8-2 傅里叶变换的求取
)(.1 0 te tj?指数信号
)()(),()( 00 FetfFtf tj则若
)(2,1)( 00 tjetf令
)(c o s,s in.2 00 ttt正弦信号和余弦信号
)(2),(2 00 00 tjtj ee?
)]()([c o s 000 t
8-2-1 周期信号的傅里叶变换
)]()([s in 000 jt
22
0
00
00
00
000
)]()([
2
)(2
1
)(2
1
)]()([
2
]
1
)([)]()([
2
1
)(c os
j
jj
j
tt
类似地
22
0
0
000 )]()([2)(s in
jtt
3,一般周期信号
TeFtf n
tjn
n
2)(
0
0
两边取傅里叶变换
n
n nFFtf )(2)()( 0
周期信号的傅氏变换或频谱密度，是由无穷多个冲激所组成，
这些冲激位于谐频 nω0 处，
2乘以里叶级数的复系数冲激强度为指数形式傅 nF
的频谱密度函数例：求 t0cos?
)(21c o s 000 tjtj eet解：
2
1
11FF
22100 处的冲激，冲激强度为和频谱密度为位于
)]()([c o s 000t
0?0
)(?
)(?F
n
TT nTttTt )()()(,为周期的单位冲激信号是以展开为指数形式傅氏级数
n
tjn
nT eFt
0)(
dtetTF
T
T
tjn
Tn
2
2
0)(1式中，
T
dtet
T
F
t
TT
t
T
T
tjn
n
T
1
)(
1
),)
2
,
2
()(
2
2
0
（之间为在
)(.4 tT?单位冲激序列
n
tjntjn
n
T eTeTt
00 11)(
)()(2)(
000
n
T nTt
0 T 2T t
)(tf )(?F
0 0? 02?
(1) )( 0?
3-7-2 傅里叶系数与傅里叶变换之间的关系傅里叶复系数与相应的周期信号的非周期信号的频谱密度
nF
F )(?
0
0
)(
lim)(
n
n
nnT
T
F
F
TFF
上述关系提供了一种求周期信号傅里叶系数的方法例：将图示周期信号展开为指数型傅里叶级数如图所示的一个周期波形解：周期信号 )()( 0 tftf T
T 2T t
1
)(tfT
0
0 T t
)(0 tf
1
-T/2 0 T/2 t
)(1 tf
1
)4(2)()(2,1 211 TSaTFtfTA 则令
)2()2( 2 SaAt
，即在时间上延迟比 2)()( 10 Ttftf
)2()( 10 Ttftf
根据时移性质
222
10 )4(2)()(
TjTj
eTSaTejFjF
jnTjn
n
n e
nSaeTnSajF
T
F?
)
2
(
2
1)
4
(
2
1)(1 2202
0
0
0
tjnjn
n
T ee
nSatf 0)
2(2
1)( 2
周期信号的指数型傅里叶展开式为：
例：说明下列傅氏变换对成立
2
1
)2(
)(
1
)1(
t
j S gn
t
j
tS g n 2)()1(?解：
)(2)(22 SgnSgn
jt
由对称性
)(1 j S g nt由线性
)(1)2(?
j S g n
t
)()]([1)'1( 2 Sgnj S g njtt由微分性质
)(,1)(0 S g nS g n时，
)(,1)(0 S g nS g n时，
21
t
的傅里叶变换例：求如图所示 )( tf
1
0
t
)(tf
1
)()(' ttf
0 t
2
00
)
2
()(,,
1
)
2
()()()('
j
eSaA
tftfttf
的延时，为单个矩形脉冲解：
1)(,0)( ff又
)(
)
2
(
)(
)(
)(
2
j
eSa
j
F
j
)25()( tftf?如图，试画出例：已知
-10 1 2 t
(4) 1)(tf
-0.5 0 1 t
(2) 1)2( tf
)2( tf?
-1 0.5 t
(2) )]5.2(2[)25( tftf
0 1.5 3 t
(2)
)25(),()( tfFtf 求例：已知?
2
5
)
2
(
2
1
)]
2
5
(2[)25(
)
2
(
2
1
)2(),()(),()(
j
eFtftf
FtfFtfFtf
解：
a
bj
e
a
F
a
batf
)(1)(一般地
)()( tfF 如图，求例：已知?
解,(1)利用对称性求解为如图所示的矩形脉冲得换成的将 )(),(,)( 0 tFtFtF
1?1 t
)(0 tF
)()()( 0000 tFtFtF
)()]([ 000 jj eetF F
0?
10 01
)(?F
0
1
011 c o s)(4 Sa?
