1
第二章 热 量 传 输
1,了解 F-K方程的推导过程。
第二讲,
F-K方程
一、本课的基本要求：
2,正确理解 F-K方程各部分的物理意义及整个方程的
物理意义、适用范围及求解。
3,正确理解三类边界条件。
4,一维平壁的温度分布、及导热量的计算。
（第一类、第三类边界条件；单层、多
层； ?为常数,?不为常数。）
2
第二章 热 量 传 输
2,本课的重点是 F-K方程的组成、物理意
义及适用范围,一维平壁的温度分布、及导
热量的计算。
二、本课的重点、难点：
1,本课的难点是 F-K方程的推导。
3
第二章 热 量 传 输
2,傅立叶 -克希荷夫导热微分方程式
推导方法,元体分析法
假设条件,1） 无内热源
2） 忽略摩擦热
3） 常物性 （ ?,c,?等 ）
推导依据,能量守恒
?元体热收入 ???元体热支出 ?=?元体热焓变化 ?
即 元体的热收支差 =热焓量的变化
dxdydzdv =
4
第二章 热 量 传 输
（ 1） 方程式的推导
1） x方向的对流热收支差：
2） x方向的导热热收支差：
3） x方向的总热收支差：
d x d y d z)xwtx tw(cdQ xx1x ???? ????=
d x d y d z)]ywtxtw(cx t[dQ xx2
2
x ?
??
?
????
?
??=
d x d y d zx tdQ 2
2
2x ?
??=
5
第二章 热 量 传 输
6）元体热收支差：
d x d y d z)]y ywtytyw(c2
y
t2[
ydQ ?
??
?
????
?
??=
d x d y d z)]z zwtztzw(c2
z
t2[
zdQ ?
??
?
????
?
??=
zdQydQxdQdQ ??=
d x d y d z)]ztzwytywxtxw(c)2
z
t2
2y
t2
2x
t2([dQ
?
??
?
??
?
????
?
??
?
??
?
??=
4） y方向的总热收支差：
5） z方向的总热收支差：
6
第二章 热 量 传 输
5） 元体热焓变化：
整理后的得：
热焓的变化 对流热传输量 传导热传输量
上式就是 F-K方程。
d x d y d ztcdQ ?????=?
)z t2y t2x t2(ztzwytywxtxwt 222 ?????????=????????????
7
第二章 热 量 传 输
（ 2） 方程式的讨论：
1） 方程的物理意义：
—— 热量蓄积量
—— 对流热传输量
—— 传导热传输量
2） 方程的适用范围：满足前提条件的一切对流导热。
???t
xtwx??
2x
t2
?
??
8
第二章 热 量 传 输
3） 方程的求解：
N-S方程
联立求解
F-K方程
固体导热：
因 w=0,F-K方程可简化为：
固体稳定导热：
=0,则
)z t2y t2x t2(t 222 ?????????=???
???t
0z t2y t2x t2 222 =????????
9
第二章 热 量 传 输
固体一维稳定导热：
定解条件：边界条件和 初始条件（不稳定导热才有此条件）
0x t
2
2 =?
?
三类边界条件：
温度分布
热流分布
,?（换热系数） =const ?w
),x(f ? constwt =
constwq =),x(qw ?=
constft = nt)ftwt( ????=??
10
第二章 热 量 传 输
§ 2.2 稳定导热
稳定导热的含义：是指温度场不随时间变化的传热过程 。
稳定导热的特点,q=const
稳定导热存在于：物体内部
稳定导热的求解目的,1） 求物体内部温度场 （ 耐火材料
的正确选择 ）
2 ） 热传输量 （ 降低热损失的办
法 ）
11
第二章 热 量 传 输
12
第二章 热 量 传 输
13
第二章 热 量 传 输
稳定导热最简单的情况：
① 一维 无限大平面 （ 长, 宽无限, 沿厚度方向导热 ）
长宽 ?（ 8~10） 厚度
② 一维 无限长圆筒壁
14
第二章 热 量 传 输
2.2.1 一维平壁稳定导热
1,第一类边界条件下导热
d2t/dx2=0 （ 一维, 稳定 ）
x=0,t=tw1
x=?,t=tw2
15
第二章 热 量 传 输
联立求解三个方程，得：
(线性规律 )
?
