晶体衍射
§ 1,晶体衍射的一般介绍
1.入射束
通常作为晶体衍射而用的入射波有
1)光子
E= h?=hc/λ,
λ （ ?） =12.4/E（ keV）
若波长为 1?,E约为 12.4keV,即 X射线是波长范围
在约 1— 1000pm，属于 x-ray范围。用于测量晶体结
构的得 X-Ray波长为 50— 250pm,这个波长范围与晶
体点阵面的间距大致相当。用来作为入射束的 x-
ray可以是连续谱或单色的，可用来分析晶体结构。
波长太大 ?250pm，样品对 X-Ray吸收太大；波长
太短 ?50pm，衍射线过分集中在低角度区域，不
易分辨。
晶体衍射所用的 X-Ray，通常是在真空度约为
10-4Pa的 X-Ray管内，又高雅加速得以苏高速运动
的点子，冲击阳极金属靶面时产生的。
由 X-Ray射线管产生的 X-Ray包含两部分 ?1）
波长连续的“白色” X-Ray；（ 2）由金属阳极材
料成分决定的、波长确定的特征 X-Ray。前者是
由于电子与阳极物质相撞时，穿过一层物质，降
低一部分动能，穿透深浅不同，降低动能不同，
所以有各种不同的波长的 X-Ray。后者是高速电
子把原子内层电子激发，再由外层跃迁至内层，
势能下降而产生的 X-Ray，他的波长由原子的能
级决定。如图：
Cu靶 X-Ray有
一定的强度比：
?(Cu,K?2)：
?(Cu,K?2)=0.497
?(Cu,K?1)：
?(Cu,K?1)=0.200
n = 1
K 层
n = 2
L 层
n = 3
M 层
K ? ? K ? ?
K ? ?
L 1 L 2 L 3
K 系
L 系
原 子 能 级 跃 迁 时 产 生 X - R a y 的 情 况
? ? C u ?? ? ? ? ? 1 5 4, 0 5 6 p m ;
? ? C u ?? ? ? ? ? 1 5 4, 4 3 9 p m ;
? ? C u ?? ? ? ? ? 1 3 9, 2 2 2 p m
当分辨率低时,K?1和 K?2分不开，就用 K?的平
均波长,Cu K?平均波长为 154.18pm。为了获得
单色 X-Ray，需要将 K?射线及白色射线除去，（ 1）
选择一种金属，他的吸收波长处在 K?和 K?之间，
用其作滤波片，吸收掉 K?。
2 衍射方向
晶体的衍射包括两个因素 （ 1）衍射方向；（ 2）
衍射强度。
衍射方向指在入射 X-Ray照射下产生的衍射线偏
离入射线的角度。衍射方向决定于晶体内部结构
周期重复的方式。测定衍射方向可以求得晶胞的
大小和形状。联系衍射方向和晶胞大小、形状的
方程有两个（ 1） Laue方程；（ 2） Bragg方程。
（ 1） Laue方程
设有一直线点阵和晶胞的单位矢量 a平行。 s0和 s
分别代表入射和衍射 X-Ray的单位矢量。若要求
有每个点阵所代表的结构单位间散射的次生 X-
Ray相互叠加，则要求相邻点阵点的光程差为
波长的整数倍。这样衍射方向单位矢量 s和入射方
向单位矢量 s0与晶胞单位矢量 a间的联系方程为：
光程差 =OA-BP=a·s- a ·s0=h?
