第四章 一阶、二阶电路的时域分析
4－ 1 一阶电路的零输入响应
4－ 2 一阶电路的零状态响应
4－ 3 一阶电路的全响应
4－ 4 一阶电路的三要素法、初始值计算
4－ 5 一阶电路在阶跃激励下的响应
4－ 9 电路的冲激响应
4－ 10 电路在任意激励下的响应 —— 卷积积分电阻电路 ——
静态、即时，激励响应 VCR为代数方程,响应仅由激励引起，与过去和即将出现的激励情况无关动态电路 ——
动态、过渡过程，激励响应 VCR为微分方程,响应与激励的全部历史有关动态元件 ——
电感、电容一阶电路 ——
包含一个动态元件的电路，其激励响应关系可用一阶常系数线性微分方程来描述。
电容元件
+ u(t) -
+ q(t) -i(t)
线性电容 —— 特性曲线是通过坐标原点一条直线，否则为非线性电容。
时 不 变 —— 特性曲线不随时间变化，否则为时变电容元件。
u
q 斜率为 C
线性时不变电容的特性符号和特性曲线：
)()( tCutq?
电容元件的电压电流关系
t
uC
t
Cu
t
qti
d
d
d
)(d
d
d)(
1 动态元件
2 惯性元件
3 记忆元件
4 储能元件
t diCtu )(1)(
ttt diCdiC
0
0 )(1)(1
tt diCtu 0 )(1)( 0
)( 21)( 2C tuCtW?
线性电感 —— 特性曲线是通过坐标原点一条直线，否则为非线性。
时 不 变 —— 特性曲线不随时间变化，否则为时变电感元件。
符号和特性曲线：
i
斜率为 L
线性时不变电感的特性+ -
(t)i(t) L
u (t)
电感元件
)()( tLit
电感元件的电压电流关系
t
iL
t
Li
ttu d
d
d
)(d
d
d)(
1 动态元件
2 惯性元件
3 记忆元件
4 储能元件
t duLti )(1)(
ttt duLduL 00 )(1)(1
tt duLti 0 )(1)( 0
)( 21)( 2L tiLtW?
电阻,电容和电感是三种最基本的电路元件 。 它们是用两个电路变量之间的关系来定义的：电压和电流间存在确定关系的元件是电阻元件；电荷和电压间存在确定关系的元件是电容元件；磁链和电流间存在确定关系的元件是电感元件 。 这些关系从下图可以清楚看到 。
t
t
tu
t
tq
ti
d
)(d
)(
d
)(d
)(
ψ
四个基本变量间定义的另外两个关系是四个基本电路变量之间的关系图换路定则及初始值计算换路,电路元件连接方式或参数的突然改变
+
uS
-
+
uC(0)
-
R
C
t = 0
换路前瞬间 换路刚完毕
t = 0- t = 0+
uC(0-),iL(0-) uC(0 +),iL(0 +)
初始状态 初始值状态：电容电压和电感电流换路定则,
1 若电容中电流不为无穷大，则电容电压不会跳变，即,
uC(0 +) ＝ uC(0 -)
2 若电感中电压不为无穷大，则电感电流不会跳变，即,
iL(0 +) ＝ i L(0 -)
说明,
a) 只适合 uC和 iL,它们是联系换路前后的唯一纽带，
其他变量会跳变
b) 实质是电荷守恒，磁链守恒元 件 电 容 电 感数学式 uC(0 +)= uC(0 -) iL(0 +)=i L(0 -)
qC(0 +)= qC(0 -)?L(0+)=? L(0 -)
等效图
t=0-
t=0+
+ uC(0-)=U0 -
C
+ U0 -
应用条件 iC有限 uL有限
L
iL(0-)=I0
I0
初始值的计算
1 求换路前初始状态 uC(0－ ) 及 iL(0－ )
2 由换路定则，求 uC(0+ ) 及 iL(0+ )
３ 画 t =0+时的等效电路 —— 电容用电压等于 uC(0+ )的电压源替代；电感用 iL(0+ ) 的电流源替代
４ 求待求电压和电流的初始值例 开关闭合已久,求电容初始值 uC(0+)
解：由于开关闭合已久，由直流电源驱动的电路中，各电压电流均为不随时间变化的恒定值，造成电容电流等于零
，电容相当于开路。得 t = 0－ 等效图开关断开时，在电阻 R2
和 R3不为零的情况下，
电容电流为有限值，电容电压不能跃变，即：
S
21
2
CC )0()0( URR
Ruu
+
uC(0-)
-
+
US
-
R1
R2
R3
t=0－ 等效图
S
21
2C )0( U
RR
Ru
4-1 一阶电路的零输入响应一阶电路,由一阶微分方程描述的电路零输入响应,电路没有外加激励（外激励为零）,仅由动态元件初始状态（内激励）引起的响应。
N
+
u
-
L
i
iSC
G0
+
u
-L
i
N
+
u
-
C
i
C
i
+
uoc
-
R0
+
u
-
定性分析开关转换前,电容电压已经达到 U0。 换路后如图 (b)所示 。 由换路定则得
0CC )0()0( Uuu
4-1-1 RC电路的零输入响应
0CR uu
由电阻和电容的 VCR得：
t
uRCRiRiu
d
d C
CRR
代入上式得以下方程
)0(0dd CC tutuRC
这是一个一阶常系数线性齐次微分方程。其通解为
tsKtu e)(C?
