1
第六讲：动量传输的基本定律
一, 本课的基本要求
⒈ 掌握粘性动量传输, 粘性动量通量及其表达式 。
⒉ 掌握对流动量传输, 对流动量通量及其表达式 。
⒊ 掌握不同情况下连续性方程的表达式及应用 。
⒋ 掌握 N-S方程的物理意义 。
第一章 动量传输
2
二, 本课的重点, 难点：
重点：连续性方程的表达式及应用 。
难点,N-S方程的建立 。
第一章 动量传输
3
动量传输的基本定律是研究流体在动量传输过程中最根本的规律 。
第一章 动量传输
牛顿粘性定律
连续性方程 质量平衡方程
N-S方程 粘性流体动量平衡方程
欧拉方程 理想流体动量平衡方程
伯努力方程 理想流体、稳定流体、流体的能量平衡方程
静力平衡方程 静止流体的能量平衡方程
ywF x dd?
§ 1.3 动量传输的基本定律
4
第一章 动量传输
??
?
动的条件下对流动量传输,流体流
粘性动量传输粘性物性动量传输,流体的 )(
通量
??
?
?
??
?
?
?
=× ××=×
-=-=
Paww
d
d
d
d
wA wAAmw
y
)w(
y
w xx
yx
rttrt
rnmt
的对流动量，即间通过单位面积所传递对流动量通量：单位时
粘性动量通量：
5
? 质量传输过程：物质的传递与转移过程，它是动量传输的基础，质量传
输就是质量平衡。
? 质量平衡或物质平衡 (质量守恒 )的含义：流体流过一定空间时，流体的
总质量不变，两种情况：
⑴ 稳定流动,[物质的流入量 ] = [物质的流出量 ] (A)
⑵ 不稳定流动,[物质的流入量 ] - [物质的流出量 ] = [物质的蓄积量 ](B)
第一章 动量传输
1.3.1 流体质量平衡方程式 ? 连续性方程
6
建立质量平衡方程的方法：元体平衡法。
在流场中取一平行六面体 dxdydz，如图所示。
第一章 动量传输
7
单位时间内流过 A面,B面的流体质量：
x方向：流入量与流出量之差为,
同理 y方向：流入量与流出量之差为,
z方向：流入量与流出量之差为,
总的流入量与流出量之差为,(1) + (2) + (3)
第一章 动量传输
[
B
dd]d)( zyxxww xx ??+ rr
Add zywxr
(1)zyxxwx ddd)( ??-
r
(3)zyx
x
wz ddd)(
?
?- r
(2)zyxxwy ddd
)(
?
?- r
8
单位单间内元体质量的蓄积：质量在单位时间内的变化，即 zyx ddd
t
r
?
?
按质量平衡 (B)得,0)()()( =
?
?+
?
?+
?
?+
?
?
z
w
y
w
x
w zyx rrr
t
r
—— 可压缩流体、不稳定流动的连续性方程。
0=??tr 即 0)()()( =??+??+?? zwywxw zyx rrr
—— 可压缩流体、稳定流动的连续性方程
o nstc=r,则
0=??+??+?? zwywxw zyx
稳定流动
—— 不可压缩流体的连续性方程，流体作为连续介质是否连续分布的条件。
第一章 动量传输
9
管流：由无数流管组成，根据质量守恒定律，则
222111 AA ww rr =
—— 稳定流动、可压缩流体的一维管流连续性方程。
onstc=r 则
VAA 2211 == ww
—— 稳定流动、不可压缩流体的一维管流连续性方程。
onstc?r
结论,稳定流动的管流流体流过任一截面的体积流量 ( )或
质量流量不变 ( )，也就是质量守恒定律在流体流动过程的具
体体现
onstc=r
onstc?r
应用,[例题 1-3-1] P30 M,V与 w,A的换算。
第一章 动量传输
10
1.3.2 粘性流体动量平衡方程式 ? 纳维 -斯托克斯方程
（ Navier-Stokes equations）
描述粘性不可压缩流体动量守恒的运动方程。因 1821年纳维和
1845年斯托克斯分别导出而得名。简称 N-S方程。
⒈ 动量平衡的定义
流体在流动过程中遵守能量守恒定律，称为能量平衡。
根据牛顿第二定律：
作用力的合力 = 单位时间内动量的变化量
第一章 动量传输
??
