第八章 傅里叶分析信号分析就是研究信号如何表示为各分量的叠加，并从信号分量的组成情况去考察信号的特性。
时域分析法 频谱分析
8-1 周期信号的频谱分析狄里赫勒条件：
1。在一个周期内只有有限个极大值和极小值；
2。在一个周期内只有有限个间断点；
3。在一个周期内绝对可积。
8-1-1 周期信号傅里叶级数的三角形式
)s inc o s()(
1
000?
n
nn tnbtnaatf
其中
),3,2,1(s in)(2 0 nt d tntfTb
Tn
为积分区间开始，取一个周期表示从任意起始点称傅里叶系数，和为谐波频率，为基波频率，
Tdt
ban
T
T
nn
][
2
00?
T dttfTa )(10
),3,2,1(c o s)(2 0 nt d tntfTa
Tn
一个无穷无尽的周期信号 f(t)，周期为 T，若满足 狄里赫勒条件,则可展开为下列三角形式的傅里叶级数：
a) 对称性信号波形的对称性与傅里叶系数之间的关系为：
只有常数项和余弦项。则偶函数若,0,),()()1( nbtftf
0]s in)(s in)([2 0
2
0
0
2
0 TT t d tntft d tntfT
t d tntfTb Tn 0s in)(2?
20 00
2
0 ]s in)(s in)([
2 T
T t d tntft d tntfT
])()s in ()(s in)([2 2
0 0
0
2
0
T
T tdtntft d tntfT
20 0c o s)(4
T
t d tntfT?
t d tntfTa Tn 0c o s)(2?
20 00
2
0 ]c o s)(c o s)([
2 T
T t d tntft d tntfT
]c o s)()()c o s ()([2 2
0 0
0
2
0
T
T t d tntftdtntfT
]c o s)(c o s)([2 20 020 0
TT
t d tntft d tntfT
20 00 c o s)(4
T
t d tntfTa?类似地只有正弦项。若为奇函数，,0),()()2( 0 naatftf
只有偶次谐波项。若为偶半波对称,),()2()3( tfTtf
20 0s in)(4
T
n t d tntfTb?
0
4T 2T
T
t
)(3 tf
只有奇次谐波项。若为奇半波对称,),()2()4( tfTtf
2T
T
2T?
)(4 tf
t
b) 傅里叶谱
)c o s (s inc o s 000 nnnn tnAtnbtna因为所以，傅氏级数又可写成
1
00 )c o s ()(
n
nn tnAAtf
)0()(
22
00
n
a
b
ar c t g
baA
aA
n
n
n
nnn
其中直流分量 n 次谐波分量任何满足狄里赫勒条件的周期信号可以分解为直流分量（频率为零）和一系列的正弦分量之和。
1
00 )c o s ()(
n
nn tnAAtf
)3c o s ()2c o s ()c o s ( 3032021010 tAtAtAA
上式中：
第一项是常数项，它是周期信号中所包含的直流分量；
第二项为信号的 基波 或 一次谐波 ；
第三项为信号的 二次谐波 ；
以下依次类推 ……
结论：
理论上：无限多项
1
00 )c o s ()(
n
nn tnAAtf
实际计算：取有限项所取项数越多，合成波形越接近原信号。
例,424页图 8-1-1：用 n次谐波合成逼近周期方波低频分量：决定波形轮廓高频分量：体现波形细节项和余弦项。是偶函数，故只含常数解,)( tf
2
2
0 )(
1)(1?
dttfTdttfTa T
T
AA d t
T
2
0
2
A
2
2
T
)(tf
t
0?nb
200
2
)(1)(1
dttfTdttfT
例,试求如图所示的周期矩形脉冲信号的三角形傅里叶级数，
绘出其频谱图。,,2,1 TA若
)2s in (2)2s in (4 00
0
n
n
An
Tn
A
t d tnAT 2
0 0
c o s4
1
0
0 c o s)
2s in (
2)(
n
tnnn ATAtf
t d tntfTa Tn 0c o s)(2?
t d tntfTt d tntfT
2
0 0
0
2
0 c o s)(
2c o s)(2?
,,2,1 TA若
,11,7,3
2
,9,5,1
2
0
)
2
s in (
2
n
n
n
n
n
n
n
a
n
为偶数
,21,1 00 a?
0?nb
)7c o s715c o s513c o s31( c o s221)( tttttf?
,11,7,3
,11,7,30
2
0
210
n
n
nn
n
A
A
nn
为奇数为偶数
nA
0.5?2
3
2
5
2
1 2 3 4 5?0
1 2 3 4 5
n?
0
解,先将含有相同频率的正弦项与余弦项合并为一个余弦项，
试画出其振幅谱和相位谱
)1507c o s ()303s in (22s in42c o s32)( tttttf
例,一个周期信号可表示为且所有项都表示为带正振幅的余弦项。
)303c os ()1801507c os ()1507c os (
)603c os ()90303c os ()303s in (
)13.532c os (52s in42c os3
ttt
ttt
ttt
)307c o s ()603c o s (2)13.532c o s (52)( ttttf
)307c o s ()603c o s (2)13.532c o s (52)( ttttf
0 1 2 3 4 5 6 7
30
13.53
60
n?
nA5
0 1 2 3 4 5 6 7?
12
确定信号的基频和周期任意的频率的正弦量之和是否可以表示为一个周期信号，该信号的周期是多少？
由于周期函数中每一个正弦分量的频率均为基频的整数倍，
因此，任意两个频率之比为 m/n，其中 m和 n为整数，这意味着当 m/n为有理数时，则这两个正弦量呈现了谐波性。
)67c o s (5)32c o s (32)()1( 211 tttf例：
次谐波。具有，基频的最小公倍数是为周期信号。其周期故为有理数，解：
7,4)(
6
1
12
2
,12,)(
4
7
,
7
12
6
7
2
,3
3
2
2
10
211
2
1
21
tf
TTTtf
T
T
TT
)s in (5)2c o s (2)()2( 212 tttf
不是周期信号。为无理数，故解,)(2,2,2
2
1
21 tfT
TTT
)26c o s (7)23c o s (3)()3( 213 tttf
次谐波。，具有
，基频为是周期信号，周期为故为有理数，解：
21)(
,23
23
2
)(
2,
26
2
,
23
2
3
3
2
1
21
tf
tf
T
T
TT
n
tjn
n eFtf
0)(?
T tjnn dtetfTF 0)(1?
