傅氏变换的 不足,①许多信号不满足绝对可积条件
)(s in)( 0 ttt,如 虽借助于广义函数求得傅氏变换，但频谱中出现冲激函数，计算较麻烦。
再如信号 )0)(( te t 则不存在傅氏变换傅氏变换分析法在信号分析和处理方面十分有效傅氏变换的 不足,②傅氏变换分析法只能求取零状态响应第九章 拉普拉斯变换分析拉普拉斯变换（简称拉氏变换）可看作一种广义的傅氏变换，
将频域扩展为复频域，简化了信号的变换式，扩大了信号的变换范围，为分析系统响应提供了统一和规范化的方法。
9-1 拉普拉斯变换
9-1-1 从傅氏变换到拉氏变换信号不满足绝对可积条件的原因不趋于零。时，或当 )( tftt
称为收敛因子。绝对可积条件可使相乘后的信号满足的数值选取适当，只要去乘用实指数函数
t
t
e
tfe
,
),(
dteetfetf tjtt )(])([F dtetf tj )()(
为复频率的函数，记它是 sjj
dtetfsF st)()(
求傅氏反变换对 )( sF
desFetf tjt )(2 1)(
desFtfe tjt )()(2 1)(的函数，故不是
, js
jj tj dsesFjtf )()(2 1)(
dtetfsF st)()(
上两式称一对 拉普拉斯变换式正变换反变换
)]([)()],([)( sFtftfsF -1LL记
)()( sFtf?
拉氏变换扩大了信号的变换范围变换域的内在联系时域函数
)()(?Ftf 傅氏变换频域函数时域函数 )()( sFtf 拉氏变换 复频域函数由于实际信号都是有始信号，即 0)(0 tft 时，
或者只需考虑 t≥0 的部分，此时
0 )()( dtetfsF st
积分下限用 0- 目的是把 t=0 时可能出现的冲激包含进去，这样，利用拉氏变换求解微分方程时，可以直接引用已知的初始状态 f (0-),但反变换的积分限并不改变。
以后只讨论单边拉氏变换，并把单边拉氏变换简称 拉氏变换 。
单边拉普拉斯变换拉氏变换的收敛域信号 f (t) 乘以收敛因子后，有可能满足绝对可积的条件是否一定满足，还要看 f (t) 的性质与 σ 的相对关系通常把使 f (t)e-σ t 满足绝对可积条件的 σ 值的范围称为拉氏变换的收敛域存在下列关系后乘以收敛因子若,)( tetf
)(0)(lim 0 tt etf
0则收敛条件为的性质有关它与值，称为收敛横坐标，为最低限度的 )(0 tf
如：有始有终的能量信号
0?
按指数规律增长的信号，如 eαt
0
比指数信号增长的更快的信号，如 2te
找不到 σ 0,不存在拉氏变换单边拉氏变换的收敛域是复平面 (s)内,Re(s) =σ ＞ σ 0 区域单边拉氏变换由于收敛域比较容易确定，一般情况下不再标注收敛域。
9-1-2 一些典型信号的拉氏变换
1,指数信号 )(te t
sdtedteeteL
tssttt 1)]([
0
)(
0
ste
t 1)(?即由此，可导出一些常用函数的拉氏变换：
ststLa
1)(,1)]([,0)( 即令
( b ) 单边正弦信号 )(s in
0 tt
)]()(
2
1[)]([ s in 00
0 teejLttL
tjtj
2
0
2
0
s
]11[
2
1
00 jsjsj?
2
0
2
0
0 )(s in?
s
tt即
( c ) 单边余弦信号 )(c o s
0 tt
)]()(
2
1[)]([ c o s 00
0 teeLttL
tjtj
2
0
2
00
]11[
2
1
s
s
jsjs
2
0
20 )(c o s s
stt即
)](s in[ 0 tteL t
( d ) 单边衰减正弦信号 )(s in
0 tte t
)]()(
2
1[ )()( 00 tee
j
L tjtj
]11[
2
1
00 jsjsj
2
0
2
0
)(
s
2
0
2
0
0 )()(s in
s
tte t即
( e ) 单边衰减余弦信号 )(c o s
0 tte t
2
0
20 )()(c o s
s
stte t
( f ) 单边双曲正弦信号 )(s in h tt
22)]([ s in h?
sttL
)(21s in h tt eet
)(
2
1c o s h tt eet
22)]([ c o s h s
sttL
)(c o s h tt单边双曲余弦信号
2,t 的正幂信号 (n为正整数 ))(tt n?
