第七章 电路的频率特性
7-1 网络函数与频率特性
7-2 RC电路的频率特性
7-3 RLC串联谐振电路
7-4 RLC并联谐振电路本章讨论正弦激励频率变化时，动态电路的特性 ——
频率特性 。通信电路中传输和处理的信号都不是单一频率的正弦信号，通常是由许多不同频率的正弦信号所组成的占有一定频带的带频信号。因此有必要研究电路在非单一频率信号作用下电路的响应与激励关系。
首先介绍在正弦稳态条件下的网络函数，然后利用网络函数研究几种典型 RC电路的频率特性，最后介绍谐振电路及其频率特性。动态电路的频率特性在电子和通信工程中得到了广泛应用，常用来实现滤波、选频、移相等功能
。
2 正弦稳态的 网络函数 —— 电路在频率为 ω 的正弦激励下,
正弦稳态响应相量与激励相量之比,记为 H(jω)。 即
7-1 电路的频率特性与网络函数
7-1-1 频率特性与网络函数的定义
1 频率特性 或频率响应 —— 电路响应随激励频率而变的特性。
)j(
)j()j(
E
RH
激励相量响应相量网络函数 H(jω)反映网络本身的特性,它取决于网络的结构和参数,与输入无关 。
3 幅频特性与相频特性
H(j?)是 ω 的复值函数
)( | )j(|)j( HH
|H(j?)|—— 响应与激励的幅值比，称作网络的 幅频特性
(?)—— 响应与激励的相位差，称作网络的 相频特性幅频特性 —— 振幅比 |H(j?)|随 ω 的变化特性相频特性 —— 相位?(?)随 ω 的变化特性可以用振幅比或相位作纵坐标，画出以频率为横坐标的曲线。这些曲线分别称为网络函数的幅频特性曲线和相频特性曲线。
策动点导纳：
7-1-2 网络函数的分类策动点函数,输入和输出属于同一端口。
策动点阻抗：
1
1)j(
I
UZ
1
1)j(
U
IY
)j(
1)j(
Y
Z?
1I?
1U
2I?
2U
N0
转移函数,输入和输出属于不同端口转移阻抗：
转移导纳：
转移电压比：
转移电流比：
1
2)j(
I
UZ
T?
1
2)j(
U
IY
T?
1
2)j(
U
UK
U?
1
2)j(
I
IK
I?
1I?
1U
2I?
2U
N0
网络函数取决于网络的结构和参数,与输入无关 。 已知网络相量模型,计算网络函数的方法是外加电源法：在输入端加一个电压源或电流源,用正弦稳态分析的任一种方法求输出相量的表达式,然后将输出相量与输入相量相比,得相应的网络函数 。
7-1-3 网络函数的计算方法例 l 试求图 (a)所示网络负载端开路时的策动点阻抗和转移阻抗 。
11 /IU
解：相量模型如图 (b)。用串并联公式得策动点阻抗
22
222
.
1
1
2j
3j1
j
1
2
j
1
j
1
CRC
RCCR
C
R
C
RR
C
I
U
12 /IU
为求转移阻抗,可外加电流源
.
1
2
.
1
2
2j1
j
j
1
2
I
RC
CR
C
R
IR
RU
求得,
RC
CR
I
U
2j1
j 2
1
2
在网络函数式中，频率 ω 是作为一个变量出现在函数式中的。
12 /IU 1I?
则：
7－ 2 RC电路的频率特性
RC串联电路,电容电压对输入电压的转移电压比为
RC
C
R
C
U
U
KH U
j1
1
j
1
j
1
)j()j(
1
2
令
τRCω
11
C
则：
)(|)j(|
j1
1
)j(
C
HH
7-2-1 RC低通网络 R
C?j
1
1U
2U
其中：
C
2
C
a r c t g)(
1
1
)j(
H
幅频和相频特性曲线，如下图所示。
当 ω=0时,0)( 1)j(H
当 ω=ωC 时,4/)( 2/1)j(H
当 ω时,2/)( 0)j(H
)j(?H
)(
1
0.707
0 ωC ω
0 ωC ω
2
4
具有低通滤波特性和移相特性，相移范围为 0° 到 -90° （滞后网络）。
截止频率,?=?C。 当?=?C
时,|H(j?C)|=0.707|H(j0)|，
又称半功率点频率 。
阻带,?>?C的范围；
通频带,振幅从最大值下降到 0.707 (或 3dB)的频率范围 —— 0 ~?C,在通频带内
，信号能顺利通过。
带宽,通频带宽度。
用途,电子设备的整流电路中滤除交流分量，或检波电路中滤除高频分量。
低通滤波例 2 已知 R1=R2=1K?,C=0.1uF,试求,
1 图示网络转移电压比；
2 定性画出幅频特性曲线；
3 通频带；
4 若正弦激励角频率 ω=10 4rad/s,有效值 10V,则输出电压的有效值 U2=?
R1
C?j
1
1U
R2
2U
解,1 转移电压比：
CRRR
R
C
RR
C
R
U
U
K U
021
2
21
2
1
2
j1
1
j
1
//
j
1
//
)j(
式中,R0= R1//R2 =0.5K?
令,ωC=1/(R0C)=2?104,
则：
C
U RR
RK
j1
1)j(
21
2
R1
C?j
1
1U
R2
2U
2 幅频特性：
代入参数，得：
221
2
)(1
1
|)j(|
C
U RR
R
K
2
4 )102(1
1
2
1|)j(|
UK
当 ω=0时，
当 ω=ωC 时，
当 ω时，
2
1|)j(|
UK
35.02121|)j(|UK
0|)j(|UK
)j(?UK1/2
0.35
0 ωC ω
3 由于所以，截止频率为 ωC
|)0j(|21|)j(| UCU KK
通频带为,0-2?104 rad/s
低通
2
4
12
)
102
(1
1
2
1
UU
4 因为代入 ω=104rad/s,U1=10V，得：
V47.4
)
2
1(1
1
2
110
2
2?