?
动量形式
作用力形式
??
?
??
=?
，运动，动力平衡
，静止，静力平衡
0
0
F
F
td
d wmmaF ==?
11
对于稳定流动系统：
[动量传入量 ] - [动量传出量 ] + [系统作用力的总和 ] = 0 (A)
对于不稳定流动系统：
[动量传入量 ] - [动量传出量 ] +[系统作用力的总和 ] = [动量蓄积量 ] (B)
动量收支差量
第一章 动量传输
12
⒉ 动量传递方式,
??
??
? -=
w
y
w x
yx
w
d
d
r
mt
量通量对流动量传输：对流动
量通量粘性动量传输：粘性动
⒊ 作用力的形式,
??
?
体积力－重力
表面力－压力
第一章 动量传输
13
⒋ 动量平衡方程的推导
在流场中取一微元体，对所取的微元体建立动量平衡，即得 N-S方程。
图 1-3-4 P28
第一章 动量传输
14
第一章 动量传输
??
?
?
?
???
???
???
zzyzxz
zyyyxy
zxyxxx
wwwwww
wwwwww
wwwwww
rrr
rrr
rrr
以 wx为准：动量通量 Axx wwr
B
d)( xx wwww xxxx ??+ rr
⑴ 对流动动量收支差量
在直角坐标系中由于有三个方向的分速度，所以共有
九个动量通量。
15
动量通量收支差量为,
xx
xx x
x
ww
-?
?- d)( r
x方向的速度,x方向的动量通量
对流动量收支差量为,
xx
xx zyx
x
ww
-?
?- ddd)( r
同理，以 wx为准,y方向,z方向的对流动量收支差量：
yx
xy zyx
y
ww
-?
?- ddd)( r
zx
xz zyxww
-?
?- ddd
z
)( r
第一章 动量传输
16
以 wx为准，元体对流动量收支差量为,
zyxwwy wwx ww xzxyxx dddz )()()( ?
?
?
??
?
?
?+
?
?+
?
?- rrr
同理，以 wy,wz为准，元体对流动量收支差量为 wx?wy,wz
⑵ 粘性动量收支差量
粘性动量通量同样由九个分量组成。
以 wx为准,C,D面上的粘性动量通量为,
Czxt zz
zx
zxzx dCD ?
?+= ttt
第一章 动量传输
17
粘性动量通量收支差量, z
z
zx d
?
?- t
粘性动量收支差量, zyx
zzx ddd?
?- t
同理,wx在 y,x方向的粘性动量收支差量分别为,
zyxyyx ddd??- t zyxxxx ddd??- t
以 wx为准，元体粘性动量收支差量为,
zyxzyz zxyxxx ddd?
?
??
?
?
?
?+
?
?+
?
?- ttt
第一章 动量传输
18
同理，以 wy,wz为准的粘性动量收支差量为 x ?y,z
牛顿流体,zw xzx ??-= mt yw xyx ??-= mt xw xxx ??-= mt
⑶ 作用力的总和 图 1-3-6 P35
x方向：
PA x
x
PPP d
AB ?
?+=
x方向合压力为, BA PP - xxP d??-
x方向的总压力为,
zxxP ddyd??-
第一章 动量传输
19
同理,y,z方向的总压力为 x ?y,z
⑷ 动量蓄积量
单位时间内元体动量的变化量,x方向
zxw x ddyd)( tr??
y方向 w x ? w y
z方向 w x ? w z
第一章 动量传输
zxg x ddydr zxg y ddydr zxg z ddydr重力
20
⒌ 动量平衡方程式,
将以上式子代入 (B)式，整理得,(1-3-10) N-S方程 P32
简化：
⑴ const=m 牛顿粘性定律
const=r(2), 连续性方程 (1-3-11a) P321
⒍ 动量平衡方程的讨论
⑴ 物理意义：
x
xxxx
z
x
y
x
x
x g
x
P
z
w
y
w
x
w
z
ww
y
ww
x
www rm
tr +?
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?
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?
?=?
?
??
?
?
?
?+
?
?+
?
?+
?
?
2
2
2
2
2
2
第一章 动量传输
21
方程的物理意义：运动的流体能量守恒的表现 。
??