任意周期信号 f(t)可分解为许多不同频率的虚指数信号之和，其各分量的复数振幅为 Fn (傅里叶复系数 ))(
0tjne?
nnnn FAFAF,,2
1
00
8-1-2 周期信号傅里叶级数的指数形式指数形傅氏级数与三角形傅氏级数比较：
指数形傅氏级数公式紧凑，其傅里叶系数表达式十分简便。在求线性系统的响应时，输入信号表示为指数信号时好算些，因为对虚指数信号作微分和积分运算均好算，在信号的频谱分析和线性系统中大多采用指数形傅里叶级数。但是
，三角形傅里叶级数也有优点，它比较直观，易于从概念上理解。
)(21 nnn jbaF
例 8-1-1 求周期锯齿波 f(t)的傅氏级数的三角形式与指数形式
t
2
T
0
2
1
)(tf
T
2
1?
2
T?
解,周期锯齿波在一个周期内的表达式为
T
ttf?)(
1。将 f(t) 展开成傅氏级数的三角形式
t
2
T
0
2
1
)(tf
T
2
1?
2
T?
f(t) 奇函数
2
2
0s in)(
2 T
Tn t d tntfTb?
00 naa
2
2
0s in
2 T
T t d tnT
t
T
2
0 0
s in4
T
t d tnTtT?
n
n 1)1(
)s inc o s()(
1
000?
n
nn tnbtnaatf
1
0s in
n
n tnb
1
0
1
s in)1(
n
n
tnn
)4s i n413s i n312s i n21( s i n1 0000 tttt
2。将 f(t) 展开成傅氏级数的指数形式
t
2
T
0
2
1
)(tf
T
2
1?
2
T?
000 aF
nbj 2
1
nj
n
2
)1( 1
tjn
n
n eFtf
0)(
)(21 nnn jbaF
dtetfTF tjn
T
Tn
02
2
)(1
dteTtT tjn
T
T
02
2
1
nj
n
2
)1( 1
tjn
n
n
enj 02 )1(
1
也可以直接求得：nF
例 8-1-2 求周期矩形脉冲信号 f(t) 的傅氏级数的三角形式与指数形式。设脉冲高度 A，宽度 τ，周期 T。
解,周期矩形脉冲在一个周期内的表达式为
2
||0
2
||
)(
t
tA
tf
A
2
2
T
)(tf
t-T
2
2
0 )(
1)(1?
dttfTdttfTa T
T
AA d t
T
2
0
2
0?nb
200
2
)(1)(1
dttfTdttfT
1。将 f(t) 展开成傅氏级数的三角形式
f(t) 偶函数，故只含有直流项和余弦项
)2s in (2)2s in (4 00
0
n
n
An
Tn
A
t d tnAT 2
0 0
c o s4
1
0
0 c o s)
2s in (
2)(
n
tnnn ATAtf
t d tntfTa Tn 0c o s)(2?
t d tntfTt d tntfT
2
0 0
0
2
0 c o s)(
2c o s)(2?
2。将 f(t) 展开成傅氏级数的指数形式
T
AaF
00
na2
1?
)(21 nnn jbaF
)2s in ( 0 nnA?
)2s in (lim 0
0
n
n
A
n?
)2c o s (2lim 00
0
nA
n
T
A
可统一表示为nF? )
2s in (
0
n
n
AF
n?
tjn
n
n eFtf
0)(
tjn
n
a e
nS
T
A 0)
2(
0
也可写成为nF
)2s in ( 0 nnAF n?
)
2
(
)
2
s in (
0
0
n
n
T
A
定义：
x
xxS
a
s in)(? 为 抽样函数 或滤波函数
)2( 0 nSTA a?
)(xSa
x2
1
0
如图所示，
若以频率 (角频率 )为横坐标，以各谐波振幅 |Fn |或 An为纵坐标作出的图形称为 幅度频谱 或 振幅谱 。它直观地表示出信号所含各谐波分量振幅的相对大小。
图中每条竖线代表该频率分量的振幅，称为 谱线 。连接各谱线顶点的曲线称为 包络线,它反映了各分量振幅变化的情况。
nA
1A
2A
0?
05?
8-1-3 周期信号的频谱为了把周期信号具有的频率分量和各分量的特征形象地表示出来，往往采用 频谱图 的表示法。
类似地可作出各谐波初相角与频率的谱线图，称为 相位谱 。两者合称 频谱图 。
0?
n?
1?
2?
由于指数形傅里叶谱在正负频率处均存在，故它又叫 双边谱,
三角形傅里叶谱又叫 单边谱 。
例,433页图 8-1-5,频谱图单边谱与双边谱的关系：
nnnn FAFAF,,2
1
00
1 振幅谱：直流分量一样，双边谱振幅是单边谱振幅的一半。
2 相位谱两者一样。
3 双边振幅谱偶对称，相位谱奇对称。
由于周期矩形脉冲信号在频谱分析中具有十分重要的意义，因此下面进一步加以研究，以此说明周期信号频谱的特点。
8-1-4 周期矩形脉冲的频谱周期矩形脉冲在一个周期内的表达式及其傅里叶复系数为
2
||0
2
||
)(
t
tA
tf
A
2
2
T
)(tf
t-T
)2( 0 nSTAF an?
|| nF
0? 0?n05?
T
A?
0
0?
n?
0?n0
2
2?
0)2( 0nS a在幅度频谱的零点上有
6,4,20n谐波角频率为则在幅度频谱的零点的
|| nF
0? 0?n
T
A?
0
2
2?
或为实数，其相位为本例中 0nF
一般而言，信号的频谱需要用振幅谱和相位谱两个图形才能完全表示出来，但如果频谱函数是实函数或虚函数，那么只用一条曲线即可。
周期信号频谱的特点：
1,离散性频谱由不连续的线条组成，每一条线代表一个正弦分量，这样的频谱称为不连续频谱或离散频谱
2,谐波性每条谱线只能出现在基波频率的整数倍的频率上，频谱中不可能存在任何频率为基波频率非整数倍的分量
3,收敛性各次谐波的振幅，总的趋势是随着谐波次数的增高而逐渐减小的。随着重复周期的增大，信号频谱相应地渐趋密集，频谱幅度也渐趋减小。
周期信号的 频带宽度,
理论上，周期信号的谐波分量是无限多的。
实际工作中，只要考虑次数较低的一部分分量。
从零频率开始到需要考虑的最高分量的频率间的这一频率范围，
是信号所占有的频带宽度，简称 频宽 。
实用中，对于包络线为抽样函数的频谱，常常把 从零频率开始到频谱包络线第一次过零点 的那个频率之间的频带作为信号的频带宽度。
T当 频谱的谱线无限密集，频谱振幅无限趋小，这时，周期信号已经向非周期信号转化。
nF
1/4
2424? 0
)2( SaT
对于一般的频谱，也常以从零频率开始到频谱振幅降为包络线最大值的 1/10的频率之间的频带定义为信号的频带宽度。
τ 减小，频宽加大，当 τ → 0时，频宽也无限趋大，此时信号能量就不再集中在低频分量中，而均匀分布于零到无限大的全频段。
8-1 (a)
8-3
作业,p,500
边谱。，试画出其单边谱和双例：已知 tttf 3c o ss in1)(
)3c o s ()2c o s (1)( tttf解：
据此可画出单边谱
0 1 2 3?