U
RC串联电路,电阻电压对输入电压的转移电压比令上式为
7-2-2 RC高通网络
RCC
R
R
U
UKH
U
j
11
1
j
1
)j()j(
1
2
τRCω
11
C
)(|)j(|
j
1
1)j(
C
HH
RC?j 1
1U
2U
a r c t g)(
1
1
|)j(| C
2
C
H其中幅频和相频特性曲线，如下图所示。
当 ω=0时，
2)( 0)j(
H
当 ω=ωC 时，
4)( 2
1)j(H
当 ω时，
0)( 1)j(H
)j(?H
)(
1
0.707
0 ωC ω
0 ωC ω
4
2
截止频率,? =?C
阻带,0 <? <?C
通频带,? >?C 高通滤波用途,电子电路中放大级间的 RC耦合电路。
带通网络
7-2-3 RC带通、带阻和全通网络
RC
R
C
RC
R
C
R
C
R
C
R
C
R
C
R
U
U
H
j1j
1
1
j1
j
1
j
1
j
1
j
1
j
1
)j(
1
2
R
R
C?j
1
1U
2U
C?j
1
转移电压比：
)1-RCj(3
1)j(
RC
H
01-RC?RC当时即 RC1,0
3
1)j(
0H
截止频率,?C1=0.3?0,
C2 =3.3?0
中心频率,?0
通频带,?C1<?<?C2
)j(?H
)(
1
3
0 ω0 ω
0 ω0 ω
2
2
带通用途,RC低通振荡器中的选频网络。
)
1
j(
4
1
1
)j(
1
2
RC
RC
U
U
H
时当 RC1,0 0)j( 0H
双 T带阻网络转移电压比：
R
2
R R
C C
2C
1U
2U
带阻网络频率特性中心频率,?0
)j(?H
)(
1
0 ω0 ω
0 ω0 ω
2
2
)(2
1
2
j1
j1
j
1
j
1
j
1
)j(
RCj a r c t g
e
RC
RC
C
R
R
C
R
C
U
U
H
R C )a r c t g (2)(
1|)j(|
H
0 ω
1 |)j(|?H
)(
相移特性全通网络转移电压比：
R
C C
R?
1U
2U
7-1
作业,p,417
7－ 3 RLC串联谐振电路
RC选频网络的频率特性随频率变化不敏锐，对信号的,通,与,阻,界限不明。若在选频网络中选用具有谐振特性的 LC网络则可使网络的选频特性大大改善
。
含有电感、电容和电阻元件的单口网络，在某些工作频率上，出现端口电压和电流波形相位相同的情况时
，称电路发生 谐振 。能发生谐振的电路，称为 谐振电路
。谐振电路在电子和通信工程中得到广泛应用。
图 (a)表示 RLC串联谐振电路,图 (b)是相量模型,由此求出驱动点阻抗为
ZZ
R
X
ar c t gXR
XR
C
LR
I
U
Z
|)j(|
j)
1
(j)j(
22
7-3-1 RLC串联谐振条件与谐振特性其中
C
L
R
C
L
C
LRZ
Z
1
X
)
1
a r c t g (
)
1
(|)j(|
22
Z
R
0 ω0 ω
X
-1
C
L
容性 电阻性 感性
X<0 X=0 X>0
当 时,?Z=0,|Z(j?)|=R,电压 u(t) 与电流
i(t) 相位相同,电路发生谐振 。 即,RLC串联电路的谐振条件为
01 ω Cω L
LC
1
0
ω0 称为 固有谐振角频率,简称谐振角频率,它由元件参数
L和 C确定 。
1 谐振条件当电路激励信号的频率与谐振频率相同时，电路发生谐振
。用频率表示的谐振条件为
LC
ff
2
1
0
RLC串联电路在谐振时的感抗和容抗在量值上相等，其值称为谐振电路的 特性阻抗,单位欧姆。即
C
L
CL 00
1
RLC串联电路发生谐振时，阻抗的电抗分量
01
0
0 CωLωX
导致
m i n00 )j( ZRZZ
即阻抗呈现纯电阻，达到最小值。电路谐振电流为
m a x
SS
0 IR
U
Z
UI
2 谐振时的电压和电流达到最大值，且与电压源电压同相。
此时电阻、电感和电容上的电压分别为
SS
0
00L0 jjj UQUR
LILU
SS
0
0
0
C0 j
1j
j
1 UQU
RCICU
其中
RRCωR
LωQ ρ1
0
0
S0R0 UIRU
称为串联谐振电路的 品质因数 。
RI0?
R0U?
L0U
C0U
X0
U?
S
U?
电路谐振时的相量图如图。
0C0L0 UU
R0SC0L0 QUQUUU
电感电压或电容电压的幅度为电压源电压幅度的 Q倍,即
C0
L0
U
U
0SR0 IUU
LC串联部分相当于 短路若 Q>>1，则 UL= UC>>US=UR，这种串联电路的谐振称为 电压谐振 。电子和通信工程中,常用串联谐振电路来放大电压信号。电力工程中则需避免发生谐振，以免因过高电压损坏电气设备。
例 3 电路如图,已知求,(l)频率?为何值时,电路发生谐振 。
(2)电路谐振时,UL0和 UC0为何值。
V c o s2)(S tωtu?
解,(l)谐振时的角频率应为
r a d / s10
1010
1
1
6
84
0
LC
(2)电路的品质因数,1 000
R
LQ?
则
V1 0 011 0 0SC0L0 QUUU
7-3-2 RLC串联 谐振电路的频率特性电流：
0
0
0
j1
1
j1
/1
1
j
1
)j(
Q
Y
RCR
L
R
C
LRU
I
Y
S
其中：
CR ωR
LωQ
0
0 1
得 串联 谐振电路的频率特性：
0
0
00 j1
1
)j(
Q
Y
Y
I
I
H?