式中 h为整数。用三角函
数表示：
以上二式就是 Laue
方程。它规定了当 a
和 s0的夹角为 ?a0时，
在和 a呈 ?a0角的方向上产生衍射。是以 a为轴线的
园。推广到晶胞的单位矢量 b和 c，可得相同的方
程式。同时满足 a,b,c和衍射矢量 s的 Laue方程为
a·( s-s0)=h?; b·( s-s0)=k?; c·( s-s0)=l?; OR
a·(cos?a- cos?a0)=h?; b·(cos?b- cos?b0)=k?;
c·(cos?c- cos?c0)=l?;
h k l均为整数，称为衍射指标。晶体的衍射方向
由 s确定。即 s的方向为围绕 a,b,c三轴线的圆锥
面的交线方向。
衍射指标 h k l整数性，决定了衍射方向的分
立性，即只在空间的某些方向上出现衍射。这些
方向上各点阵点之间的入射线和衍射线的波程差
必定是波长的整数倍。证明：
从点阵原点 000到点阵点 mnp间的矢量为：
Tmnp=ma + nb + pc
通过这两个点的光程差为 ?为：
? = Tmnp(s – s0)=ma(s – s0)+nb(s – s0)+pc(s – s0)
=mh? + nh? + ph? = (mh + nh + ph)?
因为 mnp和 hkl都是整数，所以 ?也必定是整数。
满足 a·( s-s0)=h?; b·( s-s0)=k?; c·( s-s0)=l?; OR
a·(cos?a- cos?a0)=h?; b·(cos?b- cos?b0)=k?;
c·(cos?c- cos?c0)=l?;的方向所有晶胞散射的次生
线都是互相加强的，都是衍射方向。
（ 2） Bragg方程
晶体的空间点阵可划分为一组平行等间距的平面
点阵（ hkl）。同一晶体不同指标的晶面在空间的
取向不同，晶面间距也不同 d(hkl)。
X-Ray入射到晶体上，对于一族（ hkl）平面中的
一个点阵面 1来说，若要求面上各点的散射线相同，
互相加强，则要求入射角 ?和散射角 ??相等，入射
线、散射线和平面法线在同一平面内，才能保证
光程一样。
如图 A，入射线 s0在
PQR 时波的位相相
同，而散射线 s在 P?Q
? R ?处仍然相同，这
是产生衍射的重要条
件。
在考虑平面 123…,图 B，
相邻两个平面间距为
d(hkl),射到面 1上的 X-
Ray和射到面 2上的 X-
Ray的光程差为 MB +
BN,而 MB = BN =
d(hkl)sin?，其光程差为
d(hkl)sin?。根据衍射条件，只有光程差为波长 ?整
数倍时，它们才能发生衍射。由此的 Bragg方程
2d(hkl)sin?n = n?
n称为衍射级数，可取 1,2,3,… 等。 ?n 为衍
射角。晶面指标为 (hkl)的一族晶面，由于它和
入射角取向不同，光程差也不同。可产生 n为 1,2，
3,…,衍射指标为 hkl,2h2k2l,3h3k3l,…,的一级、
二级、三级等衍射。如晶面指标为 (110)这组晶面，
在不同衍射角上可能出现指标为 110,220，
330,… 的衍射线。由于 |sin?n|不大于 1，使得 n?不
大于 2d(hkl)，所以 n是数目有限的几个整数。 n大则
?n也大,
(hkl)这组晶面的 n级衍射。可视为与 (hkl)平行但
相邻晶面间距为 d(hkl)/n一组面的一级衍射,dnhnknl
等于 d(hkl)/n,nh nk nl仍为一组整数，但不一定互质。
通常把不加括号的这组整数 hkl称为衍射指标。现
在通用的 Bragg方程为 2dhklsin?= ?,也简写为
