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第十五讲：
相似原理及因次分析
一、本课的基本要求
⒈ 掌握现象相似的必要条件和充分条件。
⒉ 相似准数的概念。
⒊ 相似三定理的内容。
⒋ 相似转换法求相似准数。 Re,Eu,Gr准数的
表达式及物理意义。
第一章 动量传输
2
二、本课的重点、难点：
重点：现象相似的必要条件和充分条件。
难点：相似三定理的应用。
第一章 动量传输
3
§ 1.8 相似原理及因次分析
研究物理过程的两种基本方法：
数学分析为手段，建立方程，求解方程，获得物理之间的关系。
比较简单的过程，复杂过程，建立方程困难，求解方程困难。
例如,N-S方程的求解。
实验测试为手段，整理实测数据，获得物理量之间的关系。
相似政理论 -模型实验法,理论分析，获得相似准数，整理成准数方，
通过模型实验使准数方程具体化。举例：高炉气 -固两相流动。
第一章 动量传输
⑴ 分析法：
⑵ 实验法：
4
1.8.1 相似的概念
⒈ 几何相似 图 1-8-1 P99
3
3
2
2
1
1
l
l
l
l
l
l
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?? 相似常数 (相似系数 )
Lllll
2
1
2
1 ?
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?? 相似定数
对应角相等
两三角形相似所具备的上述性质 ? 相似性质。
两三角形相似满足的条件 ? 相似条件。
??
?
什么条件现象才能相似现象相似的条件：满足
现象现象现象相似的现象具有的性质现象相似的性质：彼此
⒉ 现象相似的条件
⑴ 相似的前提条件 (必要条件 )
第一章 动量传输
5
① 同类物理现象
用同一方程描述。例如：流体在管道中流动；流体流过平板。
② 几何条件相似
因为所有具体现象都发生在一定的几何空间内。
③ 物理条件相似
指对应的物理量成比例 ? 有相似常数存在。 对应的物理量：
时间、空间、速度，则
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2
2
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第一章 动量传输
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2
2
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1 w
w
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w
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?? ??速度相似常数
(速度方向相同 )
同理压力、密度、温度、浓度等的相似，也有相应的相似常数存在。
④ 开始条件和边界条件相似
举例：观察管内流体流动现象。
钢坯加热
??
?
???
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边界条件
开始条件
w
0
ttx
tt0
?
?
单值条件相似 (几何条件、物理条件、开始条件及边界条件相似 )是现象
相似的必要条件。
⑵ 相似的充分条件
现举例两质点运动的相似来说明，任何质点的运动，其瞬时速度均可
用下式表示：
第一章 动量传输
7
?d
dlw ? 对质点 A
??
???
d
dlw (1)
对质点 B ? ??????? dd lw (2)
由于两质点运动相似，则有 wCw w ???? ?? ? ???? C lCl l ????
代入 (2)得 ?
? ?
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d
d l
C
CwC l
w (3)
(1),(2)等价，必然有 1C CCCCC
l
wl
w ???
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(4)
l
wCCC ? ? 相似指示数。相似指示数为相似的特定组合。
如果两个现象的单值条件相似 (有相似常数存在 )，而且相关的相似常数的
特定组合等于 1(相似指示数等于 1)，这两个物理现象相似。
第一章 动量传输
8
将 w,?,l 相似关系代入 (4)得：
Ho? 谐时准数 (无因次 )
相似准数：相似物理现象中相关物理量的无因次组合，反映了某一方面
的物理本质。
Ho：不稳定流动特点。 Re：流体流动状态。
相似的充分条件：相似准数相等。
简单现象：一个；复杂现象；多个。
第一章 动量传输
w
0Hl
w
ll
w ??
??
?????
?
?? ???
9
1.8.2 相似定理
⒈ 相似第一定理 ? 相似现象的性质
彼此相似的现象相似准数相等；
实验中应测定
哪些物理量？⒉ 相似第二定理 ? 现象相似的条件
同类现象、单值条件相似、相似准数相等。
模型实验的条件，
实验结果可应用
到哪些现象中去？
⒊ 相似第三定理 ? 实验数据的处理
物理量的关系表示为准方程形式。
如何整理实验
所得数据？
第一章 动量传输
10
举例：埃根方程 Rekf ?C
?
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)(
)(
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1S
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w
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f
0
2
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3
C
1.8.3 相似准数的求法
⒈ 相似转换法
步骤,① 写出描述物理现象的微分方程。
② 找出相应物理量的相似常数。
③ 进行相似转换获得相似指示数。
④ 求得相似准数。
以粘性流体流动为例,N-S方程：
第一章 动量传输
11
A体系
x2
x
2
2
x
2
2
x
2
x
z
x
y
x
x
x
g
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P1
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w
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(2)
(A)~(B)相似，有相似常数存在。
第一章 动量传输
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加速度相似常数
压力相似常数
密度相似常数
粘度相似常数
几何相似常数
时间相似常数
速度相似常数
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x
x
P
l
w
z
z
y
y
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w
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(3)
第一章 动量传输
13
(3)代入 (2)
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w
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2
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(5)
由 (a)=(b)得,Holw1C CC
l
w ??? ?? 谐时准数,不稳定流动
第一章 动量传输
14
由 (b)=(c)得,Relw1C CC lw ??? ?
?
雷诺准数, 惯性力 /粘性力
强制流动状态 (水平管道 )
由 (b)=(d)得,EuwP1CC C 22
w
P ??? ?
?