+
uC
-
R
C
+
uR
-
iR
iC
(b)
由 KVL得：
定量分析
01RCs
特征根：
RCs
1－?
s 称为电路的 固有频率 。
于是电容电压变为 RCtKtu e)(
C
上式中 K是一个常量，可由初始条件确定。
当 t=0+ 时上式变为
KKu tRC
t
0C |e)0(
根据初始条件
0C )0( Uu
求得特征方程：
0UK?
)0( e )()(
)0(e
d
d
)(
)0( e)(
0
CR
0C
C
0C
t
R
U
titi
t
R
U
t
u
Cti
tUtu
RC
t
RC
t
RC
t
各电压电流均以相同的指数规律变化，变化的快慢取决于 R
和 C的乘积。令?=RC,? 具有时间的量纲，故称它为 RC电路的 时间常数 。
最后得到图 (b)电路的零输入响应为电压 uc的变化与时间常数?的关系 。
t 0? 2? 3? 4? 5?
uc(t) U0 0.368U0 0.135U0 0.050U0 0.018U0 0.007U0
由于波形衰减很快，实际上只要经过 4～ 5?的时间，响应已衰减到初始值的 2%以下，因此可以认为放电（瞬态）
过程基本结束。
RC电路零输入响应的波形曲线有跳变和 )()( CR titi
时间常数在曲线上的意义
,切线与横轴交点（切距）
0? a a+? t
U0
0.368U0
uC(t)
衰减到原来值 36.8?所需的时间
0
0
C
0C
d
d
e
d
d
U
t
u
uU
t
u
t
C
t
电阻在电容放电过程中消耗的总能量：
0 0 20202RR 21d)e(d)( CUtRRUtRtiW RC t＝
结果表明：电容在放电过程中释放的能量全部 转换为 电阻消耗的能量。
当? = RC 变大时，电容放电过程会加长，因为增加电容 C，
就增加电容的初始储能；若增加电阻 R，放电电流就减小。
反之，时间常数小，则放电快。
例 已知 uC(0-)=6V。求 t>0的电容电压解：在开关闭合瞬间，电容电压不能跃变，则
V6)0()0( CC uu
连接于电容两端的电阻等效为
k10k)3//68(oR
因此
)0(Ve6e)( 20 0C tUtu t
t
如果还要计算电容中的电流 iC(t)，则
mAe6.0e)20(6105d )(d)( 20206C ttC t tuCti
s05.0105
1051010
2
63
0
CR?
开关连接于 1端已很久，电感中的电流等于 I0,换路后的电路如图 (b)。在开关转换瞬间，由于电感电压有界，电感电流不能跃变，即 iL(0+)= iL(0-)= I0 (换路定则 )
4-1-2 RL电路的零输入响应定性分析列方程,
t
iLRi L
d
d
L
得到以下微分方程
0
L
L
)0(
00
d
d
Ii
ti
t
i
R
L
L
微分方程的通解为 )0(e)(
L
tKti tLR
Luu?R
代元件 VCR，得定量分析代入初始条件 iL(0+)=I0 求得,0IK?
