第五章 正弦稳态电路分析
5－ 1 正弦量
5－ 2 正弦量的相量表示与相量法
5－ 3 基尔霍夫定律的相量形式
5－ 4 RLC元件的 VCR相量形式
5－ 5 阻抗和导纳
5－ 6 正弦稳态电路的分析计算
5－ 7 正弦稳态电路的功率本章研究线性动态电路在正弦电源激励下的响应 。
线性时不变动态电路在角频率为 ω 的正弦电压源和电流源激励下,随着时间的增长,当暂态响应消失后,只剩下正弦稳态响应 。 电路中全部电压电流都是角频率为 ω
的正弦波时,称电路处于 正弦稳态 。 满足这类条件的动态电路通常称为正弦电流电路或正弦稳态电路 。
正弦稳态分析的 重要性 在于：
（ 1）很多实际电路都工作于正弦稳态。例如电力系统的大多数电路。
（ 2）用相量法分析正弦稳态十分有效。
（ 3）已知电路的正弦稳态响应，可以得到任意波形信号激励下的响应。
分析正弦稳态的有效方法 —— 相量法 。
5－ 1 正 弦 量正弦量 —— 按正弦或余弦规律随时间变化的物理量 。
)c o s ()( m tFtf
一、正弦量的三要素函数式表示：
Fm—— 振幅 / 最大值；
ω —— 角频率；单位,rad/s
ωt+?—— 相位；单位：弧度（ rad）或度（?）；
—— 初相位。 |?|
f —— 频率；单位：赫兹（ Hz） ω=2?f
T —— 周期；单位：秒（ s） T=1 / f
为方便起见，作图时往往将横坐标定为 ωt 而不用 t（横坐标的单位由秒改成弧度）。
＝ 0时，正弦波在 t=0时出现最大值；
≠0时，正弦波在 ωt+?=0 即 t = -? /ω时出现最大值；
>0，到达最大值的时刻在起始时刻之前，
<0，到达最大值的时刻在起始时刻之后。
通常规定 |?|。
(a)? >0 (b)? =0 (c)? <0
由于已知振幅 Fm,角频率 ω 和初相?,就能完全确定一个正弦量，所以称它们为 正弦量的三要素 。
电路中各电压、电流的参考方向与计时起点选择不同，初相?就不同，见 p.236图 5-1-2及图 5-1-3。
直流电流或直流电压可看成频率为零 （ f =0）,初相为零的正弦电流,电压 。
参考正弦量 —— 适当选择计时起点，可使初相?为零。
i(t)=Imcosωt 或 u(t)=Umcosωt
注意,若给出的正弦量为正弦形，须将其变为余弦形。
3c o s426c o s46s i n4)( ttttu
例 1 已知正弦电压的振幅为 10伏,周期为 100ms,初相为?/6。 试写出正弦电压的函数表达式和画出波形图 。
解,角频率
r a d / s 20101 0 0 22 3T
函数表达式为
V )301 0 c o s ( 6 2,8
)
6
20c o s (10)c o s ()( m
t
ttUtu
波形如右图。
例 2 试求正弦量 的振幅 Fm,初相?与频率 f 。 )61 0 0s i n (10)(
ttf
解,将正弦量表达式化为基本形式：
)65100s i n (10)6100s i n (10)( tttf
)3100c o s (10)265100c o s (10 tt
所以 Fm = 10,? =?/3 rad,
= 100? rad/s,f =?/2?= 50Hz
正弦稳态电路中,各电压电流都是频率相同的正弦量,
常常需要将这些正弦量的相位进行比较 。 两个正弦电压电流相位之差,称为 相位差?。 如两个同频率的正弦电流
)c o s ()(
)c o s ()(
2m22
1m11
tIti
tIti
则电流 i1(t)与 i2(t)间的相位差为
2121 )()( tt
二,正弦量间的相位差上式表明两个同频率正弦量在任意时刻的相位差等于它们 初相之差,与时间 t无关。
(a) 电流 i1超前 于电流 i2 (b) 电流 i1滞后 于电流 i2
当?=?1-?2 = 0 时,i1(t)与 i2(t)同相 。
当?=?1-?2 =时,i1(t)与 i2(t)反相 。
当?=?1-?2 =/2时,i1(t)与 i2(t)正交 。
相位差?反映出电流 i1(t)与 i2(t)在时间上的超前和滞后关系：
当?=?1-?2>0时，表明 i1(t)超前 i2(t)，超前的角度为? 。
当?=?1-?2<0时，表明 i1(t)滞后 i2(t)，滞后的角度为 |?|。
(c) 同相 (d) 正交 (e) 反相注意,角频率不同的两个正弦间的相位差为
)()()()()( 21212211 tttt
是时间 t的函数，不再等于初相之差。
例 3 已知正弦电压 u(t)和电流 i1(t),i2(t)的表达式为
A )60c os (10)(
A )45c os (5)(
V )18 0c os (31 1)(
2
1
tti
tti
ttu
试求,u(t)与 i1(t)和 i2(t)的相位差 。
1 3 5)45()1 8 0(
u(t)与 i2(t)的相位差为
2 4 060)1 8 0(
解,u(t)与 i1(t)的相位差为习惯上将相位差的范围控制在 -180° 到 +180° 之间，
即 |? |。我们不说电压 u(t)与电流 i2(t)的相位差为 -240?
，而说电压 u(t)与电流 i2(t)的相位差为 (360?-240?)=120?