2dsin? = n?。
§ 2衍射强度
晶体对 X-Ray在某个方向上的衍射强度与衍射方向
和晶胞中原子分布有关，前者由衍射指标 hkl决定，
后者由晶胞中原子的坐标参数决定 (x,y,z),定量地表
达这两个因素和衍射强度的关系，需要考虑波的叠
加，并引进结构因子 Fhkl
式中 fj是原子的散射因子 — 表 示不同原子散射能力
的大小可以根据核外电子分布函数计算得到。上
式的推导，在此略掉。衍射强度 Ihkl正比于 |Fhkl|，
还和晶体大小、入射强度、温度高低、晶体对
X-Ray的吸收剂其他一系列物理因素有关。将它们
予以修正，得 Ihkl = K|Fhkl|2。这就将衍射强度和晶
体结构联系在一起，通过测量衍射强度数据可以设
法计算出晶体的结构。
晶体结构中存在带心点阵结构型式、滑移面和螺
旋轴时，会出现系统消光，即许多衍射系统地不出
现，衍射为 0。
金属钠为体心立方结构，晶胞中有 2个钠原子的
坐标为 0,0,0； 1/2,1/2,1/2。由
得
当 h+k+l = 偶数时,Fhkl = 2fNa;当 h+k+l = 奇数时，
Fhkl = 0。
由此推论：对于体心点阵型式，当 h+k+l = 奇数
时,Fhkl = 0，衍射强度为 0。反之，如果再收集
的衍射数据中，如果出现 h+k+l = 奇数时,Fhkl =
0，衍射强度为 0，则这一晶体一定是体心点阵型
式。
如果设晶体在 C方向上有二重螺旋轴 21，处在
x=y=0处。晶胞中每一对由它联系的原子坐标为
得
当 l为偶数时
当 l为奇数时
也就是说在 c方向上有 21轴时，在 00l衍射中,l为
奇数的衍射点一律不出现。
衍射
指标
类型
消光条件 消光解释 带心型式
和对称元
素符号
hkl h+k+l=奇数
h+k=奇数
h+l=奇数
k+l=奇数
h,k,l奇偶混杂
-h+k+l=不为 3的倍数
体心点阵
C面带心点阵
B面带心点阵
A面带心点阵
面心点阵
R心点阵（六方晶胞）
I
C
B
A
F
R
0kl k=奇数
l=奇数
k+ l=奇数
k+ l=不为 4的倍数
（ 100）
滑移面
b
c
n
d
00l l=奇数l不为 3的倍数
l不为 4的倍数
l不为 6的倍数
(001)
螺旋轴
21,42,63
31,32,62,64
41,42
61,65
晶体衍射
1.Laue法
入射波为连续 x-ray(波长有一定的分布
范围,一般为 0.2?－ 2? )波矢
方向不变，反射球的半径在 的
范围内变化，只要倒易点阵的阵点在此
范围内都可得到反射束，由于 0.2?－
2?的范围不太大，落在此区间的倒易点
阵不会太多 (是有限的 )，因而反射束也
不会太多。
10
0
2~2
?
?
?
??k
10
2~2
?
?
?
?
晶体衍射
晶体衍射
2.旋转晶体法
采用单色 x-ray，但允许晶体的方位发
生变化，即对 θ 扫描，底片装在与转动轴同
轴的圆筒中，在转动中有些晶面满足 Bragg定
理，即,根据底片上的图
案可分析结构。
晶体旋转，倒易点阵也随之转动，在旋
转过程中若有倒易点阵落在球面上则产生反
射束，这种方法可用于结构分析。
?? nd ?s in2
晶体衍射
3.粉末法
样品为粉末或多晶样品 (宏观尺度很小，
1 m左右,但从微观角度来看还是很大的，
原子是周期排列的 )，由于粉末或晶粒的
取向是任意的，若 x-ray的波长及方向固
定，就相当于旋转法中的晶体在旋转，而
且转轴同时也在旋转，粉末法中的图象与
旋转法中让转轴再旋转而得到的图象是很
相近的。
?