由定义：
0)]([ dtetttL stnn?
对上式进行分部积分，令 dtedvtu stn,
0
1
0
0
dtet
s
n
e
s
t
dtet stnst
n
stn
0
1 dtet
s
n stn
可见：
)]([)]([ 1 ttL
s
nttL nn
依次类推：
1
!11221)]([
n
n
s
n
ssss
n
s
n
s
nttL
特别是 n=1时，有
2
1)]([
s
ttL
3,冲激函数 )(t?
根据冲激函数作为广义函数的定义
)0()()( fdttft?
1)()]([
00
t
stst edtettL
故
1)(?t?
即
3,σ0=0，拉氏变换和付氏变换都有小结,
只有拉氏变换而无付氏变换
1,增长指数信号 eαtε(t) (α>0)
2,σ0<0,σ可以为 0
拉氏变换和付氏变换都有
jω→ s，如 e-αtε (t)
拉氏变换与傅氏变换相差冲激或冲激函数的导数，
如 ε (t),tε (t)等
9-1 (1) (7)
作业,p,560
9-2 拉氏变换的性质
1,线性
)()(),()( 2211 sFtfsFtf若为常数、则 basbFsaFtbftaf ),()()()( 2121
2,比例性（尺度变换）
0),(1)(
)()(
a
a
sF
a
atf
sFtf
则若
3,时移性
0),()()(
)()(
000
0
tsFettttf
sFtf
st?则若
)()(1 tkttf
t
)(1 tf
0
)()()( 02 tttktf
)(2 tf
0t
t0
)()( 03 ttkttf
观察下列图形的时移关系 (p.517 例 9-2-1)
0t
)(3 tf
t0
)()()( 004 ttttktf
)(4 tf
0t
t0
后所得平移是只有 014 )()( ttftf
求已知例 2
0
2
0
0s in)(?
sttf
)(s in)()1 000 ttttf
)()(s in)()()2 000 ttttttf
)(s in)()()3 000 ttttttf
)()(s in)()()4 00000 ttttttttf
]s inc o sc o s[ s in)]([ s in 00000000 ttttLttL
2
0
2
00000 s inc o s
s
tst
解,（ 1）和（ 2）的单边拉氏变换相同
)(s in)()()3 000 ttttttf
0 000 s in)]([ s in t st dttetttL
dteej tjstjs
t
][21 )()( 00
0
][
2
1
0
)(
0
)( 0000
js
e
js
e
j
tjstjs
]s inc o s[ 2
0
2
000000
s
tste st
)()(s in)(s in 000000 tttttttt或
2
0
2
0
0
000
0
0 ][ s in
)]()([ s in
s
e
tLe
ttttL
st
st
)()(s in)()()4 00000 ttttttttf
例 求锯齿波的拉氏变换解,)()()()( tftftftf
cba
)()()()( TtTtTETtEttTE
)(tfb
t
T
E
T
)(tfc
t
k=-E/T
)(tf
tT
E )(tfa
tT
E
由时移性：
s
Eetf sT
b
)(
2
1)(
sT
Etf
a?
由时移性,sT
c esT
Etf
2
1)(
所以,])1(1[)(
2
sTeTs
Ts
Etf
或者
)]()([)( TttTEttf
)()()()( TtTtTETtEtTEt
利用时移性可以求单边周期信号的拉氏变换
)2()2()()()()( 111 TtTtfTtTtftftf
)(
1
1
)()1()(
1
1
2
sF
e
sFeesF
Ts
TsTs
设 f1(t) 表示第一个周期的函数周期信号的拉氏变换 等于它的第一周期内波形的拉氏变换 F1(s)
乘以因子
Tse1
1
例 9-2-3 求半波正弦函数的拉氏变换
E
t2T
)(1 tf
)()()(,1 tftftf ba解
)]2()2(2s in [)()2s in ()(1 TtTtTEttTEtf
2T T t
E
)(tf
T20
2T
)(tfb
t
E
T0t
E
2T
)(tfa
T0
)]2()2(2s in [)()2s in ()(1 TtTtTEttTEtf
2
2222 )2(
)2(
)2(
)2( Ts
e
Ts
TE
Ts
TE
)1(
)2(
)2(
2
22
T
s
e
Ts
TE
)1(
)2(
)2(
1
1
)()( 2
22
T
s
sT e
Ts
TE
e
sFtf
222 )2(
)2(
1
1
Ts
TE
e
sT?