,u(t)超前于 i2 (t) 120? 。
例 5-1-2 p.242图 5-1-5电路中
)
2
c os ()(
)
4
3
c os ()(
tUtu
tIti
m
m
问：电流与电压谁超前,谁滞后？ 数值是多少？
45243
ui
解,i(t)与 u(t)的相位差为通常规定 |?|。遇到类似情况，可用 2?±?来表示相位差角，但滞后要改为超前，超前要改为滞后。
如本例改为,
>0,表明 i(t)超前 u(t)的角度为 5?/4，但如果说 u(t)
超前于 i2(t) 2? -? = 2? - 5?/4 = 3?/4 也未尝不可。
432452)( ui
。遇到类似情况，可用 ±
位差角，但滞后要改为超前，超前要改为滞后。
如本例改为即 i(t)落后于 u(t) 3?/4 。
例 5-1-3 p.243
)
4
c os ()(
)
5
2
s in ()(
)
6
c os ()(
22
11
tUtu
tIti
tIti
m
m
m
试比较三个正弦量之间的相位差 。
0151410652112
ii
解,电流 i1(t)与 i2(t)应分别改写为
i1(t)与 i2(t)的相位差为
)
10
c os ( )
25
2
c os ()(
)
6
5
c os ( )
6
c os ()(
222
111
tItIti
tItIti
mm
mm
超前故应改 为
0203410223
ui
i2(t)与 u(t)的相位差为超前
12
13
46113 ui
i1(t)与 u(t)的相位差为
01211212132113 ui 滞后注意：
由于规定 |?|,相位差必须两两比较,不能因为 i1(t)
超前 i2(t)和 i2(t)超前 u(t)而认定有 i1(t)超前 u(t)的结果。
将直流电流 I和正弦电流 i(t)通过电阻 R时的功率和能量作一比较,导出正弦电压电流的有效值 。
电阻 R通过直流电流 I时,吸收的功率 P=I2R,在时间 T
内获得的能量为 W=PT=I2RT,
三、正弦量的有效值通过周期电流信号 i(t)时，电阻吸收的功率 p(t)=
i2(t)R是时间的函数，在一个周期 T内获得的能量为
T tRtiW 0 2 d)(
当直流电流 I或者电流 i(t)通过同一电阻 R时，假设它们在一个周期的时间内获得相同的能量，即
T tRtiRTIW 0 22 d)(
由此解得
T ttiTI 0 2 )d(1
电流 i(t)的方均根值，称为 有效值 。
m
m
0
2
m
0
22
m
0
2
707.0
2
)]d2t(2c o s1[
2
11
)dt(c o s
1
)d(
1
I
I
tI
T
tI
T
tti
T
I
T
TT
对于正弦电流 i(t)=Imcos(?t+?),方均根值 (有效值 )为,
振幅为 Im的正弦电流与数值为 I=0.707Im的直流电流，
在一个周期内，对电阻 R提供相同的能量。
即正弦量的有效值为振幅值的 0.707倍，或者说正弦量的振幅是其有效值的 倍正弦电压 u(t)=Umcos(?t+?)的有效值为
m
0
22
m
0
2 707.0 )dt(c o s1 )d(1 UtU
TttuTU
TT
2
引入有效值概念后，可将正弦量的数学表达式写成如下形式
)c o s (2
)c o s (2
tUu
tIi
对于半波整流波形，其表达式,
)2/t(0 ωs in)( TtAth
可得半波整流波形的有效值是振幅值的 0.5倍。
A
A
t
T
A
tA
T
tth
T
H
T
TT
5.0
2
t ] d2c o s1[
2
1
tds i n
1
)d(
1
2/
0
2
2/
0
22
0
2
5-1
5-2
5-3
作业,p.319
5-2 正弦量的相量表示与相量法一、复数及其运算法则
1,直角坐标形式,A = a1 + ja2
a1,实部 a2,虚部 j：虚数单位对复数 A取实部,Re [A] = Re [a1 + ja2 ] = a1
取虚部,Im [A] = Im [a1 + ja2 ] = a2
+1
j
a
a1
a2
0
复数的复平面表示形式：
（ 1）复平面上的一点（ a1,a2）
（ 2）原点 0到 A的有向线段 —— 平面向量向量长度 a —— 复数 A 的 模向量与实轴夹角?—— 复数 A 的 幅角向量在实轴投影 —— 复数 A 的 实部 a1
向量在虚轴投影 —— 复数 A 的 虚部 a2
2,三角形式,A = a ( cos? + jsin? )
3,指数形式,A = a e j?
4,极坐标形式,A = a
+1
j
a
a1
a2
0
复数的复平面表示欧拉公式,cos?+ jsin? = e j?
1
22
2
2
1 a
aa r c t gaaa
a1 = acos? a2 = asin?
注意,(p.248)
3,A± B 必须用直角坐标系进行
A± B=(a1 + ja2) ± (b1 + jb2) = (a1 ± a2) + j (b1 ± b2 )
p.248 平行四边形法则
4,两复数相乘或相除，用极坐标形式更方便
22
11
ba
baba
ba
1,?角所在象限由 a1和 a2 的正负号决定，而非 a1／ a2的正负号
2,若两复数 A = a1 + ja2 = aa 和 B = b1 + jb2 = bb 相等，
即 A = B，则必有
baba b
a
B
AabBA
复数 A在复平面上逆时针旋转?／ 2
11
2
1
2
1 22
j
jj
e
jeje
5,任意 复数 A = aa 乘以复数 e j? = 1
等于把复数 A 在复平面上逆时针旋转?角，而模值不变
2
2
a
a
ajA
j
A
ajA
复数 A在复平面上顺时针旋转?／ 2
其中这一结果表明可以用复数来表示正弦量。
分析正弦稳态的有效方法是相量法 (Phase method)，
相量法的基础是用相量 （ 向量 ） 或复数来表示正弦量的振幅和初相 。
例如,设正弦电流二、正弦量的相量表示欧拉公式,e j? = cos? + jsin t令
]e[e)c o s (
)s i n ()c o s (e
)(
)(
tj
tj
t
tjt
R
)c o s (2)c o s ()( ii tItti mI
]e[e]ee[e]e[e)( )( tjtjjtj iiti mmm III?RRR可将其写成或 其中
i
i
e
e
III
III mmm
i
i
j
j
]e2[e)( tjti?I?R? 与时间无关
i
i
e
e
III
III mmm
i
i
j
j
相量 电流的振幅相量电流的有效值相量类似地，正弦电压 )c o s (2)c o s ()(
uu tUtUtu m
]e2[e]e[e
]ee[e]e[e)( )(
tjtj
tjjtj
UU
UUtu uu
RR
RR
m
mm
可写成振幅相量为有效值相量为 u ue
e
UUU
UUU
u
u
j
j
mmm
III je?i (t)的有效值相量有效值相量
II 2m?正弦量有效值与幅值的关系：
相量可以在复平面上用向量表示
1,相量 和 是一个能表征正弦电流、电压并具有特殊意义的复数，故要在字母 Im与 Um上加点，以示与一般复数相区别。
mm UI
注意,
2,在实际运算中相量与一般的复数并没有区别。
+1
+j
ψu
0
振幅相量图
ψi
mU?
mI?