011 cos)(4)( SatF?
)(2)(2c o s)(4 011 FFttSa由对称性
ttSaF 011 c o s)(2)(
(2)利用调制定理求解
1?1
)(0?F )()()(
0000 FFF
tFtf 001 c o s)]([2)(F
ttSatf 011 c o s)(2)(
(3)利用频域卷积定理
)]()([)()( 000 FF
)]()([)]([2)( 00101 FF Ftf
][
2
1)(2 00
1
1 tjtj eetSa
ttSa 011 c o s)(2
)(例：求
jt
1)()(解：
])( 1)([2 1)( tjt由对称性
jtt 2
1)(
2
1)(
)]1()1([3c o s 2 ttt例：求
)6c o s1(213c o s 2 tt解：
Satt 2)1()1(
)6()6()]1()1([6c o s SaSattt
)]6()6([21)]1()1([3c o s 2 SaSaSattt
2 )63s in (例：求
)]2(3[3Sa解：上式
)2(]2()2([ SaAttA矩形脉冲
6,21,32,3 AA
33)]3()3([21 Satt
tjettSa 2)]3()3([
2
1)]2(3[3由频移性质
)]([ )1(2 tedtd t?例：求
2
1)()( 222)1(2
j
eteete tt解：
2
)]([ 222
j
jetee
dt
d t
本次课程讲授的主要内容：
1 傅里叶变换的性质作业：
下次课讲线性系统分析及传输问题卷积、时间微积分、频域微分
2 周期信号的傅里叶变换及傅氏级数系数
)()()()(1 jIRFtf的傅里叶变换例：已知如图所示
)()( 22?Ftf 的傅里叶变换求信号
1
2
t0
2
1
)(1 tf
-10 1 t
1)(2 tf
)2(21)2(21)( 113 tftftf解：设
0 t
1
)(3 tf
2
1 )]21()21([)()( 32 tttftf
][)()( 2232
jj eeFF
)2(41)2(41)2(21)2(21)( 113 FFtftftf
2c o s2)]2()2([4
1)(
2
FFF
2c o s2)]2()2()2()2([4
1 jIRjIR
同理，为实数时，由于,)()()( FFtf
)2()2(),2()2()2()2(
IIRRFF,即
)2( te jt?例：求
)1(22 )2(,)2(,1)( jjtj eteett解：
2c o s)2()(2
RF
8-4 周期信号的功率谱与非周期信号的能量谱信号分类,周期信号、非周期信号功率信号、能量信号将信号看作电压或电流 f(t)，它作用在 1Ω电阻上的瞬时功率：
在 -T≤t≤T内（此处 T不是周期）上所消耗的能量为：
)()( 2 tftp?
TT dttf )(2
平均功率为：
TT dttfT )(21 2
当 T→∞ 时消耗的总能量 W 为：
TTT dttfW )(lim 2平均功率 P 为：
TTT dttfTP )(21lim 2
若 0＜ W＜ ∞（此时 P =0），则称 f (t) 为 能量信号若 0＜ P＜ ∞（此时 W →∞ ），则称 f (t) 为 功率信号一般,周期信号都是功率信号，非周期信号则可为能量信号，
也可为功率信号。
能量信号定为脉冲信号
8-4-1 周期信号的功率谱周期信号一般是功率信号，其平均功率是为时域表达式。为周期,)(,)(1 2
2
2 tfTdttf
TP
T
T
平均功率也可在频域中计算
2
2
2 )(1
T
T dttfTP
2
2
0)(1
T
T
n
tjn
n dteFtfT
－
n
T
T
tjn
n dtetfTF
2
2
0)(1
n
nn FF?
n
nF
2
n
nT FdttfTP
22 )(1
1
2
2
0
1
22
0 22
n
n
n
n
AAFFP
。功率频谱，简称功率谱的关系称为周期信号的与 02?nF n
周期信号的平均功率可以在频域中由傅里叶复系数确定物理意义：周期信号在时域中的平均功率等于频域中的直流分量和各次谐波分量的平均功率之和。
帕什瓦尔定理
22
2
2
1
2
0
1
22
0
2
2
2 )(1
n
n
n
T
T
IIII
IIdtti
T
I
若周期信号 f(t) 为电流 i(t)，则周期电流 i(t)的有效值为
22
2
2
1
2
0
1
22
0
2
2
2 )(1
n
n
n
T
T
UUUU
UUdttu
T
U
若周期信号 f(t) 为电压 u(t)，则周期电压 u(t)的有效值为物理意义：任意非正弦的周期电流或电压的有效值等于它的直流分量和各次谐波分量有效值的平方和之平方根。
0 1 2 3
1
-1-3
2
nF
功率谱
0.25
0 1 2 3
1
-1-3
nF
，试画出其功率谱。例：已知 tttf 3c o ss in1)(
例,试计算图示信号在频谱第一个零点以内各分量的功率所占总功率的百分比。
1 )(tf
t1.0? 1.0 1
W2.0111)(1 1.0
1.0
22
2
2
dtdttfTP
T
T
解,先求信号的功率
n
tjn
n eFtf
0)(?
