4-3 一阶电路的完全响应完全响应,由储能元件的初始储能和独立电源共同作用引起的响应。
根据线性电路的叠加定理，完全响应等于 零输入响应 和 零状态响应 的叠加。
本节只分析在直流激励下的完全响应，以 RC串联电路为例进行说明。
为了求得电容电压的全响应，以 uC(t)为变量，列出电路的微分方程
)0(
d
d
SC
C tUu
t
uRC
i
C
R
t=0+
Us
-
+
uC(0-)=U0
-
已知,uC(0-)=U0。 t=0时开关闭合。
其解为
S
CpChC e)()()( UAtututu
RC
t
代入初始条件 uC(0+)=uC(0-)=U0，可得
S0C )0( UAUu
求得
S0 UUA
则：
)0(e)()(
e)()()()(
S
S0C
S
S0CpChC
tUUUtu
UUUtututu
t
RC
t
按工作状态分类稳态响应暂态响应全响应按响应形式分类强制响应固有响应全响应
也就是说电路的完全响应等于零输入响应与零状态响应之和。这是线性动态电路的一个基本性质，是响应可以叠加的一种体现。
上式可改写为
)0()e1(e)( S 0C tUUtu
tt
全响应 = 零输入响应 + 零状态响应
uCzi(t) uCzs(t)
t
uC(t)
U0
US
uCzi(t)
uCzS(t)
t
uC(t)
U0
US
uCp(t)
uCh(t)U0-US
uC(t)=uCh(t)+uCp(t) uC(t)=uCzi(t)+uCzs(t)
U0 >US
U0 <US
t
uC(t)
U0
US uCp(t)
uCh(t)
U0-US
uC(t)=uCh(t)+uCp(t) uC(t)=uCzi(t)+uCzs(t)
t
uC(t)
U0
US
uCzi(t)
uCzS(t)
U0 =US
特殊情况电路不存在暂态过程而一跃进入稳态。
暂态过程,由于电容电压或电感电流的初始值与稳态值之间有差别而做的调整过程。
现在初始值就是稳态值，调整也就没有必要，暂态过程不存在。
4-4 一阶电路的三要素法
iS
G L
iL
C+U
S-
R
+
uC
-
0C
SC
C
)0(
)0()(
d
)(d
Uu
tUtu
t
tu
RC
0L
SL
L
)0(
)0()(
d
)(d
Ii
titi
t
ti
GL
若用 r(t)来表示电容电压 uC(t)和电感电流 iL(t),上述两个电路的微分方程可用 统一形式 表示
)0(
)0()()(
d
)(d
r
ttwtar
t
tr
r (0+) 表示电容电压的初始值 uC(0+) 或电感电流的初始值
iL(0+)；?= RC 或? = GL = L/R； w(t)表示电压源的电压 uS 或电流源的电流 is 。 其 通解为
)(e)()()( ph trAtrtrtr p
t
)(e)()()( ph trAtrtrtr p
t
因而得到一阶电路任意激励下 uC(t) 和 iL(t) 响应的公式
t = 0+ 代入，得：
)0()0( prrA
0,e)]0()0([)()( p trrtrtr
t
p
推广应用于任意激励下任一响应在直流输入的情况下,t时,rh(t)?0,rp(t)为常数,则有
)0()()(p prrtr
因而得到
0,e)]()0([)()( trrrtr
t
r(0+) —— 响应的初始值
r(?) —— 响应的稳态值
—— 时间常数?=RC,? =L/R
三要素：
三要素公式注意,
（ 1）直流激励；
（ 2）一阶电路任一支路的电压或电流的（全）响应；
（ 3）适合于求零输入响应和零状态响应。
（ 4）若电路在 t = t0 时换路，则三要素法公式修改为直流激励下一阶电路的全响应取决于 r(0+),r(?)和?这三个要素。只要分别计算出这三个要素，就能够确定全响应，而不必建立和求解微分方程。这种方法称为 三要素法 。
0
0,e)]()([)()(
0
ttrtrrtr
tt
t
r(t)
r(?)
r(0+)
r(?) > r(0+)
t
r(t)
r(0+)
r(?)