0
0
0
j1
1
j1
/
1
j Q
I
RCR
L
RU
C
LR
U
I SS
导纳函数：
幅频特性：
2
0
0
21
1
|)j(|
Q
H
当 时，电路发生谐振,|H(j?)|=1达到最大值，说明该电路具有带通滤波特性。 LC
ωω 10
当?=0或?=?时,|H(j?)|=0；
相频特性：
0
0
)( Qa r c t g
频带宽度：
令
2
1
1
1
|)(|
2
0
0
2
Q
j ωH
10
0
Q得：
QQ
C
2
1
4
11
2
0
2,1
带宽,
L
R
QBW CC
0
12
或
Q
ffff
CC
0
12
解得下限截止频率上限截止频率
021
022
2
1
4
1
1
2
1
4
1
1
QQ
QQ
C
C
带宽与品质因数 Q成反比,Q越大，选择性越好；越小，
通带越窄，曲线越尖锐，信号越容易失真。因此对 Q值来说，
选择性与通频带是一对矛盾 。在实际应用中要两者兼顾。
不同 Q值的幅频特性曲线如下图。
Q增大，曲线变尖锐； Q减小，曲线变平缓。
例 4 欲接收载波频率为 10MHz的短波电台信号,试设计接收机输入 RLC串联 谐振电路的电感线圈 。 要求带宽
f=100kHz,C=100pF。
LCf?2
1
0?
求得：
59.1
102100
11
100
10100
1010
H53.2H
10104
1
4
1
10
0
3
6
0
101422
0
2
7
10
CQ
R
f
f
Q
Cf
L解：
例 5 RLC串联电路,
频率 f=1MHz,调电容 C,使 电 路 发 生 谐 振 。
I0=100uA,UC0=100mV。 求,电路的 R,L,C,Q及 BW
mV)2s in ()(S fttu
解：电压源的有效值,US=0.707mV
07.7101 0 0 107 0 7.0 6
3
0I
UR S
品质因数,
14 170 7.0 10 0C0
SU
UQ
带宽,k H z09.7
1 4 1
10 60
Q
fBW
Hμ1591009.728.6 07.72 1 3 BW RL?
pF15910159)1028.6( 11 6262
0
LC?
7-3-3 RLC串联 谐振的电压传输系数电阻电压的频率特性：
0
0
jQ1
1
1
j
)j(
C
LR
R
U
U
K
S
R
R?
幅频特性：
2
0
0
21
1
|)j(|
Q
K R
相频特性：
0
0
)( Qa r c t gR
与电流特性相同电容电压的频率特性：
0
0
0
jQ1
j
1
j
j
1
)j(
Q
C
LR
C
U
U
K
S
C
C?
幅频特性：
0
2
0
0
21
|)j(|?
Q
Q
K C
相频特性：
0
02
)( Qa r c t gC
电感电压的频率特性：
0
0
0
jQ1
j
1
j
j
)j(
Q
C
LR
L
K L
幅频特性：
0
2
0
0
21
|)j(|
Q
Q
K L
相频特性：
0
02
)( Qa r c t gL
|)j(|?LK
|)j(|?CK
)(L
)(C
2
Q
Q
Q
24
1
1?
ma xma x LC 0?
2
20m a x 2
11
QC
2
0
m a x
2
1
1
Q
L
实际上可近似认为,ω Cmax 和 ω Lmax 都发生在谐振频率处 。 也就是说在谐振时回路电流,电容电压,电感电压都达到最大 。
7-2
7-3
作业,p,418
图示 GCL并联电路,它与 RLC
串联谐振电路相对偶 。
)(|)j(|j)1(j)j( YYBGLCGY
7-4 RLC并联谐振电路
i
Si
L
iL
G
iG
u C
iC
7-4-1 GCL并联谐振电路串联谐振电路适用于信号源内阻比较小的情况 。 若信号源内阻很大,串联谐振电路的品质因数 Q将很低 。
驱动点导纳为
L
C
G
L
C
L
CGY
Y
1
B
)
1
a r c t a n (
)
1
(|)j(|
22
0 ω0 ω
Y
G
B
-1
L
C
感性 电阻性 容性
B<0 B=0 B>0
1 谐振条件当 时,电压 u(t)和电流 i(t)同相，电路发生谐振。因此,GCL并联电路谐振的条件是
01 ω Lω C
LC
1
0
式中?0 称为电路的 谐振角频率 。
L
C
L
BCB
0
L00C0
1
谐振时,Y(j?0)=G=1/R具有最小值，容纳和感纳为电路谐振时达到最大值，此时电阻、电感和电容中电流为
SS000C0
SS
0
0
0
L0
S0R0
jjj
jj
j
1
IQIRCUCI
IQI
L
R
U
L
I
IUGI
2 谐振时的电压和电流
m a x0 URIG
IU
S
S
SI?
L
IL?
G
IG?
C
IC?
U?
L0
C0
I
I
0SG0 UII
其中
L
CR
GL
R
G
CQ
1
0
0
谐振时电阻电流与电流源电流相等,电感电流或电容电流的幅度为电流源电流或电阻电流的 Q倍,即
SC0L0 QIII
故并联谐振又称为 电流谐振 。
称为 GCL并联谐振电路的 品质因数
LC支路相当于 开路,0
L0C0 II
电路的阻抗为
L
G
GC
G
L
CGI
U
Z
S
0
0
/1
/j1
/1
1
j
1
)j(
代入
Lω
G
G
CQ
0
0 /1
得：
0
0
0
j1
)j(
Q
Z
Z
3 GCL并联电路 的频率特性：
并联谐振电路的幅频特性曲线与串联谐振电路相同。
得：
)j(
j1
1
0
0
00
H
Q
Z
Z
U
U
频带宽度：
由于
SIZU 00?
C
G
QBW CC
0
12
例 6 GCL并联谐振电路中，已知 R=10k?,L=1H,C=1?F。
试求电路的谐振角频率、品质因数和 3dB带宽。
解：
Hz9.15Hz
2
10 0
r a d / s10 0
10
r a d / s10r a d / s
101
11
0
0
0
3
6
0
f
Q
L
C
R
L
R
CRQ
LC
驱动点阻抗为
C
Lr
C
Lr
Z
j
1
j
j
1
)j(
)j(
7-4-2 实际并联谐振电路电感线圈和电容器并联而成。
LI?