最后得到电感电流和电感电压为
)0(
d
d
)(
)0( ee)(
τ
0
0
L
L
τ
0
0L
teRIeRI
t
i
Ltu
tIIti
t
t
L
R
t
t
L
R
其中?=L/R 具有时间的量纲，称它为 RL电路的 时间常数 。
其波形如下图。结果表明,RL电路零输入响应也是按指数规律衰减，衰减的快慢取决于时间常数? 。
例 开关 S1连 1端已很久,t=0时 S1倒向 2端，开关 S2也同时闭合。求 t?0时的 iL(t)和 uL(t)。
解,换路瞬间，电感电压有界，电感电流不能跃变，故
A1.0)0()0( LL ii
图 (b)电路的时间常数为
1 m ss102 0 02.0 3＝＝ RL?
电感电流和电感电压为
)0(V20
Ve101.02.0
d
d
)(
)0(mAe1.0e)(
0010
00103L
L
1000τ
0L
te
t
i
Ltu
tIti
t
t
t
t
一阶电路零输入响应 —— 各电压电流均从其初始值开始
，按照指数规律衰减到零，一般表达式为
0,e)0()( τ trtr
t
iziz
4-1-3 一阶电路零输入响应的一般公式
rzi(t)—— 一阶电路任意需求的零输入响应
rzi(0+)—— 响应的初始值
—— 时间常数，由换路后电路的结构参数决定零输入响应是电路的 固有响应 或 自然响应零输入线性,零输入响应大小与电路的初始状态成正比例 已知 iL(0-)=1.5A,L=0.5H,求 i1(t)和 uL(t)。
解,1.由换路定则，得：
A5.1)0()0( LL ii
- 4i1 +
+
uL
-
L
iL i
1
5? 10?
2,画 0+图，求初始值 i1(0+)
和 uL(0+)。
+
uL ( 0+ )
-
- 4i1 ( 0+ ) +
i1 ( 0+ )
5? 10?
1.5A
网孔法,得：
Ai
i
5.0)0(
05.15)0()105(
1
1
即：
Viiu 3)0(10)0(4)0( 11L
3,求 时间常数 τ,先求等效电阻，用 加压求流 法
- 4i1 +
+
u
-
i1
5? 10?
i
ii
iiiu
105
5
6104
1
111
消去 i1得, 22
eq i
uRiu 即：
所以
sRL 412 5.0
0,Ae5.0)( 4 1 tti t
0,e)0()( τ trtr
t
iziz
4,将初始值和时间常数代入下式得结果
0,Ve3)( 4 ttu tL
作业 8,p,224
4-1 (a) (c)
4-4 (1)
4-5 (2)
4-2 一阶电路的零状态响应零状态响应,电路的初始状态为零，仅由独立电源
(称为外激励或输入 )引起的响应。
本节仅讨论一阶电路在直流激励下的零状态响应图示电路中的电容原来未充电,uC(0-)=0。 换路时
,由于电容电流有界,电容 电 压 不 会 跃 变,
uC(0+)=uC(0-)=0
4-2-1 RC电路的零状态响应
iC
C
R
+
-
uC
+
-
US
t=0
以电容电压为变量，列微分方程
0,dd SCC tUutuRC
这是一个 一阶常系数线性非齐次微分方程 。其解由两部分组成，即
)()()( CpChC tututu
iC
C
R
+
-
uC
+
-
US
换路后如右图
uCh(t)是与齐次微分方程相应的通解，其形式与零输入响应相同，即
)0(ee)( Ch tKKtu RC
t
st
uCp(t)是非齐次微分方程的特解 。 一般来说,它的形式与输入函数相同 。 对于直流激励的电路,它是一个常数,令
Atu?)(Cp
将它代入微分方程，求得
SUA?