?
作用力形式
动量形式
全微分 )z,y,x,(ww t=
zzwyywxxwww ddddd ???+???+???+???= tt
zyx wz
ww
y
ww
x
www ?
?
?+?
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?=
ttd
d
zyx wz
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?
?
?
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?
?=
2
2
2
2
2
2
d
d
第一章 动量传输
22
式中
tr d
d xw ? 惯性力；
?????? ??+??+?? 2
2
2
2
2
2
z
w
y
w
x
w xxxm ? 粘性力；
x
P
?
? ? 压力；
xgr ? 重力；其单位均为 N/m
3。
由此可见，流体在运动中以作用力及动量形式表现能量平衡关系是统一的。
⑵ 适用条件
粘性流体、不稳定流动、不可压缩体 (元体范围内 )、层流流动。
第一章 动量传输
23
作业,
P113 22 25
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第一章 动量传输
第六讲：动量传输的基本定律
一, 本课的基本要求
⒈ 掌握粘性动量传输, 粘性动量通量及其表达式 。
⒉ 掌握对流动量传输, 对流动量通量及其表达式 。
⒊ 掌握不同情况下连续性方程的表达式及应用 。
⒋ 掌握 N-S方程的物理意义 。
第一章 动量传输
2
二, 本课的重点, 难点：
重点：连续性方程的表达式及应用 。
难点,N-S方程的建立 。
第一章 动量传输
3
动量传输的基本定律是研究流体在动量传输过程中最根本的规律 。
第一章 动量传输
牛顿粘性定律
连续性方程 质量平衡方程
N-S方程 粘性流体动量平衡方程
欧拉方程 理想流体动量平衡方程
伯努力方程 理想流体、稳定流体、流体的能量平衡方程
静力平衡方程 静止流体的能量平衡方程
ywF x dd?
§ 1.3 动量传输的基本定律
4
第一章 动量传输
??
?
动的条件下对流动量传输,流体流
粘性动量传输粘性物性动量传输,流体的 )(
通量
??
?
?
??
?
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=× ××=×
-=-=
Paww
d
d
d
d
wA wAAmw
y
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y
w xx
yx
rttrt
rnmt
的对流动量，即间通过单位面积所传递对流动量通量：单位时
粘性动量通量：
5
? 质量传输过程：物质的传递与转移过程，它是动量传输的基础，质量传
输就是质量平衡。
? 质量平衡或物质平衡 (质量守恒 )的含义：流体流过一定空间时，流体的
总质量不变，两种情况：
⑴ 稳定流动,[物质的流入量 ] = [物质的流出量 ] (A)
⑵ 不稳定流动,[物质的流入量 ] - [物质的流出量 ] = [物质的蓄积量 ](B)
第一章 动量传输
1.3.1 流体质量平衡方程式 ? 连续性方程
6
建立质量平衡方程的方法：元体平衡法。
在流场中取一平行六面体 dxdydz，如图所示。
第一章 动量传输
7
单位时间内流过 A面,B面的流体质量：
x方向：流入量与流出量之差为,
同理 y方向：流入量与流出量之差为,
z方向：流入量与流出量之差为,
总的流入量与流出量之差为,(1) + (2) + (3)
第一章 动量传输
[
B
dd]d)( zyxxww xx ??+ rr
Add zywxr
(1)zyxxwx ddd)( ??-
r
(3)zyx
x
wz ddd)(
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?- r
(2)zyxxwy ddd
)(
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8
单位单间内元体质量的蓄积：质量在单位时间内的变化，即 zyx ddd
t
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?
按质量平衡 (B)得,0)()()( =
?