2
n?
单边相位谱
nA
0 1 2 3
1
单边幅度谱
tttf 3c o ss in1)(
)3c o s ()2c o s (1 tt
][
2
1][
2
11 )3()3()2()2( tjtjtjtj eeee
][
2
1][
2
11 3322 tjjtjjjtjjtj eeeeeeee
0 1 2 3
1
-1-3
nF
2 3
2
nF?
-3 -2
0 1 2 3
1
-1-3
nFnc
0 1 2 3
1
0 2 3?
2
n?
单边谱
2 3
2
nF?
-3 -2
双边谱例：如图所示为单位冲激序列
k
T kTtt )()(
求其傅里叶级数与频谱
0 T 2T t
)(tT?
(1)
0? 02?
T
1n
F
T
dtet
T
dtet
T
F
T
T
tjn
T
T
tjn
Tn
1)(1)(1 2
2
2
2
00
解：
TeTeFt n
tjntjn
n
nT
21)(
000
例：已知某周期信号三角形傅里叶级数的傅里叶谱图如图所示
，试求出该信号的时域表达式，并画出信号的指数形傅氏级数的傅里叶谱图。
0 3 6 9 12?
nc
2
0 3 6 9 12n?16
)49c o s (4)26c o s (8)43c o s (1216)( ttttf解：
0 3 6 9 12?
nF16
8
0 3 6 9 12?
nc
2
0 3 6 9 12n?16
2
0 3 6 9 12n
F?
8-2 傅里叶变换的极限可以认为是周期信号非周期信号 )()( tftf T
tdetfTF
T
T
tjn
Tn
2
2
0)(1?
的量表明这种差别。
，引入新它们的相对值仍有差别但它们不是同样大小，
然都是无穷小量，，各频率分量的振幅虽时,0 nFT
)()(lim tftf TT
n
tjn
nT eFtf
0)(?
dtetfTFjF
T
T
tjn
TTnT
2
2
0)(limlim)(
)()(,)()(
,00
FjFdtetfjF
ndT
tj 也记为时，当
频谱函数。的频谱密度函数，简称称为所以，
的量，是具有单位频带的振幅因为
)()(
2limlim)(
0
tfjF
FTFjF nn
T
dtetfFdtetfF tjtj )()(,)()( 则由于
)()()( FFtf 为实信号，有若
)()(
)(
)()()(
)()(
jj
j
eFeFF
eFF
则
，因此，若的奇函数是的偶函数，而是可见, )()(F
n
tjn
nTTT eFtftf
0lim)(lim)(?同时，
dedtetftf
d
TndT
tjtj ])([
2
1
)(
22
,,
0
00
积分，求和时，当振幅谱偶对称,相位谱奇对称
n
tjntjn
T
T TT edtetfT
00 ])(1[lim 2
2
dtetfjF tj )()(
以上两式称为 傅里叶变换对
)]([)()],([)( 1 FtftfF FF记为非周期信号进行傅里叶变换也要满足一定的条件，即
dttf )(
此条件是充分条件
)()(?Ftf?
dejFtf tj)(21)(
正变换反变换例：求如图所示单个矩形脉冲的频谱
)()(?tA re c ttf?A
t2?2
解：据傅里叶变换的定义有
2
2
s in
)( 22
Aee
j
A jj
)2(SaA?
dtetfF tj )()(
2
2
2
2
j
eAdteA tjtj
)(?F
2
2?
A
之间的关系傅里叶复系数与相应的周期信号的非周期信号的频谱密度
nF
F )(?
0
0
)(
lim)(
n
n
nnT
T
F
F
TFF
)
2
(
)(
)
2
()(
0
0
n
Sa
T
A
T
F
F
SaAF
n
n
则周期矩形脉冲所以，若矩形脉冲的虚奇函数。是的实奇函数，则其是 )()( Fttf
奇偶函数的傅里叶变换有它们的特点，如：
的实偶函数，有是的实奇函数是的实奇函数，则是证明：若
tttf
tttfttf
s in)(
c o s)()(
的虚奇函数是 0 s in)(2 t d ttfj
dtetfF tj )()(
t d ttfjttf s in)(c o s)(
t d ttfj?s in)(
8-2-2 常用信号的傅里叶变换
1,矩形脉冲
)2()( SaAF?
)2()( SaAF?幅度频谱
A )(tf
t
2
2
2
0
2)(
t
tAt
A r e c t
A
2
2?
)(?F
矩形脉冲的有效带宽
2
)()( teAtf t
2,单边指数脉冲
dtetAedtetfF tjttj )()()(
j
A
j
AedteA tjtj
0
)(
0
)(
)(
22
)(
AF幅度频谱
a r c t g)(相位频谱
3,单位冲激信号
1
)()(
0
t
tj
tj
e
dtett
4,正负号信号
01
01)(
t
ttSgn
)]()([lim)( 0 tetetSgn tt
t
)(tSgn
0
1
-1
)(?F
0
1
j
j 22lim
220
][lim)( 00
0
dteedteetSgn tjttjt
]11[lim
0 jj?
)]()([lim)( 0 tetetSgn tt
5,双边指数脉冲
0)( tAetf
j
A
j
A
6,三角形脉冲
t
t
t
AtAtf
0
)1()
2
()(
)2(?tA?
t0
A
dteeAF tjt)(
dteeAdteeA tjttjt 00
)2()2(s in4 222 SaAA
dtetfF tj )()(
t d ttfjttf s in)(c o s)(
是实偶函数，故由于此处 )( tf
00 c o s)1(2c o s)(2 t d ttAt d ttf
00 c o s2c o s2 t d ttAt d tA
0 )( s in2s in2 ttdAA
A
2
2?
)(?F
)(.7 0 te tj?指数信号
)()(),()( 00 FetfFtf tj则若
)(2,1)( 00 tjetf令
)(c o ss in.8 00 ttt 和余弦信号正弦信号
)(2),(2 00 00 tjtj ee?
)]()([c o s 000 t
)(2 1s in)(21c o s 0000 00 tjtjtjtj eejteet
)]()([s in 000 jt
22
0
00
00
00
000
)]()([
2
)(2
1
)(2
1
)]()([
2
]
1
)([)]()([
2
1
)(c o s
j
jj
j
tt
类似地
22
0
0
000 )]()([2)(s in
jtt
8-7 (a) (d)
8-8 (1) (3)
8-9 (1) (2)
作业,p,502
8-3 傅里叶变换的性质一、线性为常数。、则若
babFaFtbftaf
FtfFtf
),()()()(
)()(),()(
2121
2211
二、对称性
)(2)()()( ftFFtf 则若正变换反变换
dtetfjF
dejFtf
tj
tj
)()(
)(
2
1
)(
dxexF
xdeFtf
j x t
tj
)(
)()(2
)()(
)()(2
tFdtetF
txdxexFf
tj
jx
)()()( fftf为偶函数，则若
)(2)()()( ftFFtf 则所以有：若
deFtf tj)(2 1)(证明, deFtf tj)()(2
)(?F
22?