r(?) < r(0+)
三要素公式的响应波形曲线可见，直流激励下一阶电路中任一响应总是从初始值 r(0+)
开始，按照指数规律增长或衰减到稳态值 r(?)，响应的快慢取决于电路的时间常数?。
三要素法求直流激励下响应的步骤：
1。初始值 r(0+)的计算
(2) 由换路定则，确定电容电压或电感电流初始值，即
uC(0+)=uC(0-)和 iL(0+)=iL(0-)。
(3) 画 0+图，求其它初始值 —— 用数值为 uC(0+)的电压源替代电容或用 iL(0+)的电流源替代电感，得电阻电路再计算
(1) 画 t =0-图，求初始状态：电容电压 uC(0-)或电感电流
iL(0-)。
根据 t→?电路达到新的稳态,将 电容用开路 或 电感用短路 代替,得一个直流电阻电路,再从稳态图求稳态值 r(?)。
先计算与电容或电感连接的电阻单口网络的输出电阻 Ro
，然后用公式?=RoC 或? =L/Ro计算出时间常数。
4。将 r(0+),r(?) 和?代入三要素公式得到响应的一般表达式。
2。 稳态值 r(?) 的计算
3。时间常数?的计算例 16 电路原处于稳定状态。求 t? 0 的 uC(t) 和 i(t)，并画波形图。
解,1,计算初始值 uC(0+),i(0+)
V824)0(Cu
uC
+
-0.1F
4? 4?
2? i
10V
+
-
2A
t=0
开关闭合前，电路已稳定，电容相当于开路，电流源电流全部流入 4?电阻中，
由于开关转换时，电容电流有界，电容电压不能跃变，故
V8)0()0( CC uu
画 0+图
8V
+
-
4? 4?
2? i(0+)
10V
+
-
2A
A12 8102 )0(10)0( C ui
2,计算稳态值 uC(?),i(?)
7V52104//42 4//42)2//4//4()(Cu
A5.12 7102 )(10)( C ui
2? i(?)
10VuC (?)
+
-
4? 4? +
-
2A
换路后，经一段时间，重新达到稳定，
电容开路，终值图如右，运用叠加定理得
3,计算时间常数?
计算与电容相连接的电阻单口网络的输出电阻，它是三个电阻的并联
12//4//4oR
时间常数为
s1.01.01τ o CR
10V
i(t)
uC
+
-
4? 4?
2?
+
-
2A
4,将初始值、终值及时间常数代入三要素公式，得到响应表达式：
)0(V17)78(7)( 1010C teetu tt
)0(Ae5.05.1e)5.11(5.1)( 1010 tti tt
下面看响应过程 —— 波形
t
i(t)
1.5
1
uC(t)
t
8
7
0
例 17 求 u(t)和 i(t)。
已知：
uC
-
4? 0.01F
4? +
2A
i + 2i -
+ u - t=0
0)0(Cu
解,1,计算初始值 uC(0+),i(0+)零状态电路,
0)0()0( CC uu
由换路定则得：
画 0+图如右,用节点法
4?
4?
2A
i(0+) + 2i (0+) -
+ u (0+) -a
b
)0()0(4
4
)0(2
2)
4
1
4
1
)(0(
ab
ab
ui
i
u
解得：
V2.3)0(A8.0)0( ab ui
则,V8.4)0(?
u
2,计算稳态值 u(?),i(?)
t→?，电路重新达到稳定，电容开路，终值图如下，
4?
4?
2A
i(?) + 2i (? ) -
+ u (? ) -
Aiu 2)(0)(
时间常数为
sCR eq 1.0
代入三要素公式得：
)0(V8.4)( 10 tetu t
)0(Ae2.12e)28.0(2)( 1010 tti tt
3,计算时间常数?
4?
4?
i + 2i -
Req
10eqR
电容相连接的电阻网络如右图，
用加压求流法得：
例 19 开关在 a时电路已稳定。 t = 0倒向 b,t=R1C 倒向 c，
求 t?0的 iC(t)并画波形。
解,t<0时,uC(0-)=0
。 第一次换路后由换路定则得：
0)0()0( CC uu
iC(t)
CR2
R1
Us
+
-
ab
c
iC(t)
C
R1
Us
+
-
CR
Uu
11
sC )(
0)(
)0(
1
C
C
S
i
R
U
iiC(t)
C
R1
Us
+
-
CRteUtu
tCR
1
1
sC 0)1()(
1
CRt
R
U
ti
t
CR
1
1
1
s
C 0Ae)(
1
)1()( 1s1C eUCRu
t = R1C时,第二次换路,
由换路定则得：
CRRi
eU
RR
CRi
C )(0)(
)1(
1
)(
212
1
s
21
1C
)1(
)()(
1
s
1C1C
eU
CRuCRu
iC(R1C+)
R1
R2
+
Us(1-e-1)
-
得 t=R1C+ 图如右：
CRte
RR
eUti CRR CRt
1
)(
21
1
s
C
21
1)1(
)(?