SI?
L
r
U?
C
IC?
通信电路中,r 非常小，在谐振频率附近 rL，故分子中 r
可以忽略。但分母中的 r 不能忽略。
)1j(
1
j
1j
/)j(
L
Cr
L
C
C
Lr
CLZ
驱动点导纳为
BGLCrLCZY j)1j()j( 1)j( 0
rLCG?0
其中
LrI?
SI?
L0
0
G
IG?
U? C
IC?
等效为 GCL并联谐振电路
rr
C
L
r
L
L
Cr
C
G
C
Q
LC
f
LC
00
0
0
00
2
11
定义 电感品质因数
r
LQ
L
0
则：
LQQ?
QrCrLGYRZ
2
00
00
11
并联谐振时谐振时电导、电容和等效电感上的电流分别为
S
S
S
IjQI
IjQI
II
L0
C0
G0
电感线圈中的电流为
SSS IjQIjQI
III
)1(
L0G0L0
C0I?
UII SG0
L0I L0I?
LrI?
SI?
L0
0
G
IG?
U? C
IC?
例 7 已知 R=1?,L=0.1mH,C=0.01?F。 试求电路谐振角频率和谐振时的阻抗 。
2222 )(j)(j
1j)j(
LR
LC
LR
R
LRCY?
令虚部为零，得,
0)( 22 LR LC
解：由相量模型图 (b)写出驱动点导纳求得
2
2
0
11111
QLCL
CR
LC
C
L
RQ
1?其中 是 RLC串联电路的品质因数由于 Q >>1 r a d / s10
1010
11 6
840LC?
由于?0L>>R,谐振时的阻抗
k10110 10)j( 8
4
0 CR
LωZ
驱动点阻抗虚部为零时，电路发生 串联谐振驱动点导纳虚部为零时，电路发生 并联谐振例 8 试求 C1 和 C2。 已知,L=20mH,
解,u1(t)中 3?分量在 R
上无输出,a,b相当于开路，并联谐振 。
r a d / s10,Vc o s25)(
,V)303c o s (10c o s25)(
3
2
1
ttu
tttu?
)(1 tu
a
b
)(2 tu
R
C1
C2
L
1
13
LC
Fμ56.51020)103( 1)3( 1 32321LC?
u1(t)中?分量在 R上全部输出,a-b相当于短路，串联谐振。
)(
1
21 CCL?
F4 4,4 4F56.5501 122 μμ CLC?
)(1 tu
a
b
)(2 tu
R
C1
C2
L
例 9 US=200V,f=50Hz。 （ 1） 调 ZL时发现,ILD的有效值始终保持 10A,试确定 L和 C。 （ 2） 当 ZL=11.7-j30.9?时
,求 uL(t) 。
解：（ 1）调 ZL时 ILD不变，
虚线框中等效恒流源。
SU
C
L
ZL
LU
LDI?
诺顿定理求，设, 0022
SU
SU
C
L
SCI?
输入导纳：
L
U
L
UI SS
SC
jj
CLCLY 10jj 10
AILUI LDSSC 10
所以
HfUL S 07.05020 220102
Fμ9.1 4 412 LC?
（ 2） 当 ZL=11.7-j30.9?时
SCI?
ZL
LU
LI?
1 5 9-3 3 0
69-33j 1 0
LSCL ZIU
V)1 5 9-3 1 4c o s (23 3 0)(?ttu L?
可得时域表达式
7-6
作业,p,418
7-5 电源电阻及负载对谐振的影响
7-5-1 加载回路
0
0
1,1,1
RGRGRG LLSS
总电导为：
00 ' GGGG LS
谐振阻抗：
LC
1
0
'
0
'
0
'
0
1
GRZ
SI?
RS R0 RLC L
Q
G
G
G
G
GGG
LC
L
C
G
Q
LS
LS
00
00
1
1
/
'
1
'
空载时 品质因数：
结论,加载后，品质因数比空载时下降，选择性变差，
通频带变宽。
00
/1
G
LC
L
C
GQ
加载后 品质因数：
摘 要
1．正弦稳态网络函数定义为
)(|)j(|)j( HH 输入相量输出相量网络函数反映网络本身特性，与激励电压或电流无关。已知网络函数 H(j?)，给定任意正弦输入 ui(t)=Umcos(?t+?i)，
输出正弦波为
])(c o s [|)j(|)( io tUHtu m
2．一般来说，动态电路网络函数的振幅 |H(j?)|和相位
(?)是频率 ω 的函数。据此画出的幅频特性和相频特性曲线可直观地反映出网络对不同频率正弦信号呈现的不同特性。利用这些曲线可设计出各种频率滤波器和移相器。
3,RC和 RL电路可实现低通、高通、带通等滤波特性。
二阶 RC通滤波电路及其电压转移网络函数如下：
低通 j31 1)j( 22 RCCRH 2
带通 j31 j)j( 22 RCCR RCH 2
高通 j31 )j()j( 22
2
RCCR
RCH
2
4,RLC串联电路的谐振条件是
LC
1
0
谐振时驱动点阻抗为 RZ?)j(
0?