)0,0)](()([ 000 tatattatfL?试求
),()]([ sFtfL?已知例
)(1)]()([ 000 asFeatattatfL ta
s?
再由比例性
)()]()([ 000 sFettttfL st由时移性解,信号之间的关系
attttf 换成，将时移 0)(
另解再由时移性
)(1)]()([ asFaatatfL
)]}([)]([{
)]()([
00
00
a
t
ta
a
t
tafL
tattatfL
)(1 0 asFea ta
s?
由比例性
a
tatttf 0,)( 再时移换成中的
4,频移性
5,时域微分性
)(])([
)()(
0
0 ssFetfL
sFtf
ts
则若
)0()(]
)(
[
)()(
fssF
dt
tdf
L
sFtf
则若
)0()0()(])([ )1(1 nnnn
n
ffssFsdt tfdL?和主要用于研究具有初始条件的微分方程证明,由定义
dtedt tdfdt tdfL st
0 )(])([
dttfestfe stst )()()( 00
)0()( fssF同理可得
dtedt tdfdt tdfL st
0 2
2
2
2 )(
])([
dtedt tdfdtd st 0 ])([
0
)()]0()([
tdt
tdffssFs
)0()0()(2 fsfsFs
依此类推,可得
)0()0()(])([ )1(1 nnnn
n
ffssFs
dt
tfdL?
若 f(t) 为有始函数,则
)(]
)()(
[
)()()(
ssF
dt
ttdf
L
ttftf
0
01)(),()(
21 te
ttftetf
t
t
例：设的拉氏变换。和求 )(')(' 21 tftf
的波形如图所示。解,)(),( 21 tftf
1
)(1 tf
0 t
1
)(2 tf
-1
0 t
)()()(1 tetdt tdf t
)(1])([ 11 ssFs ssdt tdfL
由题图可知
ssFsFtfLtfL
1)()()],([)]([
2121
)()(2)(2 tetdt tdf t
)0()(12])([ 212 fssFs ssdt tdfL
由于 f(0-)不同，所求 f(t) 导数的拉氏变换不同
t s sFdfsFtfL 0 )()(),()]([则若
s
f
s
sFdft )0()()( 1
6,时域积分性证明,由定义
t stt dtedfdfL 0 0 0 ])([])([
00
])(1
0
)([ dtetf
s
df
s
e sttst
s
sF )(?
tt dfdfdf 00 )()()(
t dff 01 )()0(
所以?
t s sFsfdfL )()0(])([
1
t dttst
0
)()(1)(,而如已知若积分下限由 -? 开始
2
1)1(1)(
ssstt所以
dtetfsF st 0 )()(
证明,
dtettfdtettfds sdF stst
00
)()1()()(
7,复频域微分 )()( sFtf?若
ds
sdFttf )()(则同理,
n
n
nn
ds
sFdtft )()1()(
dtdsetf s st 0 ])[(
dt
st
etf st
0
][)( dte
t
tf st
0
)(
s sts dsdtetfdssF 0 ])([)(
证明,
dssFt tf
s?
)()(则
8,复频域积分 )()( sFtf?若
9,卷积定理
)()()()( 2121 sFsFtftf
)()(
2
1)()(
2121 sFsFjtftf
a,时域卷积拉氏变换无对称性。
b,复频域卷积
1
1s in:
2 st解
s
a r c t g sds
st
t
s
1
1s in
2
sa r c t ga r c t g s
1
2
sa r c t gsdxx
xt 11s in
0
dxx xt
0
s in.求例例 求下列函数的拉氏变换
)()1(.1 tt
)1(.2?tt?
ssttttt
11)()()()1(.1
2解：
se
ss
ttttt
)
11
(
)1()1()1()1(.2
2
)1()1(.3 tt?
se
stt
2
1)1()1(.3?
