1
一、本课的基本要求：
3,临界热绝缘直径问题。
第三讲,
一维圆筒壁稳定导热
1,一维圆筒壁的温度分布、及导热量的计算。（第一
类、第三类边界条件；单层、多层； ?为常数,?不为
常数。）
2,平均面积、导热的形状因素、接触热阻。
第二章 热 量 传 输
2
二, 本课的重点, 难点：
1,本课的重点是圆筒壁的温度分布规律、
及导热量的计算。
2,本课的难点是临界热绝缘直径的求解问题 。
第二章 热 量 传 输
3
2.2.2 一维圆筒壁稳定导热
1,第一类边界条件下导热
第二章 热 量 传 输
4
第二章 热 量 传 输
前提条件：
内半径为 r1,外半径 r2,长度为 l的圆筒壁, 无内热
源, ?为常数, 内外表面温度分别为 tw1,tw2且保持
不变, tw1>tw2。
微分方程：
r= r1,t= tw1
r= r2,t= tw2
0)
dr
dt
r(
dr
d =
5
由以上两式可得：
整理后, 得
(温度梯度不是常数, 而是与 r有关 )
t= C1lnr+ C2 (温度沿的分布规律是一条对数曲
线 )
tw1= C1ln r1+ C2
tw2= C1lnr2+ C2
第二章 热 量 传 输
2
1
21
1
r
r
ttC ww
ln
?=
1
2
1
21
12 r
r
r
tttC ww
w ln
ln
???=
11
21
1 r
r
r
r
tttt ww
w ln
ln
???=
最后, 得
1Cdrdtr =
6
注意：
对圆筒壁而言，与平壁不同，圆筒
壁的温度梯度不是常数，是半径 r 的
函数，因此在 不同半径处的热通量是
不同的 。 在 稳定导热 情况下，通过长
度为 l的圆筒壁的 热流量 Q却是恒定的。
第二章 热 量 传 输
7
按傅立叶定律, 对圆筒壁有：
第二章 热 量 传 输
2
1
2
1
2
1
2
d
d
l
t
t
rl
dr
dt
A
dr
dt
Q
w
w
ln?
?=
??=
?=
??
??
?
8
第二章 热 量 传 输
2
1
2w
1w1
d
d
ln
2
1
t
tl/Qq
??
?==
工程上为了计算方便，按单位管长来计算热流，
并记为,则1q
9
对于多层圆筒壁：
（ 如三层 ）
3
4
32
3
21
2
1
4
1
131211
4
11
2
1
2
1
2
1
d
d
d
d
d
d
t
t
RRR
t
tq
w
w
w
w
lnlnln
??????
??
?=
??
?=
第二章 热 量 传 输
10
n层
)
1
l n (
2
1
11
11
i
i
i
wnw
li
wnwl
d
d
tt
R
ttq
??
??=
?
??=
??
第二章 热 量 传 输
11
2.第三类边界条件下传热
与前面的平壁导热相类似。
导热微分方程：
0)drdtr(drd =
边界条件为：
?r=r1?2?r1=?1 (tf1?t ?r=r1) ?2?r1
?r=r2?2?r2=?1 (tf1?t ?r=r2) ?2?r2
drdt??
drdt??
第二章 热 量 传 输
12
第二章 热 量 传 输
13
整理后得：
221
2
11
21
2
1
2
1
2
1
?????? rd
d
r
tt
q
ff
l
??
?
=
ln
第二章 热 量 传 输
14
同理，若平壁由 n层不同材料组成，则
第二章 热 量 传 输
221
2
11
21
2
1
2
1
2
1
?????? rd
d
r
tt
q ffl
???
?
=
ln
15
3,几点说明
第二章 热 量 传 输
AttQ ww ???= )( 21?
?