+1
+j
ψu
0
有效值相量图
ψi
U?
I?
正弦量与其相量的对应关系：
和 相乘后，得模不变，幅角 ωt+ψi成为时间 t的函数是 以原点为中心，以角速度 ω逆时针方向旋转的向量。
称 旋转相量,称 旋转因子 。
tjeI?m? )(ee itjtj mm II?
mI?
tjtj eemI?
+1
+j
mI?
tjI?em?
tn
t=
t n
t
i(t)t=
0
0 t1
t=
t 1
旋转相量在实轴上的投影可见，一个按正弦规律变化的电压和电流，可以用一个相量 (复数 )来表示。
已知正弦量的时间表达式，可得相应的相量。反过来，
已知电压电流相量，也就知道正弦电压电流的振幅和初相，
再加上角频率，就能写出正弦电压电流的时间表达式。即
immim
ummm
)c o s ()(
)c o s ()(
IItIti
UUtUtu u
或
Iti
Utu
)(
)(
本书中今后一般用 有效值相量 进行讨论。
例 4 已知电流 i1(t) = 5cos(314t+60?)A,
i2(t) = -10sin(314t+60?)A。
写出它们的相量,画出相量图,并求 i(t)=i1(t)+ i2(t)。
A605Ae5 60jm1I解,
A15010)(
)150314c o s (10
)30314c o s (10 )60314s i n (10)(
m22
2
Iti
t
ttti
相量图如图所示 。
相量图的另一个好处是可以用向量和复数的运算法则求同频率正弦电压或电流之和。
平行四边形法则 。 (p.248)
从相量图容易看出各正弦电压电流的相位关系,i2(t)超前于
i1(t) 90° 。
A4.1 2 38.11
)33.9j16.6(
)5j66.8()33.4j5.2(
1 5 010605
m2m1m
III
可得电流的表达式为
A)4.1 2 33 1 4c o s (8.11
)3 1 4c o s ()()()( m21
t
tItititi?
例 5-2-1 已知
(1)写出它们的相量； (2)画出相量图解,
A654)( 22 Iti?
V )
6
314s in (210)(
A )
6
314c os (24)(
A )
6
314c os (25)(
2
1
ttu
tti
tti
A65)( 11 Iti?
A )
6
5
314c os (24
A )
6
314c os (24A )
6
314c os (24)(2
t
ttti
V )
3
2
314c os (210V )
3
314c os (210
V )
26
314c os (210V )
6
314s i n (210)(
tt
tttu
V3210)( Utu?
+1
+j
0
相量图A64
2
I?
A651I?
V3210U?
例 5-2-2 已知同频率的正弦电流相量,电压相量为
,频率 f = 100Hz。
试写出它们所代表的正弦量 。
解,
V )
2
20 0c os (210 0)(
A )
3
20 0c os (22)(
ttu
tti
A32I?
V2100U?
ω= 2?f = 200? rad/s
将正弦量用相量表示后,正弦激励下的电路微分方程的特解求解得到简化,可把微分方程转化为复数代数方程来求解 。
三、相量法例,一正弦电流 在 t=0时加到一个 RC并联电路上 (p,257)，则 微分方程为
)c o s (2( t ) iss tIi
)0()c o s (2 ttIRutdduC iscc
此微分方程的特解 uc(t)是与激励同频的正弦量,设特解为 )c o s (2( t )
ucc tUu
is(t)与 uc(t)均可用相量表示,分别为
uCCiSS UUII,
]e2[e)(]e2[e)( tjCCtjSS UtuIti RR则代入微分方程得
tjStjCtjC IRUUdtdC e2ee2ee2e RRR
则有
tjStjCtjC I
R
UUCj e2ee2ee2e RRR?
进一步写为
tjStjCC I
R
UUCj e2ee22e RR?
上式是对任何时刻 t均成立的恒等式,且 e jωt≠0,则
S
C
C IR
UUCj
可解得
CRar c t g
C
R
I
CRar c t gC
R
I
Cj
R
I
U
i
S
iSS
C
2
2
2
2
1
1
1
所以
2
2
1
C
R
I
U SC
CRa r c t giu
结论,用相量表示正弦量后,微分方程变成复数代数方程来求解,简化了正弦激励下电路微分方程的特解即正弦稳态响应的计算 。 这种计算方法称为 相量法 。
n
k
k ti
1
0)(
电路中全部电流都具有同一频率 ω,则可用振幅相量或有效值相量表示：
]e2[]e[e)( jjm tktkk IeIti RR
5-3 基尔霍夫定律的相量形式一,KCL的相量形式,
代入 KCL中得,
n
k
t
k
n
k
k Ieti
1
j
1
0]e2[)(R
n
k
kI
1
0?由于 不能恒为零，那么只有,tje?
时域表示：
相量形式的 KCL定律：
对于具有相同频率的正弦电路中的任一节点 （ 或封闭面 ）
上各支路 电流相量 的代数和等于零 。
1 流出节点的电流取,+”号，流入节点的电流取,-”号
。
2 流出任一节点的全部支路电流振幅 (或有效值 )的代数和并不一定等于零。即，一般情况下,
注意：
n
k
k
n
k
k II
11
m 0 0
例 5-3-1 已知 As i n25)(,A )60c o s (210)( 21 ttitωti
试求电流 i(t)及其有效值相量并做出电流相量图。
解,根据图 (a)电路的时域模型，得图 (b)所示的相量模型 —— 将时域模型中各电流符号用相应的相量符号表示。
i
i1 i2
(a)
iS
í 1
í1 í2
(b)
íS
A 905A 6010 21 II有效值相量列图 (b)相量模型中节点 1的 KCL方程，
021 III
由此可得
A2.362.666.3j5j5j 8,6 65
905601021
III
则：
A)2.36c o s (22.6)( tti?
相量图如右图所示，用来检验复数计算的结果是否正确。
A 905A 6010 21 II有效值相量
í
í2
í1
+1
j
n
k
k tu
1
0)(
相量形式的 KVL定律,
对于具有相同频率的正弦电流电路中的任一回路,沿该回路全部支路 电压相量 的代数和等于零 。
n
k
kU
1
0?