串联谐振时，电感和电容电压的幅度相等，等于端口电压或电阻电压的 Q倍，即
R0SC0L0 QUQUUU
其中
C
L
RCRR
LQ 11
0
0
呈现纯电阻，且为最小值。
5,RLC并联电路的谐振条件是谐振时的驱动点导纳为
RGY
1)j(
0
呈现纯电阻，且为最小值 。
并联谐振时，电感和电容电流的幅度相等，等于端口电流或电阻电流的 Q倍，即
R0SC0L0 QIQIII
L
CRCR
L
RQ
0
0
其中
LC
1
0
6,RLC串联电路的转移电压比 和 RLC并联电路的转移电流比具有相同的形式
0
0
j1
1
)j(
Q
H
具有带通滤波特性。带宽为
Q
ff
Q
00 或
Q 越高，带宽越窄，曲线越尖锐，对信号的选择性越好。品质因数 Q较大时，带通滤波特性的中心频率就是电路的谐振频率，即为
LCfLC 2
1 1
00 或
7-1 网络函数与频率特性
7-2 RC电路的频率特性
7-3 RLC串联谐振电路
7-4 RLC并联谐振电路本章讨论正弦激励频率变化时，动态电路的特性 ——
频率特性 。通信电路中传输和处理的信号都不是单一频率的正弦信号，通常是由许多不同频率的正弦信号所组成的占有一定频带的带频信号。因此有必要研究电路在非单一频率信号作用下电路的响应与激励关系。
首先介绍在正弦稳态条件下的网络函数，然后利用网络函数研究几种典型 RC电路的频率特性，最后介绍谐振电路及其频率特性。动态电路的频率特性在电子和通信工程中得到了广泛应用，常用来实现滤波、选频、移相等功能
。
2 正弦稳态的 网络函数 —— 电路在频率为 ω 的正弦激励下,
正弦稳态响应相量与激励相量之比,记为 H(jω)。 即
7-1 电路的频率特性与网络函数
7-1-1 频率特性与网络函数的定义
1 频率特性 或频率响应 —— 电路响应随激励频率而变的特性。
)j(
)j()j(
E
RH
激励相量响应相量网络函数 H(jω)反映网络本身的特性,它取决于网络的结构和参数,与输入无关 。
3 幅频特性与相频特性
H(j?)是 ω 的复值函数
)( | )j(|)j( HH
|H(j?)|—— 响应与激励的幅值比，称作网络的 幅频特性
(?)—— 响应与激励的相位差，称作网络的 相频特性幅频特性 —— 振幅比 |H(j?)|随 ω 的变化特性相频特性 —— 相位?(?)随 ω 的变化特性可以用振幅比或相位作纵坐标，画出以频率为横坐标的曲线。这些曲线分别称为网络函数的幅频特性曲线和相频特性曲线。
策动点导纳：
7-1-2 网络函数的分类策动点函数,输入和输出属于同一端口。
策动点阻抗：
1
1)j(
I
UZ
1
1)j(
U
IY
)j(
1)j(
Y
Z?
1I?
1U
2I?
2U
N0
转移函数,输入和输出属于不同端口转移阻抗：
转移导纳：
转移电压比：
转移电流比：
1
2)j(
I
UZ
T?
1
2)j(
U
IY
T?
1
2)j(
U
UK
U?
1
2)j(
I
IK
I?
1I?
1U
2I?
2U
N0
网络函数取决于网络的结构和参数,与输入无关 。 已知网络相量模型,计算网络函数的方法是外加电源法：在输入端加一个电压源或电流源,用正弦稳态分析的任一种方法求输出相量的表达式,然后将输出相量与输入相量相比,得相应的网络函数 。
7-1-3 网络函数的计算方法例 l 试求图 (a)所示网络负载端开路时的策动点阻抗和转移阻抗 。
11 /IU
解：相量模型如图 (b)。用串并联公式得策动点阻抗
22
222
.
1
1
2j
3j1
j
1
2
j
1
j
1
CRC
RCCR
C
R
C
RR
C
I
U
12 /IU
为求转移阻抗,可外加电流源
.
1
2
.
1
2
2j1
j
j
1
2
I
RC
CR
C
R
IR
RU
求得,
RC
CR
I
U
2j1
j 2
1
2
在网络函数式中，频率 ω 是作为一个变量出现在函数式中的。
12 /IU 1I?
则：
7－ 2 RC电路的频率特性
RC串联电路,电容电压对输入电压的转移电压比为
RC
C
R
C
U
U
KH U
j1
1
j
1
j
1
)j()j(
1
2
令
τRCω
11
C
则：
)(|)j(|
j1
1
)j(
C
HH
7-2-1 RC低通网络 R
C?j
1
1U
2U
其中：
C
2
C
a r c t g)(
1
1
)j(
H
幅频和相频特性曲线，如下图所示。
当 ω=0时,0)( 1)j(H
当 ω=ωC 时,4/)( 2/1)j(H
当 ω时,2/)( 0)j(H
)j(?H
)(
1
0.707
0 ωC ω
0 ωC ω
2
4
具有低通滤波特性和移相特性，相移范围为 0° 到 -90° （滞后网络）。
截止频率,?=?C。 当?=?C
时,|H(j?C)|=0.707|H(j0)|，
又称半功率点频率 。
阻带,?>?C的范围；
通频带,振幅从最大值下降到 0.707 (或 3dB)的频率范围 —— 0 ~?C,在通频带内
，信号能顺利通过。
带宽,通频带宽度。
用途,电子设备的整流电路中滤除交流分量，或检波电路中滤除高频分量。
低通滤波例 2 已知 R1=R2=1K?,C=0.1uF,试求,
1 图示网络转移电压比；
2 定性画出幅频特性曲线；
3 通频带；
4 若正弦激励角频率 ω=10 4rad/s,有效值 10V,则输出电压的有效值 U2=?
R1
C?j
1
1U
R2
2U
解,1 转移电压比：
CRRR
R
C
RR
C
R
U
U
K U
021
2
21
2
1
2
j1
1
j
1
//
j
1
//
)j(
式中,R0= R1//R2 =0.5K?
令,ωC=1/(R0C)=2?104,
则：
C
U RR
RK
j1
1)j(
21
2
R1
C?j
1
1U
R2
2U
2 幅频特性：
代入参数，得：
221
2
)(1
1
|)j(|
C
U RR
R
K
2
4 )102(1
1
2
1|)j(|
UK
当 ω=0时，
当 ω=ωC 时，
当 ω时，
2
1|)j(|
UK
35.02121|)j(|UK
0|)j(|UK
)j(?UK1/2
0.35
0 ωC ω
3 由于所以，截止频率为 ωC
|)0j(|21|)j(| UCU KK
通频带为,0-2?104 rad/s
低通
2
4
12
)
102
(1
1
2
1
UU
4 因为代入 ω=104rad/s,U1=10V，得：
V47.4
)
2
1(1
1
2
110
2
2?