（ 1）平均面积问题
16
（ 2） 导热的形状因素
因为一维导热的导热计算最简单, 所以工程
上常将一些非一维的导热问题作为一维导热来处
理, 这时就要引入形状因素的概念, 它的定义式
为；
Q=??? ?（ tw1? tw2）
第二章 热 量 传 输
17
大多数室状炉可认为是空心六面体，此
时可通过炉壁、棱、角的不同形状因素来
求热流量。当炉空间三个尺寸均大于壁厚
的 1/5时，它们的形状因素分别为,
?w=?/A； ?l=0.54L； ?c=0.15? 。
第二章 热 量 传 输
18
第二章 热 量 传 输
a．定义：在多层壁的导热中，由于接触面不
可能绝对平整和光滑，实际接触面积较宏观接触
面积小，接触面之间存在间隙，这就形成了附加
热阻，称为接触热阻。
cR
b,影响接触热阻的因素：
接触面的粗糙度,??? ?
间隙大小：间隙 ?? ?
充填物种类 （ ?）, ??? ?
温度,t????? ?
cR
cR
cR
cR
(3)接触热阻 --- cR
19
(4) 临界热绝缘直径
对圆筒壁, 其总热阻为
为了减少管道的热损失，常采用在管道外侧覆盖
热绝缘层即隔热层的办法。 但是覆盖隔热层以后是
否一定能减少热损失？如何正确选择隔热材料？
第二章 热 量 传 输
2
2
2
1
2
1
11
1
11
2
11
???????? xx d
d
d
d
ddR ???= lnln
20
第二章 热 量 传 输
从上式可以看出，前面两项为常数，而后两项则与有关。当
加大，即隔热层加厚时，则隔热层热阻 随之加
大，而隔热层外对流换热热阻 1/?dx?2则反而减少。下图绘出了
总热阻 R1及构成各项热阻随 的变化曲线。
2
2
1
d
d xln??
dx
21
第二章 热 量 传 输
d2 d3kpd
Rl
1/? dx ?2
1/??2*ln dx / d2
d2 kpd
对于 为极小值时隔热层外径 称为临近热绝缘直径,
及,
得,
kpd1R
2
22
xd ?
?==
kpd
dR 0)
2
1
22
1(1
)(d
l =
????= xdxd xd
22
由此，在管道外侧覆盖隔热材料时必须注意：
第二章 热 量 传 输
如果管道外径 d2小于, 见上图, 隔热层外径 dx在 d2
与 之 间, 管道向外的传热量反而比没有加隔热层更大,
直到隔热层直径大于 d3时, 才起到隔热层减少热损失的作用 。
kpd
kpd
工程管道中当管道直径很小，隔热材料的 ?2又比较大时，
就应该考虑 的问题；若管道直径很大时，一 般 不必 考
虑 的问题。
kpd
kpd
23
作业：
P206 6
第二章 热 量 传 输
返 回
一、本课的基本要求：
3,临界热绝缘直径问题。
第三讲,
一维圆筒壁稳定导热
1,一维圆筒壁的温度分布、及导热量的计算。（第一
类、第三类边界条件；单层、多层； ?为常数,?不为
常数。）
2,平均面积、导热的形状因素、接触热阻。
第二章 热 量 传 输
2
二, 本课的重点, 难点：
1,本课的重点是圆筒壁的温度分布规律、
及导热量的计算。
2,本课的难点是临界热绝缘直径的求解问题 。
第二章 热 量 传 输
3
2.2.2 一维圆筒壁稳定导热
1,第一类边界条件下导热
第二章 热 量 传 输
4
第二章 热 量 传 输
前提条件：
内半径为 r1,外半径 r2,长度为 l的圆筒壁, 无内热
源, ?为常数, 内外表面温度分别为 tw1,tw2且保持
不变, tw1>tw2。
微分方程：
r= r1,t= tw1
r= r2,t= tw2
0)
dr
dt
r(
dr
d =
5
由以上两式可得：
整理后, 得
(温度梯度不是常数, 而是与 r有关 )
t= C1lnr+ C2 (温度沿的分布规律是一条对数曲
线 )
tw1= C1ln r1+ C2
tw2= C1lnr2+ C2
第二章 热 量 传 输
2
1
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1
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最后, 得
1Cdrdtr =
6
注意：
对圆筒壁而言，与平壁不同，圆筒
壁的温度梯度不是常数，是半径 r 的
函数，因此在 不同半径处的热通量是
不同的 。 在 稳定导热 情况下，通过长
度为 l的圆筒壁的 热流量 Q却是恒定的。
第二章 热 量 传 输
7
按傅立叶定律, 对圆筒壁有：
第二章 热 量 传 输
2
1
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第二章 热 量 传 输
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1
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工程上为了计算方便，按单位管长来计算热流，
并记为,则1q
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对于多层圆筒壁：
（ 如三层 ）
3
4
32
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第二章 热 量 传 输
10
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第二章 热 量 传 输
11
2.第三类边界条件下传热
与前面的平壁导热相类似。
导热微分方程：
0)drdtr(drd =
边界条件为：
?r=r1?2?r1=?1 (tf1?t ?r=r1) ?2?r1
?r=r2?2?r2=?1 (tf1?t ?r=r2) ?2?r2
drdt??