相量形式为：
二,KVL的相量形式,
n
k
kU
1
0
1,与回路绕行方向相同的电压取,+”号，相反的取,-”号
。
2,沿任一回路全部支路电压振幅 (或有效值 )的代数和并不一定等于零，即一般来说注意时域表示：
例 6 求 uS(t)和相应的相量，并画出相量图。已知
Vc os212)(
V)90c os (28)(
Vc os26)(
3
2
1
tωtu
tωtu
tωtu
解,根据电路的时域模型，画出右图相量模型,并计算出电压相量。
+ u1 -
- u3 +
+
u2
-
+
uS
-
+ 1 -
- 3 +
+
2
-
+
S
-U?
U?
U?
U?
V012U V908U V1806U 321
图 (b)，以顺时针为绕行方向，列出相量形式的 KVL方程
0321S UUUU
V.15310j8612j86
0129081806321S
UUUU
由相量得时间表达式
V)1.53c o s (210)(S tωtu
各相量的关系如右图 +1
+j
1U?
2U?
3U?
SU?
5-4 (1) (a)
5-4 (2) (e)
5-5 (1) (a) (2) (a)
5-6 (1)
作业,p,320
一、电阻元件 伏安关系的相量形式
)()( tiRtu?
当电流 i(t)=Imcos(?t+?i)时，电阻上电压电流关系：
)c o s ()()c o s ()( imm tRItRitUtu u
电压和电流是同频率的正弦时间函数。其振幅或有效值之间服从欧姆定律，其相位差为零 (同相 )，即
5-4 电路元件伏安关系的相量形式时域：
iu
mm
RIURIU 或电阻元件的时域模型及反映电压电流关系的波形如下图示。
可见，在任一时刻，电压的瞬时值是电流的 R倍，电压与电流同相位。
由于同频率，用相量表示如下：
]e2R e []eR e [)(
]e2R e []eR e [)(
jj
m
jj
m
tωtω
tωt
IIti
UUtu
代入欧姆定理中，得
]e2R e []e2R e [( jj tωtω IRUtu）
得电阻电压电流关系的相量形式为
IRU
这是复数方程，同时提供振幅之间和相位之间的两个关系，即：
(1) U=RI (2)?u =?i。
相量模型如图 (a)所示，反映电压电流相量关系的相量图如图 (b)所示，由此可看出电阻电压与电流的相位相同。
注意,(p.263)
二,电容元件伏安关系的相量形式
t
uCti
d
d)(?
当 u(t)=Umcos(?t+?u)时
)90c o s ()s i n (
)]c o s ([
d
d
)c o s ()(
umum
umim
ωtω C Uωtω C U
ωtU
t
CωtIti
电容的电压和电流同频率。其振幅或有效值以及相位间的关系为
90
ui
mm
ω C UIω C UI 或电容电压电流关系为电容元件的时域模型如图 (a)所示，电压电流的波形图如图
(b)所示。由此可看出电容电流超前于电容电压 90° 。
电压电流频率相同，用相量表示为得电容元件电压和电流相量的关系式这个复数方程包含振幅间与幅角间的关系。
电容元件的相量模型如图
(a)所示，其相量关系如图
(b)所示。
UCωI j?
]e2jR e [)]e2[ R e (dd]e2R e [( jjj tωtωtω UCωUtCIti）
U?
ωCj
1
I?
(a)
1
j
U
u
UωCI j?
i?
(b)
注意,(p.266)
三,电感元件伏安关系的相量形式
t
iLtu
d
d)(?
当 i(t)=Imcos(?t+?i)时
)90c o s (ω)s i n (ω
)]c o s ([
d
d
)c o s ()(
imim
imum
ωtLIωtLI
ωtI
t
LωtUtu
90
iu
mm
LIωULIωU 或电感上电压电流关系：
可看出电感电压超前于电流 90°,当电感电流由负值增加经过零点时，其电压达到正最大值。
电感元件的时域模型如图 (a)所示,伏安关系的波形如图
(b)。
由于同频率，用相量表示
]e2jR e [)]e2[ R e (dd]e2R e [( jjj tωtωtω ILωItLUtu）
得电感元件电压和电流相量的关系式
ILωU j?
电感元件的相量模型如图 (a)，伏安相量关系的相量图如图 (b)所示。
注意,(p.269)
KCL,KVL和元件 VCR的时域和相量形式：
1
d
d
1
d
d
e )c os (2)(
e )c os (2)(
0 0
0 0
j
SiS
j
SuS
11
11
i
u
UYIIZU
i dt
C
u
t
u
Ci
udt
L
i
t
i
Lu
GuiRiu
IItIti
UUtUtu
Uu
Ii
t
t
n
k
k
n
k
k
n
k
k
n
k
k
电容电感电阻电流源电压源基尔霍夫电压定律基尔霍夫电流定律相量形式时域形式
例 7 图示电路，已知 A 2c o s2)(
S tti?
