6-4 理想变压器和全耦合变压器理想变压器也是一种耦合元件。它是实际变压器在理想条件下的电路模型。理想变压器的电路符号如下图，在如图同名端、电压和电流参考方向下，理想变压器的伏安关系为：
1u
+
-
1i 2i
2u
+
-
* *
n:1
ni
i
n
u
u
1
2
1
2
1
理想变压器的唯一参数是 变比 (或匝比 ),n
由理想变压器的伏安关系可以看出，理想变压器已经没有电感或耦合电感的作用了，故理想变压器的电路模型也可以画出受控源的形式：
1u
+
-
1i 2i
2u
+
-
n
i2
n
u1
+
-1u
+
-
1i 2i
2u
+
-
* *
n:1
ni
in
u
u 1
2
1
2
1
(3) 自感系数 L1和 L2 均为无限大，但 L1 / L2等于常数,互感系数 也为无限大。
理想变压器可以看成是耦合电感或空芯变压器在理想条件下的极限情况,
M L L? 1 2
M L L? 1 2
(1) 耦合电感无损耗，即线圈是理想的；
(2) 耦合系数 k=1,即是全耦合 ；
1u
+
-
1i 2i
2u
+
-
*
*
n:1
由于同名端的不同，理想变压器还有另一个电路模型，其伏安关系为
ni
i
n
u
u
1
2
1
2
1
当线圈的电压、电流参考方向关联时只有这两种情况，这两种 VCR仅差一个符号。
下面先从符合前两个理想化条件的全耦合变压器着手推导理想变压器的 VCR：当线圈的电压、电流参考方向关联时只有这两种情况，由耦合线圈的 VCR：
6 -4 -1 理想变压器伏安关系推导这里仅讨论第一种 (相加的 )情况。当耦合系数 k=1 时：
dt
diM
dt
diLuu
dt
d
dt
d
dt
du
ML
21
111
12111
1 ±?±?
j±j?j?
dt
diM
dt
diLuu
dt
d
dt
d
dt
du
ML
12
222
21222
2 ±?±?
j±j?j?
电流在本线圈中产生的磁通全部与另一个线圈相交链，即：
若 初、次级 线圈的匝数分别为 N1 和 N2,则两线圈的总磁链分别为：
11 21 22 12,,
jjj
jjj
2221122122221222
1221111211112111
)()(
)()(
NNN
NNN
式中,称为 主磁通,由电磁感应定律，初、次级电压分别为 2211
dt
d
N
dt
d
u
dt
d
N
dt
d
u
j
j
2
2
2
1
1
1
故得：
nNNuu
2
1
2
1
由耦合电感 VCR的第一式：
td
idM
td
idLu 21
11
从 -?到 t 积分，有
2111 )( iMiLdu
t
t iLMduLi 2
1
1
1
1 )(
1得：
N L i N Mi
N Mi N L i
1 11 1 1 1 12 2
2 21 1 2 22 2 2
,
,
由自感、互感的定义：
得,L
M
M
L
L
L
N
N
n1
2
1
2
1
2
于是：
21
1
1
1)(1 i
nduLi
t
**
nLLL ＝而当
2
1
1
保持不变，即由于 u1 为有限值，
满足理想化的第三个条件，有
i n i1 21
由理想变压器的伏安关系，可以得出：理想变压器是一种 无记忆 元件，也称即时元件。如代入上述伏安关系，理想变压器的吸收功率为：
0)1)(( 22222211 iui
n
nuiuiup
可见：理想变压器既 不耗能,也 不储能 。从初级线圈输入的功率全部通过次级线圈传递给负载。
理想变压器以 n 倍关系变换电压与电流，这个关系不仅适用于正弦稳态，也适用于非正弦的暂态，即适用于任何时刻、任意波形的电压、电流。
理想变压器虽可看作耦合电感的极限情况，其电路符号也与耦合电感相同，但它与耦合电感有本质的区别。
耦合电感 理想变压器
VCR 线性微分方程 线性代数方程元件性质 动态、记忆、储能元件静态、无记忆、既不耗能也不储能表征参数 L1,L2,M n
为了方便，习惯上把由于同名端不同而引起的两种伏安关系合并成一种，且不带负号。两线圈的电压（标同名端处假设为正极）、电流（一侧流入另一侧流出）应如下图假设：
1u
+
-
1i 2i
2u
+
-
*
*
n:1
1i
2nu
+
-
2u
+
-
*
*
n:1
ni1
1u
1i 2i
2u
+
-
* *
n:1
+
-
2nu
1i 1ni
2u
+
-
* *
n:1
+
-
p,356 例 6-4-1
6-4-2 理想变压器的阻抗变换由理想变压器的伏安关系可知，它除了可以以 n 倍的关系变换电压、电流外，还可以 以 n2 倍的关系变换阻抗 。
如：从初级看进去的等效电阻为
Li Rn
i
u
n
i
n
nu
i
u
R 2
2
22
2
2
1
1
1
2i
1u
+
-
2u
+
-
1i
* * RL
n:1
1i
1u
+
-
LRn2
+
-
+
-
* *
n:1
2Un? 2U?