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第二章 热 量 传 输
12
第二章 热 量 传 输
13
整理后得：
221
2
11
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2
1
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1
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1
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第二章 热 量 传 输
14
同理，若平壁由 n层不同材料组成，则
第二章 热 量 传 输
221
2
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2
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15
3,几点说明
第二章 热 量 传 输
AttQ ww ???= )( 21?
?
（ 1）平均面积问题
16
（ 2） 导热的形状因素
因为一维导热的导热计算最简单, 所以工程
上常将一些非一维的导热问题作为一维导热来处
理, 这时就要引入形状因素的概念, 它的定义式
为；
Q=??? ?（ tw1? tw2）
第二章 热 量 传 输
17
大多数室状炉可认为是空心六面体，此
时可通过炉壁、棱、角的不同形状因素来
求热流量。当炉空间三个尺寸均大于壁厚
的 1/5时，它们的形状因素分别为,
?w=?/A； ?l=0.54L； ?c=0.15? 。
第二章 热 量 传 输
18
第二章 热 量 传 输
a．定义：在多层壁的导热中，由于接触面不
可能绝对平整和光滑，实际接触面积较宏观接触
面积小，接触面之间存在间隙，这就形成了附加
热阻，称为接触热阻。
cR
b,影响接触热阻的因素：
接触面的粗糙度,??? ?
间隙大小：间隙 ?? ?
充填物种类 （ ?）, ??? ?
温度,t????? ?
cR
cR
cR
cR
(3)接触热阻 --- cR
19
(4) 临界热绝缘直径
对圆筒壁, 其总热阻为
为了减少管道的热损失，常采用在管道外侧覆盖
热绝缘层即隔热层的办法。 但是覆盖隔热层以后是
否一定能减少热损失？如何正确选择隔热材料？
第二章 热 量 传 输
2
2
2
1
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1
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???????? xx d
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20
第二章 热 量 传 输
从上式可以看出，前面两项为常数，而后两项则与有关。当
加大，即隔热层加厚时，则隔热层热阻 随之加
大，而隔热层外对流换热热阻 1/?dx?2则反而减少。下图绘出了
总热阻 R1及构成各项热阻随 的变化曲线。
2
2
1
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21
第二章 热 量 传 输
d2 d3kpd
Rl
1/? dx ?2
1/??2*ln dx / d2
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对于 为极小值时隔热层外径 称为临近热绝缘直径,
及,
得,
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2
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2
1
22
1(1
)(d
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22
由此，在管道外侧覆盖隔热材料时必须注意：
第二章 热 量 传 输
如果管道外径 d2小于, 见上图, 隔热层外径 dx在 d2
与 之 间, 管道向外的传热量反而比没有加隔热层更大,
直到隔热层直径大于 d3时, 才起到隔热层减少热损失的作用 。
kpd
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工程管道中当管道直径很小，隔热材料的 ?2又比较大时，
就应该考虑 的问题；若管道直径很大时，一 般 不必 考
虑 的问题。
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作业：
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第二章 热 量 传 输
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