CRte
RR
eUti CRR CRt
1
)(
21
1
s
C
21
1)1(
)(?
CRt
R
Uti tCR
1
1
1
s
C 0Ae)(
1
1
t
iC
Us/R1
21
1
s )1(
RR
eU
4-3 (a)
4-9 (1)
4-11
作业 10,p,227
4－ 5 一阶电路的阶跃响应
4-5-1 单位阶跃信号定义：
01
00
)(
t
t
t? 0 t
(t)
1
延迟单位阶跃信号：
0
0
0 1
0
)(
tt
tt
tt?
0 t0 t
(t-t0)
1
阶跃信号用途：
1,描述开关动作
t=0
+
2V
-
电路
+
2? (t) V
-
电路
2,表示各种信号
0 t0 t
A
f (t)
)]()([)( 0tttAtf
)2(2)1()()( ttttf
0 1 2 t
2
1
f (t)
0?/2? t
A
f (t)
)]()([s in)( tttAtf
4-5-2 阶跃响应单位阶跃响应 s(t)：零状态时电路在单位阶跃信号激励下的响应。
t=0
+
1V
-
+
u
-
t=0
1A
i
把?(t)看作下图开关动作，则求解阶跃响应（零状态）
可用三要素法图 (a) RC串联电路,初始值 uC(0+)=0,稳态值 uC(?)=1,时间常数?=RC。
图 (b) RL并联电路,初始值 iL(0+)=0,稳态值 iL(?)=1,时间常数?=L/R。
)()e1()( tts RC
t
)()e1()( ttts tL
R
这两个表示式中有了?(t)这一因子后就不必再加注 t > 0 了。
可分别得到 uC(t) 和 iL(t) 的阶跃响应如下 。
若将激励改为延迟阶跃信号?(t-t0),则图 (a)中 uC(t)和图 (b)
中 iL(t)的阶跃响应分别修改如下：
)()e1()( 00 ttts RC
tt
)()e1()( 0)( 0 ttts ttL
R
(t-t0)?(t-t0)
阶跃响应波形图
)()e1()( 00 ttts RC tt
0 t
Us
(t)
Us
0 t0 t
(t-t0)
)()e1()( tts RCt
0 t
s(t)
Us
s(t)
0 t0 t
Us
线性电路的时不变性 —— 线性时不变零状态电路中激励 e(t)延迟 t0
时间后加入，其响应 r(t)也延时 t0 出现，且大小、形状保持不变。
例 25 用阶跃函数表示左图所示的方波电流，再求 iL，并画出波形。
iS
iL
1H L
R
2?0 1 t
2
iS
解法一,左图所示的方波电流，可以用两个阶跃函数表示,
iS(t) = 2? (t) - 2? ( t -1) A
由于是线性电路，根据动态电路的叠加定理，其零状态响应等于 2?(t)和 -2?(t-1)两个阶跃电源单独作用引起零状态响应之和。
（ 1）先求单位阶跃响应 s(t)
(t)
s(t)
1H L
R
2?
所以：
sRL
s
ss
5.0/
1)(
0)0()0(
)()1()( 2 tets t
（ 2）应用线性及时不变性
（ 3）叠加,2?(t) -2?(t-1) 作用的零状态响应为
A)()1()()( 2 tetst t由于
)()1(2)(2)(2,2 tetst t线性
)1(]1[)1()1( 12 tetst t ）（
时不变性：
A)1(]1[2)()1(2
)1(2)(2)(
)1(22
tete
tststi
tt
L
)1(]1[2)1(2)1(2 12 tetst t ）（
线性时不变性：
黄线和紫线分别表示 2s(t)和 -2s(t-1)。它们相加得到 iL(t)波形，如红线所示。
iL(t)
2
0 1 t
-2
解法二,将激励看作两次开关动作
2A
iL
1H L
R
2?
t=0 t=1
iL(t)
2
0 1 t
第一次换路，充电第二次换路，放电。)1(2 2 e
例 求 t > 0 时的 i (t),已知 uC(0-)=2V。
0.5F+u
S-
2Ω
+
uC
-
i(t) uS2
-1
0 1 2 t
（ 1） 先求零输入响应 izi (t).
izi(0+)= -1A，时间常数? = RC = 1s。
解,
所以,0A)( teti t
iz
+
2V
-
2Ω i(0+)
（ 2）求零状态响应 iCzs (t).
先求单位阶跃响应 s(t).