1In?1I?
1221 InIUnU
显然，输入电阻仅与匝比有关，与同名端无关。
对于正弦稳态电路，如果按照前面所规定的参考方向，理想变压器伏安关系的相量形式为：
若次级接负载阻抗，则从初级看进去的等效阻抗为
Li ZnZ 2?
上述“搬移”阻抗的方法还可以进一步推广：
1,并联阻抗可以从次级搬移到初级；
2,串联阻抗可以从初级搬移到次级。
阻抗可以从初级与次级之间来回搬移。
+
-
+
-
* *
n:1
1U? 2U?
I2'?I1?a
d
c
b
N
I1?'
22Zn
1,并联阻抗可以从次级搬移到初级 ；
+
-
+
-
* *
n:1
1U? 2U?
I2'?I1? I2?
I2?"
a
d
c
b
N
Z2
(a)
由图 (a)：
')'(
1
)'"(
11
1
2
2
1
2
2
2
2221
21
I
Zn
U
I
Z
U
n
II
n
I
n
I
UnU
得图 (b)。其中：
(b)
21
1 I
nI
2,串联阻抗可以从初级搬移到次级 。
+
-
+
-
* *
n:1
SU? 2U?
I1?a
d
c
b
NZ1
1U?
+
-
I2?
(a)
由图 (a):
22
12
1
1112
12
1
)(
1
)(
11
I
n
Z
U
nn
I
ZU
n
IZU
n
U
n
U
InI
SS
S
得图 (b)。
I1? I2?
+
-
+
-
* *
n:1
2U?
a
d
c
b
N12 1n Z
SU?
(b)
应该指出,阻抗的 n2 倍 与元件的 n2 倍是不一样的。
电阻和电感意义相同；而电容意义刚好相反,n R n R
n j L j n L
n
j C
j
n
C
2 2
2 2
2
2
1 1
1
( )
( ) ( )
( )
利用阻抗的来回搬移，能使问题简化。
例如,a c Z
3
+
-
*
*
n:1 db
N
Z1
SU? Z2
1
2 1n Z
+
-
*
*
n:1
a
d
c
b
N
SU?
Z3
1
2 2n Z
简化为电源也可以“搬移”。 不过，电源搬移与同名端有关。
1
2 1n Z
*
a
d
c
b
N
+
-
Z3
*
n:1
1
2 2n Z
SUn?
1
1
2 1n Z
d
c
N
+
-
Z3
1
2 2n Z
SUn?
1
由理想变压器的
VCR，简化成没有变压器的电路。
解：将次级折合到初级
21'200100 2 jZnZjZ LLL
* *
1
V0100
+
- U?
+
-
100
2002 jI?1I?
1:10
1
V0100
+
- 'LZ
1I?
例 4,含理想变压器电路如图，试求 和 。UI1
AjI 4522522 01 0 01?
由理想变压器的伏安关系
AInI 4525.212
VIU 452250100 2
例 8-5 在如图所示电路中，已知内阻,负载电阻,求 n =? 时，负载电阻与电源达到最大功率匹配？此时，负载获得的最大功率为多少？
VU s 08?
2sR 8LR
解,将次级折合到初级，根据最大功率匹配条件有
sR
* *
sU?