A
)(tF
22?
A
t
)(?tArect
t
2
2
0
A
)(2A rect
2
2
0
A?2
)()(?tA r e c ttf?如,)
2()(
SaAF
)2()( tSaAtF? )(2)(2 A r e c tf
例,求常数 A的傅里叶变换
)(2
)(21
1)(
AA
t
线性由对称性解：
的傅里叶变换例：求 )( t?
jt
1)()(
)(2121)( tSgnt解：
)(?F
2?2
A?2
)(
2
0
2
2
)(
),()(
tf
A
F
Ftf
试求例：已知
)
2
()(
)(2)(2)
2
(2
)
2
(2)(
t
SaAF
FF
t
SaA
SaAtF
解：
三、时移性
0)()(),()( 0 tjeFttfFtf 则若
00
0
)()(
)(,
)()(
)(
0
00
tjxjtj
txj
tj
eFdxexfe
dxexfttx
dtettfttf
则上式令义证明：由傅氏变换的定
0
0
t
t
化了不会变化，但相位谱变秒，其振幅谱中延时了上式表明，信号在时域
)()(?Ftf 的频谱例：求三矩形脉冲信号
2?2
)(tf
t
A
T-T
冲信号，则表示中间的单个矩形脉解：设 )(0 tf
)()()()( 000 TtftfTtftf
)2()()( 00 SaAFtf
)1)(()( 0 TjTj eeFF由时移性，
)c o s21)(2( TSaA
四、频移性（调制定理）
)()(),()( 00 FetfFtf tj则若
dteetfetf tjtjtj 00 )()(证明：由定义
)( 0 F
dtetf tj )( 0)(
)()( 00 Fetf tj
00)( 可使其整个频谱搬移乘以函数 tjetf
通信中的调制正是应用了 频移性,以实现频谱的搬移，
因此这一性质又称为 调制定理。
)(21s in 000 tjtj eejt由于
)(21c o s 000 tjtj eet
)]()([21c o s)( 000 FFttf所以
)]()([2s in)( 000 FFjttf
通信中常常是将信号 f(t) 乘以正弦或余弦信号来完成调制过程，因此将信号 f(t) 称为 调制信号,正弦或余弦信号称为 被调制信号 或 载波信号 。
信号 f(t) 与余弦信号 cosω0t 或正弦信号 sinω0t 相乘时，
使得载波信号的幅度按信号 f(t)的规律来变化。因此，这种调制称为 幅度调制 。
)(?F
2A
0 W
)(tf
ttf 0cos)(?
0?0
A
0
2W
)(?F
称为载波，称振幅调制，其中 tttf 00 c o sc o s)(
称为已调制信号。称为调制信号,ttftf 0c o s)()(?
除振幅调制外，还有频率调制，相位调制等。
通信技术中，未经调制的信号（基带信号）经电缆传输后，
可能因衰减而低于门限电平，这时接收端很难分清究竟是信号还是噪声，距离较远时必须调制解调。
利用调制定理，可将要传递的多个低频信号分别搬移到不同的载波频率上，而频谱互不重叠，从而实现在一个信道上同时传送多路信号的 频分多路通信 。
为实常数则若 aaFaatfFtf )(1)(),()(
atxdteatfatfa tj 令证明：若?)()(,0
五、比例性（尺度变换）
)(1)()( aFaaxdexf a
xj
atxdteatfatfa tj 令若?)()(,0
)(
1
)()(
)()(
a
F
aa
x
dexf
a
x
dexf
a
x
j
a
x
j
)()( Ftf特别地
)(?F
A
2
2
)(?F?A2
)(tf
2
2
A
t
)(tf
t
A
倍。则表示在频域中扩展了相似地，信号倍，在时间轴上压缩了表示信号
a
a
F
atfatf
)(
)()(
六、卷积定理
(1) 时域卷积
(2) 频域卷积
)()()()()()(
)()(),()(
GFYtgtfty
GtgFtf
则若
)()(2 1)()( GFtgtf
七、时域微分和时域积分
)()(?Ftf?若
(1) 时域微分
)( Fjdtdfdtdf?存在时，则当
)()( Fjdt fd nn
n
及
deFtf tj)(2 1)(证明：由定义
deFjdt tdft tj)(2 1)(求导两边对
)()()( Fjdt tfd nn
n
重复求导可得
)( Fjdtdf?这表明证明：
t dfdtfttf )()()()()(
利用时域卷积性质
)()0()()](1)[()()()( FjFjFdfttf t
)()0()()( FjFdft
(2) 时域积分
)()(?Ftf?若
dttfF )()0(此处
j
FdfFtf t )()(,0)0()(
有的积分为零，即若表明函数在时域中的微分或积分对应于其频谱在频域中乘以或除以 jω。
)(),(
)()()(
F
dt
tdfttf
再求可先求的频谱易于求取时，的导数如果函数
)()]()([)()( ffjF
)(lim)(),(lim)( tfftff tt式中
)()()()( ftfdddfd tt证明：
根据时域积分性质
)()0()()( jdt
j
FFj
dt
tdft )()(),()(,)()( 但是有设质综合时域微分与积分性
)()(2)(),()( ffFtf又
)()0()()()(2)( jfF
)()()()()()0( 0 ffdddfd
)()]()([)()( ffjF于是
jFff
)()(0)()( 时，才有因此，只有当
-2 -1 0 1 2
3
1
t
)(tf )()(' ttf
(1)
(3)
(3)
(1)
t0
)2()1(3)1(3)2()()(' ttttttf解：
2s in2s in6
33)( 22
jj
eeee jjjj
1)()( ff
的频谱例：试求如图所示信号 )( tf
)(2)2(4)(6
)(2
2s in
2
s in6
)(2
)(
)(
SaSa
j
F
八、频域微分和积分
d
dFtfjtFtf )()()()()( 则若
n
n
n
d
Fdtfjt
)()()(推广
(1) 频域微分
dtetfF tj )()(证明：
dtetfjtddF tj )()()(
d
dFtfjt )()()(
重复求导得
n
n
n
d
Fdtfjt
)()()(
(2) 频域积分
dFt tfjtf )()()()0(
的傅里叶变换试求例：若 )1()1(),()( tftFtf
)1()1()1()1( ttftftft解：
jeFtftf
Ftf
)()]1([)1(
)()(
d
eFdjttf j ])([)1(
jj
jj
eFe
d
dF
j
ejFe
d
dF
j
)(
)(
])(
)(
[
je
d
dFjtft )()1()1(
8-11 (1) (3)
8-16 (b)
作业,p,503
时域分析法 频谱分析
8-1 周期信号的频谱分析狄里赫勒条件：
1。在一个周期内只有有限个极大值和极小值；
2。在一个周期内只有有限个间断点；
3。在一个周期内绝对可积。
8-1-1 周期信号傅里叶级数的三角形式
)s inc o s()(
1
000?
n
nn tnbtnaatf
其中
),3,2,1(s in)(2 0 nt d tntfTb
Tn
为积分区间开始，取一个周期表示从任意起始点称傅里叶系数，和为谐波频率，为基波频率，
Tdt
ban
T
T
nn
][
2
00?