0.5F+ε(t)
-
2Ω
+
uC
-
i(t)
初始值
uC(0+)=0,iC(0+)=0.5A，
由于 uS(t) = -?(t) + 3?(t-1)-2?(t-2),
所以零状态响应为
)(5.0)( tets t
uS
2
-1
0 1 2 t
Atetete
tstststi
ttt
zs
)2()1(5.1)(5.0
)2(2)1(3)()(
)2()1(
（ 3）全响应 )()()( tititi
sziz
0A,)2(
)1(5.1)(5.0)(
)2(
)1(
tete
teteti
tt
tt
4-13 (2)
4-14 (2)
4-15
作业 11,p,229
摘 要
1,线性时不变电容元件的特性曲线是通过 uq平面坐标原点的一条直线,该直线方程为
Cuq?
电容的电压电流关系由以下微分或积分方程描述
t diCtut tuCti )(1)(d )(d)( CCCC
可见,电容电压随时间变化时才有电容电流 。 若电容电压不随时间变化,则电容电流等于零,电容相当于开路 。 因此电容是一种动态元件 。 它是一种有记忆的元件,又是一种储能元件 。 储能为
)(21)( 2CC tCutW?
电容的储能取决于电容的电压，与电容电流值无关
2、线性时不变电感元件的特性曲线是通过 i? 平面坐标原点的一条直线，该直线方程为
Li?ψ
电感的电压电流关系由以下微分或积分方程描述
t duLtit tiLtu )(1)(d )(d)( LLLL
可见，电感电流随时间变化时才有电感电压。若电感电流不随时间变化，则电感电压等于零，电感相当于短路。因此电感是一种动态元件。它是一种有记忆的元件，又是一种储能元件。储能为
)(21)( 2LL tLitW?
电感的储能取决于电感的电流，与电感电压值无关
3,电容和电感的一个重要性质是连续性 ——
若电容电流 iC(t)在闭区间 [t1,t2]内有界,则电容电压 vC(t)在开区间 (t1,t2) 内是连续的 。 例如电容电流 iC(t)在闭区间 [0+,0-
]内有界,则有
)0()0( CC uu
若电感电压 vL(t)在闭区间 [t1,t2] 内有界,则电感电流 iL(t)在开区间 (t1,t2) 内是连续的 。 例如电感电压 uL(t)在闭区间
[0+,0-]内有界,则有
)0()0( LL ii
利用电容电压和电感电流的连续性，可以确定电路中开关转换 (称为换路 ) 引起电路结构和元件参数等改变时，电容电压和电感电流的初始值。初始值是求解微分方程时必须知道的数据。
4,动态电路的完全响应由独立电源和储能元件的初始状态共同产生 。 仅由初始状态引起的响应称为零输入响应；仅由独立电源引起的响应称为零状态响应 。 线性动态电路的全响应等于零输入响应与零状态响应之和 。
5,动态电路的电路方程是微分方程 。 其时域分析的基本方法是建立电路的微分方程,并利用初始条件求解 。 对于线性
n阶非齐次微分方程来说,其通解为
)()()( ph tftftf
fh(t)是对应齐次微分方程的通解,称为电路的固有响应,
它与外加电源无关 。 fp(t)是非齐次微分方程的特解,其变化规律与激励信号的规律相同,称为电路的强制响应 。
由一阶微分方程描述的电路称为一阶电路。对于直流激励下的一阶电路来说，其固有响应为 fh(t)=Kest.若 s<0时,
fh(t)=Kest?0,fp(t)= f(t)|t=?= f(?)。此时固有响应 fh(t)称为暂态响应，强制响应 fp(t)称为稳态响应。
6，直流激励下一阶电路中任一响应的通用表达式 (三要素公式 )为
oo
/
)0()(e)]()0([)(
RLCR
tffftf
t
或其中只要能够计算出某个响应的初始值 f(0+),稳态值 f(?)和电路的时间常数? 这三个要素,利用以上通用公式,就能得到该响应的表达式,并画出波形曲线 。 对于仅含有一个电容或一个电感的一阶电路来说,只需要求解几个直流电阻电路,即可得到这三个要素的数值 。 这种计算一阶电路响应的方法,
称为三要素法 。
7,三要素法还可以用来求解分段恒定信号激励的一阶电路以及含有几个开关的一阶电路 。