+
- LR
1I? n:1
LRn2
+
-sU
1I?
sR
5.0
8
2
2
L
s
sL R
R
nRRn
此时,达到最大功率匹配。
由于理想变压器既不能耗能也不能储能，故等效电路中吸收的功率就是 原电路获得的功率，
LRn2
LR
W
R
UP
s
s 8
24
8
4
22
m a x
4j
* *
V0200
+
-
500
n:1?3例 8-6
要使负载获得最大功率，求,,
m a x Pn
4)3(
02 00
4)5 003(
02 00
2
jR
jn
I
L
这时，可变化的只是变比 n,这就是,模匹配,的情况。
3?4j
V0200
+
-
2500 n
I?
LR?
WRIPn
ZnRnR
L
SLL
25 0 0
4)53(
5200
'1.0
543500 '
22
2
2
2222
解,将次级折合到初级,不可能达到共扼匹配。
43 jZR SL 与一般地，理想变压器内阻,变换后的阻抗,当仅负载阻抗的模可变时，不可能达到共扼匹配，求负载获得最大功率的条件：
sss jXRZ
LLLLL ZjZZ s inc o s
下面证明：
)s i n()c o s( LLsLLs
s
ZXjZR
U
I
负载中电阻吸收的功率：
22
2
2
)s i n()c os(
c os
)c os(
LLsLLs
Ls
LL
ZXZR
ZU
ZIP
sL
L
ZZ
Zd
dP
＝即
）
,0
(
要使 P达到最大，必须这时，负载获得最大功率。这种情况称为,模匹配,。模匹配时负载中电阻吸收的功率一般比达到共扼匹配时的功率小。
6-15
6-19 (a)
作业,p,374
则 电阻上没有电流。2
AIIIII s 0183,06 121
解,运用 VCR：
IAI s 求已知,06
00 12 UU
sI
2U?
+
-1
U?
+
-
1I 2I
2
I
3:1
**,
..
.
例 8 -9
AII s 0231
IAI s 求已知,06例 10.
解,由 VCR和 KCL：
sI
1I
3j
I1:2.
.
,*
*
I
I
I I IS
1
1
1
1
2
2
解上两式，得例 8 -11：电路初始状态为零,t=0 开关闭合，试求 t>0时的电流 i(t)。
解,由已知参数，
此乃全耦合变压器，其等效电路为：
2H
V2
+
-
1
4H1 H4
K
* *
i(t)
k M
L L
1 2
1
i t2( )
其中,将理想变压器次级搬移到初级，
得等效电路，利用一阶电路的三要素法求解。 2
1
4
1
2
1
L
Ln
K
V2
+
-?4
**
n:1?1
H1
i(t)
i t1( )
i t2( )
02]21[2)( 2
1
2
1
teeti tt
LR s2
Ai
Ai
iAi LL
2)(
1)0(
)0(0)0(
1
H1V2
+
-
K
Li
)(ti
1?
i t1( )
思考,若需求,应如何求解？ 与 是不是
n倍的关系？
i t2( ) i t2( ))(ti
解,按图示假设电压、电流。
例 8 -12 求输入阻抗。
法一,列方程
21121
112
)1(
)1(
VZInZIn
ZInVnV
1
2
2
2
1
)1( ZnZnZ
I
V
i
n:1
*
1Z
2Z
2V+
-
2nV
+
-
1I 1nI
V
+
-
1)1( In?
*
..
.
.
.
.
1I 1nI
1)1( Zn?
2Z
1
1Z
n
n?
2
21 )
1( nZZ
n
n
1)1( Zn?
法二,
1222 )1( ZnZnZ i
..
求输入阻抗,
2Z
解,按图所示假设电压、电流。
.,
n:1
*
1Z
2V
+
-
2nV
+
-
1I 1nI
V
+
-
*..
.
( )n I1 1
由上题完全类似，可得：
V
I
Z n Z n Zi
2
2
2
11( )
P.247,例 8 -9就是实例：戴维南等效电路的输出阻抗为：
Z R R Ro o2 2 1 102 1 2 2( )?
开路电压由理想变压器的 VCR直接得到：
v v toc S2 2? ( )
00 12 ii?