求,u1(t),u2(t),u(t)及有效值相量 。
解：相量模型如图 (b)，根据相量形式的 KCL求电流相量
1AA01S II
根据相量形式的 VCR，得：
V9044j0122jj
V03013
2
S1
ILωU
IRIRU
根据相量形式的 KVL，得到
V1.5354j321 UUU
时域表达式
V )1.532c os (25)(
V )902c os (24)(
V 2c os23)(
2
1
ttu
ttu
ttu
相量图如图 (c)所示。
例 8 电路如图 (a)所示,已知求,i1(t),i2(t),i(t)及其有效值相量。
V5c o s210)(,F1.0,4 S ttuCR
解,相量模型如图 (b),电压相量 根据 RLC元件相量形式的 VCR方程求电流 V010S
U
A905j50100,15ωj
A5.205.2
4
010
2
S
1
jUCI
R
U
I
s
相量形式的 KCL，得到
A4.6359.5j55.221 III
时域表达式：
A )4.635c o s (259.5)(
A )905c o s (25)(
A 5c o s25.2)(
2
1
tti
tti
tti
相量图如图 (c)所示。
单数学号 双数学号
5-8
5-9 (1) (2)
5-10 (1) (2)
作业,p,322
5－ 1 正弦量
5－ 2 正弦量的相量表示与相量法
5－ 3 基尔霍夫定律的相量形式
5－ 4 RLC元件的 VCR相量形式
5－ 5 阻抗和导纳
5－ 6 正弦稳态电路的分析计算
5－ 7 正弦稳态电路的功率本章研究线性动态电路在正弦电源激励下的响应 。
线性时不变动态电路在角频率为 ω 的正弦电压源和电流源激励下,随着时间的增长,当暂态响应消失后,只剩下正弦稳态响应 。 电路中全部电压电流都是角频率为 ω
的正弦波时,称电路处于 正弦稳态 。 满足这类条件的动态电路通常称为正弦电流电路或正弦稳态电路 。
正弦稳态分析的 重要性 在于：
（ 1）很多实际电路都工作于正弦稳态。例如电力系统的大多数电路。
（ 2）用相量法分析正弦稳态十分有效。
（ 3）已知电路的正弦稳态响应，可以得到任意波形信号激励下的响应。
分析正弦稳态的有效方法 —— 相量法 。
5－ 1 正 弦 量正弦量 —— 按正弦或余弦规律随时间变化的物理量 。
)c o s ()( m tFtf
一、正弦量的三要素函数式表示：
Fm—— 振幅 / 最大值；
ω —— 角频率；单位,rad/s
ωt+?—— 相位；单位：弧度（ rad）或度（?）；
—— 初相位。 |?|
f —— 频率；单位：赫兹（ Hz） ω=2?f
T —— 周期；单位：秒（ s） T=1 / f
为方便起见，作图时往往将横坐标定为 ωt 而不用 t（横坐标的单位由秒改成弧度）。
＝ 0时，正弦波在 t=0时出现最大值；
≠0时，正弦波在 ωt+?=0 即 t = -? /ω时出现最大值；
>0，到达最大值的时刻在起始时刻之前，
<0，到达最大值的时刻在起始时刻之后。
通常规定 |?|。
(a)? >0 (b)? =0 (c)? <0
由于已知振幅 Fm,角频率 ω 和初相?,就能完全确定一个正弦量，所以称它们为 正弦量的三要素 。
电路中各电压、电流的参考方向与计时起点选择不同，初相?就不同，见 p.236图 5-1-2及图 5-1-3。
直流电流或直流电压可看成频率为零 （ f =0）,初相为零的正弦电流,电压 。
参考正弦量 —— 适当选择计时起点，可使初相?为零。
i(t)=Imcosωt 或 u(t)=Umcosωt
注意,若给出的正弦量为正弦形，须将其变为余弦形。
3c o s426c o s46s i n4)( ttttu
例 1 已知正弦电压的振幅为 10伏,周期为 100ms,初相为?/6。 试写出正弦电压的函数表达式和画出波形图 。
解,角频率
r a d / s 20101 0 0 22 3T
函数表达式为
V )301 0 c o s ( 6 2,8
)
6
20c o s (10)c o s ()( m
t
ttUtu
波形如右图。
例 2 试求正弦量 的振幅 Fm,初相?与频率 f 。 )61 0 0s i n (10)(
ttf
解,将正弦量表达式化为基本形式：
)65100s i n (10)6100s i n (10)( tttf
)3100c o s (10)265100c o s (10 tt
所以 Fm = 10,? =?/3 rad,
= 100? rad/s,f =?/2?= 50Hz
正弦稳态电路中,各电压电流都是频率相同的正弦量,
常常需要将这些正弦量的相位进行比较 。 两个正弦电压电流相位之差,称为 相位差?。 如两个同频率的正弦电流
)c o s ()(
)c o s ()(
2m22
1m11
tIti
tIti
则电流 i1(t)与 i2(t)间的相位差为
2121 )()( tt
二,正弦量间的相位差上式表明两个同频率正弦量在任意时刻的相位差等于它们 初相之差,与时间 t无关。
(a) 电流 i1超前 于电流 i2 (b) 电流 i1滞后 于电流 i2
当?=?1-?2 = 0 时,i1(t)与 i2(t)同相 。
当?=?1-?2 =时,i1(t)与 i2(t)反相 。
当?=?1-?2 =/2时,i1(t)与 i2(t)正交 。
相位差?反映出电流 i1(t)与 i2(t)在时间上的超前和滞后关系：
当?=?1-?2>0时，表明 i1(t)超前 i2(t)，超前的角度为? 。
当?=?1-?2<0时，表明 i1(t)滞后 i2(t)，滞后的角度为 |?|。
(c) 同相 (d) 正交 (e) 反相注意,角频率不同的两个正弦间的相位差为
)()()()()( 21212211 tttt
是时间 t的函数，不再等于初相之差。
例 3 已知正弦电压 u(t)和电流 i1(t),i2(t)的表达式为
A )60c os (10)(
A )45c os (5)(
V )18 0c os (31 1)(
2
1
tti
tti
ttu
试求,u(t)与 i1(t)和 i2(t)的相位差 。
1 3 5)45()1 8 0(
u(t)与 i2(t)的相位差为
2 4 060)1 8 0(
解,u(t)与 i1(t)的相位差为习惯上将相位差的范围控制在 -180° 到 +180° 之间，
即 |? |。我们不说电压 u(t)与电流 i2(t)的相位差为 -240?
，而说电压 u(t)与电流 i2(t)的相位差为 (360?-240?)=120?