U
RC串联电路,电阻电压对输入电压的转移电压比令上式为
7-2-2 RC高通网络
RCC
R
R
U
UKH
U
j
11
1
j
1
)j()j(
1
2
τRCω
11
C
)(|)j(|
j
1
1)j(
C
HH
RC?j 1
1U
2U
a r c t g)(
1
1
|)j(| C
2
C
H其中幅频和相频特性曲线，如下图所示。
当 ω=0时，
2)( 0)j(
H
当 ω=ωC 时，
4)( 2
1)j(H
当 ω时，
0)( 1)j(H
)j(?H
)(
1
0.707
0 ωC ω
0 ωC ω
4
2
截止频率,? =?C
阻带,0 <? <?C
通频带,? >?C 高通滤波用途,电子电路中放大级间的 RC耦合电路。
带通网络
7-2-3 RC带通、带阻和全通网络
RC
R
C
RC
R
C
R
C
R
C
R
C
R
C
R
U
U
H
j1j
1
1
j1
j
1
j
1
j
1
j
1
j
1
)j(
1
2
R
R
C?j
1
1U
2U
C?j
1
转移电压比：
)1-RCj(3
1)j(
RC
H
01-RC?RC当时即 RC1,0
3
1)j(
0H
截止频率,?C1=0.3?0,
C2 =3.3?0
中心频率,?0
通频带,?C1<?<?C2
)j(?H
)(
1
3
0 ω0 ω
0 ω0 ω
2
2
带通用途,RC低通振荡器中的选频网络。
)
1
j(
4
1
1
)j(
1
2
RC
RC
U
U
H
时当 RC1,0 0)j( 0H
双 T带阻网络转移电压比：
R
2
R R
C C
2C
1U
2U
带阻网络频率特性中心频率,?0
)j(?H
)(
1
0 ω0 ω
0 ω0 ω
2
2
)(2
1
2
j1
j1
j
1
j
1
j
1
)j(
RCj a r c t g
e
RC
RC
C
R
R
C
R
C
U
U
H
R C )a r c t g (2)(
1|)j(|
H
0 ω
1 |)j(|?H
)(
相移特性全通网络转移电压比：
R
C C
R?
1U
2U
7-1
作业,p,417
7－ 3 RLC串联谐振电路
RC选频网络的频率特性随频率变化不敏锐，对信号的,通,与,阻,界限不明。若在选频网络中选用具有谐振特性的 LC网络则可使网络的选频特性大大改善
。
含有电感、电容和电阻元件的单口网络，在某些工作频率上，出现端口电压和电流波形相位相同的情况时
，称电路发生 谐振 。能发生谐振的电路，称为 谐振电路
。谐振电路在电子和通信工程中得到广泛应用。
图 (a)表示 RLC串联谐振电路,图 (b)是相量模型,由此求出驱动点阻抗为
ZZ
R
X
ar c t gXR
XR
C
LR
I
U
Z
|)j(|
j)
1
(j)j(
22
7-3-1 RLC串联谐振条件与谐振特性其中
C
L
R
C
L
C
LRZ
Z
1
X
)
1
a r c t g (
)
1
(|)j(|
22
Z
R
0 ω0 ω
X
-1
C
L
容性 电阻性 感性
X<0 X=0 X>0
当 时,?Z=0,|Z(j?)|=R,电压 u(t) 与电流
i(t) 相位相同,电路发生谐振 。 即,RLC串联电路的谐振条件为
01 ω Cω L
LC
1
0
ω0 称为 固有谐振角频率,简称谐振角频率,它由元件参数
L和 C确定 。
1 谐振条件当电路激励信号的频率与谐振频率相同时，电路发生谐振
。用频率表示的谐振条件为
LC
ff
2
1
0
RLC串联电路在谐振时的感抗和容抗在量值上相等，其值称为谐振电路的 特性阻抗,单位欧姆。即
C
L
CL 00
1
RLC串联电路发生谐振时，阻抗的电抗分量
01
0
0 CωLωX
导致
m i n00 )j( ZRZZ
即阻抗呈现纯电阻，达到最小值。电路谐振电流为
m a x
SS
0 IR
U
Z
UI
2 谐振时的电压和电流达到最大值，且与电压源电压同相。
此时电阻、电感和电容上的电压分别为
SS
0
00L0 jjj UQUR
LILU
SS
0
0
0
C0 j
1j
j
1 UQU
RCICU
其中
RRCωR
LωQ ρ1
0
0
S0R0 UIRU
称为串联谐振电路的 品质因数 。
RI0?
R0U?
L0U
C0U
X0
U?
S
U?
电路谐振时的相量图如图。
0C0L0 UU
R0SC0L0 QUQUUU
电感电压或电容电压的幅度为电压源电压幅度的 Q倍,即
C0
L0
U
U
0SR0 IUU
LC串联部分相当于 短路若 Q>>1，则 UL= UC>>US=UR，这种串联电路的谐振称为 电压谐振 。电子和通信工程中,常用串联谐振电路来放大电压信号。电力工程中则需避免发生谐振，以免因过高电压损坏电气设备。
例 3 电路如图,已知求,(l)频率?为何值时,电路发生谐振 。
(2)电路谐振时,UL0和 UC0为何值。
V c o s2)(S tωtu?
解,(l)谐振时的角频率应为
r a d / s10
1010
1
1
6
84
0
LC
(2)电路的品质因数,1 000
R
LQ?
则
V1 0 011 0 0SC0L0 QUUU
7-3-2 RLC串联 谐振电路的频率特性电流：
0
0
0
j1
1
j1
/1
1
j
1
)j(
Q
Y
RCR
L
R
C
LRU
I
Y
S
其中：
CR ωR
LωQ
0
0 1
得 串联 谐振电路的频率特性：
0
0
00 j1
1
)j(
Q
Y
Y
I
I
H?