6-5 一般变压器的电路模型一般变压器可以用电感或空芯变压器的分析方法，也可以用含有理想变压器的等效电路的方法来分析。这其实也就是变压器电路分析的两种方法。
一般变压器的初、次级电感不会是无限大，耦合系数 k
也小于 1,因此实际变压器模型必须在理想变压器模型的基础上进行修正。
可先在理想变压器基础上推出当 k = 1但 L 不满足无限大的全耦合变压器模型，然后再推出当 k 不为 1,L也不为无限大的一般变压器模型。
6-5-1 全耦合变压器的电路模型实际铁芯变压器一般更易满足前两个条件，而不满足第三个条件，即 k = 1但 L 不为无限大,这就是 全耦合变压器 。两线圈的电压关系同理想变压器，电流关系有 **式，即
'1)(1 121
1
1 iiinduLi
t
可见，全耦合变压器的初级电流由两部分组成，其中 称为 激磁电流 或 空载电流 。其等效电路模型如图所示。
i? 1u
+
-
1i 2i
2u
+
-
* *
n:1
i1'
i?
L1
次级开路时，初级电流 i1=
iφ，它流过变压器初级激起磁链，并感生与电源电压相平衡的电压 u1。
工程上为了近似获得理想变压器的特性，通常采用导磁率?
很高的磁性材料做变压器的芯子。而在保持匝比不变的情况下，
增加线圈的匝数，并尽量紧密耦合，使 k 接近于 1。同时使 L1,
L2,M 非常非常大，认为增大到无限大。
1u
+
-
1i 2i
2u
+
-
* *
n:1
i1'
i?
L1
图中,L1 称为 激磁电感 。 L1越大，建立相同磁链所需要的激磁电流越小。这也说明理想变压器由于 L1为无穷大 (极限情况 )，故不需要激磁电流，就可以在铁芯中产生磁场。
一般变压器的初、次级电感不会是无限大，耦合系数 k
也小于 1,现在先看一般的互感线圈 (见图 a),由于存在 漏磁通,可以想象为如图 (b)所示的 全耦合电感 和 漏电感 组成；再运用理想变压器的等效电路，即可得到一般变压器的含理想变压器的等效电路 (见图 c)。
6-5-2 一般变压器的电路模型
* *
L1 L2
Mi
1 i2
1u 2u
+ +
- -
(a)
* *
LS1 Mi
1 i2
1u 2u
+ +
- -
2SL
nM 1
nM
(b)
* *
LS1i
1 i2
1u 2u
+ +
- -
LS2
nM
+ +
--
'2u'1u
n:1
(c)
* *
L1 L2
Mi
1 i2
1u 2u
+ +
- -
(a)
由图 (a):
td
id
M
td
id
Lu
td
id
M
td
id
Lu
12
22
21
11
由图 (c):
td
id
L
ntd
id
LL
td
id
L
td
id
L
td
id
L
td
iid
L
td
id
Lu
td
id
Lu
MMS
MMS
MSS
21
1
111
1
111
11
1
11
1
)(
'
)'(
'
* *
LS1i
1 i2
1u 2u
+ +
- -
LS2
LM
+ +
--
'2u'1u
n:1i1'
(c)
td
idM
td
idLu 21
11
'1u
+
-
'1i 2i
'2u
+
-
n
i2
n
u'1
+
-
ni
in
u
u 1'
'
'
2
1
2
1
由图 (a):
td
id
LL
ntd
id
L
ntd
id
L
td
id
L
ntd
id
L
n
td
id
L
td
iid
L
ntd
id
Lu
ntd
id
Luu
SMMSMM
SMSS
2
22
12
2
11
2
2
112
21
2
222
11'11
)'(1
'
1
'
td
idL
td
idMu 2
2
1
2
* *
LS1i
1 i2
1u 2u
+ +
- -
LS2
LM
+ +
--
'2u'1u
n:1i1'
(c)
'1u
+
-
'1i 2i
'2u
+
-
n
i2
n
u'1
+
-
ni
in
u
u 1'
'
'
2
1
2
1
由图 (a):
这两种方法可以相互等效：
222
11
1
1
SM
M
MS
LL
n
L
L
n
M
LLL
M
n
LL
nML
nMLL
S
M
S
1
22
11
当取 时：n L
L?