??= 2wt1wt
dx
dt
xtttt 2w1w1w ????=
R
ttt2wt1wtq ?=
?
?
?=?
?
?=
?
??=
16
第二章 热 量 传 输
17
第二章 热 量 传 输
整理
得：
在工程上多遇到的是由几种不同材料组成的多层平壁：
三层：
11
2wt1wtq ???=
22
3wt2wtq ???=
33
4wt3wtq ???=
? ?
?
?
=
?
?
?
?
?
?
?
?
?
=
i
i
)4wt1wt(
]
3
3
2
2
1
1[
4wt1wtq
18
第二章 热 量 传 输
接触面温度：
tw2=tw1?qR1
tw3=tw1?q(R1+ R2)
n层,tw i+1=tw1? q(R1+ R2+ R3+ R4+? )
n层：
?
?
?
=
?
?
?
?
?
=
iR
)
1nw
t1wt(
i
i
)
1nw
t1wt(
q
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第二章 热 量 传 输
注意：对于多层平壁的导热系数，应取平均值，
即
?cp =（ ?1 +?2） /2
?
?
?
=
ic pR
)
1nw
t1wt(
q
20
第二章 热 量 传 输
2,第三类边界条件下的导热
实质：热气体通过平壁传给冷气体的传热过程。
描述这一过程的完整的数学表达式为：
d2t/dx2=0 （ 一维, 稳定 ）
?x=0=?1( tf1 ? t?x=0)
?x=?=?2(t?x=?? tf2)
dxdt??
dxdt??
21
第二章 热 量 传 输
联立求解三个方程, 得：
q=( tf1 ? tf2)/(1/?1+?/?+1/?2)
同理, 若平壁由 n层不同材料组成, 则
q=( tf1 ? tf2)/(1/?1+? ?i/?i +1/?2)
若 ?不为常数，取其平均值。
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第二章 热 量 传 输
作业：
P206 3 7
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第二章 热 量 传 输
1,了解 F-K方程的推导过程。
第二讲,
F-K方程
一、本课的基本要求：
2,正确理解 F-K方程各部分的物理意义及整个方程的
物理意义、适用范围及求解。
3,正确理解三类边界条件。
4,一维平壁的温度分布、及导热量的计算。
（第一类、第三类边界条件；单层、多
层； ?为常数,?不为常数。）
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第二章 热 量 传 输
2,本课的重点是 F-K方程的组成、物理意
义及适用范围,一维平壁的温度分布、及导
热量的计算。
二、本课的重点、难点：
1,本课的难点是 F-K方程的推导。
3
第二章 热 量 传 输
2,傅立叶 -克希荷夫导热微分方程式
推导方法,元体分析法
假设条件,1） 无内热源
2） 忽略摩擦热
3） 常物性 （ ?,c,?等 ）
推导依据,能量守恒
?元体热收入 ???元体热支出 ?=?元体热焓变化 ?
即 元体的热收支差 =热焓量的变化
dxdydzdv =
4
第二章 热 量 传 输
（ 1） 方程式的推导
1） x方向的对流热收支差：
2） x方向的导热热收支差：
3） x方向的总热收支差：
d x d y d z)xwtx tw(cdQ xx1x ???? ????=
d x d y d z)]ywtxtw(cx t[dQ xx2
2
x ?
??
?
????
?
??=
d x d y d zx tdQ 2
2
2x ?
??=
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第二章 热 量 传 输
6）元体热收支差：
d x d y d z)]y ywtytyw(c2
y
t2[
ydQ ?
??
?
????
?
??=
d x d y d z)]z zwtztzw(c2
z
t2[
zdQ ?
??
?
????
?
??=
zdQydQxdQdQ ??=
d x d y d z)]ztzwytywxtxw(c)2
z
t2
2y
t2
2x
t2([dQ
?
??
?
??
?
????
?
??
?
??
?