因而完全解为
0e)( S C tUKtu RC
t
式中的常数 K由初始条件确定。
SUK
UKu
得：
0)0( SC
从而可得 RC电路零状态响应为
)0()e1()e1()( τ SC tUUtu tSRC t
)0(eedd)( τ S SCC tRURUtuCti
t
RC
t
波形图
SUUu 6 3 2.0)e1()( 1 SC
图 (a)电路换路前已稳定，即 iL(0-)=0。 t = 0 时开关由 a倒向 b
，如图 (b)。由于电感电压有界时，电感电流不能跃变，即
iL(0+) = iL(0-) = 0。因此是零状态问题。
4-2-2 RL电路的零状态响应对图 (b)电路列 KCL方程
)0(dd SLL tIitiRL
这是一个一阶常系数线性非齐次微分方程。其解与 RC电路相似，即
S
S
LpLhL
ee
)()()(
IKIK
tititi
t
t
L
R
=L/R是该电路的时间常数。
常数 K由初始条件确定，即由下式
SIKIKii 即0)0()0( SLL
+
uL
-
L
iL
iR
R
IS
(b)
最后得 RL一阶电路的零状态响应为
)0(ee
d
d
)(
)0( )e1()e1()(
S
S
L
L
SL
tRIRI
t
i
Ltu
tIIti
t
t
L
R
t
S
t
L
R
波形曲线
uL(t)
0.632IS
直流激励下零状态电路的动态过程是动态元件的充电过程。一般表达式为
0),e1)(()( τ tutu
t
CsCz
4-2-3 一阶电路零状态响应的一般公式
uCzS(?),iLzS(?)—— 稳态值或终值
τ —— 时间常数，决定 零状态响应变化的快慢
0),e1)(()( τ titi
t
LL z s
在直流稳态下，电容相当于开路、电感相当于短路，于是 RC或 RL电路可以化为一个电阻电路的求解问题。
通解由激励引起，响应形式与激励无关，反映电路自身特性
—— 固有响应分量 或 自然响应分量 。
特解受激励形式制约，与激励形式相同 —— 强制响应分量 。
直流激励的一阶电路，特解就是 t时的电容电压，即
uCp(t)= uC(?) —— 稳态响应分量 。
有耗电路,t时 固有响应 分量趋于 0 —— 暂态响应分量
。电路到达稳态前实际只有 4~5τ时间 —— 过渡过程 。
稳态时只有 稳态响应分量,暂态时既有 稳态分量 又有 暂态分量 。
零状态线性 —— 激励增大 K倍，各响应也激励增大 K倍。
若激励有多个，则响应定是每个激励所产生的分响应的代数和。
例 图 (a)电路原已稳定，求 t?0的 uC(t),iC(t)及 i1(t)。
解,先求等效戴维南电路，得图 (b)，其中
V1 2 011 2 0ocU 300180120oR
当电路达到新的稳定状态时，电容相当开路，可得
V120)( ocC Uu
)0(Ae4.0
d
d
)(
)0(V)e1(120)e1()(
4
4
10
3
1
C
C
10
3
1
τ
ocC
t
t
u
Cti
tUtu
t
t
t
图 (a)用 KCL可 得
)0(A,)e4.01()()(
410
3
1
CS1
ttiIti
t
s30010310300 46o sCR
例 图 (a)电路原已稳定，求 t?0的电感电流和电感电压。
解：换路后如图 (b)，开关闭合瞬间电感电压有界，电感电流不能跃变，即
0)0()0( LL ii
将图 (b)用诺顿等效电路代替，得到图 (c)电路。求得时间常数为
sRL 05.08 4.0
o
+
uL
-8?
iL
0.4H
1.5A
(c)
a
b
)0(V12ee205.14.0
d
d
)(
)0(A)e1(5.1)(
2020
20
L
t
t
i
Ltu
tti
ttL
L
t
因此例 图 (a)为一继电器延时电路模型。继电器参数：
R=100?,L=4H，当线圈电流达到 6mA时，继电器动作，将触头接通。从开关闭合到触头接通时间称为延时时间。为改变延时时间，在电路中串联一个电位器，阻值从零到
900? 间变化。若 US=12V，试求电位器电阻值变化所引起的延时时间的变化范围,
解,开关闭合前，电路处于零状态,iL(0-)=0。由换路定则得,iL(0+)=iL(0-)=0。用图 (b)所示诺顿等效电路代替
，其中
oW
sc
Wo
R
U
RR
U
I
RRR
SS?