)1()1(.4 tt?
tt 2c o s.5 2
)c o s (.6tt
3
2 2][
stL
32
2
33
2
)4(
)12(2
]
)2(
2
)2(
2
[
2
1
]2c o s[
s
ss
jsjs
ttL
)]()([
2
1
]s in)([
)]()([
2
1
]c o s)([
000
000
jsFjsF
j
ttfL
jsFjsFttfL
tt 2c o s.5 2
ssttLttL
11)]()1[()]1()1[(.4
2解：
有下列公式
42c o s 2 s
st另解：
)4(2c o s 22
2
2
s
s
ds
dtt
32
2
)4(
)12(2
s
ss?
])( 1)( 1[2s in])( 1)( 1[2c o s 2222 jsjsjjsjs
222222
22
)(
2s in
)(c o s?
s
s
s
s
)1(1.7 te
t
s
sds
sss
ln)11(
s ins inc o sc o s)c o s (.6 tttttt
dseLs t ]1[?
例,求函数 f1(t) 的拉氏变换法一,按定义式求积分
dtetfsF st 0 11 )()(
dtetdtte stst 2110 )2(
dttedtedte
s
e
s
t stststst 2
1
2
1
1
0
2101)1(
2
2 )1(
1 se
s
t21
)(1 tf
1
0
法二,利用线性叠加和时移定理
)]2()1()[2()]1()([)(1 tttttttf
)2()2()1()1(2)( tttttt
2
2
2
2221 )1(
1121)( sss e
sesesssF
t
dt
tdf )(
-1 2
11
2
2 )(
dt
tdf
(2)0
(1)(1)
t
法三,利用微分积分性质,
)]2()1(2)([])([ 2
2
tttLdt tdfL显然
21211 )1()(,0)0(,0)0(' sesFsff 故而
2)1( se
2
21 )1(
1)( se
ssF
例 求单边拉氏变换,
dt
ttdt )(c o s.1?
1)(c o s 2 s
stt?
1
)(c o s
2
2
s
s
dt
ttd?
222
2
)1(
2)
1
()(c o s
s
s
s
s
ds
d
dt
ttdt?
解：
)()s in ()(s in tttt解：
1
1)(s in
2 stt?
)(s in.2tt
se
stt
1
1)()s in (
2
9-2 (3)
9-3 (2)
9-4 (a)
9-5 (3)
作业,p,561
)(s in)( 0 ttt,如 虽借助于广义函数求得傅氏变换，但频谱中出现冲激函数，计算较麻烦。
再如信号 )0)(( te t 则不存在傅氏变换傅氏变换分析法在信号分析和处理方面十分有效傅氏变换的 不足,②傅氏变换分析法只能求取零状态响应第九章 拉普拉斯变换分析拉普拉斯变换（简称拉氏变换）可看作一种广义的傅氏变换，
将频域扩展为复频域，简化了信号的变换式，扩大了信号的变换范围，为分析系统响应提供了统一和规范化的方法。
9-1 拉普拉斯变换
9-1-1 从傅氏变换到拉氏变换信号不满足绝对可积条件的原因不趋于零。时，或当 )( tftt
称为收敛因子。绝对可积条件可使相乘后的信号满足的数值选取适当，只要去乘用实指数函数
t
t
e
tfe
,
),(
dteetfetf tjtt )(])([F dtetf tj )()(
为复频率的函数，记它是 sjj
dtetfsF st)()(
求傅氏反变换对 )( sF
desFetf tjt )(2 1)(
desFtfe tjt )()(2 1)(的函数，故不是
, js
jj tj dsesFjtf )()(2 1)(
dtetfsF st)()(
上两式称一对 拉普拉斯变换式正变换反变换
)]([)()],([)( sFtftfsF -1LL记
)()( sFtf?
拉氏变换扩大了信号的变换范围变换域的内在联系时域函数
)()(?Ftf 傅氏变换频域函数时域函数 )()( sFtf 拉氏变换 复频域函数由于实际信号都是有始信号，即 0)(0 tft 时，
或者只需考虑 t≥0 的部分，此时
0 )()( dtetfsF st
积分下限用 0- 目的是把 t=0 时可能出现的冲激包含进去，这样，利用拉氏变换求解微分方程时，可以直接引用已知的初始状态 f (0-),但反变换的积分限并不改变。
以后只讨论单边拉氏变换，并把单边拉氏变换简称 拉氏变换 。
单边拉普拉斯变换拉氏变换的收敛域信号 f (t) 乘以收敛因子后，有可能满足绝对可积的条件是否一定满足，还要看 f (t) 的性质与 σ 的相对关系通常把使 f (t)e-σ t 满足绝对可积条件的 σ 值的范围称为拉氏变换的收敛域存在下列关系后乘以收敛因子若,)( tetf
)(0)(lim 0 tt etf
0则收敛条件为的性质有关它与值，称为收敛横坐标，为最低限度的 )(0 tf
如：有始有终的能量信号
0?