将 f (t) 展开为指数形傅里叶级数
)2.0(2.0)( nSaTnSaTF n
)/(10105,5 0 sr a dTn 此时频谱第一个零点在在频谱第一个零点以内的各分量的功率和为
5
1
22
010 2
n
nFFP?
代入，得将 nF
)]()8.0()6.0(
)4.0()2.0([)2.0(2)2.0(
222
2222
10
SaSaSa
SaSaP
1806.0?
%3.902.01806.010PP?
频谱第一个零点以内各分量的功率占总功率的 90.3%
00 0 4 3 8.002.0046.007.004.0
8-4-2 信号的能量谱密度能量定义 dttfW
)(
2
在频域中如何计算能量？
dttfW )(2
dtdeFtf tj ])(2 1[)(
ddtetfF tj ])([)(2 1
dFF )()(21
，为实函数时，当 )()()( FFtf
dFdF
dttfW
2
0
2
2
)(
1
)(
2
1
)(
上式称非周期能量信号的 能量等式 或 帕什瓦尔能量等式
2)()()( FFF
的偶函数，所以是又因为 )(F
可以理解为信号的能量是由其所有频率分量的贡献而合成的，
信号的总能量是 轴上的积分值 在2/)( 2F
非周期信号的各频率分量幅度为无穷小，为表示信号能量在各个频率分量上的分布，特定义 能量谱密度。
dFdEW
dE
dfE
dfE
f
f
f
f
2
)(
2
1
)(
2
1
,
2
)(
)(
),(
全部能量为内的而信号在整个频率范围信号的能量为的范围内，在频带设信号的能量谱密度为
2)()( FE f
能量谱密度只与信号的幅度谱有关
。信号总能量的所有频率分量的能量为以下使得在的能量，并确定频率例：求信号
%95
,)( aat te
解,由定义，能量可在时域中计算
2
1)(
0
22
dtedttfW
t
能量也可在频域中计算，该信号的频谱：
jF
1)(
ddFW
0 22
2
0
11)(1
2
1)a r c ta n (1
0
,2 195.0%,95,0 即为含有总能量的时到当 a
aa r c ta n1
2
95.0?
)/(9.12 sr a da
aa F a r c t a n1)(1
2
95.0 2
0
因此有：
8-5 线性电路的傅里叶分析法及电路无失真传输的条件傅氏变换分析法 是基于频谱分析的概念，讨论信号作用于线性系统时在频域中求解零状态响应的方法，又称 频域分析法 。
8-5-1 线性电路对周期信号的响应线性电路对周期信号的响应只存在零状态响应的强制响应。
1
00 )c o s ()(
n
nn tnAAtf
应用叠加定理，稳态响应可看作周期信号的直流分量 A0 和各次谐波分量 An ∠ ψ n分别作用同一电路时的稳态响应之和。
)(
)()(
jE
jRjH
激励相量响应相量
)()()( 000 jnEjnHjnR?
傅里叶分析法是把信号分解为无穷多个无时限虚指数信号之和，即单元信号是,先求取各个单元信号作用于系统的响应，再叠加。
tjne 0?
H(ω) 可由微分方程直接求得，或由系统的冲激响应变换求得，
还可以由电路模型求得。
例,求图示电路的系统函数
+
-)(tus R
L
C
+
-)(tu
解,先画出其零状态频域电路模型
)(
)
1
//(
1
//
)(?
sU
Cj
RLj
Cj
R
U
1)(
)(
2
R
LjLCj
U s
1)(
1
)(
)()(
2
R
LjLCjU
UH
s
Lj?
Cj?
1
+
-)(?sU R
+
- )(?U
傅氏分析法计算步骤
)()(1?Ete 变换为频域的将输入激励
)(3?H确定系统的网络函数
)()()(4 HER求出响应的傅氏变换
)()(5 trR 求出即由再从频域返回到时域,?