电感电流的表达式为
)e1()( τ
o
S
L
t
R
Uti
设 t0为延时时间，
则有
mA6)e1()( τ
o
S
0L
0
t
R
Uti
由此求得
S
0Lo
0
)(1lnτ
U
tiRt
当 Rw=0?时,?=0.04s
ms05.2
12
1061001n04.0 3
0
lt
当 Rw=900?时,?=0.004s
ms77.2
12
1061 0 0 01n004.0 3
0
lt
作业 9,p,227
4-6 (2)
4－ 1 一阶电路的零输入响应
4－ 2 一阶电路的零状态响应
4－ 3 一阶电路的全响应
4－ 4 一阶电路的三要素法、初始值计算
4－ 5 一阶电路在阶跃激励下的响应
4－ 9 电路的冲激响应
4－ 10 电路在任意激励下的响应 —— 卷积积分电阻电路 ——
静态、即时，激励响应 VCR为代数方程,响应仅由激励引起，与过去和即将出现的激励情况无关动态电路 ——
动态、过渡过程，激励响应 VCR为微分方程,响应与激励的全部历史有关动态元件 ——
电感、电容一阶电路 ——
包含一个动态元件的电路，其激励响应关系可用一阶常系数线性微分方程来描述。
电容元件
+ u(t) -
+ q(t) -i(t)
线性电容 —— 特性曲线是通过坐标原点一条直线，否则为非线性电容。
时 不 变 —— 特性曲线不随时间变化，否则为时变电容元件。
u
q 斜率为 C
线性时不变电容的特性符号和特性曲线：
)()( tCutq?
电容元件的电压电流关系
t
uC
t
Cu
t
qti
d
d
d
)(d
d
d)(
1 动态元件
2 惯性元件
3 记忆元件
4 储能元件
t diCtu )(1)(
ttt diCdiC
0
0 )(1)(1
tt diCtu 0 )(1)( 0
)( 21)( 2C tuCtW?
线性电感 —— 特性曲线是通过坐标原点一条直线，否则为非线性。
时 不 变 —— 特性曲线不随时间变化，否则为时变电感元件。
符号和特性曲线：
i
斜率为 L
线性时不变电感的特性+ -
(t)i(t) L
u (t)
电感元件
)()( tLit
电感元件的电压电流关系
t
iL
t
Li
ttu d
d
d
)(d
d
d)(
1 动态元件
2 惯性元件
3 记忆元件
4 储能元件
t duLti )(1)(
ttt duLduL 00 )(1)(1
tt duLti 0 )(1)( 0
)( 21)( 2L tiLtW?
电阻,电容和电感是三种最基本的电路元件 。 它们是用两个电路变量之间的关系来定义的：电压和电流间存在确定关系的元件是电阻元件；电荷和电压间存在确定关系的元件是电容元件；磁链和电流间存在确定关系的元件是电感元件 。 这些关系从下图可以清楚看到 。
t
t
tu
t
tq
ti
d
)(d
)(
d
)(d
)(
ψ
四个基本变量间定义的另外两个关系是四个基本电路变量之间的关系图换路定则及初始值计算换路,电路元件连接方式或参数的突然改变
+
uS
-
+
uC(0)
-
R
C
t = 0
换路前瞬间 换路刚完毕
t = 0- t = 0+
uC(0-),iL(0-) uC(0 +),iL(0 +)
初始状态 初始值状态：电容电压和电感电流换路定则,
1 若电容中电流不为无穷大，则电容电压不会跳变，即,
uC(0 +) ＝ uC(0 -)
2 若电感中电压不为无穷大，则电感电流不会跳变，即,
iL(0 +) ＝ i L(0 -)
说明,
a) 只适合 uC和 iL,它们是联系换路前后的唯一纽带，
其他变量会跳变
b) 实质是电荷守恒，磁链守恒元 件 电 容 电 感数学式 uC(0 +)= uC(0 -) iL(0 +)=i L(0 -)
qC(0 +)= qC(0 -)?L(0+)=? L(0 -)
等效图
t=0-
t=0+
+ uC(0-)=U0 -
C
+ U0 -
应用条件 iC有限 uL有限
L
iL(0-)=I0
I0
初始值的计算
1 求换路前初始状态 uC(0－ ) 及 iL(0－ )
2 由换路定则，求 uC(0+ ) 及 iL(0+ )
３ 画 t =0+时的等效电路 —— 电容用电压等于 uC(0+ )的电压源替代；电感用 iL(0+ ) 的电流源替代
４ 求待求电压和电流的初始值例 开关闭合已久,求电容初始值 uC(0+)
解：由于开关闭合已久，由直流电源驱动的电路中，各电压电流均为不随时间变化的恒定值，造成电容电流等于零
，电容相当于开路。得 t = 0－ 等效图开关断开时，在电阻 R2
和 R3不为零的情况下，
电容电流为有限值，电容电压不能跃变，即：
S
21
2
CC )0()0( URR
Ruu
+
uC(0-)
-
+
US
-
R1
R2
R3
t=0－ 等效图
S
21
2C )0( U
RR
Ru
4-1 一阶电路的零输入响应一阶电路,由一阶微分方程描述的电路零输入响应,电路没有外加激励（外激励为零）,仅由动态元件初始状态（内激励）引起的响应。
N
+
u
-
L
i
iSC
G0
+
u
-L
i
N
+
u
-
C
i
C
i
+
uoc
-
R0
+
u
-
定性分析开关转换前,电容电压已经达到 U0。 换路后如图 (b)所示 。 由换路定则得
0CC )0()0( Uuu
4-1-1 RC电路的零输入响应
0CR uu
由电阻和电容的 VCR得：
t
uRCRiRiu
d
d C
CRR
代入上式得以下方程
)0(0dd CC tutuRC
这是一个一阶常系数线性齐次微分方程。其通解为
tsKtu e)(C?