欧拉准数, 压力 /惯性力
强制流动情况下。
由 (b)=(e)得,Frw lg1C CC 22
w
lg ??? 弗鲁德准数, 重力 /惯性力
(垂直流 动 )。
基本准数,Ho,Eu,Re,Fr
派生准数,由基本准数组合而得。
伽利略准数,2ReFrGa ?? 阿基米德准数,tGAr 0
G ??
??? ?
?
??
格拉斯霍夫准数,23 tlgGr ?? ??
自然流动状态 浮升力 /粘性力
第一章 动量传输
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第十五讲：
相似原理及因次分析
一、本课的基本要求
⒈ 掌握现象相似的必要条件和充分条件。
⒉ 相似准数的概念。
⒊ 相似三定理的内容。
⒋ 相似转换法求相似准数。 Re,Eu,Gr准数的
表达式及物理意义。
第一章 动量传输
2
二、本课的重点、难点：
重点：现象相似的必要条件和充分条件。
难点：相似三定理的应用。
第一章 动量传输
3
§ 1.8 相似原理及因次分析
研究物理过程的两种基本方法：
数学分析为手段，建立方程，求解方程，获得物理之间的关系。
比较简单的过程，复杂过程，建立方程困难，求解方程困难。
例如,N-S方程的求解。
实验测试为手段，整理实测数据，获得物理量之间的关系。
相似政理论 -模型实验法,理论分析，获得相似准数，整理成准数方，
通过模型实验使准数方程具体化。举例：高炉气 -固两相流动。
第一章 动量传输
⑴ 分析法：
⑵ 实验法：
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1.8.1 相似的概念
⒈ 几何相似 图 1-8-1 P99
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l
l
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?? 相似常数 (相似系数 )
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?? 相似定数
对应角相等
两三角形相似所具备的上述性质 ? 相似性质。
两三角形相似满足的条件 ? 相似条件。
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什么条件现象才能相似现象相似的条件：满足
现象现象现象相似的现象具有的性质现象相似的性质：彼此
⒉ 现象相似的条件
⑴ 相似的前提条件 (必要条件 )
第一章 动量传输
5
① 同类物理现象
用同一方程描述。例如：流体在管道中流动；流体流过平板。
② 几何条件相似
因为所有具体现象都发生在一定的几何空间内。
③ 物理条件相似
指对应的物理量成比例 ? 有相似常数存在。 对应的物理量：
时间、空间、速度，则
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第一章 动量传输
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(速度方向相同 )
同理压力、密度、温度、浓度等的相似，也有相应的相似常数存在。
④ 开始条件和边界条件相似
举例：观察管内流体流动现象。
钢坯加热
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边界条件
开始条件
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单值条件相似 (几何条件、物理条件、开始条件及边界条件相似 )是现象
相似的必要条件。
⑵ 相似的充分条件
现举例两质点运动的相似来说明，任何质点的运动，其瞬时速度均可
用下式表示：
第一章 动量传输
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?d
dlw ? 对质点 A
??
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对质点 B ? ??????? dd lw (2)
由于两质点运动相似，则有 wCw w ???? ?? ? ???? C lCl l ????
代入 (2)得 ?
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(1),(2)等价，必然有 1C CCCCC
l
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(4)
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wCCC ? ? 相似指示数。相似指示数为相似的特定组合。
如果两个现象的单值条件相似 (有相似常数存在 )，而且相关的相似常数的
特定组合等于 1(相似指示数等于 1)，这两个物理现象相似。
第一章 动量传输
8
将 w,?,l 相似关系代入 (4)得：
Ho? 谐时准数 (无因次 )
相似准数：相似物理现象中相关物理量的无因次组合，反映了某一方面
的物理本质。
Ho：不稳定流动特点。 Re：流体流动状态。
相似的充分条件：相似准数相等。
简单现象：一个；复杂现象；多个。
第一章 动量传输
w
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1.8.2 相似定理
⒈ 相似第一定理 ? 相似现象的性质
彼此相似的现象相似准数相等；
实验中应测定
哪些物理量？⒉ 相似第二定理 ? 现象相似的条件
同类现象、单值条件相似、相似准数相等。
模型实验的条件，
实验结果可应用
到哪些现象中去？
⒊ 相似第三定理 ? 实验数据的处理
物理量的关系表示为准方程形式。
如何整理实验
所得数据？
第一章 动量传输
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举例：埃根方程 Rekf ?C
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1.8.3 相似准数的求法
⒈ 相似转换法
步骤,① 写出描述物理现象的微分方程。
② 找出相应物理量的相似常数。
③ 进行相似转换获得相似指示数。
④ 求得相似准数。
以粘性流体流动为例,N-S方程：
第一章 动量传输
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A体系
x2
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(A)~(B)相似，有相似常数存在。
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第一章 动量传输
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(3)代入 (2)
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(5)
由 (a)=(b)得,Holw1C CC
l
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第一章 动量传输
14
由 (b)=(c)得,Relw1C CC lw ??? ?
?
雷诺准数, 惯性力 /粘性力
强制流动状态 (水平管道 )
由 (b)=(d)得,EuwP1CC C 22
w
P ??? ?
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欧拉准数, 压力 /惯性力
强制流动情况下。
由 (b)=(e)得,Frw lg1C CC 22
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(垂直流 动 )。
基本准数,Ho,Eu,Re,Fr
派生准数,由基本准数组合而得。
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格拉斯霍夫准数,23 tlgGr ?? ??
自然流动状态 浮升力 /粘性力
第一章 动量传输
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