1
第七讲,
伯努利方程及应用
一, 本课的基本要求
⒈ 了解伯努利方程 微分式的物理意义及
应用。
⒉ 掌握伯努利方程积分式的形式，适用条
件，物理意义。
⒊ 掌握管流伯努利方程式及应用。
第一章 动量传输
2
二、本课的重点、难点：
重点：管流伯努利方程式的
应用。
难点：管流伯努利方程式的
应用。
第一章 动量传输
3
欧拉方程适用条件,理想流体、稳定流动，不可压缩流体 (元体范围内 )。
μ=0 时,N-S方程简化为欧拉方程 (1-3-12a) P36
单位质量流体 (1-3-12c)
实际流体都具有粘
性，提出理想流体
的意义
何在？(1-3-12b)稳定流动，
。 ?P
? ???? zzyx?
?
?
?
?
?
?
?
+?×-=?+?+?
+??×-=??+??+??
+?×-=??+??+??
z
z
z
z
y
z
x
y
y
z
y
y
y
x
x
x
z
x
y
x
x
gP1wwwwww
gyP1zwwywwyww
g
x
1
z
ww
y
ww
x
ww
r
r
r
0=?? tw
1.3.3 理想流体动量平衡方程式 ? 欧拉方程
（ Eular equations）
第一章 动量传输
4
⒈ 伯努利方程式的微分式
在流场中，流体质点于流线方向上具有一维流
动的特征，对于理想流体，在稳定流动的条件下，
沿流线方向作一维流动的动量平衡方程式可由欧拉
方程简化处理。处理过程中用到两个概念。
1.3.4 欧拉方程的简化 ? 伯努利方程
（ Bernoulli equations）
第一章 动量传输
5
① 全微分
根据全微分的定义，在稳定流动下，有：
z
ww
y
ww
x
ww x
z
x
y
x
x ?
?+
?
?+
?
?=同时，
x
ww xx
d
d
d
d =
t x
wwx x
x d
d
d
d =
t
z
ww
y
ww
x
ww x
z
x
y
x
x ?
?+
?
?+
?
?=wx
d
d
t
z
ww
y
ww
x
www
zyx ?
?+
?
?+
?
?=
td
d
dzzwdyywdxxwdw ??+??+??= tttt ddzddyddxdd zwywxww ?
?+
?
?+
?
?=
),,( zyxPP =),,( zyxww =
第一章 动量传输
6
。? ?? P
?
?
?
?
?
?
?
?
+??×-=??+
?
?+
?
?
+
?
?×-=
?
?+
?
?+
?
?
+?×-=??+??+?
z
z
z
z
y
z
x
y
y
z
y
y
y
x
x
x
z
x
y
x
x
gzP1zww
y
ww
x
ww
g
y
P1
z
ww
y
ww
y
ww
g
x
1
z
ww
y
ww
x
ww
r
r
r
? P
??
?
?
??
?
?
?
=
=
=
z
z
y
y
x
x
z
ww
y
ww
x
ww
d
d
d
d
d
d 1
+??×-
+??×-
+?×-
z
y
x
gzP1
gyP1
g
x
r
r
r
第一章 动量传输
7
?
理想流体、稳定流动、沿流线方向的欧拉方程式，称为 伯努利方程式的微分式
?
??
?
?
??
?
?
?
-??×-=
?
?×-=
?×-=
zzP1zww
yyP1yww
xxP1xww
zz
y
y
xx
dgdd
ddd
ddd
r
r
r
×
×
×
② gggggz zyx -===?? 00
zgPwwwwwwww zzyyxx dd1dddd --=?++ r
zgzzPyyPxxP dddd1 -?????? ??+??+??-=wwwwww zzyyxx ddd ++ r
0dd1d =++ wwPzg r
第一章 动量传输
8
⒉ 伯努利方程式
⑴ 方程式的导出
由伯努利方程的积分式来确定运动过程中的动量平衡关系：
2
222
2
111 w2
1P1zgwP1zg ++=++
rr 2
1
第一章 动量传输
9
或
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
×=++
×
?
?
?
??
?
?
=++
=++
×=++
)(
)(
)(
单位重量流体
单位体积流体
单位质量流体
NmNconst
mmN
const
const
kgmNconst
g2
w
r
Pz
rg2
w
Pzr
w
2
1Pzg
w
2
1
P
1
zg
2
3
2
2
2
rr
r
第一章 动量传输
10
⑵ 方程式的讨论
适用条件：理想流体、稳定流动，不可压缩流体、沿流线方向。
物理意义：① 单位：机械能守恒定律的体现。
③ 各个能量之间可以相互转换，对理想流体而言，
其总和不变，粘性流体在流动过程中存在能量损
失
包括 z项的为位能
包括 P项的为静压能
包括 W项的为动能
②
? 静压能的降低。
第一章 动量传输
11
⒊ 伯努利方程式在管流中的应用
一般管流的伯努利方程为：
限制条件：理想流体、稳定流动、
不可压缩流体、沿流线方向。
2
222
2
111 2
1
2
1 wPzgwPzg rrrr ++=++
第一章 动量传输
12
对于实际流体：
2 1?
)21(
2
1
2
1 2
222
2
111
流动
失
?
+++=++ hwPzgwPzg rrrr
)12(
1122
流动
失
?
+++=++ hPzgPzg rr 21 22wr 21 21wr
? 能量损失,Pa失h式中
?
?
?
r
fh
h
第一章 动量传输
13
⑴ 管道平直、流动为缓变流 (流线趋于直线且平行 )。反之，
为急变流。
伯努利方程应用于管流时的几点说明：
(3)实际管流的伯努力方程应为：
⑵ 关于动能的计算
失
1
? 10.1~05.12 2
1
?
?
=
= 2
a
a
紊流
层流h+×++=×++ 2
2222
2
1111 wPzgwPzg rarrar
11 1
式中 a? 动能修正系数，
222 www ×=?> a
)(Ref=a
22w22
1
2
第一章 动量传输
14
⑶ 应用管流伯努利方程应注意：
① 适用条件：理想流体、稳定流动、不可压缩流体、沿流线方向、缓变流。
② 工程上大多数都是紊流,a?1.0。
③ P1,P2可以是绝对压力，也可以是表压力。
④ w1,w2,r— 实际状况下。
⑤ z1,z2取决于基准面。
绝对压力和
表压力的关系？
实际状况下
的流速、密度
公式？
伯努利方程式在工程上的应用极为广泛：流量测量、
喷嘴设计、烟囱设计等。
应用时：方程联解。
??
???
==
=
-
),(AwAw
)(wAV
)21(
2211 constr一维稳定流动
流量公式
截面伯努利方程式
第一章 动量传输
15
作业：
P113 27 28
返 回
第一章 动量传输