8-5-2 线性电路对非周期信号的响应作电路的频域模型2
)()(1 trRF
例 8-5-2 图示电路的激励 uS(t),响应为 uC(t)。
+
-)(tuS
R
C
+
- )(tuC
解,先作出频域电路模型
(1) 求网络函数 H(ω)
(2) 当 uS(t)=ε(t) 时，求响应 uC(t) 。
+
-)(?SU
R +
- )(?CUCj?1
(1) 求网络函数 H(ω)
CRj
Cj
R
Cj
U
U
H
S
C
1
1
1
1
)(
)(
)(
(2) 求激励 uS(t)=ε(t) 的傅氏变换 US(ω)
jtU S 1)()()( F
(3) 求响应的傅氏变换 UC(ω)
CRjjHUU SC
1
11)()()()(
RC
jj 1
11)(
(4) 求响应 uC(t)
)()1()()()()( 1 tetetUtu RC tRC tCC F
傅氏分析法与卷积分析法的比较相同之处,都是对信号作单元信号的分解，求取系统在各个单元信号作用下的响应，然后再进行叠加。
不同之处,分解的单元信号不同，前者是求响应的变换域的方法，后者是求响应的时域积分的方法。卷积运算稍显麻烦，而傅氏分析法，则计算比较简便。
所得结果与第四章中时域分析的经典法与卷积分析法所得的结果一致。
)()( thH F
)()(1 thHF
网络函数 H(ω) 是电路冲激响应 h(t) 的傅氏变换例 8-5-3 已知电路的冲激响应为 h(t) = 5e-4tε(t)，电路的 激励 为 e(t) = 2e-2tε(t)，求电路的零状态响应 r(t) 。
解,
因而电路的零状态响应为
jthH 4 5)()( F
jteE 2 2)()( F
jjjjHER 4
5
2
5
2
2
4
5)()()(
)()(5)(5)(5)()( 4242 teeteteRtr tttt -1F
。试求系统的零状态响应输入激励为数例：已知系统的传递函
),()(
,
2
1
)(
tte
j
H
jE
1)()(解：
]1)([21)( jjR )2( 1)(21 jjj
2
2
1
2
1
)(
2?
jj 2
2
1
]
1
)([
2
1
jj
)()1(21)( 2 tetr t
激励下的稳态响应例：求系统在周期信号 ttx 0c o s)(
)()()( jeHH?
而且是稳态响应状态响应就是全响应，不存在零输入响应，零接入系统，激励信号从解：在周期信号激励下t
)]()([][ c o s)( 000 tX F
)]()([)(
)()()(
00
)(
jeH
XHY
)()(
)()(
0
)(
0
0
)(
0
0
0
j
j
eH
eH
2)(2)()(
0
0
0
0 )(
0
)(
0
tj
j
tj
j eeHeeHty
)()(,)()( 0000 HH由于
]22[)()(
0
0
0
0 )()(
0
tj
j
tj
j eeeeHty
)](c o s [)( 000 tH
)(,)( 00 相位移动了系数以了的正弦信号，但幅度乘显然，响应仍为同频率
H
8-5-3 无失真传输和传输畸变
)()()( HER频域：
信号通过系统时，从时域观点看，是改变输入波形成新的波形输出；从频域观点看，是改变输入信号的频谱结构组成新的频谱结构输出。
电路是一个信号的处理或加工装置，其职能是将输入信号 e(t)
经过处理加工变成输出信号 r(t) 。
)()()( thtetr时域：
波形或频域的改变，取决于电路本身的特性，即取决于其冲激响应 h(t) 或网络函数 H(ω)。
一般 H(ω)是 ω的复函数
)()()( jeHH?
电路对信号的不同频率分量的加权作用不一，信号通过电路后，各频率分量产生的衰减和相移不同。
有时要求输出信号复现输入波形，失真最小。
常把电路对信号的处理加工能力称为 加权,并把 H(ω)称为加权函数 。
如果输出信号和输入信号之间的幅度成一定的倍数，波形保持相同，允许保持一定的延时，这种传输叫无失真传输。
无失真传输无失真传输系统响应 )()(
dttKetr
dtjeKER )()(
上式的傅里叶变换为无失真传输电路的网络函数
)()(
)(
)()(
jtj eHKe
E
RH d
通频带为无穷大,)()1( KH
成正比相频特性与,)()2( dt
无失真传输系统应满足的两个条件：
K )(?H
)(?H?
信号的无失真传输条件
0
理想滤波器理想滤波器能在某一频带内无畸变地传输信号并抑制其它频谱分量。
1
w-w
)(?H
)(?H?
