1
第十二讲,
一、本课的基本要求：
1,重点掌握有限差分法的基本概念、基本原理。
2,掌握稳定导热的差分解法即会建立差分方程，了
解差分方程的求解法。
二、本课的重点、难点：
1,本课的重点是有限差分法的基本概念、基本原理。
2,本课的难点是差分方程的建立。
第二章 热 量 传 输
导热的有限差分解法
2
§ 2.6 导热的有限差分解法
2.6.1 有限差分法的基本概念
1,有限差分的原理
由微分学得知，函数的导数是函数的增量与自
变量之比的极限，又称为微商。
第二章 热 量 传 输
x
t
dx
dt
x
ix ?
??
??
?
0
lim
3
式中 ?t与 ?x为有限差分,?t/?x称为有限差商。当
?x??时，差商的极限就是微商，当 ?x为一有限小量
时，差商就可看着是微商的近似，即
上式称为向前差分，也可向后差分及中心差分，
其表现形式分别为
第二章 热 量 传 输
x
tt
dx
dt ii
ix ?
?? ?
?
1
x
tt
dx
dt ii
ix ?
?? ?
?
1
x
tt
dx
dt ii
ix ?
?? ??
? 2
11
4
同样，函数的二阶导数也可用二阶差商来近似表示
用差商来近似表示微商必然引起误差，误差的大小
可用泰勒级数展开式来估计。对于向前差分、向后差
分为 ?x数量级，而中心差分是 ?x2的数量级。
第二章 热 量 传 输
ixix dx
dt
dx
d
dx
td
??
? )(2
2
)( xttx ttx iiii ???? ??? ?? 111
2
11 2
x
ttt iii
?
??? ??
5
2,差分网络
用差商近似微商的差分法的实质是把连续变化的
变量离散化为不连续的阶跃变化的过程。这种离散化
的过程是有规律的，按一定的步长把连续变量离散化
为不连续的阶跃变化过程，称为区域的网络化。
一维不稳定导热：有空间变量 x和时间变量 ?两个
自变量，温度 t是 x和 ?的函数。
见书上 199页图 2-6-2。
二维稳定导热的空间网格图见书上图 2-6-3。
第二章 热 量 传 输
6
2.6.2 稳定导热的差分解法
1,建立差分方程
二维稳定导热的导热微分方程为：
第二章 热 量 传 输
2
11
2
2
2
2 2
x
ttt
x
t
x
t jijiji
?
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?
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2
2
2
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11
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y
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11
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y
ttt
x
ttt jijijijijiji
第二章 热 量 传 输
8
又 ?x=?y
上式称为差分方程。
它表明：常物性稳定导热量可用温度关系式
表明，流向任一节点的热量和恒等于零 。
第二章 热 量 传 输
022 111 ???? ??? jijijiji tttt
)( 111141 ???? ???? jijijijiji ttttt
9
2,差分方程的求解
(1)松弛法 —— 又叫张弛法或余数调节法。其基本思路是通
过假定各节点温度的初始近似值，代入节点方程，比较并调
节各方程的余数值，使之等于或接近零为止（这是因为稳定
导热情况下，各节点热量之和必为零）。
具体步骤：
1)视具体条件假定各节点温度的第一近似值。第一近似值
虽不影响最终结果，但假设得好可大大缩短计算时间。
第二章 热 量 传 输
10
2)将第一近似值代入节点方程。一般而言，任何
一个节点方程均不会等于零而是等于某一不
为零的余数 q*。
3)调整余数最大的节点方程的有关温度，使该方
程 q*为零。调整量为 q*/4，则该方程 q*为零。
第二章 热 量 传 输
11
5)比较调整后节点方程的余数，再按步骤 3）
调整余数最大的方程的有关温度使其等于零
6)如此反复，直到所有方程余数为零或接近零
为止。
4)当 调整后，凡与该节点温度有关的其他节
点也要相应改变，将调整后的温度代入各节
点方程将会出现新的余数。
j
it
第二章 热 量 传 输
12
(2)迭代法
也即高斯 —— 赛得尔迭代法, 亦称高斯迭代法。它是
一种逐步逼近求线性代数方程组的方法，其步骤：
1)根据假设的第一近似值代入方程式，逐次计算各
节点的第二近似值。
2)根据第二近似值代回原方程组，求各点的第三近
似值。
3)如此反复计算，直到连续两次计算近似值中值差
最大的一个小于预先给定的误差为止。
第二章 热 量 传 输
13
作业：