按指数规律增长的信号，如 eαt
0
比指数信号增长的更快的信号，如 2te
找不到 σ 0,不存在拉氏变换单边拉氏变换的收敛域是复平面 (s)内,Re(s) =σ ＞ σ 0 区域单边拉氏变换由于收敛域比较容易确定，一般情况下不再标注收敛域。
9-1-2 一些典型信号的拉氏变换
1,指数信号 )(te t
sdtedteeteL
tssttt 1)]([
0
)(
0
ste
t 1)(?即由此，可导出一些常用函数的拉氏变换：
ststLa
1)(,1)]([,0)( 即令
( b ) 单边正弦信号 )(s in
0 tt
)]()(
2
1[)]([ s in 00
0 teejLttL
tjtj
2
0
2
0
s
]11[
2
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2
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0 )(s in?
s
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( c ) 单边余弦信号 )(c o s
0 tt
)]()(
2
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0 teeLttL
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00
]11[
2
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s
s
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20 )(c o s s
stt即
)](s in[ 0 tteL t
( d ) 单边衰减正弦信号 )(s in
0 tte t
)]()(
2
1[ )()( 00 tee
j
L tjtj
]11[
2
1
00 jsjsj
2
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2
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0 )()(s in
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tte t即
( e ) 单边衰减余弦信号 )(c o s
0 tte t
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20 )()(c o s
s
stte t
( f ) 单边双曲正弦信号 )(s in h tt
22)]([ s in h?
sttL
)(21s in h tt eet
)(
2
1c o s h tt eet
22)]([ c o s h s
sttL
)(c o s h tt单边双曲余弦信号
2,t 的正幂信号 (n为正整数 ))(tt n?
由定义：
0)]([ dtetttL stnn?
对上式进行分部积分，令 dtedvtu stn,
0
1
0
0
dtet
s
n
e
s
t
dtet stnst
n
stn
0
1 dtet
s
n stn
可见：
)]([)]([ 1 ttL
s
nttL nn
依次类推：
1
!11221)]([
n
n
s
n
ssss
n
s
n
s
nttL
特别是 n=1时，有
2
1)]([
s
ttL
3,冲激函数 )(t?
根据冲激函数作为广义函数的定义
)0()()( fdttft?
1)()]([
00
t
stst edtettL
故
1)(?t?
即
3,σ0=0，拉氏变换和付氏变换都有小结,
只有拉氏变换而无付氏变换
1,增长指数信号 eαtε(t) (α>0)
2,σ0<0,σ可以为 0
拉氏变换和付氏变换都有
jω→ s，如 e-αtε (t)
拉氏变换与傅氏变换相差冲激或冲激函数的导数，
如 ε (t),tε (t)等
9-1 (1) (7)
作业,p,560
9-2 拉氏变换的性质
1,线性
)()(),()( 2211 sFtfsFtf若为常数、则 basbFsaFtbftaf ),()()()( 2121
2,比例性（尺度变换）
0),(1)(
)()(
a
a
sF
a
atf
sFtf
则若
3,时移性
0),()()(
)()(
000
0
tsFettttf
sFtf
st?则若
)()(1 tkttf
t
)(1 tf
0
)()()( 02 tttktf
)(2 tf
0t
t0
)()( 03 ttkttf
观察下列图形的时移关系 (p.517 例 9-2-1)
0t
)(3 tf
t0
)()()( 004 ttttktf
)(4 tf
0t
t0
后所得平移是只有 014 )()( ttftf
求已知例 2
0
2
0
0s in)(?