0
0
0
j1
1
j1
/
1
j Q
I
RCR
L
RU
C
LR
U
I SS
导纳函数：
幅频特性：
2
0
0
21
1
|)j(|
Q
H
当 时，电路发生谐振,|H(j?)|=1达到最大值，说明该电路具有带通滤波特性。 LC
ωω 10
当?=0或?=?时,|H(j?)|=0；
相频特性：
0
0
)( Qa r c t g
频带宽度：
令
2
1
1
1
|)(|
2
0
0
2
Q
j ωH
10
0
Q得：
C
2
1
4
11
2
0
2,1
带宽,
L
R
QBW CC
0
12
或
Q
ffff
CC
0
12
解得下限截止频率上限截止频率
021
022
2
1
4
1
1
2
1
4
1
1
C
C
带宽与品质因数 Q成反比,Q越大，选择性越好；越小，
通带越窄，曲线越尖锐，信号越容易失真。因此对 Q值来说，
选择性与通频带是一对矛盾 。在实际应用中要两者兼顾。
不同 Q值的幅频特性曲线如下图。
Q增大，曲线变尖锐； Q减小，曲线变平缓。
例 4 欲接收载波频率为 10MHz的短波电台信号,试设计接收机输入 RLC串联 谐振电路的电感线圈 。 要求带宽
f=100kHz,C=100pF。
LCf?2
1
0?
求得：
59.1
102100
11
100
10100
1010
H53.2H
10104
1
4
1
10
0
3
6
0
101422
0
2
7
10
CQ
R
f
f
Q
Cf
L解：
例 5 RLC串联电路,
频率 f=1MHz,调电容 C,使 电 路 发 生 谐 振 。
I0=100uA,UC0=100mV。 求,电路的 R,L,C,Q及 BW
mV)2s in ()(S fttu
解：电压源的有效值,US=0.707mV
07.7101 0 0 107 0 7.0 6
3
0I
UR S
品质因数,
14 170 7.0 10 0C0
SU
UQ
带宽,k H z09.7
1 4 1
10 60
Q
fBW
Hμ1591009.728.6 07.72 1 3 BW RL?
pF15910159)1028.6( 11 6262
0
LC?
7-3-3 RLC串联 谐振的电压传输系数电阻电压的频率特性：
0
0
jQ1
1
1
j
)j(
C
LR
R
U
U
K
S
R
R?
幅频特性：
2
0
0
21
1
|)j(|
Q
K R
相频特性：
0
0
)( Qa r c t gR
与电流特性相同电容电压的频率特性：
0
0
0
jQ1
j
1
j
j
1
)j(
Q
C
LR
C
U
U
K
S
C
C?
幅频特性：
0
2
0
0
21
|)j(|?
Q
Q
K C
相频特性：
0
02
)( Qa r c t gC
电感电压的频率特性：
0
0
0
jQ1
j
1
j
j
)j(
Q
C
LR
L
K L
幅频特性：
0
2
0
0
21
|)j(|
Q
Q
K L
相频特性：
0
02
)( Qa r c t gL
|)j(|?LK
|)j(|?CK
)(L
)(C
2
Q
Q
Q
24
1
1?
ma xma x LC 0?
2
20m a x 2
11
QC
2
0
m a x
2
1
1
Q
L
实际上可近似认为,ω Cmax 和 ω Lmax 都发生在谐振频率处 。 也就是说在谐振时回路电流,电容电压,电感电压都达到最大 。
7-2
7-3
作业,p,418
图示 GCL并联电路,它与 RLC
串联谐振电路相对偶 。
)(|)j(|j)1(j)j( YYBGLCGY
7-4 RLC并联谐振电路
i
Si
L
iL
G
iG
u C
iC
7-4-1 GCL并联谐振电路串联谐振电路适用于信号源内阻比较小的情况 。 若信号源内阻很大,串联谐振电路的品质因数 Q将很低 。
驱动点导纳为
L
C
G
L
C
L
CGY
Y
1
B
)
1
a r c t a n (
)
1
(|)j(|
22
0 ω0 ω
Y
G
B
-1
L
C
感性 电阻性 容性
B<0 B=0 B>0
1 谐振条件当 时,电压 u(t)和电流 i(t)同相，电路发生谐振。因此,GCL并联电路谐振的条件是
01 ω Lω C
LC
1
0
式中?0 称为电路的 谐振角频率 。
L
C
L
BCB
0
L00C0
1
谐振时,Y(j?0)=G=1/R具有最小值，容纳和感纳为电路谐振时达到最大值，此时电阻、电感和电容中电流为
SS000C0
SS
0
0
0
L0
S0R0
jjj
jj
j
1
IQIRCUCI
IQI
L
R
U
L
I
IUGI
2 谐振时的电压和电流
m a x0 URIG
IU
S
S
SI?
L
IL?
G
IG?
C
IC?
U?
L0
C0
I
I
0SG0 UII
其中
L
CR
GL
R
G
CQ
1
0
0
谐振时电阻电流与电流源电流相等,电感电流或电容电流的幅度为电流源电流或电阻电流的 Q倍,即
SC0L0 QIII
故并联谐振又称为 电流谐振 。
称为 GCL并联谐振电路的 品质因数
LC支路相当于 开路,0
L0C0 II
电路的阻抗为
L
G
GC
G
L
CGI
U
Z
S
0
0
/1
/j1
/1
1
j
1
)j(
代入
Lω
G
G
CQ
0
0 /1
得：
0
0
0
j1
)j(
Q
Z
Z
3 GCL并联电路 的频率特性：
并联谐振电路的幅频特性曲线与串联谐振电路相同。
得：
)j(
j1
1
0
0
00
H
Q
Z
Z
U
U
频带宽度：
由于
SIZU 00?
C
G
QBW CC
0
12
例 6 GCL并联谐振电路中，已知 R=10k?,L=1H,C=1?F。
试求电路的谐振角频率、品质因数和 3dB带宽。
解：
Hz9.15Hz
2
10 0
r a d / s10 0
10
r a d / s10r a d / s
101
11
0
0
0
3
6
0
f
Q
L
C
R
L
R
CRQ
LC
驱动点阻抗为
C
Lr
C
Lr
Z
j
1
j
j
1
)j(
)j(
7-4-2 实际并联谐振电路电感线圈和电容器并联而成。
LI?
SI?
L
r
U?