8,阶跃响应是电路在单位阶跃电压或电流激励下的零状态响应,一阶电路的阶跃响应可以用三要素法求得 。
9,时间常数大于零的一阶电路,在正弦激励下的响应由暂态响应和正弦稳态响应两部分组成,当暂态响应衰减到零时
,电路中的全响应就是正弦稳态响应,此时称电路处于正弦稳态 。
根据线性电路的叠加定理，完全响应等于 零输入响应 和 零状态响应 的叠加。
本节只分析在直流激励下的完全响应，以 RC串联电路为例进行说明。
为了求得电容电压的全响应，以 uC(t)为变量，列出电路的微分方程
)0(
d
d
SC
C tUu
t
uRC
i
C
R
t=0+
Us
-
+
uC(0-)=U0
-
已知,uC(0-)=U0。 t=0时开关闭合。
其解为
S
CpChC e)()()( UAtututu
RC
t
代入初始条件 uC(0+)=uC(0-)=U0，可得
S0C )0( UAUu
求得
S0 UUA
则：
)0(e)()(
e)()()()(
S
S0C
S
S0CpChC
tUUUtu
UUUtututu
t
RC
t
按工作状态分类稳态响应暂态响应全响应按响应形式分类强制响应固有响应全响应
也就是说电路的完全响应等于零输入响应与零状态响应之和。这是线性动态电路的一个基本性质，是响应可以叠加的一种体现。
上式可改写为
)0()e1(e)( S 0C tUUtu
tt
全响应 = 零输入响应 + 零状态响应
uCzi(t) uCzs(t)
t
uC(t)
U0
US
uCzi(t)
uCzS(t)
t
uC(t)
U0
US
uCp(t)
uCh(t)U0-US
uC(t)=uCh(t)+uCp(t) uC(t)=uCzi(t)+uCzs(t)
U0 >US
U0 <US
t
uC(t)
U0
US uCp(t)
uCh(t)
U0-US
uC(t)=uCh(t)+uCp(t) uC(t)=uCzi(t)+uCzs(t)
t
uC(t)
U0
US
uCzi(t)
uCzS(t)
U0 =US
特殊情况电路不存在暂态过程而一跃进入稳态。
暂态过程,由于电容电压或电感电流的初始值与稳态值之间有差别而做的调整过程。
现在初始值就是稳态值，调整也就没有必要，暂态过程不存在。
4-4 一阶电路的三要素法
iS
G L
iL
C+U
S-
R
+
uC
-
0C
SC
C
)0(
)0()(
d
)(d
Uu
tUtu
t
tu
RC
0L
SL
L
)0(
)0()(
d
)(d
Ii
titi
t
ti
GL
若用 r(t)来表示电容电压 uC(t)和电感电流 iL(t),上述两个电路的微分方程可用 统一形式 表示
)0(
)0()()(
d
)(d
r
ttwtar
t
tr
r (0+) 表示电容电压的初始值 uC(0+) 或电感电流的初始值
iL(0+)；?= RC 或? = GL = L/R； w(t)表示电压源的电压 uS 或电流源的电流 is 。 其 通解为
)(e)()()( ph trAtrtrtr p
t
)(e)()()( ph trAtrtrtr p
t
因而得到一阶电路任意激励下 uC(t) 和 iL(t) 响应的公式
t = 0+ 代入，得：
)0()0( prrA
0,e)]0()0([)()( p trrtrtr
t
p
推广应用于任意激励下任一响应在直流输入的情况下,t时,rh(t)?0,rp(t)为常数,则有
)0()()(p prrtr
因而得到
0,e)]()0([)()( trrrtr
t
r(0+) —— 响应的初始值
r(?) —— 响应的稳态值
—— 时间常数?=RC,? =L/R
三要素：
三要素公式注意,
（ 1）直流激励；
（ 2）一阶电路任一支路的电压或电流的（全）响应；
（ 3）适合于求零输入响应和零状态响应。
（ 4）若电路在 t = t0 时换路，则三要素法公式修改为直流激励下一阶电路的全响应取决于 r(0+),r(?)和?这三个要素。只要分别计算出这三个要素，就能够确定全响应，而不必建立和求解微分方程。这种方法称为 三要素法 。
0
0,e)]()([)()(
0
ttrtrrtr
tt
t
r(t)
r(?)
r(0+)
r(?) > r(0+)
t
r(t)
r(0+)
r(?)