,u(t)超前于 i2 (t) 120? 。
例 5-1-2 p.242图 5-1-5电路中
)
2
c os ()(
)
4
3
c os ()(
tUtu
tIti
m
m
问：电流与电压谁超前,谁滞后？ 数值是多少？
45243
ui
解,i(t)与 u(t)的相位差为通常规定 |?|。遇到类似情况，可用 2?±?来表示相位差角，但滞后要改为超前，超前要改为滞后。
如本例改为,
>0,表明 i(t)超前 u(t)的角度为 5?/4，但如果说 u(t)
超前于 i2(t) 2? -? = 2? - 5?/4 = 3?/4 也未尝不可。
432452)( ui
。遇到类似情况，可用 ±
位差角，但滞后要改为超前，超前要改为滞后。
如本例改为即 i(t)落后于 u(t) 3?/4 。
例 5-1-3 p.243
)
4
c os ()(
)
5
2
s in ()(
)
6
c os ()(
22
11
tUtu
tIti
tIti
m
m
m
试比较三个正弦量之间的相位差 。
0151410652112
ii
解,电流 i1(t)与 i2(t)应分别改写为
i1(t)与 i2(t)的相位差为
)
10
c os ( )
25
2
c os ()(
)
6
5
c os ( )
6
c os ()(
222
111
tItIti
tItIti
mm
mm
超前故应改 为
0203410223
ui
i2(t)与 u(t)的相位差为超前
12
13
46113 ui
i1(t)与 u(t)的相位差为
01211212132113 ui 滞后注意：
由于规定 |?|,相位差必须两两比较,不能因为 i1(t)
超前 i2(t)和 i2(t)超前 u(t)而认定有 i1(t)超前 u(t)的结果。
将直流电流 I和正弦电流 i(t)通过电阻 R时的功率和能量作一比较,导出正弦电压电流的有效值 。
电阻 R通过直流电流 I时,吸收的功率 P=I2R,在时间 T
内获得的能量为 W=PT=I2RT,
三、正弦量的有效值通过周期电流信号 i(t)时，电阻吸收的功率 p(t)=
i2(t)R是时间的函数，在一个周期 T内获得的能量为
T tRtiW 0 2 d)(
当直流电流 I或者电流 i(t)通过同一电阻 R时，假设它们在一个周期的时间内获得相同的能量，即
T tRtiRTIW 0 22 d)(
由此解得
T ttiTI 0 2 )d(1
电流 i(t)的方均根值，称为 有效值 。
m
m
0
2
m
0
22
m
0
2
707.0
2
)]d2t(2c o s1[
2
11
)dt(c o s
1
)d(
1
I
I
tI
T
tI
T
tti
T
I
T
TT
对于正弦电流 i(t)=Imcos(?t+?),方均根值 (有效值 )为,
振幅为 Im的正弦电流与数值为 I=0.707Im的直流电流，
在一个周期内，对电阻 R提供相同的能量。
即正弦量的有效值为振幅值的 0.707倍，或者说正弦量的振幅是其有效值的 倍正弦电压 u(t)=Umcos(?t+?)的有效值为
m
0
22
m
0
2 707.0 )dt(c o s1 )d(1 UtU
TttuTU
TT
2
引入有效值概念后，可将正弦量的数学表达式写成如下形式
)c o s (2
)c o s (2
tUu
tIi
对于半波整流波形，其表达式,
)2/t(0 ωs in)( TtAth
可得半波整流波形的有效值是振幅值的 0.5倍。
A
A
t
T
A
tA
T
tth
T
H
T
TT
5.0
2
t ] d2c o s1[
2
1
tds i n
1
)d(
1
2/
0
2
2/
0
22
0
2
5-1
5-2
5-3
作业,p.319
5-2 正弦量的相量表示与相量法一、复数及其运算法则
1,直角坐标形式,A = a1 + ja2
a1,实部 a2,虚部 j：虚数单位对复数 A取实部,Re [A] = Re [a1 + ja2 ] = a1
取虚部,Im [A] = Im [a1 + ja2 ] = a2
+1
j
a
a1
a2
0
复数的复平面表示形式：
（ 1）复平面上的一点（ a1,a2）
（ 2）原点 0到 A的有向线段 —— 平面向量向量长度 a —— 复数 A 的 模向量与实轴夹角?—— 复数 A 的 幅角向量在实轴投影 —— 复数 A 的 实部 a1
向量在虚轴投影 —— 复数 A 的 虚部 a2
2,三角形式,A = a ( cos? + jsin? )
3,指数形式,A = a e j?
4,极坐标形式,A = a
+1
j
a
a1
a2
0
复数的复平面表示欧拉公式,cos?+ jsin? = e j?
1
22
2
2
1 a
aa r c t gaaa
a1 = acos? a2 = asin?
注意,(p.248)
3,A± B 必须用直角坐标系进行
A± B=(a1 + ja2) ± (b1 + jb2) = (a1 ± a2) + j (b1 ± b2 )
p.248 平行四边形法则
4,两复数相乘或相除，用极坐标形式更方便
22
11
ba
baba
ba
1,?角所在象限由 a1和 a2 的正负号决定，而非 a1／ a2的正负号
2,若两复数 A = a1 + ja2 = aa 和 B = b1 + jb2 = bb 相等，
即 A = B，则必有
baba b
a
B
AabBA
复数 A在复平面上逆时针旋转?／ 2
11
2
1
2
1 22
j
jj
e
jeje
5,任意 复数 A = aa 乘以复数 e j? = 1
等于把复数 A 在复平面上逆时针旋转?角，而模值不变
2
2
a
a
ajA
j
A
ajA
复数 A在复平面上顺时针旋转?／ 2
其中这一结果表明可以用复数来表示正弦量。
分析正弦稳态的有效方法是相量法 (Phase method)，
相量法的基础是用相量 （ 向量 ） 或复数来表示正弦量的振幅和初相 。
例如,设正弦电流二、正弦量的相量表示欧拉公式,e j? = cos? + jsin t令
]e[e)c o s (
)s i n ()c o s (e
)(
)(
tj
tj
t
tjt
R
)c o s (2)c o s ()( ii tItti mI
]e[e]ee[e]e[e)( )( tjtjjtj iiti mmm III?RRR可将其写成或 其中
i
i
e
e
III
III mmm
i
i
j
j
]e2[e)( tjti?I?R? 与时间无关
i
i
e
e
III
III mmm
i
i
j
j
相量 电流的振幅相量电流的有效值相量类似地，正弦电压 )c o s (2)c o s ()(
uu tUtUtu m
]e2[e]e[e
]ee[e]e[e)( )(
tjtj
tjjtj
UU
UUtu uu
RR
RR
m
mm
可写成振幅相量为有效值相量为 u ue
e
UUU
UUU
u
u
j
j
mmm
III je?i (t)的有效值相量有效值相量
II 2m?正弦量有效值与幅值的关系：
相量可以在复平面上用向量表示
1,相量 和 是一个能表征正弦电流、电压并具有特殊意义的复数，故要在字母 Im与 Um上加点，以示与一般复数相区别。
mm UI
注意,
2,在实际运算中相量与一般的复数并没有区别。
+1
+j
ψu
0
振幅相量图
ψi
mU?
mI?