晶体衍射
Laue衍射条件只是考虑了各阵点上散
射波的相长干涉条件，因而对一定的晶
体结构，可能会出现尽管 Laue条件满足，
而由于基元中各原子散射波之间发生相
互干涉而使得总散射波强度为零的情况，
所以还要对基元内部作傅立叶分析。这
里从略。
晶体衍射
晶体衍射内容提要
1.x-射线衍射的布喇格定律和劳厄条件
2.实验衍射方法
§ 1,晶体衍射的一般介绍
1.入射束
通常作为晶体衍射而用的入射波有
1)光子
E= h?=hc/λ,
λ （ ?） =12.4/E（ keV）
若波长为 1?,E约为 12.4keV,即 X射线是波长范围
在约 1— 1000pm，属于 x-ray范围。用于测量晶体结
构的得 X-Ray波长为 50— 250pm,这个波长范围与晶
体点阵面的间距大致相当。用来作为入射束的 x-
ray可以是连续谱或单色的，可用来分析晶体结构。
波长太大 ?250pm，样品对 X-Ray吸收太大；波长
太短 ?50pm，衍射线过分集中在低角度区域，不
易分辨。
晶体衍射所用的 X-Ray，通常是在真空度约为
10-4Pa的 X-Ray管内，又高雅加速得以苏高速运动
的点子，冲击阳极金属靶面时产生的。
由 X-Ray射线管产生的 X-Ray包含两部分 ?1）
波长连续的“白色” X-Ray；（ 2）由金属阳极材
料成分决定的、波长确定的特征 X-Ray。前者是
由于电子与阳极物质相撞时，穿过一层物质，降
低一部分动能，穿透深浅不同，降低动能不同，
所以有各种不同的波长的 X-Ray。后者是高速电
子把原子内层电子激发，再由外层跃迁至内层，
势能下降而产生的 X-Ray，他的波长由原子的能
级决定。如图：
Cu靶 X-Ray有
一定的强度比：
?(Cu,K?2)：
?(Cu,K?2)=0.497
?(Cu,K?1)：
?(Cu,K?1)=0.200
n = 1
K 层
n = 2
L 层
n = 3
M 层
K ? ? K ? ?
K ? ?
L 1 L 2 L 3
K 系
L 系
原 子 能 级 跃 迁 时 产 生 X - R a y 的 情 况
? ? C u ?? ? ? ? ? 1 5 4, 0 5 6 p m ;
? ? C u ?? ? ? ? ? 1 5 4, 4 3 9 p m ;
? ? C u ?? ? ? ? ? 1 3 9, 2 2 2 p m
当分辨率低时,K?1和 K?2分不开，就用 K?的平
均波长,Cu K?平均波长为 154.18pm。为了获得
单色 X-Ray，需要将 K?射线及白色射线除去，（ 1）
选择一种金属，他的吸收波长处在 K?和 K?之间，
用其作滤波片，吸收掉 K?。
2 衍射方向
晶体的衍射包括两个因素 （ 1）衍射方向；（ 2）
衍射强度。
衍射方向指在入射 X-Ray照射下产生的衍射线偏
离入射线的角度。衍射方向决定于晶体内部结构
周期重复的方式。测定衍射方向可以求得晶胞的
大小和形状。联系衍射方向和晶胞大小、形状的
方程有两个（ 1） Laue方程；（ 2） Bragg方程。
（ 1） Laue方程
设有一直线点阵和晶胞的单位矢量 a平行。 s0和 s
分别代表入射和衍射 X-Ray的单位矢量。若要求
有每个点阵所代表的结构单位间散射的次生 X-
Ray相互叠加，则要求相邻点阵点的光程差为
波长的整数倍。这样衍射方向单位矢量 s和入射方
向单位矢量 s0与晶胞单位矢量 a间的联系方程为：
光程差 =OA-BP=a·s- a ·s0=h?