r(?) < r(0+)
三要素公式的响应波形曲线可见，直流激励下一阶电路中任一响应总是从初始值 r(0+)
开始，按照指数规律增长或衰减到稳态值 r(?)，响应的快慢取决于电路的时间常数?。
三要素法求直流激励下响应的步骤：
1。初始值 r(0+)的计算
(2) 由换路定则，确定电容电压或电感电流初始值，即
uC(0+)=uC(0-)和 iL(0+)=iL(0-)。
(3) 画 0+图，求其它初始值 —— 用数值为 uC(0+)的电压源替代电容或用 iL(0+)的电流源替代电感，得电阻电路再计算
(1) 画 t =0-图，求初始状态：电容电压 uC(0-)或电感电流
iL(0-)。
根据 t→?电路达到新的稳态,将 电容用开路 或 电感用短路 代替,得一个直流电阻电路,再从稳态图求稳态值 r(?)。
先计算与电容或电感连接的电阻单口网络的输出电阻 Ro
，然后用公式?=RoC 或? =L/Ro计算出时间常数。
4。将 r(0+),r(?) 和?代入三要素公式得到响应的一般表达式。
2。 稳态值 r(?) 的计算
3。时间常数?的计算例 16 电路原处于稳定状态。求 t? 0 的 uC(t) 和 i(t)，并画波形图。
解,1,计算初始值 uC(0+),i(0+)
V824)0(Cu
uC
+
-0.1F
4? 4?
2? i
10V
+
-
2A
t=0
开关闭合前，电路已稳定，电容相当于开路，电流源电流全部流入 4?电阻中，
由于开关转换时，电容电流有界，电容电压不能跃变，故
V8)0()0( CC uu
画 0+图
8V
+
-
4? 4?
2? i(0+)
10V
+
-
2A
A12 8102 )0(10)0( C ui
2,计算稳态值 uC(?),i(?)
7V52104//42 4//42)2//4//4()(Cu
A5.12 7102 )(10)( C ui
2? i(?)
10VuC (?)
+
-
4? 4? +
-
2A
换路后，经一段时间，重新达到稳定，
电容开路，终值图如右，运用叠加定理得
3,计算时间常数?
计算与电容相连接的电阻单口网络的输出电阻，它是三个电阻的并联
12//4//4oR
时间常数为
s1.01.01τ o CR
10V
i(t)
uC
+
-
4? 4?
2?
+
-
2A
4,将初始值、终值及时间常数代入三要素公式，得到响应表达式：
)0(V17)78(7)( 1010C teetu tt
)0(Ae5.05.1e)5.11(5.1)( 1010 tti tt
下面看响应过程 —— 波形
t
i(t)
1.5
1
uC(t)
t
8
7
0
例 17 求 u(t)和 i(t)。
已知：
uC
-
4? 0.01F
4? +
2A
i + 2i -
+ u - t=0
0)0(Cu
解,1,计算初始值 uC(0+),i(0+)零状态电路,
0)0()0( CC uu
由换路定则得：
画 0+图如右,用节点法
4?
4?
2A
i(0+) + 2i (0+) -
+ u (0+) -a
b
)0()0(4
4
)0(2
2)
4
1
4
1
)(0(
ab
ab
ui
i
u
解得：
V2.3)0(A8.0)0( ab ui
则,V8.4)0(?
u
2,计算稳态值 u(?),i(?)
t→?，电路重新达到稳定，电容开路，终值图如下，
4?
4?
2A
i(?) + 2i (? ) -
+ u (? ) -
Aiu 2)(0)(
时间常数为
sCR eq 1.0
代入三要素公式得：
)0(V8.4)( 10 tetu t
)0(Ae2.12e)28.0(2)( 1010 tti tt
3,计算时间常数?
4?
4?
i + 2i -
Req
10eqR
电容相连接的电阻网络如右图，
用加压求流法得：
例 19 开关在 a时电路已稳定。 t = 0倒向 b,t=R1C 倒向 c，
求 t?0的 iC(t)并画波形。
解,t<0时,uC(0-)=0
。 第一次换路后由换路定则得：
0)0()0( CC uu
iC(t)
CR2
R1
Us
+
-
ab
c
iC(t)
C
R1
Us
+
-
CR
Uu
11
sC )(
0)(
)0(
1
C
C
S
i
R
U
iiC(t)
C
R1
Us
+
-
CRteUtu
tCR
1
1
sC 0)1()(
1
CRt
R
U
ti
t
CR
1
1
1
s
C 0Ae)(
1
)1()( 1s1C eUCRu
t = R1C时,第二次换路,
由换路定则得：
CRRi
eU
RR
CRi
C )(0)(
)1(
1
)(
212
1
s
21
1C
)1(
)()(
1
s
1C1C
eU
CRuCRu
iC(R1C+)
R1
R2
+
Us(1-e-1)
-
得 t=R1C+ 图如右：
CRte
RR
eUti CRR CRt
1
)(
21
1
s
C
21
1)1(
)(?