??=
4） y方向的总热收支差：
5） z方向的总热收支差：
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第二章 热 量 传 输
5） 元体热焓变化：
整理后的得：
热焓的变化 对流热传输量 传导热传输量
上式就是 F-K方程。
d x d y d ztcdQ ?????=?
)z t2y t2x t2(ztzwytywxtxwt 222 ?????????=????????????
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第二章 热 量 传 输
（ 2） 方程式的讨论：
1） 方程的物理意义：
—— 热量蓄积量
—— 对流热传输量
—— 传导热传输量
2） 方程的适用范围：满足前提条件的一切对流导热。
???t
xtwx??
2x
t2
?
??
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第二章 热 量 传 输
3） 方程的求解：
N-S方程
联立求解
F-K方程
固体导热：
因 w=0,F-K方程可简化为：
固体稳定导热：
=0,则
)z t2y t2x t2(t 222 ?????????=???
???t
0z t2y t2x t2 222 =????????
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第二章 热 量 传 输
固体一维稳定导热：
定解条件：边界条件和 初始条件（不稳定导热才有此条件）
0x t
2
2 =?
?
三类边界条件：
温度分布
热流分布
,?（换热系数） =const ?w
),x(f ? constwt =
constwq =),x(qw ?=
constft = nt)ftwt( ????=??
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第二章 热 量 传 输
§ 2.2 稳定导热
稳定导热的含义：是指温度场不随时间变化的传热过程 。
稳定导热的特点,q=const
稳定导热存在于：物体内部
稳定导热的求解目的,1） 求物体内部温度场 （ 耐火材料
的正确选择 ）
2 ） 热传输量 （ 降低热损失的办
法 ）
11
第二章 热 量 传 输
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第二章 热 量 传 输
13
第二章 热 量 传 输
稳定导热最简单的情况：
① 一维 无限大平面 （ 长, 宽无限, 沿厚度方向导热 ）
长宽 ?（ 8~10） 厚度
② 一维 无限长圆筒壁
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第二章 热 量 传 输
2.2.1 一维平壁稳定导热
1,第一类边界条件下导热
d2t/dx2=0 （ 一维, 稳定 ）
x=0,t=tw1
x=?,t=tw2
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第二章 热 量 传 输
联立求解三个方程，得：
(线性规律 )
?
??= 2wt1wt
dx
dt
xtttt 2w1w1w ????=
R
ttt2wt1wtq ?=
?
?
?=?
?
?=
?
??=
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第二章 热 量 传 输
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第二章 热 量 传 输
整理
得：
在工程上多遇到的是由几种不同材料组成的多层平壁：
三层：
11
2wt1wtq ???=
22
3wt2wtq ???=
33
4wt3wtq ???=
? ?
?
?
=
?
?
?
?
?
?
?
?
?
=
i
i
)4wt1wt(
]
3
3
2
2
1
1[
4wt1wtq
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第二章 热 量 传 输
接触面温度：
tw2=tw1?qR1
tw3=tw1?q(R1+ R2)
n层,tw i+1=tw1? q(R1+ R2+ R3+ R4+? )
n层：
?
?
?
=
?
?
?
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iR
)
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t1wt(
i
i
)
1nw
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q
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第二章 热 量 传 输
注意：对于多层平壁的导热系数，应取平均值，
即
?cp =（ ?1 +?2） /2
?
?
?
=
ic pR
)
1nw
t1wt(
q
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第二章 热 量 传 输
2,第三类边界条件下的导热
实质：热气体通过平壁传给冷气体的传热过程。
描述这一过程的完整的数学表达式为：
d2t/dx2=0 （ 一维, 稳定 ）
?x=0=?1( tf1 ? t?x=0)
?x=?=?2(t?x=?? tf2)
dxdt??
dxdt??
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第二章 热 量 传 输
联立求解三个方程, 得：
q=( tf1 ? tf2)/(1/?1+?/?+1/?2)
同理, 若平壁由 n层不同材料组成, 则
q=( tf1 ? tf2)/(1/?1+? ?i/?i +1/?2)
若 ?不为常数，取其平均值。
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第二章 热 量 传 输
作业：
P206 3 7
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