sttf
)(s in)()1 000 ttttf
)()(s in)()()2 000 ttttttf
)(s in)()()3 000 ttttttf
)()(s in)()()4 00000 ttttttttf
]s inc o sc o s[ s in)]([ s in 00000000 ttttLttL
2
0
2
00000 s inc o s
s
tst
解,（ 1）和（ 2）的单边拉氏变换相同
)(s in)()()3 000 ttttttf
0 000 s in)]([ s in t st dttetttL
dteej tjstjs
t
][21 )()( 00
0
][
2
1
0
)(
0
)( 0000
js
e
js
e
j
tjstjs
]s inc o s[ 2
0
2
000000
s
tste st
)()(s in)(s in 000000 tttttttt或
2
0
2
0
0
000
0
0 ][ s in
)]()([ s in
s
e
tLe
ttttL
st
st
)()(s in)()()4 00000 ttttttttf
例 求锯齿波的拉氏变换解,)()()()( tftftftf
cba
)()()()( TtTtTETtEttTE
)(tfb
t
T
E
T
)(tfc
t
k=-E/T
)(tf
tT
E )(tfa
tT
E
由时移性：
s
Eetf sT
b
)(
2
1)(
sT
Etf
a?
由时移性,sT
c esT
Etf
2
1)(
所以,])1(1[)(
2
sTeTs
Ts
Etf
或者
)]()([)( TttTEttf
)()()()( TtTtTETtEtTEt
利用时移性可以求单边周期信号的拉氏变换
)2()2()()()()( 111 TtTtfTtTtftftf
)(
1
1
)()1()(
1
1
2
sF
e
sFeesF
Ts
TsTs
设 f1(t) 表示第一个周期的函数周期信号的拉氏变换 等于它的第一周期内波形的拉氏变换 F1(s)
乘以因子
Tse1
1
例 9-2-3 求半波正弦函数的拉氏变换
E
t2T
)(1 tf
)()()(,1 tftftf ba解
)]2()2(2s in [)()2s in ()(1 TtTtTEttTEtf
2T T t
E
)(tf
T20
2T
)(tfb
t
E
T0t
E
2T
)(tfa
T0
)]2()2(2s in [)()2s in ()(1 TtTtTEttTEtf
2
2222 )2(
)2(
)2(
)2( Ts
e
Ts
TE
Ts
TE
)1(
)2(
)2(
2
22
T
s
e
Ts
TE
)1(
)2(
)2(
1
1
)()( 2
22
T
s
sT e
Ts
TE
e
sFtf
222 )2(
)2(
1
1
Ts
TE
e
sT?
)0,0)](()([ 000 tatattatfL?试求
),()]([ sFtfL?已知例
)(1)]()([ 000 asFeatattatfL ta
s?
再由比例性
)()]()([ 000 sFettttfL st由时移性解,信号之间的关系
attttf 换成，将时移 0)(
另解再由时移性
)(1)]()([ asFaatatfL
)]}([)]([{
)]()([
00
00
a
t
ta
a
t
tafL
tattatfL
)(1 0 asFea ta
s?
由比例性
a
tatttf 0,)( 再时移换成中的
4,频移性
5,时域微分性
)(])([
)()(
0
0 ssFetfL
sFtf
ts
则若
)0()(]
)(
[
)()(
fssF
dt
tdf
L
sFtf
则若
)0()0()(])([ )1(1 nnnn
n
ffssFsdt tfdL?和主要用于研究具有初始条件的微分方程证明,由定义
dtedt tdfdt tdfL st
0 )(])([
dttfestfe stst )()()( 00
)0()( fssF同理可得
dtedt tdfdt tdfL st
0 2
2
2
2 )(
])([
dtedt tdfdtd st 0 ])([
0
)()]0()([
tdt
tdffssFs
)0()0()(2 fsfsFs
依此类推,可得
)0()0()(])([ )1(1 nnnn
n
ffssFs
dt
tfdL?