CRte
RR
eUti CRR CRt
1
)(
21
1
s
C
21
1)1(
)(?
CRt
R
Uti tCR
1
1
1
s
C 0Ae)(
1
1
t
iC
Us/R1
21
1
s )1(
RR
eU
4-3 (a)
4-9 (1)
4-11
作业 10,p,227
4－ 5 一阶电路的阶跃响应
4-5-1 单位阶跃信号定义：
01
00
)(
t
t
t? 0 t
(t)
1
延迟单位阶跃信号：
0
0
0 1
0
)(
tt
tt
tt?
0 t0 t
(t-t0)
1
阶跃信号用途：
1,描述开关动作
t=0
+
2V
-
电路
+
2? (t) V
-
电路
2,表示各种信号
0 t0 t
A
f (t)
)]()([)( 0tttAtf
)2(2)1()()( ttttf
0 1 2 t
2
1
f (t)
0?/2? t
A
f (t)
)]()([s in)( tttAtf
4-5-2 阶跃响应单位阶跃响应 s(t)：零状态时电路在单位阶跃信号激励下的响应。
t=0
+
1V
-
+
u
-
t=0
1A
i
把?(t)看作下图开关动作，则求解阶跃响应（零状态）
可用三要素法图 (a) RC串联电路,初始值 uC(0+)=0,稳态值 uC(?)=1,时间常数?=RC。
图 (b) RL并联电路,初始值 iL(0+)=0,稳态值 iL(?)=1,时间常数?=L/R。
)()e1()( tts RC
t
)()e1()( ttts tL
R
这两个表示式中有了?(t)这一因子后就不必再加注 t > 0 了。
可分别得到 uC(t) 和 iL(t) 的阶跃响应如下 。
若将激励改为延迟阶跃信号?(t-t0),则图 (a)中 uC(t)和图 (b)
中 iL(t)的阶跃响应分别修改如下：
)()e1()( 00 ttts RC
tt
)()e1()( 0)( 0 ttts ttL
R
(t-t0)?(t-t0)
阶跃响应波形图
)()e1()( 00 ttts RC tt
0 t
Us
(t)
Us
0 t0 t
(t-t0)
)()e1()( tts RCt
0 t
s(t)
Us
s(t)
0 t0 t
Us
线性电路的时不变性 —— 线性时不变零状态电路中激励 e(t)延迟 t0
时间后加入，其响应 r(t)也延时 t0 出现，且大小、形状保持不变。
例 25 用阶跃函数表示左图所示的方波电流，再求 iL，并画出波形。
iS
iL
1H L
R
2?0 1 t
2
iS
解法一,左图所示的方波电流，可以用两个阶跃函数表示,
iS(t) = 2? (t) - 2? ( t -1) A
由于是线性电路，根据动态电路的叠加定理，其零状态响应等于 2?(t)和 -2?(t-1)两个阶跃电源单独作用引起零状态响应之和。
（ 1）先求单位阶跃响应 s(t)
(t)
s(t)
1H L
R
2?
所以：
sRL
s
ss
5.0/
1)(
0)0()0(
)()1()( 2 tets t
（ 2）应用线性及时不变性
（ 3）叠加,2?(t) -2?(t-1) 作用的零状态响应为
A)()1()()( 2 tetst t由于
)()1(2)(2)(2,2 tetst t线性
)1(]1[)1()1( 12 tetst t ）（
时不变性：
A)1(]1[2)()1(2
)1(2)(2)(
)1(22
tete
tststi
tt
L
)1(]1[2)1(2)1(2 12 tetst t ）（
线性时不变性：
黄线和紫线分别表示 2s(t)和 -2s(t-1)。它们相加得到 iL(t)波形，如红线所示。
iL(t)
2
0 1 t
-2
解法二,将激励看作两次开关动作
2A
iL
1H L
R
2?
t=0 t=1
iL(t)
2
0 1 t
第一次换路，充电第二次换路，放电。)1(2 2 e
例 求 t > 0 时的 i (t),已知 uC(0-)=2V。
0.5F+u
S-
2Ω
+
uC
-
i(t) uS2
-1
0 1 2 t
（ 1） 先求零输入响应 izi (t).
izi(0+)= -1A，时间常数? = RC = 1s。
解,
所以,0A)( teti t
iz
+
2V
-
2Ω i(0+)
（ 2）求零状态响应 iCzs (t).
先求单位阶跃响应 s(t).