理想低通滤波器的频率特性
8-20
8-21 单,(1) (5) 双,(2) (6)
8-22 单,(a) 双,(b)
8-23
8-24
作业,p,506
)(.1 0 te tj?指数信号
)()(),()( 00 FetfFtf tj则若
)(2,1)( 00 tjetf令
)(c o s,s in.2 00 ttt正弦信号和余弦信号
)(2),(2 00 00 tjtj ee?
)]()([c o s 000 t
8-2-1 周期信号的傅里叶变换
)]()([s in 000 jt
22
0
00
00
00
000
)]()([
2
)(2
1
)(2
1
)]()([
2
]
1
)([)]()([
2
1
)(c os
j
jj
j
tt
类似地
22
0
0
000 )]()([2)(s in
jtt
3,一般周期信号
TeFtf n
tjn
n
2)(
0
0
两边取傅里叶变换
n
n nFFtf )(2)()( 0
周期信号的傅氏变换或频谱密度，是由无穷多个冲激所组成，
这些冲激位于谐频 nω0 处，
2乘以里叶级数的复系数冲激强度为指数形式傅 nF
的频谱密度函数例：求 t0cos?
)(21c o s 000 tjtj eet解：
2
1
11FF
22100 处的冲激，冲激强度为和频谱密度为位于
)]()([c o s 000t
0?0
)(?
)(?F
n
TT nTttTt )()()(,为周期的单位冲激信号是以展开为指数形式傅氏级数
n
tjn
nT eFt
0)(
dtetTF
T
T
tjn
Tn
2
2
0)(1式中，
T
dtet
T
F
t
TT
t
T
T
tjn
n
T
1
)(
1
),)
2
,
2
()(
2
2
0
（之间为在
)(.4 tT?单位冲激序列
n
tjntjn
n
T eTeTt
00 11)(
)()(2)(
000
n
T nTt
0 T 2T t
)(tf )(?F
0 0? 02?
(1) )( 0?
3-7-2 傅里叶系数与傅里叶变换之间的关系傅里叶复系数与相应的周期信号的非周期信号的频谱密度
nF
F )(?
0
0
)(
lim)(
n
n
nnT
T
F
F
TFF
上述关系提供了一种求周期信号傅里叶系数的方法例：将图示周期信号展开为指数型傅里叶级数如图所示的一个周期波形解：周期信号 )()( 0 tftf T
T 2T t
1
)(tfT
0
0 T t
)(0 tf
1
-T/2 0 T/2 t
)(1 tf
1
)4(2)()(2,1 211 TSaTFtfTA 则令
)2()2( 2 SaAt
，即在时间上延迟比 2)()( 10 Ttftf
)2()( 10 Ttftf
根据时移性质
222
10 )4(2)()(
TjTj
eTSaTejFjF
jnTjn
n
n e
nSaeTnSajF
T
F?
)
2
(
2
1)
4
(
2
1)(1 2202
0
0
0
tjnjn
n
T ee
nSatf 0)
2(2
1)( 2
周期信号的指数型傅里叶展开式为：
例：说明下列傅氏变换对成立
2
1
)2(
)(
1
)1(
t
j S gn
t
j
tS g n 2)()1(?解：
)(2)(22 SgnSgn
jt
由对称性
)(1 j S g nt由线性
)(1)2(?
j S g n
t
)()]([1)'1( 2 Sgnj S g njtt由微分性质
)(,1)(0 S g nS g n时，
)(,1)(0 S g nS g n时，
21
t
的傅里叶变换例：求如图所示 )( tf
1
0
t
)(tf
1
)()(' ttf
0 t
2
00
)
2
()(,,
1
)
2
()()()('
j
eSaA
tftfttf
的延时，为单个矩形脉冲解：
1)(,0)( ff又
)(
)
2
(
)(
)(
)(
2
j
eSa
j
F
j
)25()( tftf?如图，试画出例：已知
-10 1 2 t
(4) 1)(tf
-0.5 0 1 t
(2) 1)2( tf
)2( tf?
-1 0.5 t
(2) )]5.2(2[)25( tftf
0 1.5 3 t
(2)
)25(),()( tfFtf 求例：已知?
2
5
)
2
(
2
1
)]
2
5
(2[)25(
)
2
(
2
1
)2(),()(),()(
j
eFtftf
FtfFtfFtf
解：
a
bj
e
a
F
a
batf
)(1)(一般地
)()( tfF 如图，求例：已知?
解,(1)利用对称性求解为如图所示的矩形脉冲得换成的将 )(),(,)( 0 tFtFtF
1?1 t
)(0 tF
)()()( 0000 tFtFtF
)()]([ 000 jj eetF F
0?
10 01
)(?F
0
1
011 c o s)(4 Sa?