若 f(t) 为有始函数,则
)(]
)()(
[
)()()(
ssF
dt
ttdf
L
ttftf
0
01)(),()(
21 te
ttftetf
t
t
例：设的拉氏变换。和求 )(')(' 21 tftf
的波形如图所示。解,)(),( 21 tftf
1
)(1 tf
0 t
1
)(2 tf
-1
0 t
)()()(1 tetdt tdf t
)(1])([ 11 ssFs ssdt tdfL
由题图可知
ssFsFtfLtfL
1)()()],([)]([
2121
)()(2)(2 tetdt tdf t
)0()(12])([ 212 fssFs ssdt tdfL
由于 f(0-)不同，所求 f(t) 导数的拉氏变换不同
t s sFdfsFtfL 0 )()(),()]([则若
s
f
s
sFdft )0()()( 1
6,时域积分性证明,由定义
t stt dtedfdfL 0 0 0 ])([])([
00
])(1
0
)([ dtetf
s
df
s
e sttst
s
sF )(?
tt dfdfdf 00 )()()(
t dff 01 )()0(
所以?
t s sFsfdfL )()0(])([
1
t dttst
0
)()(1)(,而如已知若积分下限由 -? 开始
2
1)1(1)(
ssstt所以
dtetfsF st 0 )()(
证明,
dtettfdtettfds sdF stst
00
)()1()()(
7,复频域微分 )()( sFtf?若
ds
sdFttf )()(则同理,
n
n
nn
ds
sFdtft )()1()(
dtdsetf s st 0 ])[(
dt
st
etf st
0
][)( dte
t
tf st
0
)(
s sts dsdtetfdssF 0 ])([)(
证明,
dssFt tf
s?
)()(则
8,复频域积分 )()( sFtf?若
9,卷积定理
)()()()( 2121 sFsFtftf
)()(
2
1)()(
2121 sFsFjtftf
a,时域卷积拉氏变换无对称性。
b,复频域卷积
1
1s in:
2 st解
s
a r c t g sds
st
t
s
1
1s in
2
sa r c t ga r c t g s
1
2
sa r c t gsdxx
xt 11s in
0
dxx xt
0
s in.求例例 求下列函数的拉氏变换
)()1(.1 tt
)1(.2?tt?
ssttttt
11)()()()1(.1
2解：
se
ss
ttttt
)
11
(
)1()1()1()1(.2
2
)1()1(.3 tt?
se
stt
2
1)1()1(.3?
)1()1(.4 tt?
tt 2c o s.5 2
)c o s (.6tt
3
2 2][
stL
32
2
33
2
)4(
)12(2
]
)2(
2
)2(
2
[
2
1
]2c o s[
s
ss
jsjs
ttL
)]()([
2
1
]s in)([
)]()([
2
1
]c o s)([
000
000
jsFjsF
j
ttfL
jsFjsFttfL
tt 2c o s.5 2
ssttLttL
11)]()1[()]1()1[(.4
2解：
有下列公式
42c o s 2 s
st另解：
)4(2c o s 22
2
2
s
s
ds
dtt
32
2
)4(
)12(2
s
ss?
])( 1)( 1[2s in])( 1)( 1[2c o s 2222 jsjsjjsjs
222222
22
)(
2s in
)(c o s?
s
s
s
s
)1(1.7 te
t
s
sds
sss
ln)11(
s ins inc o sc o s)c o s (.6 tttttt
dseLs t ]1[?
例,求函数 f1(t) 的拉氏变换法一,按定义式求积分
dtetfsF st 0 11 )()(
dtetdtte stst 2110 )2(
dttedtedte
s
e
s
t stststst 2
1
2
1
1
0
2101)1(
2
2 )1(
1 se
s
t21
)(1 tf
1
0
法二,利用线性叠加和时移定理
)]2()1()[2()]1()([)(1 tttttttf
)2()2()1()1(2)( tttttt
2
2
2
2221 )1(
1121)( sss e
sesesssF
t
dt
tdf )(
-1 2
11
2
2 )(
dt
tdf
(2)0
(1)(1)
t
法三,利用微分积分性质,
)]2()1(2)([])([ 2
2
tttLdt tdfL显然
21211 )1()(,0)0(,0)0(' sesFsff 故而
2)1( se
2
21 )1(
1)( se
ssF
例 求单边拉氏变换,
dt
ttdt )(c o s.1?
1)(c o s 2 s
stt?
1
)(c o s
2
2
s
s
dt
ttd?
222
2
)1(
2)
1
()(c o s
s
s
s
s
ds
d
dt
ttdt?
解：
)()s in ()(s in tttt解：
1
1)(s in
2 stt?
)(s in.2tt
se
stt
1
1)()s in (
2
9-2 (3)
9-3 (2)
9-4 (a)
9-5 (3)
作业,p,561