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—— 可压缩流体、不稳定流动的连续性方程。
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—— 可压缩流体、稳定流动的连续性方程
o nstc=r,则
0=??+??+?? zwywxw zyx
稳定流动
—— 不可压缩流体的连续性方程，流体作为连续介质是否连续分布的条件。
第一章 动量传输
9
管流：由无数流管组成，根据质量守恒定律，则
222111 AA ww rr =
—— 稳定流动、可压缩流体的一维管流连续性方程。
onstc=r 则
VAA 2211 == ww
—— 稳定流动、不可压缩流体的一维管流连续性方程。
onstc?r
结论,稳定流动的管流流体流过任一截面的体积流量 ( )或
质量流量不变 ( )，也就是质量守恒定律在流体流动过程的具
体体现
onstc=r
onstc?r
应用,[例题 1-3-1] P30 M,V与 w,A的换算。
第一章 动量传输
10
1.3.2 粘性流体动量平衡方程式 ? 纳维 -斯托克斯方程
（ Navier-Stokes equations）
描述粘性不可压缩流体动量守恒的运动方程。因 1821年纳维和
1845年斯托克斯分别导出而得名。简称 N-S方程。
⒈ 动量平衡的定义
流体在流动过程中遵守能量守恒定律，称为能量平衡。
根据牛顿第二定律：
作用力的合力 = 单位时间内动量的变化量
第一章 动量传输
??
?
动量形式
作用力形式
??
?
??
=?
，运动，动力平衡
，静止，静力平衡
0
0
F
F
td
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11
对于稳定流动系统：
[动量传入量 ] - [动量传出量 ] + [系统作用力的总和 ] = 0 (A)
对于不稳定流动系统：
[动量传入量 ] - [动量传出量 ] +[系统作用力的总和 ] = [动量蓄积量 ] (B)
动量收支差量
第一章 动量传输
12
⒉ 动量传递方式,
??
??
? -=
w
y
w x
yx
w
d
d
r
mt
量通量对流动量传输：对流动
量通量粘性动量传输：粘性动
⒊ 作用力的形式,
??
?
体积力－重力
表面力－压力
第一章 动量传输
13
⒋ 动量平衡方程的推导
在流场中取一微元体，对所取的微元体建立动量平衡，即得 N-S方程。
图 1-3-4 P28
第一章 动量传输
14
第一章 动量传输
??
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以 wx为准：动量通量 Axx wwr
B
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⑴ 对流动动量收支差量
在直角坐标系中由于有三个方向的分速度，所以共有
九个动量通量。
15
动量通量收支差量为,
xx
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x方向的速度,x方向的动量通量
对流动量收支差量为,
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第一章 动量传输
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以 wx为准，元体对流动量收支差量为,
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⑵ 粘性动量收支差量
粘性动量通量同样由九个分量组成。
以 wx为准,C,D面上的粘性动量通量为,
Czxt zz
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第一章 动量传输
17
粘性动量通量收支差量, z
z
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粘性动量收支差量, zyx
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同理,wx在 y,x方向的粘性动量收支差量分别为,
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第一章 动量传输
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同理，以 wy,wz为准的粘性动量收支差量为 x ?y,z
牛顿流体,zw xzx ??-= mt yw xyx ??-= mt xw xxx ??-= mt
⑶ 作用力的总和 图 1-3-6 P35
x方向：
PA x
x
PPP d
AB ?
?+=
x方向合压力为, BA PP - xxP d??-
x方向的总压力为,
zxxP ddyd??-
第一章 动量传输
19
同理,y,z方向的总压力为 x ?y,z
⑷ 动量蓄积量
单位时间内元体动量的变化量,x方向
zxw x ddyd)( tr??
y方向 w x ? w y
z方向 w x ? w z
第一章 动量传输
zxg x ddydr zxg y ddydr zxg z ddydr重力
20
⒌ 动量平衡方程式,
将以上式子代入 (B)式，整理得,(1-3-10) N-S方程 P32
简化：
⑴ const=m 牛顿粘性定律
const=r(2), 连续性方程 (1-3-11a) P321
⒍ 动量平衡方程的讨论
⑴ 物理意义：
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第一章 动量传输
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方程的物理意义：运动的流体能量守恒的表现 。
??
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作用力形式
动量形式
全微分 )z,y,x,(ww t=
zzwyywxxwww ddddd ???+???+???+???= tt
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第一章 动量传输
22
式中
tr d
d xw ? 惯性力；
?????? ??+??+?? 2
2
2
2
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2
z
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xgr ? 重力；其单位均为 N/m
3。
由此可见，流体在运动中以作用力及动量形式表现能量平衡关系是统一的。
⑵ 适用条件
粘性流体、不稳定流动、不可压缩体 (元体范围内 )、层流流动。
第一章 动量传输
23
作业,
P113 22 25
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