T dttfTa )(10
),3,2,1(c o s)(2 0 nt d tntfTa
Tn
一个无穷无尽的周期信号 f(t)，周期为 T，若满足 狄里赫勒条件,则可展开为下列三角形式的傅里叶级数：
a) 对称性信号波形的对称性与傅里叶系数之间的关系为：
只有常数项和余弦项。则偶函数若,0,),()()1( nbtftf
0]s in)(s in)([2 0
2
0
0
2
0 TT t d tntft d tntfT
t d tntfTb Tn 0s in)(2?
20 00
2
0 ]s in)(s in)([
2 T
T t d tntft d tntfT
])()s in ()(s in)([2 2
0 0
0
2
0
T
T tdtntft d tntfT
20 0c o s)(4
T
t d tntfT?
t d tntfTa Tn 0c o s)(2?
20 00
2
0 ]c o s)(c o s)([
2 T
T t d tntft d tntfT
]c o s)()()c o s ()([2 2
0 0
0
2
0
T
T t d tntftdtntfT
]c o s)(c o s)([2 20 020 0
TT
t d tntft d tntfT
20 00 c o s)(4
T
t d tntfTa?类似地只有正弦项。若为奇函数，,0),()()2( 0 naatftf
只有偶次谐波项。若为偶半波对称,),()2()3( tfTtf
20 0s in)(4
T
n t d tntfTb?
0
4T 2T
T
t
)(3 tf
只有奇次谐波项。若为奇半波对称,),()2()4( tfTtf
2T
T
2T?
)(4 tf
t
b) 傅里叶谱
)c o s (s inc o s 000 nnnn tnAtnbtna因为所以，傅氏级数又可写成
1
00 )c o s ()(
n
nn tnAAtf
)0()(
22
00
n
a
b
ar c t g
baA
aA
n
n
n
nnn
其中直流分量 n 次谐波分量任何满足狄里赫勒条件的周期信号可以分解为直流分量（频率为零）和一系列的正弦分量之和。
1
00 )c o s ()(
n
nn tnAAtf
)3c o s ()2c o s ()c o s ( 3032021010 tAtAtAA
上式中：
第一项是常数项，它是周期信号中所包含的直流分量；
第二项为信号的 基波 或 一次谐波 ；
第三项为信号的 二次谐波 ；
以下依次类推 ……
结论：
理论上：无限多项
1
00 )c o s ()(
n
nn tnAAtf
实际计算：取有限项所取项数越多，合成波形越接近原信号。
例,424页图 8-1-1：用 n次谐波合成逼近周期方波低频分量：决定波形轮廓高频分量：体现波形细节项和余弦项。是偶函数，故只含常数解,)( tf
2
2
0 )(
1)(1?
dttfTdttfTa T
T
AA d t
T
2
0
2
A
2
2
T
)(tf
t
0?nb
200
2
)(1)(1
dttfTdttfT
例,试求如图所示的周期矩形脉冲信号的三角形傅里叶级数，
绘出其频谱图。,,2,1 TA若
)2s in (2)2s in (4 00
0
n
n
An
Tn
A
t d tnAT 2
0 0
c o s4
1
0
0 c o s)
2s in (
2)(
n
tnnn ATAtf
t d tntfTa Tn 0c o s)(2?
t d tntfTt d tntfT
2
0 0
0
2
0 c o s)(
2c o s)(2?
,,2,1 TA若
,11,7,3
2
,9,5,1
2
0
)
2
s in (
2
n
n
n
n
n
n
n
a
n
为偶数
,21,1 00 a?
0?nb
)7c o s715c o s513c o s31( c o s221)( tttttf?
,11,7,3
,11,7,30
2
0
210
n
n
nn
n
A
A
nn
为奇数为偶数
nA
0.5?2
3
2
5
2
1 2 3 4 5?0
1 2 3 4 5
n?
0
解,先将含有相同频率的正弦项与余弦项合并为一个余弦项，
试画出其振幅谱和相位谱
)1507c o s ()303s in (22s in42c o s32)( tttttf
例,一个周期信号可表示为且所有项都表示为带正振幅的余弦项。
)303c os ()1801507c os ()1507c os (
)603c os ()90303c os ()303s in (
)13.532c os (52s in42c os3
ttt
ttt
ttt
)307c o s ()603c o s (2)13.532c o s (52)( ttttf
)307c o s ()603c o s (2)13.532c o s (52)( ttttf
0 1 2 3 4 5 6 7
30
13.53
60
n?
nA5
0 1 2 3 4 5 6 7?
12
确定信号的基频和周期任意的频率的正弦量之和是否可以表示为一个周期信号，该信号的周期是多少？
由于周期函数中每一个正弦分量的频率均为基频的整数倍，
因此，任意两个频率之比为 m/n，其中 m和 n为整数，这意味着当 m/n为有理数时，则这两个正弦量呈现了谐波性。
)67c o s (5)32c o s (32)()1( 211 tttf例：
次谐波。具有，基频的最小公倍数是为周期信号。其周期故为有理数，解：
7,4)(
6
1
12
2
,12,)(
4
7
,
7
12
6
7
2
,3
3
2
2
10
211
2
1
21
tf
TTTtf
T
T
TT
)s in (5)2c o s (2)()2( 212 tttf
不是周期信号。为无理数，故解,)(2,2,2
2
1
21 tfT
TTT
)26c o s (7)23c o s (3)()3( 213 tttf
次谐波。，具有
，基频为是周期信号，周期为故为有理数，解：
21)(
,23
23
2
)(
2,
26
2
,
23
2
3
3
2
1
21
tf
tf
T
T
TT
n
tjn
n eFtf
0)(?
T tjnn dtetfTF 0)(1?
任意周期信号 f(t)可分解为许多不同频率的虚指数信号之和，其各分量的复数振幅为 Fn (傅里叶复系数 ))(
0tjne?
nnnn FAFAF,,2
1
00
8-1-2 周期信号傅里叶级数的指数形式指数形傅氏级数与三角形傅氏级数比较：
指数形傅氏级数公式紧凑，其傅里叶系数表达式十分简便。在求线性系统的响应时，输入信号表示为指数信号时好算些，因为对虚指数信号作微分和积分运算均好算，在信号的频谱分析和线性系统中大多采用指数形傅里叶级数。但是
，三角形傅里叶级数也有优点，它比较直观，易于从概念上理解。
)(21 nnn jbaF
例 8-1-1 求周期锯齿波 f(t)的傅氏级数的三角形式与指数形式
t
2
T
0
2
1
)(tf
T
2
1?
