 后 电路是一个零输入响应问题
iL (0_) = 0，电感在 t = 0 瞬间相当于开路,如右图所示
)()0( tu L
L
dtt
L
i
dttu
L
ii
L
LLL
1
)(
1
)0(
)(
1
)0()0(
0
0
0
0
电感电流在冲激信号作用下，从零跃变到
L
1
路的固有性质。
反映了电响应。所以，冲激响应规律完全同电路的固有化的零输入响应，它的变，此时电路是一个特殊时，储能。当瞬间给储能元件以初始冲激信号在
0)(
00
t
tt
由三要素公式得
)(1)()0()()( teLteitith tL
Rt
LL
+
- )(t?
R
)0(Lu
+
-
计算系统的冲激响应 h(t) 的另一途径对线性时不变系统定有先计算系统的阶跃响应 s(t),然后利用冲激响应 h(t) 与阶跃响应 s(t) 的关系求冲激响应
dt
tdt )()(
dt
tdsth )()(?
即冲激响应是阶跃响应的导数
0)0()0( LL ii
)()1(1)( teRts
t
)(1)()1(1)()( teLteRdt tdsth
tt
+
-
)(tus
R
L
)(tiL
0)()1(1),()0()()( teRtfttf
t
故由于
)(1)( teLth L
Rt
例,如图所示电路，求阶跃响应和冲激响应解,先用三要素法求阶跃响应
R
L
Ri L,
1)(
例,如图所示电路,R1=R2=1?,C=1F,求阶跃响应和冲激响应解,先用三要素法求阶跃响应
0)0()0( CC uu?
)(tu
+
-
)(tuS
1R
2R
C
sRCVuVu 2,1)(,21)0(
冲激响应会少一项不能不写，否则，注意：求阶跃响应时,)( t?
)(41)(21)(),()211()( 22 tetthtets
tt
解,先用三要素法求阶跃响应
)()1()( teRts RCt
例 4-9-3 图示电路若电流源 iS(t) =δ(t)，求电容电压 uC 的冲激响应 h(t) 。
可得
dt
teRd
dt
tds
th
RC
t
)()1(
)(
)(
)()1()(1 teRteC RC
t
RC
t
)(t? R C
+
_Cu
)(1 teC RC
t
4-21 (1)
作业 12,p,231
4-10 电路在任意激励下的响应 —— 卷积积分一、信号的时域分解任意波形的信号可以纵向分割成许多相邻的矩形脉冲，
如图所示
)(te
n
)0(e
)(?e
)(?ne
2?3
t
0
e(t)可用阶梯曲线 ea(t)来近似代替可用阶跃信号来表示每个矩形脉冲
)(te
n
)0(e
)(?e
)(?ne
2?3
t
0
)]()()[0()( ttetg
第一个矩形脉冲
)]2()()[()( ttetg
第二个矩形脉冲
)])1(()()[()( ntntnentg第 n+1个矩形脉冲
)()( tete a
)])1(()()[(
)]2()()[(
)]()()[0(
ntntne
tte
tte
)])1(()()[(
ntntne
n
)()( tete a? )])1(()()[(
ntntne
n
)])1(()([1)( ntntne
n
1
)(tg?
t
0?
)()( ntgne
n
)()(lim0 0 ntntg?当
nΔ变成连续变量，记作 τ；而 Δ可用 dτ表示
dtete )()()(
说明任意波形 e(t) 可表示为具有强度 e (τ) d τ,出现时间 t
=τ的无穷多个冲激信号之和。
二、任意信号的零状态响应
e(t) 作用于线性时不变网络的零状态响应为：
线性时不变网络
)(t?
)(t
dte )()(?