1
2
* *
LS1i
1 i2
1u 2u
+ +
- -
LS2
LM
+ +
--
'2u'1u
n:1i1'
* *
L1 L2
Mi
1 i2
1u 2u
+ +
- -
理想变压器全耦变压器一般变压器如果还需考虑线圈的绕线电阻和铁芯损失，铁芯变压器的电路模型如下图所示：
当然，如果还要考虑线圈的匝间电容等，即还有相应的等效电路。
1R
mi
1Ls 2Ls 2R*
*
n:1
RM L
M
iM
p,369 例 6-5-1
6-20
作业,p,377
1u
+
-
1i 2i
2u
+
-
* *
n:1
ni
i
n
u
u
1
2
1
2
1
理想变压器的唯一参数是 变比 (或匝比 ),n
由理想变压器的伏安关系可以看出，理想变压器已经没有电感或耦合电感的作用了，故理想变压器的电路模型也可以画出受控源的形式：
1u
+
-
1i 2i
2u
+
-
n
i2
n
u1
+
-1u
+
-
1i 2i
2u
+
-
* *
n:1
ni
in
u
u 1
2
1
2
1
(3) 自感系数 L1和 L2 均为无限大，但 L1 / L2等于常数,互感系数 也为无限大。
理想变压器可以看成是耦合电感或空芯变压器在理想条件下的极限情况,
M L L? 1 2
M L L? 1 2
(1) 耦合电感无损耗，即线圈是理想的；
(2) 耦合系数 k=1,即是全耦合 ；
1u
+
-
1i 2i
2u
+
-
*
*
n:1
由于同名端的不同，理想变压器还有另一个电路模型，其伏安关系为
ni
i
n
u
u
1
2
1
2
1
当线圈的电压、电流参考方向关联时只有这两种情况，这两种 VCR仅差一个符号。
下面先从符合前两个理想化条件的全耦合变压器着手推导理想变压器的 VCR：当线圈的电压、电流参考方向关联时只有这两种情况，由耦合线圈的 VCR：
6 -4 -1 理想变压器伏安关系推导这里仅讨论第一种 (相加的 )情况。当耦合系数 k=1 时：
dt
diM
dt
diLuu
dt
d
dt
d
dt
du
ML
21
111
12111
1 ±?±?
j±j?j?
dt
diM
dt
diLuu
dt
d
dt
d
dt
du
ML
12
222
21222
2 ±?±?
j±j?j?
电流在本线圈中产生的磁通全部与另一个线圈相交链，即：
若 初、次级 线圈的匝数分别为 N1 和 N2,则两线圈的总磁链分别为：
11 21 22 12,,
jjj
jjj
2221122122221222
1221111211112111
)()(
)()(
NNN
NNN
式中,称为 主磁通,由电磁感应定律，初、次级电压分别为 2211
dt
d
N
dt
d
u
dt
d
N
dt
d
u
j
j
2
2
2
1
1
1
故得：
nNNuu
2
1
2
1
由耦合电感 VCR的第一式：
td
idM
td
idLu 21
11
从 -?到 t 积分，有
2111 )( iMiLdu
t
t iLMduLi 2
1
1
1
1 )(
1得：
N L i N Mi
N Mi N L i
1 11 1 1 1 12 2
2 21 1 2 22 2 2
,
,
由自感、互感的定义：
得,L
M
M
L
L
L
N
N
n1
2
1
2
1
2
于是：
21
1
1
1)(1 i
nduLi
t
**
nLLL ＝而当
2
1
1
保持不变，即由于 u1 为有限值，
满足理想化的第三个条件，有
i n i1 21
由理想变压器的伏安关系，可以得出：理想变压器是一种 无记忆 元件，也称即时元件。如代入上述伏安关系，理想变压器的吸收功率为：
0)1)(( 22222211 iui
n
nuiuiup
可见：理想变压器既 不耗能,也 不储能 。从初级线圈输入的功率全部通过次级线圈传递给负载。
理想变压器以 n 倍关系变换电压与电流，这个关系不仅适用于正弦稳态，也适用于非正弦的暂态，即适用于任何时刻、任意波形的电压、电流。
理想变压器虽可看作耦合电感的极限情况，其电路符号也与耦合电感相同，但它与耦合电感有本质的区别。
耦合电感 理想变压器
VCR 线性微分方程 线性代数方程元件性质 动态、记忆、储能元件静态、无记忆、既不耗能也不储能表征参数 L1,L2,M n
为了方便，习惯上把由于同名端不同而引起的两种伏安关系合并成一种，且不带负号。两线圈的电压（标同名端处假设为正极）、电流（一侧流入另一侧流出）应如下图假设：
1u
+
-
1i 2i
2u
+
-
*
*
n:1
1i
2nu
+
-
2u
+
-
*
*
n:1
ni1
1u
1i 2i
2u
+
-
* *
n:1
+
-
2nu
1i 1ni
2u
+
-
* *
n:1
+
-
p,356 例 6-4-1
6-4-2 理想变压器的阻抗变换由理想变压器的伏安关系可知，它除了可以以 n 倍的关系变换电压、电流外，还可以 以 n2 倍的关系变换阻抗 。
如：从初级看进去的等效电阻为
Li Rn
i
u
n
i
n
nu
i
u
R 2
2
22
2
2
1
1
1
2i
1u
+
-
2u
+
-
1i
* * RL
n:1
1i
1u
+
-
LRn2
+
-
+
-
* *
n:1
2Un? 2U?