2
T?
解,周期锯齿波在一个周期内的表达式为
T
ttf?)(
1。将 f(t) 展开成傅氏级数的三角形式
t
2
T
0
2
1
)(tf
T
2
1?
2
T?
f(t) 奇函数
2
2
0s in)(
2 T
Tn t d tntfTb?
00 naa
2
2
0s in
2 T
T t d tnT
t
T
2
0 0
s in4
T
t d tnTtT?
n
n 1)1(
)s inc o s()(
1
000?
n
nn tnbtnaatf
1
0s in
n
n tnb
1
0
1
s in)1(
n
n
tnn
)4s i n413s i n312s i n21( s i n1 0000 tttt
2。将 f(t) 展开成傅氏级数的指数形式
t
2
T
0
2
1
)(tf
T
2
1?
2
T?
000 aF
nbj 2
1
nj
n
2
)1( 1
tjn
n
n eFtf
0)(
)(21 nnn jbaF
dtetfTF tjn
T
Tn
02
2
)(1
dteTtT tjn
T
T
02
2
1
nj
n
2
)1( 1
tjn
n
n
enj 02 )1(
1
也可以直接求得：nF
例 8-1-2 求周期矩形脉冲信号 f(t) 的傅氏级数的三角形式与指数形式。设脉冲高度 A，宽度 τ，周期 T。
解,周期矩形脉冲在一个周期内的表达式为
2
||0
2
||
)(
t
tA
tf
A
2
2
T
)(tf
t-T
2
2
0 )(
1)(1?
dttfTdttfTa T
T
AA d t
T
2
0
2
0?nb
200
2
)(1)(1
dttfTdttfT
1。将 f(t) 展开成傅氏级数的三角形式
f(t) 偶函数，故只含有直流项和余弦项
)2s in (2)2s in (4 00
0
n
n
An
Tn
A
t d tnAT 2
0 0
c o s4
1
0
0 c o s)
2s in (
2)(
n
tnnn ATAtf
t d tntfTa Tn 0c o s)(2?
t d tntfTt d tntfT
2
0 0
0
2
0 c o s)(
2c o s)(2?
2。将 f(t) 展开成傅氏级数的指数形式
T
AaF
00
na2
1?
)(21 nnn jbaF
)2s in ( 0 nnA?
)2s in (lim 0
0
n
n
A
n?
)2c o s (2lim 00
0
nA
n
T
A
可统一表示为nF? )
2s in (
0
n
n
AF
n?
tjn
n
n eFtf
0)(
tjn
n
a e
nS
T
A 0)
2(
0
也可写成为nF
)2s in ( 0 nnAF n?
)
2
(
)
2
s in (
0
0
n
n
T
A
定义：
x
xxS
a
s in)(? 为 抽样函数 或滤波函数
)2( 0 nSTA a?
)(xSa
x2
1
0
如图所示，
若以频率 (角频率 )为横坐标，以各谐波振幅 |Fn |或 An为纵坐标作出的图形称为 幅度频谱 或 振幅谱 。它直观地表示出信号所含各谐波分量振幅的相对大小。
图中每条竖线代表该频率分量的振幅，称为 谱线 。连接各谱线顶点的曲线称为 包络线,它反映了各分量振幅变化的情况。
nA
1A
2A
0?
05?
8-1-3 周期信号的频谱为了把周期信号具有的频率分量和各分量的特征形象地表示出来，往往采用 频谱图 的表示法。
类似地可作出各谐波初相角与频率的谱线图，称为 相位谱 。两者合称 频谱图 。
0?
n?
1?
2?
由于指数形傅里叶谱在正负频率处均存在，故它又叫 双边谱,
三角形傅里叶谱又叫 单边谱 。
例,433页图 8-1-5,频谱图单边谱与双边谱的关系：
nnnn FAFAF,,2
1
00
1 振幅谱：直流分量一样，双边谱振幅是单边谱振幅的一半。
2 相位谱两者一样。
3 双边振幅谱偶对称，相位谱奇对称。
由于周期矩形脉冲信号在频谱分析中具有十分重要的意义，因此下面进一步加以研究，以此说明周期信号频谱的特点。
8-1-4 周期矩形脉冲的频谱周期矩形脉冲在一个周期内的表达式及其傅里叶复系数为
2
||0
2
||
)(
t
tA
tf
A
2
2
T
)(tf
t-T
)2( 0 nSTAF an?
|| nF
0? 0?n05?
T
A?
0
0?
n?
0?n0
2
2?
0)2( 0nS a在幅度频谱的零点上有
6,4,20n谐波角频率为则在幅度频谱的零点的
|| nF
0? 0?n
T
A?
0
2
2?
或为实数，其相位为本例中 0nF
一般而言，信号的频谱需要用振幅谱和相位谱两个图形才能完全表示出来，但如果频谱函数是实函数或虚函数，那么只用一条曲线即可。
周期信号频谱的特点：
1,离散性频谱由不连续的线条组成，每一条线代表一个正弦分量，这样的频谱称为不连续频谱或离散频谱
2,谐波性每条谱线只能出现在基波频率的整数倍的频率上，频谱中不可能存在任何频率为基波频率非整数倍的分量
3,收敛性各次谐波的振幅，总的趋势是随着谐波次数的增高而逐渐减小的。随着重复周期的增大，信号频谱相应地渐趋密集，频谱幅度也渐趋减小。
周期信号的 频带宽度,
理论上，周期信号的谐波分量是无限多的。
实际工作中，只要考虑次数较低的一部分分量。
从零频率开始到需要考虑的最高分量的频率间的这一频率范围，
是信号所占有的频带宽度，简称 频宽 。
实用中，对于包络线为抽样函数的频谱，常常把 从零频率开始到频谱包络线第一次过零点 的那个频率之间的频带作为信号的频带宽度。
T当 频谱的谱线无限密集，频谱振幅无限趋小，这时，周期信号已经向非周期信号转化。
nF
1/4
2424? 0
)2( SaT
对于一般的频谱，也常以从零频率开始到频谱振幅降为包络线最大值的 1/10的频率之间的频带定义为信号的频带宽度。
τ 减小，频宽加大，当 τ → 0时，频宽也无限趋大，此时信号能量就不再集中在低频分量中，而均匀分布于零到无限大的全频段。
8-1 (a)
8-3
作业,p,500
边谱。，试画出其单边谱和双例：已知 tttf 3c o ss in1)(
)3c o s ()2c o s (1)( tttf解：
据此可画出单边谱
0 1 2 3?
