1.5电路的线图
? 回顾：
+ U1 -
+ U3 -
-
U2
+
-
U4
+
U1 – U2 – U3 + U4 = 0
I1
I2
I3I4
n ·
I1 - I2 + I3 - I4 = 0
1.5电路的线图
? 结构约束
– KVL和 KCL是 电路结构 对电压和电流的约
束 -----称为结构约束或拓扑约束。
– 根据 KVL和 KCL可以列多少独立方程？可
通过电路的结构图研究。
– 图论：研究点线关联的规律。
1.5电路的线图
1、二端元件的线图
1 2i
+ u -
1 2
i,u
2、三端元件的线图
+
u1 N
+
u2
1 2
3
1 2
3
u1,i1 u2,i2
图论基本概念
? 图：节点和支路的集合（支路两端必须
接到节点上）
? 子图
? 连通图、非连通图
? 路径
? 回路
图论基本概念
? 树,是连通图的连通子图，包含全部节点，不含任何
回路。例：
1
0
3
2
1
2
3
4 5
6
此例有 16种树。（ P12 图 1.19）
1
0
3
2
1
2
3
4 5
6
图论基本概念
? 树,是连通图的连通子图，包含全部节点，不含任何
回路。例：
1
0
3
2
1
2
3
4 5
6
此例有 16种树。（ P12 图 1.19）
1
0
3
2
1
2
3
4 5
6
图论基本概念
? 树支,1,2,3 。 树支数,bt = n-1
? 连支,4,5,6 。 连支数,bl = b-bt = b-(n-1)
1
0
3
2
1
2
3
4 5
6
1.6 独立的 KVL 方程
? 基本回路 ----单连支回路, bl = b-(n-1)
? 基本回路 KVL 方程,
1
0
3
2
1
2
3
4 5
6
u4 – u3 – u2 = 0
u5 + u1 + u2 + u3 = 0
u6 – u2 – u1 = 0
基本回路 KVL 方程是一组独立方程
? 基本回路 KVL 方程是一组独立方程
? 网孔方程是一组独立方程
? 存在既非基本回路也非全取网孔的独立
方程
1.6 独立的 KCL 方程
? 割集：连通图的支路集合，
（ 1）若移去集合中的所有支路，此图不再连通。
（ 2）若留下集合中的任一支路，仍为连通图
*移去支路时，留下节点
割集举例
? 例：
3
1
2? ? ?
? ? ?
?
?
3
1
2? ? ?
? ? ?
?
?
割集举例
? 例：
3
1
2? ? ?
? ? ?
?
?
3
1
2? ? ?
? ? ?
?
?
4
4
割集电流方程
? 例：
3
1
2? ? ?
? ? ?
?
?
3
1
2? ? ?
? ? ?
?
?
i1 – i2 + i3 = 0
单树支割集：
? 单树支割集：割集中只有一个树支
? 对连通图，选一种树。找出所有的单树支割
集。例,
1
0
3
2
1
2
3
4 5
6
1
0
3
2
1
2
3
4 5
6
单树支割集 KCL方程是独立方程
?,
1
0
3
2
1
2
3
4 5
6
1
0
3
2
1
2
3
4 5
6
? 1,5,6
? 2,4,5,6
? 3,4,5
i1 – i5 + i6 = 0
i2 + i4 – i5 + i6 = 0
i3 + i4 – i5 = 0
? 基本割集 KCL 方程是一组独立方程
? 独立节点 KCL方程是一组独立方程
? 存在其他的独立方程组
1.8 矩阵形式的 KL方程
1、节点与支路的关联矩阵（取 0为参考点）
例：
1
0
3
2
1
2
3
4 5
6
10001
00110
01011
54321
?
?
?
1
1
0
6
?