+1
+j
ψu
0
有效值相量图
ψi
U?
I?
正弦量与其相量的对应关系：
和 相乘后，得模不变，幅角 ωt+ψi成为时间 t的函数是 以原点为中心，以角速度 ω逆时针方向旋转的向量。
称 旋转相量,称 旋转因子 。
tjeI?m? )(ee itjtj mm II?
mI?
tjtj eemI?
+1
+j
mI?
tjI?em?
tn
t=
t n
t
i(t)t=
0
0 t1
t=
t 1
旋转相量在实轴上的投影可见，一个按正弦规律变化的电压和电流，可以用一个相量 (复数 )来表示。
已知正弦量的时间表达式，可得相应的相量。反过来，
已知电压电流相量，也就知道正弦电压电流的振幅和初相，
再加上角频率，就能写出正弦电压电流的时间表达式。即
immim
ummm
)c o s ()(
)c o s ()(
IItIti
UUtUtu u
或
Iti
Utu
)(
)(
本书中今后一般用 有效值相量 进行讨论。
例 4 已知电流 i1(t) = 5cos(314t+60?)A,
i2(t) = -10sin(314t+60?)A。
写出它们的相量,画出相量图,并求 i(t)=i1(t)+ i2(t)。
A605Ae5 60jm1I解,
A15010)(
)150314c o s (10
)30314c o s (10 )60314s i n (10)(
m22
2
Iti
t
ttti
相量图如图所示 。
相量图的另一个好处是可以用向量和复数的运算法则求同频率正弦电压或电流之和。
平行四边形法则 。 (p.248)
从相量图容易看出各正弦电压电流的相位关系,i2(t)超前于
i1(t) 90° 。
A4.1 2 38.11
)33.9j16.6(
)5j66.8()33.4j5.2(
1 5 010605
m2m1m
III
可得电流的表达式为
A)4.1 2 33 1 4c o s (8.11
)3 1 4c o s ()()()( m21
t
tItititi?
例 5-2-1 已知
(1)写出它们的相量； (2)画出相量图解,
A654)( 22 Iti?
V )
6
314s in (210)(
A )
6
314c os (24)(
A )
6
314c os (25)(
2
1
ttu
tti
tti
A65)( 11 Iti?
A )
6
5
314c os (24
A )
6
314c os (24A )
6
314c os (24)(2
t
ttti
V )
3
2
314c os (210V )
3
314c os (210
V )
26
314c os (210V )
6
314s i n (210)(
tt
tttu
V3210)( Utu?
+1
+j
0
相量图A64
2
I?
A651I?
V3210U?
例 5-2-2 已知同频率的正弦电流相量,电压相量为
,频率 f = 100Hz。
试写出它们所代表的正弦量 。
解,
V )
2
20 0c os (210 0)(
A )
3
20 0c os (22)(
ttu
tti
A32I?
V2100U?
ω= 2?f = 200? rad/s
将正弦量用相量表示后,正弦激励下的电路微分方程的特解求解得到简化,可把微分方程转化为复数代数方程来求解 。
三、相量法例,一正弦电流 在 t=0时加到一个 RC并联电路上 (p,257)，则 微分方程为
)c o s (2( t ) iss tIi
)0()c o s (2 ttIRutdduC iscc
此微分方程的特解 uc(t)是与激励同频的正弦量,设特解为 )c o s (2( t )
ucc tUu
is(t)与 uc(t)均可用相量表示,分别为
uCCiSS UUII,
]e2[e)(]e2[e)( tjCCtjSS UtuIti RR则代入微分方程得
tjStjCtjC IRUUdtdC e2ee2ee2e RRR
则有
tjStjCtjC I
R
UUCj e2ee2ee2e RRR?
进一步写为
tjStjCC I
R
UUCj e2ee22e RR?
上式是对任何时刻 t均成立的恒等式,且 e jωt≠0,则
S
C
C IR
UUCj
可解得
CRar c t g
C
R
I
CRar c t gC
R
I
Cj
R
I
U
i
S
iSS
C
2
2
2
2
1
1
1
所以
2
2
1
C
R
I
U SC
CRa r c t giu
结论,用相量表示正弦量后,微分方程变成复数代数方程来求解,简化了正弦激励下电路微分方程的特解即正弦稳态响应的计算 。 这种计算方法称为 相量法 。
n
k
k ti
1
0)(
电路中全部电流都具有同一频率 ω,则可用振幅相量或有效值相量表示：
]e2[]e[e)( jjm tktkk IeIti RR
5-3 基尔霍夫定律的相量形式一,KCL的相量形式,
代入 KCL中得,
n
k
t
k
n
k
k Ieti
1
j
1
0]e2[)(R
n
k
kI
1
0?由于 不能恒为零，那么只有,tje?
时域表示：
相量形式的 KCL定律：
对于具有相同频率的正弦电路中的任一节点 （ 或封闭面 ）
上各支路 电流相量 的代数和等于零 。
1 流出节点的电流取,+”号，流入节点的电流取,-”号
。
2 流出任一节点的全部支路电流振幅 (或有效值 )的代数和并不一定等于零。即，一般情况下,
注意：
n
k
k
n
k
k II
11
m 0 0
例 5-3-1 已知 As i n25)(,A )60c o s (210)( 21 ttitωti
试求电流 i(t)及其有效值相量并做出电流相量图。
解,根据图 (a)电路的时域模型，得图 (b)所示的相量模型 —— 将时域模型中各电流符号用相应的相量符号表示。
i
i1 i2
(a)
iS
í 1
í1 í2
(b)
íS
A 905A 6010 21 II有效值相量列图 (b)相量模型中节点 1的 KCL方程，
021 III
由此可得
A2.362.666.3j5j5j 8,6 65
905601021
III
则：
A)2.36c o s (22.6)( tti?
相量图如右图所示，用来检验复数计算的结果是否正确。
A 905A 6010 21 II有效值相量
í
í2
í1
+1
j
n
k
k tu
1
0)(
相量形式的 KVL定律,
对于具有相同频率的正弦电流电路中的任一回路,沿该回路全部支路 电压相量 的代数和等于零 。
n
k
kU
1
0?