2
n?
单边相位谱
nA
0 1 2 3
1
单边幅度谱
tttf 3c o ss in1)(
)3c o s ()2c o s (1 tt
][
2
1][
2
11 )3()3()2()2( tjtjtjtj eeee
][
2
1][
2
11 3322 tjjtjjjtjjtj eeeeeeee
0 1 2 3
1
-1-3
nF
2 3
2
nF?
-3 -2
0 1 2 3
1
-1-3
nFnc
0 1 2 3
1
0 2 3?
2
n?
单边谱
2 3
2
nF?
-3 -2
双边谱例：如图所示为单位冲激序列
k
T kTtt )()(
求其傅里叶级数与频谱
0 T 2T t
)(tT?
(1)
0? 02?
T
1n
F
T
dtet
T
dtet
T
F
T
T
tjn
T
T
tjn
Tn
1)(1)(1 2
2
2
2
00
解：
TeTeFt n
tjntjn
n
nT
21)(
000
例：已知某周期信号三角形傅里叶级数的傅里叶谱图如图所示
，试求出该信号的时域表达式，并画出信号的指数形傅氏级数的傅里叶谱图。
0 3 6 9 12?
nc
2
0 3 6 9 12n?16
)49c o s (4)26c o s (8)43c o s (1216)( ttttf解：
0 3 6 9 12?
nF16
8
0 3 6 9 12?
nc
2
0 3 6 9 12n?16
2
0 3 6 9 12n
F?
8-2 傅里叶变换的极限可以认为是周期信号非周期信号 )()( tftf T
tdetfTF
T
T
tjn
Tn
2
2
0)(1?
的量表明这种差别。
，引入新它们的相对值仍有差别但它们不是同样大小，
然都是无穷小量，，各频率分量的振幅虽时,0 nFT
)()(lim tftf TT
n
tjn
nT eFtf
0)(?
dtetfTFjF
T
T
tjn
TTnT
2
2
0)(limlim)(
)()(,)()(
,00
FjFdtetfjF
ndT
tj 也记为时，当
频谱函数。的频谱密度函数，简称称为所以，
的量，是具有单位频带的振幅因为
)()(
2limlim)(
0
tfjF
FTFjF nn
T
dtetfFdtetfF tjtj )()(,)()( 则由于
)()()( FFtf 为实信号，有若
)()(
)(
)()()(
)()(
jj
j
eFeFF
eFF
则
，因此，若的奇函数是的偶函数，而是可见, )()(F
n
tjn
nTTT eFtftf
0lim)(lim)(?同时，
dedtetftf
d
TndT
tjtj ])([
2
1
)(
22
,,
0
00
积分，求和时，当振幅谱偶对称,相位谱奇对称
n
tjntjn
T
T TT edtetfT
00 ])(1[lim 2
2
dtetfjF tj )()(
以上两式称为 傅里叶变换对
)]([)()],([)( 1 FtftfF FF记为非周期信号进行傅里叶变换也要满足一定的条件，即
dttf )(
此条件是充分条件
)()(?Ftf?
dejFtf tj)(21)(
正变换反变换例：求如图所示单个矩形脉冲的频谱
)()(?tA re c ttf?A
t2?2
解：据傅里叶变换的定义有
2
2
s in
)( 22
Aee
j
A jj
)2(SaA?
dtetfF tj )()(
2
2
2
2
j
eAdteA tjtj
)(?F
2
2?
A
之间的关系傅里叶复系数与相应的周期信号的非周期信号的频谱密度
nF
F )(?
0
0
)(
lim)(
n
n
nnT
T
F
F
TFF
)
2
(
)(
)
2
()(
0
0
n
Sa
T
A
T
F
F
SaAF
n
n
则周期矩形脉冲所以，若矩形脉冲的虚奇函数。是的实奇函数，则其是 )()( Fttf
奇偶函数的傅里叶变换有它们的特点，如：
的实偶函数，有是的实奇函数是的实奇函数，则是证明：若
tttf
tttfttf
s in)(
c o s)()(
的虚奇函数是 0 s in)(2 t d ttfj
dtetfF tj )()(
t d ttfjttf s in)(c o s)(
t d ttfj?s in)(
8-2-2 常用信号的傅里叶变换
1,矩形脉冲
)2()( SaAF?
)2()( SaAF?幅度频谱
A )(tf
t
2
2
2
0
2)(
t
tAt
A r e c t
A
2
2?
)(?F
矩形脉冲的有效带宽
2
)()( teAtf t
2,单边指数脉冲
dtetAedtetfF tjttj )()()(
j
A
j
AedteA tjtj
0
)(
0
)(
)(
22
)(
AF幅度频谱
a r c t g)(相位频谱
3,单位冲激信号
1
)()(
0
t
tj
tj
e
dtett
4,正负号信号
01
01)(
t
ttSgn
)]()([lim)( 0 tetetSgn tt
t
)(tSgn
0
1
-1
)(?F
0
1
j
j 22lim
220
][lim)( 00
0
dteedteetSgn tjttjt
]11[lim
0 jj?
)]()([lim)( 0 tetetSgn tt
5,双边指数脉冲
0)( tAetf
j
A
j
A
6,三角形脉冲
t
t
t
AtAtf
0
)1()
2
()(
)2(?tA?
t0
A
dteeAF tjt)(
dteeAdteeA tjttjt 00
)2()2(s in4 222 SaAA
dtetfF tj )()(
t d ttfjttf s in)(c o s)(
是实偶函数，故由于此处 )( tf
00 c o s)1(2c o s)(2 t d ttAt d ttf
00 c o s2c o s2 t d ttAt d tA
0 )( s in2s in2 ttdAA
A
2
2?
)(?F
)(.7 0 te tj?指数信号
)()(),()( 00 FetfFtf tj则若
)(2,1)( 00 tjetf令
)(c o ss in.8 00 ttt 和余弦信号正弦信号
)(2),(2 00 00 tjtj ee?
)]()([c o s 000 t
)(2 1s in)(21c o s 0000 00 tjtjtjtj eejteet
)]()([s in 000 jt
22
0
00
00
00
000
)]()([
2
)(2
1
)(2
1
)]()([
2
]
1
)([)]()([
2
1
)(c o s
j
jj
j
tt
类似地
22
0
0
000 )]()([2)(s in
jtt
8-7 (a) (d)
8-8 (1) (3)
8-9 (1) (2)
作业,p,502
8-3 傅里叶变换的性质一、线性为常数。、则若
babFaFtbftaf
FtfFtf
),()()()(
)()(),()(
2121
2211
二、对称性
)(2)()()( ftFFtf 则若正变换反变换
dtetfjF
dejFtf
tj
tj
)()(
)(
2
1
)(
dxexF
xdeFtf
j x t
tj
)(
)()(2
)()(
)()(2
tFdtetF
txdxexFf
tj
jx
)()()( fftf为偶函数，则若
)(2)()()( ftFFtf 则所以有：若
deFtf tj)(2 1)(证明, deFtf tj)()(2
)(?F
22?