0.5F+ε(t)
-
2Ω
+
uC
-
i(t)
初始值
uC(0+)=0,iC(0+)=0.5A，
由于 uS(t) = -?(t) + 3?(t-1)-2?(t-2),
所以零状态响应为
)(5.0)( tets t
uS
2
-1
0 1 2 t
Atetete
tstststi
ttt
zs
)2()1(5.1)(5.0
)2(2)1(3)()(
)2()1(
（ 3）全响应 )()()( tititi
sziz
0A,)2(
)1(5.1)(5.0)(
)2(
)1(
tete
teteti
tt
tt
4-13 (2)
4-14 (2)
4-15
作业 11,p,229
摘 要
1,线性时不变电容元件的特性曲线是通过 uq平面坐标原点的一条直线,该直线方程为
Cuq?
电容的电压电流关系由以下微分或积分方程描述
t diCtut tuCti )(1)(d )(d)( CCCC
可见,电容电压随时间变化时才有电容电流 。 若电容电压不随时间变化,则电容电流等于零,电容相当于开路 。 因此电容是一种动态元件 。 它是一种有记忆的元件,又是一种储能元件 。 储能为
)(21)( 2CC tCutW?
电容的储能取决于电容的电压，与电容电流值无关
2、线性时不变电感元件的特性曲线是通过 i? 平面坐标原点的一条直线，该直线方程为
Li?ψ
电感的电压电流关系由以下微分或积分方程描述
t duLtit tiLtu )(1)(d )(d)( LLLL
可见，电感电流随时间变化时才有电感电压。若电感电流不随时间变化，则电感电压等于零，电感相当于短路。因此电感是一种动态元件。它是一种有记忆的元件，又是一种储能元件。储能为
)(21)( 2LL tLitW?
电感的储能取决于电感的电流，与电感电压值无关
3,电容和电感的一个重要性质是连续性 ——
若电容电流 iC(t)在闭区间 [t1,t2]内有界,则电容电压 vC(t)在开区间 (t1,t2) 内是连续的 。 例如电容电流 iC(t)在闭区间 [0+,0-
]内有界,则有
)0()0( CC uu
若电感电压 vL(t)在闭区间 [t1,t2] 内有界,则电感电流 iL(t)在开区间 (t1,t2) 内是连续的 。 例如电感电压 uL(t)在闭区间
[0+,0-]内有界,则有
)0()0( LL ii
利用电容电压和电感电流的连续性，可以确定电路中开关转换 (称为换路 ) 引起电路结构和元件参数等改变时，电容电压和电感电流的初始值。初始值是求解微分方程时必须知道的数据。
4,动态电路的完全响应由独立电源和储能元件的初始状态共同产生 。 仅由初始状态引起的响应称为零输入响应；仅由独立电源引起的响应称为零状态响应 。 线性动态电路的全响应等于零输入响应与零状态响应之和 。
5,动态电路的电路方程是微分方程 。 其时域分析的基本方法是建立电路的微分方程,并利用初始条件求解 。 对于线性
n阶非齐次微分方程来说,其通解为
)()()( ph tftftf
fh(t)是对应齐次微分方程的通解,称为电路的固有响应,
它与外加电源无关 。 fp(t)是非齐次微分方程的特解,其变化规律与激励信号的规律相同,称为电路的强制响应 。
由一阶微分方程描述的电路称为一阶电路。对于直流激励下的一阶电路来说，其固有响应为 fh(t)=Kest.若 s<0时,
fh(t)=Kest?0,fp(t)= f(t)|t=?= f(?)。此时固有响应 fh(t)称为暂态响应，强制响应 fp(t)称为稳态响应。
6，直流激励下一阶电路中任一响应的通用表达式 (三要素公式 )为
oo
/
)0()(e)]()0([)(
RLCR
tffftf
t
或其中只要能够计算出某个响应的初始值 f(0+),稳态值 f(?)和电路的时间常数? 这三个要素,利用以上通用公式,就能得到该响应的表达式,并画出波形曲线 。 对于仅含有一个电容或一个电感的一阶电路来说,只需要求解几个直流电阻电路,即可得到这三个要素的数值 。 这种计算一阶电路响应的方法,
称为三要素法 。
7,三要素法还可以用来求解分段恒定信号激励的一阶电路以及含有几个开关的一阶电路 。
8,阶跃响应是电路在单位阶跃电压或电流激励下的零状态响应,一阶电路的阶跃响应可以用三要素法求得 。
9,时间常数大于零的一阶电路,在正弦激励下的响应由暂态响应和正弦稳态响应两部分组成,当暂态响应衰减到零时
,电路中的全响应就是正弦稳态响应,此时称电路处于正弦稳态 。