)(th
)(th
dthe )()(?
dthetr )()()( 称做 e(t) 与 h(t) 的 卷积积分,记作：
dthethtetr )()()(*)()(
对任意线性时不变网络，一旦求得网络的冲激响应 h(t)，则只要计算 e(t) * h(t)，即可求得任意信号 e(t) 作用下的零状态响应 r(t) 。这种分析方法称为 卷积分析法 。
dthethtetr )()()(*)()(
注意：
② τ 为积分变量，表示冲激出现的时刻，在 -∞ 至 +∞ 间连续变化；
① 求 e(t) * h(t) 时，要将 e(t)变成 e(τ),h(t)变成 h( t-τ)；
③ t 为积分参变量，在积分过程中可视为定值，表示所要考察的响应时刻；
④ 积分上下限的确定：
a) 有始信号,e( t ) | t < 0 = 0,因此积分下限取 0 ；
b) 因果系统 (响应不能领先于激励的系统 ),h(t) 有始，
h( t -τ) | t <τ = 0,即 t ≥τ才有响应，因此积分上限取 t 。
有始信号 e( t ) 作用于 因果系统 时，零状态响应 r(t) 为：
c) 若激励信号 e( t ) 或冲激响应 h( t ) 是分段函数，则可用阶跃信号表示 e( t ) 与 h( t ) 。
dthethtetr t )()()(*)()( 0
)()()(),()()( 2010 ttththtttete设
dttthte
dthethte
)()()()(
)()()(*)(
2010
0)(,0)( 111 ttt 时即?
0)(,0)( 222 tttttt 时即
0)()( the被积函数
21 ttt 到积分限取为从由于积分上限 t - t2 不小于下限 t1，即 t - t2 ≥ t1，故 t 的范围为 t ≥ t1 + t2,将卷积结果乘以 ε( t - t2 - t1 )。
)()()()(*)( 12002
1
tttdthethte ttt
)()()()()( ttedtete
⑤ 任意信号与冲激信号的卷积即为信号本身。
冲激信号的 重现特性（ replication property）
)()()( 11 ttettte
冲激信号的 重现特性 （ replication property）
)()()( 11 ttxtttx
证明,
)()()(
)()(
)()()()(
111
1
11
ttxdtttx
dttx
dttxtttx
例
0 t
(1) (1)
-2 2
)(2 tf
0 t-2 2
A )(3 tf
0 t
A
1
)(1 tf
。响应用卷积分析法求零状态电路如图，已知例：
)(
,
2
1
,1),()(
tu
FCRtetuRC
c
t
s
)(tuc
+
- )(tus
R
C
)()1()(2
d
)(d)( 22 tete
t
tsth tt
则电路的冲激响应为：
解,先求电容电压的单位阶跃响应
V)()1()( 2 tets t
)()0()()( tfttf
：由冲激函数的筛选性质
)(2d )(d)( 2 tettsth t
)()(2
)()1(2
)(2
2
2
0
2
tee
tee
tdee
tt
tt
t
t
)(2
)()(
)()()(
)(2
0
0
tdee
dthu
thtutu
t
t
t
s
sc
)(2d )(d)(),()( 2 tettsthtetu tts
)2()1( tete tt例：求
)3(21 )( tdet t
)12()(21 tdee tt解：原式
)3(21 tde tt
)3(21 te tt
)3()3( tte t?
。求电路的零状态响应已知 )(),(3)( 2 tuteti CtS
)()1(4)( 5.2 tets t解：
)(10)()( 5.2 tedt tdsth t则例 4-10-1
)(10*)(3)(*)()( 5.22 tetethtitu ttSC
)(30 0 5.05.2 tdee tt
)(tiS
+
_CuF1.0?4
dtee t )(10)(3 )(5.22
)(
5.0
30
0
5.0
5.2 tee
t
t?
)()(60 5.22 tee tt
求电路的零状态响应。
已知 ),(3)(,)3()1()( 2 tethttete tt
dthethtetr )()()()()(解：
dtee t )(3)3()1( )(2
例 4-10-2
dtee
dtee
t
t
)(3)3(
)(3)1(
)(2
)(2
)3(3
)1(3
3
22
1
22
tdeee
tdeee
t
t
t
t
)3(3
)1(3)(
3
22
1
22
tdeee
tdeeetr
t
t
t
t
)3(3)1(3 3212 teetee tttt
)3(13)1(13 )3()1( teetee tttt
0)(0 ttt,时即?
求零状态响应例：已知 ),()(,1)( tethte t
dthethtetr )()()()()(解：
dte t )()(
t ttt eede 1)(原式
4-22
4-23
4-24 (2) (6)
作业 13,p,232