A
)(tF
22?
A
t
)(?tArect
t
2
2
0
A
)(2A rect
2
2
0
A?2
)()(?tA r e c ttf?如,)
2()(
SaAF
)2()( tSaAtF? )(2)(2 A r e c tf
例,求常数 A的傅里叶变换
)(2
)(21
1)(
AA
t
线性由对称性解：
的傅里叶变换例：求 )( t?
jt
1)()(
)(2121)( tSgnt解：
)(?F
2?2
A?2
)(
2
0
2
2
)(
),()(
tf
A
F
Ftf
试求例：已知
)
2
()(
)(2)(2)
2
(2
)
2
(2)(
t
SaAF
FF
t
SaA
SaAtF
解：
三、时移性
0)()(),()( 0 tjeFttfFtf 则若
00
0
)()(
)(,
)()(
)(
0
00
tjxjtj
txj
tj
eFdxexfe
dxexfttx
dtettfttf
则上式令义证明：由傅氏变换的定
0
0
t
t
化了不会变化，但相位谱变秒，其振幅谱中延时了上式表明，信号在时域
)()(?Ftf 的频谱例：求三矩形脉冲信号
2?2
)(tf
t
A
T-T
冲信号，则表示中间的单个矩形脉解：设 )(0 tf
)()()()( 000 TtftfTtftf
)2()()( 00 SaAFtf
)1)(()( 0 TjTj eeFF由时移性，
)c o s21)(2( TSaA
四、频移性（调制定理）
)()(),()( 00 FetfFtf tj则若
dteetfetf tjtjtj 00 )()(证明：由定义
)( 0 F
dtetf tj )( 0)(
)()( 00 Fetf tj
00)( 可使其整个频谱搬移乘以函数 tjetf
通信中的调制正是应用了 频移性,以实现频谱的搬移，
因此这一性质又称为 调制定理。
)(21s in 000 tjtj eejt由于
)(21c o s 000 tjtj eet
)]()([21c o s)( 000 FFttf所以
)]()([2s in)( 000 FFjttf
通信中常常是将信号 f(t) 乘以正弦或余弦信号来完成调制过程，因此将信号 f(t) 称为 调制信号,正弦或余弦信号称为 被调制信号 或 载波信号 。
信号 f(t) 与余弦信号 cosω0t 或正弦信号 sinω0t 相乘时，
使得载波信号的幅度按信号 f(t)的规律来变化。因此，这种调制称为 幅度调制 。
)(?F
2A
0 W
)(tf
ttf 0cos)(?
0?0
A
0
2W
)(?F
称为载波，称振幅调制，其中 tttf 00 c o sc o s)(
称为已调制信号。称为调制信号,ttftf 0c o s)()(?
除振幅调制外，还有频率调制，相位调制等。
通信技术中，未经调制的信号（基带信号）经电缆传输后，
可能因衰减而低于门限电平，这时接收端很难分清究竟是信号还是噪声，距离较远时必须调制解调。
利用调制定理，可将要传递的多个低频信号分别搬移到不同的载波频率上，而频谱互不重叠，从而实现在一个信道上同时传送多路信号的 频分多路通信 。
为实常数则若 aaFaatfFtf )(1)(),()(
atxdteatfatfa tj 令证明：若?)()(,0
五、比例性（尺度变换）
)(1)()( aFaaxdexf a
xj
atxdteatfatfa tj 令若?)()(,0
)(
1
)()(
)()(
a
F
aa
x
dexf
a
x
dexf
a
x
j
a
x
j
)()( Ftf特别地
)(?F
A
2
2
)(?F?A2
)(tf
2
2
A
t
)(tf
t
A
倍。则表示在频域中扩展了相似地，信号倍，在时间轴上压缩了表示信号
a
a
F
atfatf
)(
)()(
六、卷积定理
(1) 时域卷积
(2) 频域卷积
)()()()()()(
)()(),()(
GFYtgtfty
GtgFtf
则若
)()(2 1)()( GFtgtf
七、时域微分和时域积分
)()(?Ftf?若
(1) 时域微分
)( Fjdtdfdtdf?存在时，则当
)()( Fjdt fd nn
n
及
deFtf tj)(2 1)(证明：由定义
deFjdt tdft tj)(2 1)(求导两边对
)()()( Fjdt tfd nn
n
重复求导可得
)( Fjdtdf?这表明证明：
t dfdtfttf )()()()()(
利用时域卷积性质
)()0()()](1)[()()()( FjFjFdfttf t
)()0()()( FjFdft
(2) 时域积分
)()(?Ftf?若
dttfF )()0(此处
j
FdfFtf t )()(,0)0()(
有的积分为零，即若表明函数在时域中的微分或积分对应于其频谱在频域中乘以或除以 jω。
)(),(
)()()(
F
dt
tdfttf
再求可先求的频谱易于求取时，的导数如果函数
)()]()([)()( ffjF
)(lim)(),(lim)( tfftff tt式中
)()()()( ftfdddfd tt证明：
根据时域积分性质
)()0()()( jdt
j
FFj
dt
tdft )()(),()(,)()( 但是有设质综合时域微分与积分性
)()(2)(),()( ffFtf又
)()0()()()(2)( jfF
)()()()()()0( 0 ffdddfd
)()]()([)()( ffjF于是
jFff
)()(0)()( 时，才有因此，只有当
-2 -1 0 1 2
3
1
t
)(tf )()(' ttf
(1)
(3)
(3)
(1)
t0
)2()1(3)1(3)2()()(' ttttttf解：
2s in2s in6
33)( 22
jj
eeee jjjj
1)()( ff
的频谱例：试求如图所示信号 )( tf
)(2)2(4)(6
)(2
2s in
2
s in6
)(2
)(
)(
SaSa
j
F
八、频域微分和积分
d
dFtfjtFtf )()()()()( 则若
n
n
n
d
Fdtfjt
)()()(推广
(1) 频域微分
dtetfF tj )()(证明：
dtetfjtddF tj )()()(
d
dFtfjt )()()(
重复求导得
n
n
n
d
Fdtfjt
)()()(
(2) 频域积分
dFt tfjtf )()()()0(
的傅里叶变换试求例：若 )1()1(),()( tftFtf
)1()1()1()1( ttftftft解：
jeFtftf
Ftf
)()]1([)1(
)()(
d
eFdjttf j ])([)1(
jj
jj
eFe
d
dF
j
ejFe
d
dF
j
)(
)(
])(
)(
[
je
d
dFjtft )()1()1(
8-11 (1) (3)
8-16 (b)
作业,p,503