1In?1I?
1221 InIUnU
显然，输入电阻仅与匝比有关，与同名端无关。
对于正弦稳态电路，如果按照前面所规定的参考方向，理想变压器伏安关系的相量形式为：
若次级接负载阻抗，则从初级看进去的等效阻抗为
Li ZnZ 2?
上述“搬移”阻抗的方法还可以进一步推广：
1,并联阻抗可以从次级搬移到初级；
2,串联阻抗可以从初级搬移到次级。
阻抗可以从初级与次级之间来回搬移。
+
-
+
-
* *
n:1
1U? 2U?
I2'?I1?a
d
c
b
N
I1?'
22Zn
1,并联阻抗可以从次级搬移到初级 ；
+
-
+
-
* *
n:1
1U? 2U?
I2'?I1? I2?
I2?"
a
d
c
b
N
Z2
(a)
由图 (a)：
')'(
1
)'"(
11
1
2
2
1
2
2
2
2221
21
I
Zn
U
I
Z
U
n
II
n
I
n
I
UnU
得图 (b)。其中：
(b)
21
1 I
nI
2,串联阻抗可以从初级搬移到次级 。
+
-
+
-
* *
n:1
SU? 2U?
I1?a
d
c
b
NZ1
1U?
+
-
I2?
(a)
由图 (a):
22
12
1
1112
12
1
)(
1
)(
11
I
n
Z
U
nn
I
ZU
n
IZU
n
U
n
U
InI
SS
S
得图 (b)。
I1? I2?
+
-
+
-
* *
n:1
2U?
a
d
c
b
N12 1n Z
SU?
(b)
应该指出,阻抗的 n2 倍 与元件的 n2 倍是不一样的。
电阻和电感意义相同；而电容意义刚好相反,n R n R
n j L j n L
n
j C
j
n
C
2 2
2 2
2
2
1 1
1
( )
( ) ( )
( )
利用阻抗的来回搬移，能使问题简化。
例如,a c Z
3
+
-
*
*
n:1 db
N
Z1
SU? Z2
1
2 1n Z
+
-
*
*
n:1
a
d
c
b
N
SU?
Z3
1
2 2n Z
简化为电源也可以“搬移”。 不过，电源搬移与同名端有关。
1
2 1n Z
*
a
d
c
b
N
+
-
Z3
*
n:1
1
2 2n Z
SUn?
1
1
2 1n Z
d
c
N
+
-
Z3
1
2 2n Z
SUn?
1
由理想变压器的
VCR，简化成没有变压器的电路。
解：将次级折合到初级
21'200100 2 jZnZjZ LLL
* *
1
V0100
+
- U?
+
-
100
2002 jI?1I?
1:10
1
V0100
+
- 'LZ
1I?
例 4,含理想变压器电路如图，试求 和 。UI1
AjI 4522522 01 0 01?
由理想变压器的伏安关系
AInI 4525.212
VIU 452250100 2
例 8-5 在如图所示电路中，已知内阻,负载电阻,求 n =? 时，负载电阻与电源达到最大功率匹配？此时，负载获得的最大功率为多少？
VU s 08?
2sR 8LR
解,将次级折合到初级，根据最大功率匹配条件有
sR
* *
sU?
+
- LR
1I? n:1
LRn2
+
-sU
1I?
sR
5.0
8
2
2
L
s
sL R
R
nRRn
此时,达到最大功率匹配。
由于理想变压器既不能耗能也不能储能，故等效电路中吸收的功率就是 原电路获得的功率，
LRn2
LR
W
R
UP
s
s 8
24
8
4
22
m a x
4j
* *
V0200
+
-
500
n:1?3例 8-6
要使负载获得最大功率，求,,
m a x Pn
4)3(
02 00
4)5 003(
02 00
2
jR
jn
I
L
这时，可变化的只是变比 n,这就是,模匹配,的情况。
3?4j
V0200
+
-
2500 n
I?