式中 h为整数。用三角函
数表示：
以上二式就是 Laue
方程。它规定了当 a
和 s0的夹角为 ?a0时，
在和 a呈 ?a0角的方向上产生衍射。是以 a为轴线的
园。推广到晶胞的单位矢量 b和 c，可得相同的方
程式。同时满足 a,b,c和衍射矢量 s的 Laue方程为
a·( s-s0)=h?; b·( s-s0)=k?; c·( s-s0)=l?; OR
a·(cos?a- cos?a0)=h?; b·(cos?b- cos?b0)=k?;
c·(cos?c- cos?c0)=l?;
h k l均为整数，称为衍射指标。晶体的衍射方向
由 s确定。即 s的方向为围绕 a,b,c三轴线的圆锥
面的交线方向。
衍射指标 h k l整数性，决定了衍射方向的分
立性，即只在空间的某些方向上出现衍射。这些
方向上各点阵点之间的入射线和衍射线的波程差
必定是波长的整数倍。证明：
从点阵原点 000到点阵点 mnp间的矢量为：
Tmnp=ma + nb + pc
通过这两个点的光程差为 ?为：
? = Tmnp(s – s0)=ma(s – s0)+nb(s – s0)+pc(s – s0)
=mh? + nh? + ph? = (mh + nh + ph)?
因为 mnp和 hkl都是整数，所以 ?也必定是整数。
满足 a·( s-s0)=h?; b·( s-s0)=k?; c·( s-s0)=l?; OR
a·(cos?a- cos?a0)=h?; b·(cos?b- cos?b0)=k?;
c·(cos?c- cos?c0)=l?;的方向所有晶胞散射的次生
线都是互相加强的，都是衍射方向。
（ 2） Bragg方程
晶体的空间点阵可划分为一组平行等间距的平面
点阵（ hkl）。同一晶体不同指标的晶面在空间的
取向不同，晶面间距也不同 d(hkl)。
X-Ray入射到晶体上，对于一族（ hkl）平面中的
一个点阵面 1来说，若要求面上各点的散射线相同，
互相加强，则要求入射角 ?和散射角 ??相等，入射
线、散射线和平面法线在同一平面内，才能保证
光程一样。
如图 A，入射线 s0在
PQR 时波的位相相
同，而散射线 s在 P?Q
? R ?处仍然相同，这
是产生衍射的重要条
件。
在考虑平面 123…,图 B，
相邻两个平面间距为
d(hkl),射到面 1上的 X-
Ray和射到面 2上的 X-
Ray的光程差为 MB +
BN,而 MB = BN =
d(hkl)sin?，其光程差为
d(hkl)sin?。根据衍射条件，只有光程差为波长 ?整
数倍时，它们才能发生衍射。由此的 Bragg方程
2d(hkl)sin?n = n?
n称为衍射级数，可取 1,2,3,… 等。 ?n 为衍
射角。晶面指标为 (hkl)的一族晶面，由于它和
入射角取向不同，光程差也不同。可产生 n为 1,2，
3,…,衍射指标为 hkl,2h2k2l,3h3k3l,…,的一级、
二级、三级等衍射。如晶面指标为 (110)这组晶面，
在不同衍射角上可能出现指标为 110,220，
330,… 的衍射线。由于 |sin?n|不大于 1，使得 n?不
大于 2d(hkl)，所以 n是数目有限的几个整数。 n大则
?n也大,
(hkl)这组晶面的 n级衍射。可视为与 (hkl)平行但
相邻晶面间距为 d(hkl)/n一组面的一级衍射,dnhnknl
等于 d(hkl)/n,nh nk nl仍为一组整数，但不一定互质。
通常把不加括号的这组整数 hkl称为衍射指标。现
在通用的 Bragg方程为 2dhklsin?= ?,也简写为
2dsin? = n?。
§ 2衍射强度
晶体对 X-Ray在某个方向上的衍射强度与衍射方向
和晶胞中原子分布有关，前者由衍射指标 hkl决定，