+
uC
-
R
C
+
uR
-
iR
iC
(b)
由 KVL得：
定量分析
01RCs
特征根：
RCs
1－?
s 称为电路的 固有频率 。
于是电容电压变为 RCtKtu e)(
C
上式中 K是一个常量，可由初始条件确定。
当 t=0+ 时上式变为
KKu tRC
t
0C |e)0(
根据初始条件
0C )0( Uu
求得特征方程：
0UK?
)0( e )()(
)0(e
d
d
)(
)0( e)(
0
CR
0C
C
0C
t
R
U
titi
t
R
U
t
u
Cti
tUtu
RC
t
RC
t
RC
t
各电压电流均以相同的指数规律变化，变化的快慢取决于 R
和 C的乘积。令?=RC,? 具有时间的量纲，故称它为 RC电路的 时间常数 。
最后得到图 (b)电路的零输入响应为电压 uc的变化与时间常数?的关系 。
t 0? 2? 3? 4? 5?
uc(t) U0 0.368U0 0.135U0 0.050U0 0.018U0 0.007U0
由于波形衰减很快，实际上只要经过 4～ 5?的时间，响应已衰减到初始值的 2%以下，因此可以认为放电（瞬态）
过程基本结束。
RC电路零输入响应的波形曲线有跳变和 )()( CR titi
时间常数在曲线上的意义
,切线与横轴交点（切距）
0? a a+? t
U0
0.368U0
uC(t)
衰减到原来值 36.8?所需的时间
0
0
C
0C
d
d
e
d
d
U
t
u
uU
t
u
t
C
t
电阻在电容放电过程中消耗的总能量：
0 0 20202RR 21d)e(d)( CUtRRUtRtiW RC t＝
结果表明：电容在放电过程中释放的能量全部 转换为 电阻消耗的能量。
当? = RC 变大时，电容放电过程会加长，因为增加电容 C，
就增加电容的初始储能；若增加电阻 R，放电电流就减小。
反之，时间常数小，则放电快。
例 已知 uC(0-)=6V。求 t>0的电容电压解：在开关闭合瞬间，电容电压不能跃变，则
V6)0()0( CC uu
连接于电容两端的电阻等效为
k10k)3//68(oR
因此
)0(Ve6e)( 20 0C tUtu t
t
如果还要计算电容中的电流 iC(t)，则
mAe6.0e)20(6105d )(d)( 20206C ttC t tuCti
s05.0105
1051010
2
63
0
CR?
开关连接于 1端已很久，电感中的电流等于 I0,换路后的电路如图 (b)。在开关转换瞬间，由于电感电压有界，电感电流不能跃变，即 iL(0+)= iL(0-)= I0 (换路定则 )
4-1-2 RL电路的零输入响应定性分析列方程,
t
iLRi L
d
d
L
得到以下微分方程
0
L
L
)0(
00
d
d
Ii
ti
t
i
R
L
L
微分方程的通解为 )0(e)(
L
tKti tLR
Luu?R
代元件 VCR，得定量分析代入初始条件 iL(0+)=I0 求得,0IK?