LR?
WRIPn
ZnRnR
L
SLL
25 0 0
4)53(
5200
'1.0
543500 '
22
2
2
2222
解,将次级折合到初级,不可能达到共扼匹配。
43 jZR SL 与一般地，理想变压器内阻,变换后的阻抗,当仅负载阻抗的模可变时，不可能达到共扼匹配，求负载获得最大功率的条件：
sss jXRZ
LLLLL ZjZZ s inc o s
下面证明：
)s i n()c o s( LLsLLs
s
ZXjZR
U
I
负载中电阻吸收的功率：
22
2
2
)s i n()c os(
c os
)c os(
LLsLLs
Ls
LL
ZXZR
ZU
ZIP
sL
L
ZZ
Zd
dP
＝即
）
,0
(
要使 P达到最大，必须这时，负载获得最大功率。这种情况称为,模匹配,。模匹配时负载中电阻吸收的功率一般比达到共扼匹配时的功率小。
6-15
6-19 (a)
作业,p,374
则 电阻上没有电流。2
AIIIII s 0183,06 121
解,运用 VCR：
IAI s 求已知,06
00 12 UU
sI
2U?
+
-1
U?
+
-
1I 2I
2
I
3:1
**,
..
.
例 8 -9
AII s 0231
IAI s 求已知,06例 10.
解,由 VCR和 KCL：
sI
1I
3j
I1:2.
.
,*
*
I
I
I I IS
1
1
1
1
2
2
解上两式，得例 8 -11：电路初始状态为零,t=0 开关闭合，试求 t>0时的电流 i(t)。
解,由已知参数，
此乃全耦合变压器，其等效电路为：
2H
V2
+
-
1
4H1 H4
K
* *
i(t)
k M
L L
1 2
1
i t2( )
其中,将理想变压器次级搬移到初级，
得等效电路，利用一阶电路的三要素法求解。 2
1
4
1
2
1
L
Ln
K
V2
+
-?4
**
n:1?1
H1
i(t)
i t1( )
i t2( )
02]21[2)( 2
1
2
1
teeti tt
LR s2
Ai
Ai
iAi LL
2)(
1)0(
)0(0)0(
1
H1V2
+
-
K
Li
)(ti
1?
i t1( )
思考,若需求,应如何求解？ 与 是不是
n倍的关系？
i t2( ) i t2( ))(ti
解,按图示假设电压、电流。
例 8 -12 求输入阻抗。
法一,列方程
21121
112
)1(
)1(
VZInZIn
ZInVnV
1
2
2
2
1
)1( ZnZnZ
I
V
i
n:1
*
1Z
2Z
2V+
-
2nV
+
-
1I 1nI
V
+
-
1)1( In?
*
..
.
.
.
.
1I 1nI
1)1( Zn?
2Z
1
1Z
n
n?
2
21 )
1( nZZ
n
n
1)1( Zn?
法二,
1222 )1( ZnZnZ i
..
求输入阻抗,
2Z
解,按图所示假设电压、电流。
.,
n:1
*
1Z
2V
+
-
2nV
+
-
1I 1nI
V
+
-
*..
.
( )n I1 1
由上题完全类似，可得：
V
I
Z n Z n Zi
2
2
2
11( )
P.247,例 8 -9就是实例：戴维南等效电路的输出阻抗为：
Z R R Ro o2 2 1 102 1 2 2( )?
开路电压由理想变压器的 VCR直接得到：
v v toc S2 2? ( )
00 12 ii?
6-5 一般变压器的电路模型一般变压器可以用电感或空芯变压器的分析方法，也可以用含有理想变压器的等效电路的方法来分析。这其实也就是变压器电路分析的两种方法。
一般变压器的初、次级电感不会是无限大，耦合系数 k
也小于 1,因此实际变压器模型必须在理想变压器模型的基础上进行修正。
可先在理想变压器基础上推出当 k = 1但 L 不满足无限大的全耦合变压器模型，然后再推出当 k 不为 1,L也不为无限大的一般变压器模型。
6-5-1 全耦合变压器的电路模型实际铁芯变压器一般更易满足前两个条件，而不满足第三个条件，即 k = 1但 L 不为无限大,这就是 全耦合变压器 。两线圈的电压关系同理想变压器，电流关系有 **式，即
'1)(1 121
1
1 iiinduLi
t
可见，全耦合变压器的初级电流由两部分组成，其中 称为 激磁电流 或 空载电流 。其等效电路模型如图所示。
i? 1u
+
-
1i 2i
2u
+
-
* *
n:1
i1'
i?