后者由晶胞中原子的坐标参数决定 (x,y,z),定量地表
达这两个因素和衍射强度的关系，需要考虑波的叠
加，并引进结构因子 Fhkl
式中 fj是原子的散射因子 — 表 示不同原子散射能力
的大小可以根据核外电子分布函数计算得到。上
式的推导，在此略掉。衍射强度 Ihkl正比于 |Fhkl|，
还和晶体大小、入射强度、温度高低、晶体对
X-Ray的吸收剂其他一系列物理因素有关。将它们
予以修正，得 Ihkl = K|Fhkl|2。这就将衍射强度和晶
体结构联系在一起，通过测量衍射强度数据可以设
法计算出晶体的结构。
晶体结构中存在带心点阵结构型式、滑移面和螺
旋轴时，会出现系统消光，即许多衍射系统地不出
现，衍射为 0。
金属钠为体心立方结构，晶胞中有 2个钠原子的
坐标为 0,0,0； 1/2,1/2,1/2。由
得
当 h+k+l = 偶数时,Fhkl = 2fNa;当 h+k+l = 奇数时，
Fhkl = 0。
由此推论：对于体心点阵型式，当 h+k+l = 奇数
时,Fhkl = 0，衍射强度为 0。反之，如果再收集
的衍射数据中，如果出现 h+k+l = 奇数时,Fhkl =
0，衍射强度为 0，则这一晶体一定是体心点阵型
式。
如果设晶体在 C方向上有二重螺旋轴 21，处在
x=y=0处。晶胞中每一对由它联系的原子坐标为
得
当 l为偶数时
当 l为奇数时
也就是说在 c方向上有 21轴时，在 00l衍射中,l为
奇数的衍射点一律不出现。
衍射
指标
类型
消光条件 消光解释 带心型式
和对称元
素符号
hkl h+k+l=奇数
h+k=奇数
h+l=奇数
k+l=奇数
h,k,l奇偶混杂
-h+k+l=不为 3的倍数
体心点阵
C面带心点阵
B面带心点阵
A面带心点阵
面心点阵
R心点阵（六方晶胞）
I
C
B
A
F
R
0kl k=奇数
l=奇数
k+ l=奇数
k+ l=不为 4的倍数
（ 100）
滑移面
b
c
n
d
00l l=奇数l不为 3的倍数
l不为 4的倍数
l不为 6的倍数
(001)
螺旋轴
21,42,63
31,32,62,64
41,42
61,65
晶体衍射
1.Laue法
入射波为连续 x-ray(波长有一定的分布
范围,一般为 0.2?－ 2? )波矢
方向不变，反射球的半径在 的
范围内变化，只要倒易点阵的阵点在此
范围内都可得到反射束，由于 0.2?－
2?的范围不太大，落在此区间的倒易点
阵不会太多 (是有限的 )，因而反射束也
不会太多。
10
0
2~2
?
?
?
??k
10
2~2
?
?
?
?
晶体衍射
晶体衍射
2.旋转晶体法
采用单色 x-ray，但允许晶体的方位发
生变化，即对 θ 扫描，底片装在与转动轴同
轴的圆筒中，在转动中有些晶面满足 Bragg定
理，即,根据底片上的图
案可分析结构。
晶体旋转，倒易点阵也随之转动，在旋
转过程中若有倒易点阵落在球面上则产生反
射束，这种方法可用于结构分析。
?? nd ?s in2
晶体衍射
3.粉末法
样品为粉末或多晶样品 (宏观尺度很小，
1 m左右,但从微观角度来看还是很大的，
原子是周期排列的 )，由于粉末或晶粒的
取向是任意的，若 x-ray的波长及方向固
定，就相当于旋转法中的晶体在旋转，而
且转轴同时也在旋转，粉末法中的图象与
旋转法中让转轴再旋转而得到的图象是很
相近的。
?
晶体衍射
Laue衍射条件只是考虑了各阵点上散
射波的相长干涉条件，因而对一定的晶
体结构，可能会出现尽管 Laue条件满足，
而由于基元中各原子散射波之间发生相
互干涉而使得总散射波强度为零的情况，
所以还要对基元内部作傅立叶分析。这
里从略。
晶体衍射
晶体衍射内容提要
1.x-射线衍射的布喇格定律和劳厄条件
2.实验衍射方法