011 cos)(4)( SatF?
)(2)(2c o s)(4 011 FFttSa由对称性
ttSaF 011 c o s)(2)(
(2)利用调制定理求解
1?1
)(0?F )()()(
0000 FFF
tFtf 001 c o s)]([2)(F
ttSatf 011 c o s)(2)(
(3)利用频域卷积定理
)]()([)()( 000 FF
)]()([)]([2)( 00101 FF Ftf
][
2
1)(2 00
1
1 tjtj eetSa
ttSa 011 c o s)(2
)(例：求
jt
1)()(解：
])( 1)([2 1)( tjt由对称性
jtt 2
1)(
2
1)(
)]1()1([3c o s 2 ttt例：求
)6c o s1(213c o s 2 tt解：
Satt 2)1()1(
)6()6()]1()1([6c o s SaSattt
)]6()6([21)]1()1([3c o s 2 SaSaSattt
2 )63s in (例：求
)]2(3[3Sa解：上式
)2(]2()2([ SaAttA矩形脉冲
6,21,32,3 AA
33)]3()3([21 Satt
tjettSa 2)]3()3([
2
1)]2(3[3由频移性质
)]([ )1(2 tedtd t?例：求
2
1)()( 222)1(2
j
eteete tt解：
2
)]([ 222
j
jetee
dt
d t
本次课程讲授的主要内容：
1 傅里叶变换的性质作业：
下次课讲线性系统分析及传输问题卷积、时间微积分、频域微分
2 周期信号的傅里叶变换及傅氏级数系数
)()()()(1 jIRFtf的傅里叶变换例：已知如图所示
)()( 22?Ftf 的傅里叶变换求信号
1
2
t0
2
1
)(1 tf
-10 1 t
1)(2 tf
)2(21)2(21)( 113 tftftf解：设
0 t
1
)(3 tf
2
1 )]21()21([)()( 32 tttftf
][)()( 2232
jj eeFF
)2(41)2(41)2(21)2(21)( 113 FFtftftf
2c o s2)]2()2([4
1)(
2
FFF
2c o s2)]2()2()2()2([4
1 jIRjIR
同理，为实数时，由于,)()()( FFtf
)2()2(),2()2()2()2(
IIRRFF,即
)2( te jt?例：求
)1(22 )2(,)2(,1)( jjtj eteett解：
2c o s)2()(2
RF
8-4 周期信号的功率谱与非周期信号的能量谱信号分类,周期信号、非周期信号功率信号、能量信号将信号看作电压或电流 f(t)，它作用在 1Ω电阻上的瞬时功率：
在 -T≤t≤T内（此处 T不是周期）上所消耗的能量为：
)()( 2 tftp?
TT dttf )(2
平均功率为：
TT dttfT )(21 2
当 T→∞ 时消耗的总能量 W 为：
TTT dttfW )(lim 2平均功率 P 为：
TTT dttfTP )(21lim 2
若 0＜ W＜ ∞（此时 P =0），则称 f (t) 为 能量信号若 0＜ P＜ ∞（此时 W →∞ ），则称 f (t) 为 功率信号一般,周期信号都是功率信号，非周期信号则可为能量信号，
也可为功率信号。
能量信号定为脉冲信号
8-4-1 周期信号的功率谱周期信号一般是功率信号，其平均功率是为时域表达式。为周期,)(,)(1 2
2
2 tfTdttf
TP
T
T
平均功率也可在频域中计算
2
2
2 )(1
T
T dttfTP
2
2
0)(1
T
T
n
tjn
n dteFtfT
－
n
T
T
tjn
n dtetfTF
2
2
0)(1
n
nn FF?
n
nF
2
n
nT FdttfTP
22 )(1
1
2
2
0
1
22
0 22
n
n
n
n
AAFFP
。功率频谱，简称功率谱的关系称为周期信号的与 02?nF n
周期信号的平均功率可以在频域中由傅里叶复系数确定物理意义：周期信号在时域中的平均功率等于频域中的直流分量和各次谐波分量的平均功率之和。
帕什瓦尔定理
22
2
2
1
2
0
1
22
0
2
2
2 )(1
n
n
n
T
T
IIII
IIdtti
T
I
若周期信号 f(t) 为电流 i(t)，则周期电流 i(t)的有效值为
22
2
2
1
2
0
1
22
0
2
2
2 )(1
n
n
n
T
T
UUUU
UUdttu
T
U
若周期信号 f(t) 为电压 u(t)，则周期电压 u(t)的有效值为物理意义：任意非正弦的周期电流或电压的有效值等于它的直流分量和各次谐波分量有效值的平方和之平方根。
0 1 2 3
1
-1-3
2
nF
功率谱
0.25
0 1 2 3
1
-1-3
nF
，试画出其功率谱。例：已知 tttf 3c o ss in1)(
例,试计算图示信号在频谱第一个零点以内各分量的功率所占总功率的百分比。
1 )(tf
t1.0? 1.0 1
W2.0111)(1 1.0
1.0
22
2
2
dtdttfTP
T
T
解,先求信号的功率
n
tjn
n eFtf
0)(?