L1
次级开路时，初级电流 i1=
iφ，它流过变压器初级激起磁链，并感生与电源电压相平衡的电压 u1。
工程上为了近似获得理想变压器的特性，通常采用导磁率?
很高的磁性材料做变压器的芯子。而在保持匝比不变的情况下，
增加线圈的匝数，并尽量紧密耦合，使 k 接近于 1。同时使 L1,
L2,M 非常非常大，认为增大到无限大。
1u
+
-
1i 2i
2u
+
-
* *
n:1
i1'
i?
L1
图中,L1 称为 激磁电感 。 L1越大，建立相同磁链所需要的激磁电流越小。这也说明理想变压器由于 L1为无穷大 (极限情况 )，故不需要激磁电流，就可以在铁芯中产生磁场。
一般变压器的初、次级电感不会是无限大，耦合系数 k
也小于 1,现在先看一般的互感线圈 (见图 a),由于存在 漏磁通,可以想象为如图 (b)所示的 全耦合电感 和 漏电感 组成；再运用理想变压器的等效电路，即可得到一般变压器的含理想变压器的等效电路 (见图 c)。
6-5-2 一般变压器的电路模型
* *
L1 L2
Mi
1 i2
1u 2u
+ +
- -
(a)
* *
LS1 Mi
1 i2
1u 2u
+ +
- -
2SL
nM 1
nM
(b)
* *
LS1i
1 i2
1u 2u
+ +
- -
LS2
nM
+ +
--
'2u'1u
n:1
(c)
* *
L1 L2
Mi
1 i2
1u 2u
+ +
- -
(a)
由图 (a):
td
id
M
td
id
Lu
td
id
M
td
id
Lu
12
22
21
11
由图 (c):
td
id
L
ntd
id
LL
td
id
L
td
id
L
td
id
L
td
iid
L
td
id
Lu
td
id
Lu
MMS
MMS
MSS
21
1
111
1
111
11
1
11
1
)(
'
)'(
'
* *
LS1i
1 i2
1u 2u
+ +
- -
LS2
LM
+ +
--
'2u'1u
n:1i1'
(c)
td
idM
td
idLu 21
11
'1u
+
-
'1i 2i
'2u
+
-
n
i2
n
u'1
+
-
ni
in
u
u 1'
'
'
2
1
2
1
由图 (a):
td
id
LL
ntd
id
L
ntd
id
L
td
id
L
ntd
id
L
n
td
id
L
td
iid
L
ntd
id
Lu
ntd
id
Luu
SMMSMM
SMSS
2
22
12
2
11
2
2
112
21
2
222
11'11
)'(1
'
1
'
td
idL
td
idMu 2
2
1
2
* *
LS1i
1 i2
1u 2u
+ +
- -
LS2
LM
+ +
--
'2u'1u
n:1i1'
(c)
'1u
+
-
'1i 2i
'2u
+
-
n
i2
n
u'1
+
-
ni
in
u
u 1'
'
'
2
1
2
1
由图 (a):
这两种方法可以相互等效：
222
11
1
1
SM
M
MS
LL
n
L
L
n
M
LLL
M
n
LL
nML
nMLL
S
M
S
1
22
11
当取 时：n L
L?
1
2
* *
LS1i
1 i2
1u 2u
+ +
- -
LS2
LM
+ +
--
'2u'1u
n:1i1'
* *
L1 L2
Mi
1 i2
1u 2u
+ +
- -
理想变压器全耦变压器一般变压器如果还需考虑线圈的绕线电阻和铁芯损失，铁芯变压器的电路模型如下图所示：
当然，如果还要考虑线圈的匝间电容等，即还有相应的等效电路。
1R
mi
1Ls 2Ls 2R*
*
n:1
RM L
M
iM
p,369 例 6-5-1
6-20
作业,p,377