C
IC?
通信电路中,r 非常小，在谐振频率附近 rL，故分子中 r
可以忽略。但分母中的 r 不能忽略。
)1j(
1
j
1j
/)j(
L
Cr
L
C
C
Lr
CLZ
驱动点导纳为
BGLCrLCZY j)1j()j( 1)j( 0
rLCG?0
其中
LrI?
SI?
L0
0
G
IG?
U? C
IC?
等效为 GCL并联谐振电路
rr
C
L
r
L
L
Cr
C
G
C
Q
LC
f
LC
00
0
0
00
2
11
定义 电感品质因数
r
LQ
L
0
则：
LQQ?
QrCrLGYRZ
2
00
00
11
并联谐振时谐振时电导、电容和等效电感上的电流分别为
S
S
S
IjQI
IjQI
II
L0
C0
G0
电感线圈中的电流为
SSS IjQIjQI
III
)1(
L0G0L0
C0I?
UII SG0
L0I L0I?
LrI?
SI?
L0
0
G
IG?
U? C
IC?
例 7 已知 R=1?,L=0.1mH,C=0.01?F。 试求电路谐振角频率和谐振时的阻抗 。
2222 )(j)(j
1j)j(
LR
LC
LR
R
LRCY?
令虚部为零，得,
0)( 22 LR LC
解：由相量模型图 (b)写出驱动点导纳求得
2
2
0
11111
QLCL
CR
LC
C
L
RQ
1?其中 是 RLC串联电路的品质因数由于 Q >>1 r a d / s10
1010
11 6
840LC?
由于?0L>>R,谐振时的阻抗
k10110 10)j( 8
4
0 CR
LωZ
驱动点阻抗虚部为零时，电路发生 串联谐振驱动点导纳虚部为零时，电路发生 并联谐振例 8 试求 C1 和 C2。 已知,L=20mH,
解,u1(t)中 3?分量在 R
上无输出,a,b相当于开路，并联谐振 。
r a d / s10,Vc o s25)(
,V)303c o s (10c o s25)(
3
2
1
ttu
tttu?
)(1 tu
a
b
)(2 tu
R
C1
C2
L
1
13
LC
Fμ56.51020)103( 1)3( 1 32321LC?
u1(t)中?分量在 R上全部输出,a-b相当于短路，串联谐振。
)(
1
21 CCL?
F4 4,4 4F56.5501 122 μμ CLC?
)(1 tu
a
b
)(2 tu
R
C1
C2
L
例 9 US=200V,f=50Hz。 （ 1） 调 ZL时发现,ILD的有效值始终保持 10A,试确定 L和 C。 （ 2） 当 ZL=11.7-j30.9?时
,求 uL(t) 。
解：（ 1）调 ZL时 ILD不变，
虚线框中等效恒流源。
SU
C
L
ZL
LU
LDI?
诺顿定理求，设, 0022
SU
SU
C
L
SCI?
输入导纳：
L
U
L
UI SS
SC
jj
CLCLY 10jj 10
AILUI LDSSC 10
所以
HfUL S 07.05020 220102
Fμ9.1 4 412 LC?
（ 2） 当 ZL=11.7-j30.9?时
SCI?
ZL
LU
LI?
1 5 9-3 3 0
69-33j 1 0
LSCL ZIU
V)1 5 9-3 1 4c o s (23 3 0)(?ttu L?
可得时域表达式
7-6
作业,p,418
7-5 电源电阻及负载对谐振的影响
7-5-1 加载回路
0
0
1,1,1
RGRGRG LLSS
总电导为：
00 ' GGGG LS
谐振阻抗：
LC
1
0
'
0
'
0
'
0
1
GRZ
SI?
RS R0 RLC L
Q
G
G
G
G
GGG
LC
L
C
G
Q
LS
LS
00
00
1
1
/
'
1
'
空载时 品质因数：
结论,加载后，品质因数比空载时下降，选择性变差，
通频带变宽。
00
/1
G
LC
L
C
GQ
加载后 品质因数：
摘 要
1．正弦稳态网络函数定义为
)(|)j(|)j( HH 输入相量输出相量网络函数反映网络本身特性，与激励电压或电流无关。已知网络函数 H(j?)，给定任意正弦输入 ui(t)=Umcos(?t+?i)，
输出正弦波为
])(c o s [|)j(|)( io tUHtu m
2．一般来说，动态电路网络函数的振幅 |H(j?)|和相位
(?)是频率 ω 的函数。据此画出的幅频特性和相频特性曲线可直观地反映出网络对不同频率正弦信号呈现的不同特性。利用这些曲线可设计出各种频率滤波器和移相器。
3,RC和 RL电路可实现低通、高通、带通等滤波特性。
二阶 RC通滤波电路及其电压转移网络函数如下：
低通 j31 1)j( 22 RCCRH 2
带通 j31 j)j( 22 RCCR RCH 2
高通 j31 )j()j( 22
2
RCCR
RCH
2
4,RLC串联电路的谐振条件是
LC
1
0
谐振时驱动点阻抗为 RZ?)j(
0?
串联谐振时，电感和电容电压的幅度相等，等于端口电压或电阻电压的 Q倍，即
R0SC0L0 QUQUUU
其中
C
L
RCRR
LQ 11
0
0
呈现纯电阻，且为最小值。
5,RLC并联电路的谐振条件是谐振时的驱动点导纳为
RGY
1)j(
0
呈现纯电阻，且为最小值 。
并联谐振时，电感和电容电流的幅度相等，等于端口电流或电阻电流的 Q倍，即
R0SC0L0 QIQIII
L
CRCR
L
RQ
0
0
其中
LC
1
0
6,RLC串联电路的转移电压比 和 RLC并联电路的转移电流比具有相同的形式
0
0
j1
1
)j(
Q
H
具有带通滤波特性。带宽为
Q
ff
Q
00 或
Q 越高，带宽越窄，曲线越尖锐，对信号的选择性越好。品质因数 Q较大时，带通滤波特性的中心频率就是电路的谐振频率，即为
LCfLC 2
1 1
00 或