P208 27 28
（课外上机）
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一、本课的基本要求：
1,重点掌握有限差分法的基本概念、基本原理。
2,掌握稳定导热的差分解法即会建立差分方程，了
解差分方程的求解法。
二、本课的重点、难点：
1,本课的重点是有限差分法的基本概念、基本原理。
2,本课的难点是差分方程的建立。
第二章 热 量 传 输
导热的有限差分解法
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§ 2.6 导热的有限差分解法
2.6.1 有限差分法的基本概念
1,有限差分的原理
由微分学得知，函数的导数是函数的增量与自
变量之比的极限，又称为微商。
第二章 热 量 传 输
x
t
dx
dt
x
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式中 ?t与 ?x为有限差分,?t/?x称为有限差商。当
?x??时，差商的极限就是微商，当 ?x为一有限小量
时，差商就可看着是微商的近似，即
上式称为向前差分，也可向后差分及中心差分，
其表现形式分别为
第二章 热 量 传 输
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同样，函数的二阶导数也可用二阶差商来近似表示
用差商来近似表示微商必然引起误差，误差的大小
可用泰勒级数展开式来估计。对于向前差分、向后差
分为 ?x数量级，而中心差分是 ?x2的数量级。
第二章 热 量 传 输
ixix dx
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2,差分网络
用差商近似微商的差分法的实质是把连续变化的
变量离散化为不连续的阶跃变化的过程。这种离散化
的过程是有规律的，按一定的步长把连续变量离散化
为不连续的阶跃变化过程，称为区域的网络化。
一维不稳定导热：有空间变量 x和时间变量 ?两个
自变量，温度 t是 x和 ?的函数。
见书上 199页图 2-6-2。
二维稳定导热的空间网格图见书上图 2-6-3。
第二章 热 量 传 输
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2.6.2 稳定导热的差分解法
1,建立差分方程
二维稳定导热的导热微分方程为：
第二章 热 量 传 输
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第二章 热 量 传 输
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又 ?x=?y
上式称为差分方程。
它表明：常物性稳定导热量可用温度关系式
表明，流向任一节点的热量和恒等于零 。
第二章 热 量 传 输
022 111 ???? ??? jijijiji tttt
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2,差分方程的求解
(1)松弛法 —— 又叫张弛法或余数调节法。其基本思路是通
过假定各节点温度的初始近似值，代入节点方程，比较并调
节各方程的余数值，使之等于或接近零为止（这是因为稳定
导热情况下，各节点热量之和必为零）。
具体步骤：
1)视具体条件假定各节点温度的第一近似值。第一近似值
虽不影响最终结果，但假设得好可大大缩短计算时间。
第二章 热 量 传 输
10
2)将第一近似值代入节点方程。一般而言，任何
一个节点方程均不会等于零而是等于某一不
为零的余数 q*。
3)调整余数最大的节点方程的有关温度，使该方
程 q*为零。调整量为 q*/4，则该方程 q*为零。
第二章 热 量 传 输
11
5)比较调整后节点方程的余数，再按步骤 3）
调整余数最大的方程的有关温度使其等于零
6)如此反复，直到所有方程余数为零或接近零
为止。
4)当 调整后，凡与该节点温度有关的其他节
点也要相应改变，将调整后的温度代入各节
点方程将会出现新的余数。
j
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第二章 热 量 传 输
12
(2)迭代法
也即高斯 —— 赛得尔迭代法, 亦称高斯迭代法。它是
一种逐步逼近求线性代数方程组的方法，其步骤：
1)根据假设的第一近似值代入方程式，逐次计算各
节点的第二近似值。
2)根据第二近似值代回原方程组，求各点的第三近
似值。
3)如此反复计算，直到连续两次计算近似值中值差
最大的一个小于预先给定的误差为止。
第二章 热 量 传 输
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作业：
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