最后得到电感电流和电感电压为
)0(
d
d
)(
)0( ee)(
τ
0
0
L
L
τ
0
0L
teRIeRI
t
i
Ltu
tIIti
t
t
L
R
t
t
L
R
其中?=L/R 具有时间的量纲，称它为 RL电路的 时间常数 。
其波形如下图。结果表明,RL电路零输入响应也是按指数规律衰减，衰减的快慢取决于时间常数? 。
例 开关 S1连 1端已很久,t=0时 S1倒向 2端，开关 S2也同时闭合。求 t?0时的 iL(t)和 uL(t)。
解,换路瞬间，电感电压有界，电感电流不能跃变，故
A1.0)0()0( LL ii
图 (b)电路的时间常数为
1 m ss102 0 02.0 3＝＝ RL?
电感电流和电感电压为
)0(V20
Ve101.02.0
d
d
)(
)0(mAe1.0e)(
0010
00103L
L
1000τ
0L
te
t
i
Ltu
tIti
t
t
t
t
一阶电路零输入响应 —— 各电压电流均从其初始值开始
，按照指数规律衰减到零，一般表达式为
0,e)0()( τ trtr
t
iziz
4-1-3 一阶电路零输入响应的一般公式
rzi(t)—— 一阶电路任意需求的零输入响应
rzi(0+)—— 响应的初始值
—— 时间常数，由换路后电路的结构参数决定零输入响应是电路的 固有响应 或 自然响应零输入线性,零输入响应大小与电路的初始状态成正比例 已知 iL(0-)=1.5A,L=0.5H,求 i1(t)和 uL(t)。
解,1.由换路定则，得：
A5.1)0()0( LL ii
- 4i1 +
+
uL
-
L
iL i
1
5? 10?
2,画 0+图，求初始值 i1(0+)
和 uL(0+)。
+
uL ( 0+ )
-
- 4i1 ( 0+ ) +
i1 ( 0+ )
5? 10?
1.5A
网孔法,得：
Ai
i
5.0)0(
05.15)0()105(
1
1
即：
Viiu 3)0(10)0(4)0( 11L
3,求 时间常数 τ,先求等效电阻，用 加压求流 法
- 4i1 +
+
u
-
i1
5? 10?
i
ii
iiiu
105
5
6104
1
111
消去 i1得, 22
eq i
uRiu 即：
所以
sRL 412 5.0
0,Ae5.0)( 4 1 tti t
0,e)0()( τ trtr
t
iziz
4,将初始值和时间常数代入下式得结果
0,Ve3)( 4 ttu tL
作业 8,p,224
4-1 (a) (c)
4-4 (1)
4-5 (2)
4-2 一阶电路的零状态响应零状态响应,电路的初始状态为零，仅由独立电源
(称为外激励或输入 )引起的响应。
本节仅讨论一阶电路在直流激励下的零状态响应图示电路中的电容原来未充电,uC(0-)=0。 换路时
,由于电容电流有界,电容 电 压 不 会 跃 变,
uC(0+)=uC(0-)=0
4-2-1 RC电路的零状态响应
iC
C
R
+
-
uC
+
-
US
t=0
以电容电压为变量，列微分方程
0,dd SCC tUutuRC
这是一个 一阶常系数线性非齐次微分方程 。其解由两部分组成，即
)()()( CpChC tututu
iC
C
R
+
-
uC
+
-
US
换路后如右图
uCh(t)是与齐次微分方程相应的通解，其形式与零输入响应相同，即
)0(ee)( Ch tKKtu RC
t
st
uCp(t)是非齐次微分方程的特解 。 一般来说,它的形式与输入函数相同 。 对于直流激励的电路,它是一个常数,令
Atu?)(Cp
将它代入微分方程，求得
SUA?