相量形式为：
二,KVL的相量形式,
n
k
kU
1
0
1,与回路绕行方向相同的电压取,+”号，相反的取,-”号
。
2,沿任一回路全部支路电压振幅 (或有效值 )的代数和并不一定等于零，即一般来说注意时域表示：
例 6 求 uS(t)和相应的相量，并画出相量图。已知
Vc os212)(
V)90c os (28)(
Vc os26)(
3
2
1
tωtu
tωtu
tωtu
解,根据电路的时域模型，画出右图相量模型,并计算出电压相量。
+ u1 -
- u3 +
+
u2
-
+
uS
-
+ 1 -
- 3 +
+
2
-
+
S
-U?
U?
U?
U?
V012U V908U V1806U 321
图 (b)，以顺时针为绕行方向，列出相量形式的 KVL方程
0321S UUUU
V.15310j8612j86
0129081806321S
UUUU
由相量得时间表达式
V)1.53c o s (210)(S tωtu
各相量的关系如右图 +1
+j
1U?
2U?
3U?
SU?
5-4 (1) (a)
5-4 (2) (e)
5-5 (1) (a) (2) (a)
5-6 (1)
作业,p,320
一、电阻元件 伏安关系的相量形式
)()( tiRtu?
当电流 i(t)=Imcos(?t+?i)时，电阻上电压电流关系：
)c o s ()()c o s ()( imm tRItRitUtu u
电压和电流是同频率的正弦时间函数。其振幅或有效值之间服从欧姆定律，其相位差为零 (同相 )，即
5-4 电路元件伏安关系的相量形式时域：
iu
mm
RIURIU 或电阻元件的时域模型及反映电压电流关系的波形如下图示。
可见，在任一时刻，电压的瞬时值是电流的 R倍，电压与电流同相位。
由于同频率，用相量表示如下：
]e2R e []eR e [)(
]e2R e []eR e [)(
jj
m
jj
m
tωtω
tωt
IIti
UUtu
代入欧姆定理中，得
]e2R e []e2R e [( jj tωtω IRUtu）
得电阻电压电流关系的相量形式为
IRU
这是复数方程，同时提供振幅之间和相位之间的两个关系，即：
(1) U=RI (2)?u =?i。
相量模型如图 (a)所示，反映电压电流相量关系的相量图如图 (b)所示，由此可看出电阻电压与电流的相位相同。
注意,(p.263)
二,电容元件伏安关系的相量形式
t
uCti
d
d)(?
当 u(t)=Umcos(?t+?u)时
)90c o s ()s i n (
)]c o s ([
d
d
)c o s ()(
umum
umim
ωtω C Uωtω C U
ωtU
t
CωtIti
电容的电压和电流同频率。其振幅或有效值以及相位间的关系为
90
ui
mm
ω C UIω C UI 或电容电压电流关系为电容元件的时域模型如图 (a)所示，电压电流的波形图如图
(b)所示。由此可看出电容电流超前于电容电压 90° 。
电压电流频率相同，用相量表示为得电容元件电压和电流相量的关系式这个复数方程包含振幅间与幅角间的关系。
电容元件的相量模型如图
(a)所示，其相量关系如图
(b)所示。
UCωI j?
]e2jR e [)]e2[ R e (dd]e2R e [( jjj tωtωtω UCωUtCIti）
U?
ωCj
1
I?
(a)
1
j
U
u
UωCI j?
i?
(b)
注意,(p.266)
三,电感元件伏安关系的相量形式
t
iLtu
d
d)(?
当 i(t)=Imcos(?t+?i)时
)90c o s (ω)s i n (ω
)]c o s ([
d
d
)c o s ()(
imim
imum
ωtLIωtLI
ωtI
t
LωtUtu
90
iu
mm
LIωULIωU 或电感上电压电流关系：
可看出电感电压超前于电流 90°,当电感电流由负值增加经过零点时，其电压达到正最大值。
电感元件的时域模型如图 (a)所示,伏安关系的波形如图
(b)。
由于同频率，用相量表示
]e2jR e [)]e2[ R e (dd]e2R e [( jjj tωtωtω ILωItLUtu）
得电感元件电压和电流相量的关系式
ILωU j?
电感元件的相量模型如图 (a)，伏安相量关系的相量图如图 (b)所示。
注意,(p.269)
KCL,KVL和元件 VCR的时域和相量形式：
1
d
d
1
d
d
e )c os (2)(
e )c os (2)(
0 0
0 0
j
SiS
j
SuS
11
11
i
u
UYIIZU
i dt
C
u
t
u
Ci
udt
L
i
t
i
Lu
GuiRiu
IItIti
UUtUtu
Uu
Ii
t
t
n
k
k
n
k
k
n
k
k
n
k
k
电容电感电阻电流源电压源基尔霍夫电压定律基尔霍夫电流定律相量形式时域形式
例 7 图示电路，已知 A 2c o s2)(
S tti?
求,u1(t),u2(t),u(t)及有效值相量 。
解：相量模型如图 (b)，根据相量形式的 KCL求电流相量
1AA01S II
根据相量形式的 VCR，得：
V9044j0122jj
V03013
2
S1
ILωU
IRIRU
根据相量形式的 KVL，得到
V1.5354j321 UUU
时域表达式
V )1.532c os (25)(
V )902c os (24)(
V 2c os23)(
2
1
ttu
ttu
ttu
相量图如图 (c)所示。
例 8 电路如图 (a)所示,已知求,i1(t),i2(t),i(t)及其有效值相量。
V5c o s210)(,F1.0,4 S ttuCR
解,相量模型如图 (b),电压相量 根据 RLC元件相量形式的 VCR方程求电流 V010S
U
A905j50100,15ωj
A5.205.2
4
010
2
S
1
jUCI
R
U
I
s
相量形式的 KCL，得到
A4.6359.5j55.221 III
时域表达式：
A )4.635c o s (259.5)(
A )905c o s (25)(
A 5c o s25.2)(
2
1
tti
tti
tti
相量图如图 (c)所示。
单数学号 双数学号
5-8
5-9 (1) (2)
5-10 (1) (2)
作业,p,322