)3(
)2(
)1(
节点
支路
aij = -1 联入
1 联出
0 不直接连接
2、矩阵形式的 KCL方程
? 例,以 0为参考点，列其他节点 KCL方程
1
0
3
2
1
2
3
4 5
6
– i1 + i2 +i4 = 0
– i2 +i3 – i6 = 0
i1 – i5 + i6 = 0
-1 1 0 1 0 0 0
0 -1 1 0 0 -1 i1 i2 i3 i4 i5 i6 = 0
1 0 0 0 -1 1 0
T
A I = 0
3、矩阵形式的 KVL方程
? 例,以 0为参考点,un1 un2 un3 为 节点电位，列
支路电压用节点电位表示的 KVL方程
1
0
3
2
1
2
3
4 5
6
-un1 + un3 = u1
un1 – un2 = u2
un2 = u3
un1 = u4
- un3 = u5
– un2 +un1 = u6
3、矩阵形式的 KVL方程
? 例,以 0为参考点,un1 un2 un3 为 节点电位，列
支路电压用节点电位表示的 KCL方程
1
0
3
2
1
2
3
4 5
6
-1 0 1 u1
1 -1 0 un1 u2
0 1 0 un2 = u3
1 0 0 un3 u4
0 0 - 1 u5
0 -1 1 u6
AT Un = U
基本回路矩阵
1、支路与回路关联矩阵（先选树，单连支回路
按连支号编号）
例：
1
0
3
2
1
2
3
4 5
6
回路
支路
bij = -1 支路属于回路，方向反
1 支路属于回路，方向同
0 支路不属于回路
树支 连支
4
5
6
1 2 3 4 5 6
0 -1 -1 1 0 0
1 1 1 0 1 0
-1 -1 0 0 0 1
矩阵形式的 回路 KVL 方程
基本回路 KVL 方程,
1
0
3
2
1
2
3
4 5
6
– u2 – u3 +u4 = 0
u1 + u2 + u3 + u5 = 0
– u1 – u2 +u6 = 0
BU=0
0 -1 -1 1 0 0
1 1 1 0 1 0
-1 –1 0 0 0 1
u1 u2 u3 u4 u5u6 = 0T 0
0
4、矩阵形式的 KCL方程
? 例,4,5,6为连支，列支路电流用连支电流表示的
KVL方程
1
0
3
2
1
2
3
4 5
6
i5 - i6 = i1
– i4 + i5 – i6 = i2
– i4 +i5 = i3
i4 = i4
i5 = i5
i6 = i6
4、矩阵形式的 KCL方程
? 例：
1
0
3
2
1
2
3
4 5
6
0 1 - 1 i1
-1 1 -1 i4 i2
-1 1 0 i5 = i3
1 0 0 i6 i4
0 1 0 i5
0 0 1 i6
BT Il = I
基本割集矩阵
?,
1
0
3
2
1
2
3
4 5
6
1
0
3
2
1
2
3
4 5
6
? 1,5,6
? 2,4,5,6
? 3,4,5
基本单树
支割集：
基本割集与支路关系矩阵
?,
1
0
3
2
3
4 5
1
0
3
2
2
4 5
6
1
0
3
2
1
5
6
1 2 3 4 5 6
1 1 0 0 0 -1 1
2 0 1 0 1 -1 1
3 0 0 1 1 -1 0
基本割集
支路
Cij =
1 支路属于割集，方向同
-1 支路属于割集，方向反
0 支路不属于割集
5、基本割集 KCL方程
?,
1
0
3
2
3
4 5
1
0
3
2
2
4 5
6
1
0
3
2
1
5
6
i1 – i5 + i6 = 0
i2 + i4 – i5 + i6 = 0
i3 + i4 – i5 = 0
基本割集 KCL方程
?,
1
0
3
2
3
4 5
1
0
3
2
2
4 5
6
1
0
3
2
1
5
6
1 0 0 0 -1 1
0 1 0 1 -1 1
0 0 1 1 -1 0
i1
i2
i3
i4
i5
i6
= 00
0
C I = 0
矩阵形式的 回路 KVL 方程
基本回路 KVL 方程,
1
0
3
2
1
2
3
4 5
6
– u2 – u3 +u4 = 0
u1 + u2 + u3 + u5 = 0
– u1 – u2 +u6 = 0
BU=0
0 -1 -1 1 0 0
1 1 1 0 1 0
-1 –1 0 0 0 1
u1 u2 u3 u4 u5u6 = 0T 0
0
矩阵形式的 回路 KVL 方程
基本回路 KVL 方程,
1
0
3
2
1
2
3
4 5
6
– u2 – u3 = u4
u1 + u2 + u3 = u5
– u1 – u2 = u6
u1 = u1
u2 = u2
u3 = u3
4、矩阵形式的 KVL方程
? 例：
1
0
3
2
1
2
3
4 5
6
1 0 0 u1
0 1 0 u1 u2
0 0 1 u2 = u3
0 1 -1 u3 u4
-1 -1 -1 u5
1 1 0 u6
CT Ut = U