因而完全解为
0e)( S C tUKtu RC
t
式中的常数 K由初始条件确定。
SUK
UKu
得：
0)0( SC
从而可得 RC电路零状态响应为
)0()e1()e1()( τ SC tUUtu tSRC t
)0(eedd)( τ S SCC tRURUtuCti
t
RC
t
波形图
SUUu 6 3 2.0)e1()( 1 SC
图 (a)电路换路前已稳定，即 iL(0-)=0。 t = 0 时开关由 a倒向 b
，如图 (b)。由于电感电压有界时，电感电流不能跃变，即
iL(0+) = iL(0-) = 0。因此是零状态问题。
4-2-2 RL电路的零状态响应对图 (b)电路列 KCL方程
)0(dd SLL tIitiRL
这是一个一阶常系数线性非齐次微分方程。其解与 RC电路相似，即
S
S
LpLhL
ee
)()()(
IKIK
tititi
t
t
L
R
=L/R是该电路的时间常数。
常数 K由初始条件确定，即由下式
SIKIKii 即0)0()0( SLL
+
uL
-
L
iL
iR
R
IS
(b)
最后得 RL一阶电路的零状态响应为
)0(ee
d
d
)(
)0( )e1()e1()(
S
S
L
L
SL
tRIRI
t
i
Ltu
tIIti
t
t
L
R
t
S
t
L
R
波形曲线
uL(t)
0.632IS
直流激励下零状态电路的动态过程是动态元件的充电过程。一般表达式为
0),e1)(()( τ tutu
t
CsCz
4-2-3 一阶电路零状态响应的一般公式
uCzS(?),iLzS(?)—— 稳态值或终值
τ —— 时间常数，决定 零状态响应变化的快慢
0),e1)(()( τ titi
t
LL z s
在直流稳态下，电容相当于开路、电感相当于短路，于是 RC或 RL电路可以化为一个电阻电路的求解问题。
通解由激励引起，响应形式与激励无关，反映电路自身特性
—— 固有响应分量 或 自然响应分量 。
特解受激励形式制约，与激励形式相同 —— 强制响应分量 。
直流激励的一阶电路，特解就是 t时的电容电压，即
uCp(t)= uC(?) —— 稳态响应分量 。
有耗电路,t时 固有响应 分量趋于 0 —— 暂态响应分量
。电路到达稳态前实际只有 4~5τ时间 —— 过渡过程 。
稳态时只有 稳态响应分量,暂态时既有 稳态分量 又有 暂态分量 。
零状态线性 —— 激励增大 K倍，各响应也激励增大 K倍。
若激励有多个，则响应定是每个激励所产生的分响应的代数和。
例 图 (a)电路原已稳定，求 t?0的 uC(t),iC(t)及 i1(t)。
解,先求等效戴维南电路，得图 (b)，其中
V1 2 011 2 0ocU 300180120oR
当电路达到新的稳定状态时，电容相当开路，可得
V120)( ocC Uu
)0(Ae4.0
d
d
)(
)0(V)e1(120)e1()(
4
4
10
3
1
C
C
10
3
1
τ
ocC
t
t
u
Cti
tUtu
t
t
t
图 (a)用 KCL可 得
)0(A,)e4.01()()(
410
3
1
CS1
ttiIti
t
s30010310300 46o sCR
例 图 (a)电路原已稳定，求 t?0的电感电流和电感电压。
解：换路后如图 (b)，开关闭合瞬间电感电压有界，电感电流不能跃变，即
0)0()0( LL ii
将图 (b)用诺顿等效电路代替，得到图 (c)电路。求得时间常数为
sRL 05.08 4.0
o
+
uL
-8?
iL
0.4H
1.5A
(c)
a
b
)0(V12ee205.14.0
d
d
)(
)0(A)e1(5.1)(
2020
20
L
t
t
i
Ltu
tti
ttL
L
t
因此例 图 (a)为一继电器延时电路模型。继电器参数：
R=100?,L=4H，当线圈电流达到 6mA时，继电器动作，将触头接通。从开关闭合到触头接通时间称为延时时间。为改变延时时间，在电路中串联一个电位器，阻值从零到
900? 间变化。若 US=12V，试求电位器电阻值变化所引起的延时时间的变化范围,
解,开关闭合前，电路处于零状态,iL(0-)=0。由换路定则得,iL(0+)=iL(0-)=0。用图 (b)所示诺顿等效电路代替
，其中
oW
sc
Wo
R
U
RR
U
I
RRR
SS?
电感电流的表达式为
)e1()( τ
o
S
L
t
R
Uti
设 t0为延时时间，
则有
mA6)e1()( τ
o
S
0L
0
t
R
Uti
由此求得
S
0Lo
0
)(1lnτ
U
tiRt
当 Rw=0?时,?=0.04s
ms05.2
12
1061001n04.0 3
0
lt
当 Rw=900?时,?=0.004s
ms77.2
12
1061 0 0 01n004.0 3
0
lt
作业 9,p,227
4-6 (2)