将 f (t) 展开为指数形傅里叶级数
)2.0(2.0)( nSaTnSaTF n
)/(10105,5 0 sr a dTn 此时频谱第一个零点在在频谱第一个零点以内的各分量的功率和为
5
1
22
010 2
n
nFFP?
代入，得将 nF
)]()8.0()6.0(
)4.0()2.0([)2.0(2)2.0(
222
2222
10
SaSaSa
SaSaP
1806.0?
%3.902.01806.010PP?
频谱第一个零点以内各分量的功率占总功率的 90.3%
00 0 4 3 8.002.0046.007.004.0
8-4-2 信号的能量谱密度能量定义 dttfW
)(
2
在频域中如何计算能量？
dttfW )(2
dtdeFtf tj ])(2 1[)(
ddtetfF tj ])([)(2 1
dFF )()(21
，为实函数时，当 )()()( FFtf
dFdF
dttfW
2
0
2
2
)(
1
)(
2
1
)(
上式称非周期能量信号的 能量等式 或 帕什瓦尔能量等式
2)()()( FFF
的偶函数，所以是又因为 )(F
可以理解为信号的能量是由其所有频率分量的贡献而合成的，
信号的总能量是 轴上的积分值 在2/)( 2F
非周期信号的各频率分量幅度为无穷小，为表示信号能量在各个频率分量上的分布，特定义 能量谱密度。
dFdEW
dE
dfE
dfE
f
f
f
f
2
)(
2
1
)(
2
1
,
2
)(
)(
),(
全部能量为内的而信号在整个频率范围信号的能量为的范围内，在频带设信号的能量谱密度为
2)()( FE f
能量谱密度只与信号的幅度谱有关
。信号总能量的所有频率分量的能量为以下使得在的能量，并确定频率例：求信号
%95
,)( aat te
解,由定义，能量可在时域中计算
2
1)(
0
22
dtedttfW
t
能量也可在频域中计算，该信号的频谱：
jF
1)(
ddFW
0 22
2
0
11)(1
2
1)a r c ta n (1
0
,2 195.0%,95,0 即为含有总能量的时到当 a
aa r c ta n1
2
95.0?
)/(9.12 sr a da
aa F a r c t a n1)(1
2
95.0 2
0
因此有：
8-5 线性电路的傅里叶分析法及电路无失真传输的条件傅氏变换分析法 是基于频谱分析的概念，讨论信号作用于线性系统时在频域中求解零状态响应的方法，又称 频域分析法 。
8-5-1 线性电路对周期信号的响应线性电路对周期信号的响应只存在零状态响应的强制响应。
1
00 )c o s ()(
n
nn tnAAtf
应用叠加定理，稳态响应可看作周期信号的直流分量 A0 和各次谐波分量 An ∠ ψ n分别作用同一电路时的稳态响应之和。
)(
)()(
jE
jRjH
激励相量响应相量
)()()( 000 jnEjnHjnR?
傅里叶分析法是把信号分解为无穷多个无时限虚指数信号之和，即单元信号是,先求取各个单元信号作用于系统的响应，再叠加。
tjne 0?
H(ω) 可由微分方程直接求得，或由系统的冲激响应变换求得，
还可以由电路模型求得。
例,求图示电路的系统函数
+
-)(tus R
L
C
+
-)(tu
解,先画出其零状态频域电路模型
)(
)
1
//(
1
//
)(?
sU
Cj
RLj
Cj
R
U
1)(
)(
2
R
LjLCj
U s
1)(
1
)(
)()(
2
R
LjLCjU
UH
s
Lj?
Cj?
1
+
-)(?sU R
+
- )(?U
傅氏分析法计算步骤
)()(1?Ete 变换为频域的将输入激励
)(3?H确定系统的网络函数
)()()(4 HER求出响应的傅氏变换
)()(5 trR 求出即由再从频域返回到时域,?
8-5-2 线性电路对非周期信号的响应作电路的频域模型2
)()(1 trRF
例 8-5-2 图示电路的激励 uS(t),响应为 uC(t)。
+
-)(tuS
R
C
+
- )(tuC
解,先作出频域电路模型
(1) 求网络函数 H(ω)
(2) 当 uS(t)=ε(t) 时，求响应 uC(t) 。
+
-)(?SU
R +
- )(?CUCj?1
(1) 求网络函数 H(ω)
CRj
Cj
R
Cj
U
U
H
S
C
1
1
1
1
)(
)(
)(
(2) 求激励 uS(t)=ε(t) 的傅氏变换 US(ω)
jtU S 1)()()( F
(3) 求响应的傅氏变换 UC(ω)
CRjjHUU SC
1
11)()()()(
RC
jj 1
11)(
(4) 求响应 uC(t)
)()1()()()()( 1 tetetUtu RC tRC tCC F
傅氏分析法与卷积分析法的比较相同之处,都是对信号作单元信号的分解，求取系统在各个单元信号作用下的响应，然后再进行叠加。
不同之处,分解的单元信号不同，前者是求响应的变换域的方法，后者是求响应的时域积分的方法。卷积运算稍显麻烦，而傅氏分析法，则计算比较简便。
所得结果与第四章中时域分析的经典法与卷积分析法所得的结果一致。
)()( thH F
)()(1 thHF
网络函数 H(ω) 是电路冲激响应 h(t) 的傅氏变换例 8-5-3 已知电路的冲激响应为 h(t) = 5e-4tε(t)，电路的 激励 为 e(t) = 2e-2tε(t)，求电路的零状态响应 r(t) 。
解,
因而电路的零状态响应为
jthH 4 5)()( F
jteE 2 2)()( F
jjjjHER 4
5
2
5
2
2
4
5)()()(
)()(5)(5)(5)()( 4242 teeteteRtr tttt -1F
。试求系统的零状态响应输入激励为数例：已知系统的传递函
),()(
,
2
1
)(
tte
j
H
jE
1)()(解：
]1)([21)( jjR )2( 1)(21 jjj
2
2
1
2
1
)(
2?
jj 2
2
1
]
1
)([
2
1
jj
)()1(21)( 2 tetr t
激励下的稳态响应例：求系统在周期信号 ttx 0c o s)(
)()()( jeHH?
而且是稳态响应状态响应就是全响应，不存在零输入响应，零接入系统，激励信号从解：在周期信号激励下t
)]()([][ c o s)( 000 tX F
)]()([)(
)()()(
00
)(
jeH
XHY
)()(
)()(
0
)(
0
0
)(
0
0
0
j
j
eH
eH
2)(2)()(
0
0
0
0 )(
0
)(
0
tj
j
tj
j eeHeeHty
)()(,)()( 0000 HH由于
]22[)()(
0
0
0
0 )()(
0
tj
j
tj
j eeeeHty
)](c o s [)( 000 tH
)(,)( 00 相位移动了系数以了的正弦信号，但幅度乘显然，响应仍为同频率
H
8-5-3 无失真传输和传输畸变
)()()( HER频域：
信号通过系统时，从时域观点看，是改变输入波形成新的波形输出；从频域观点看，是改变输入信号的频谱结构组成新的频谱结构输出。
电路是一个信号的处理或加工装置，其职能是将输入信号 e(t)
经过处理加工变成输出信号 r(t) 。
)()()( thtetr时域：
波形或频域的改变，取决于电路本身的特性，即取决于其冲激响应 h(t) 或网络函数 H(ω)。
一般 H(ω)是 ω的复函数
)()()( jeHH?
电路对信号的不同频率分量的加权作用不一，信号通过电路后，各频率分量产生的衰减和相移不同。
有时要求输出信号复现输入波形，失真最小。
常把电路对信号的处理加工能力称为 加权,并把 H(ω)称为加权函数 。
如果输出信号和输入信号之间的幅度成一定的倍数，波形保持相同，允许保持一定的延时，这种传输叫无失真传输。
无失真传输无失真传输系统响应 )()(
dttKetr
dtjeKER )()(
上式的傅里叶变换为无失真传输电路的网络函数
)()(
)(
)()(
jtj eHKe
E
RH d
通频带为无穷大,)()1( KH
成正比相频特性与,)()2( dt
无失真传输系统应满足的两个条件：
K )(?H
)(?H?
信号的无失真传输条件
0
理想滤波器理想滤波器能在某一频带内无畸变地传输信号并抑制其它频谱分量。
1
w-w
)(?H
)(?H?
理想低通滤波器的频率特性
8-20
8-21 单,(1) (5) 双,(2) (6)
8-22 单,(a) 双,(b)
8-23
8-24
作业,p,506
