节点分析法
? 例：
G2
G1 G3
IS G4
G5
?
1 2 3
4
取 4为参考节点
记 U1, U2, U3 分别为独立节
点 1,2,3的电位
节点电位与支路
电压的关系：
U12 = U1 - U2
U13 = U1 – U3
U23 = U2 – U3
U14 = U1
U24 = U2
U34 = U3
节点分析法
? 例：
G2
G1 G3
IS G4
G5
?
1 2 3
4
（ U1 – U2） G1 + （ U1 – U3） G5 = IS
（ U2 – U1） G1 +（ U2 – U3） G3 + U2 G2 =0
（ U3 – U1） G5 + （ U3 – U2） G3 + U3 G4
=0
KCL:
节点分析法
（ G1 + G5 ） U1 – G1U2 – G5U3 = IS
–G1 U1 +(G1 +G2 +G3 ） U2 – G3U3 =0
– G5 U1 – G3U2 + (G1 +G2 +G3 ） U3 =0
（ U1 – U2） G1 + （ U1 – U3） G5 = IS
（ U2 – U1） G1 +（ U2 – U3） G3 + U2 G2 =0
（ U3 – U1） G5 + （ U3 – U2） G3 + U3 G4
=0
KCL:
合并
同类项
节点分析法
? 例：
G2
G1 G3
+
-IS G4
G5
?
1 2 3
4
（ G1 + G5 ） – G1 –G5 U1 = IS
–G1 (G1 +G2 +G3 ） – G3 U2 = 0
– G5 – G3 (G3 +G4 +G5 ） U3 = 0
KCL:
节点分析法
? 参考节点、节点电位
? 以节点电位为求解对象，列 KCL方程；
? 方程数量 较少
? 进一步再求各支路电流和电压
节点分析法
步骤,1、选参考节点、设独立节点电位
2、列独立节点 KCL方程
3、解方程得节点电位
4、由节点电位求支路电压，进
一步求支路电流
系数矩阵：主对角线上 ----自电导（ +）
其他元素 -------互电导（ -）
电流源矩阵：流进节点为（ +）
IS1 IS5
R5
R1
R2
R4
R3
+
-
- +
US2
US3
? ?
?
例：图 3.20
1 2
IS1 I
S5
G5G
1
G2
G4
G3
G3 US3
? ?
?
1 2
G2 US2
IS1 I
S5
G5G
1
G2
G4
G3
G3 US3
? ?
?
1 2
G2 US2
G1+ G2+ G3 + G4 -（ G3 + G4 ） U1 IS1 + G2US2 - G3US3
- （ G3 + G4 ） G3 + G4 + G5 U2 IS5 + G3US3=
一些特殊情况,
? 例：
R1
R2 R3
+
-E1
I2
I1 IS
I3
I4
?
1 2
已知,E=10V,R1 =1Ω,R2 =2Ω,R3 =4Ω,R4 = 1Ω,IS = 9A
R4
求：各支路电流
1）有独立电压源与电阻串联支路
? 例,R
1
R2 R3
+
-E1
I2
I1 IS
I3
I4
?
1 2
R4
R1R2
R3
E/R2 IS
?
1 2
R4
R1R2
R3
E/R2 IS
?
1 2
R4
（ G1 + G2 + G3 ） – G1 U1 = E/ R2
–G3 (G3 + G4 ） U2 = IS
（ 1 + 1/2 + 1/4 ） – 1/4 U1 = 10/2
–1/41 (1+ 1/4 ） U2 = 9
2）有受控电压源与电阻串联支路
IS
G4
G2
G1
βI4
G3
+
-
+
-
US1
αUG1
? ?
?
例：图 3.22
1 2
-
+ UG1
IS G4
G2
G1
βI4
G3
+
- US1
α G4 UG1
? ?
?
1 2
-
+ UG1
I4
I4
IS G4
G2
G1
βI4
G3
+
- US1
α G4 UG1
? ?
?
1 2
-
+ UG1
I4
G1 +G2 +G3 - G3 U1 G1 US1 + βI4
- G3 G3+G4 U2 - IS - βI4 +α G4 UG1
=
UG1 = US1 - U1
I4 = G4 U2 - α G4 UG1
= G4 U2 - α G4 US1 + α G4 U1
G1 +G2 +G3 - G3 U1 G1 US1 + βI4
- G3 G3+G4 U2 - IS - βI4 +α G4 UG1=
UG1 = US1 - U1
I4 = G4 U2 - α G4 UG1
= G4 U2 - α G4 US1 + α G4 U1
G1 +G2 +G3 -α β G4 - （ G3 +α G4） U1 （ G1 - α β G4 ） US1
- G3 +α β G4 + α G4 G3 + G4 +β G4 U2 - IS +α（ 1+ β ） G4 US1
=
代入
消元后
整理
3）含无串联电阻的电压源支路
G4
G6
G1
G2
IS3
G3
+
-
-
+US1 US6
? ?
?
1 3
-
+ US7
G5
2 0?
例：图 3.24
I
在该支路上设支路电流变量
G4
G6
G1
G2
IS3
G3
+
-
-
+US1 US6
? ?
?
1 3
-
+ US7
G5
2 0?
I
G4
G6
G1
G2
G3
G1US1
G6US6
? ?
?
1 3
-
+ US7
G5
2 0?
I
G4
G6
G1
G2
G3
G1US1
G6US6
? ?
?
1 3
-
+ US7
G5
2 0?
I
G1+ G2+ G3 -（ G1 + G2 ） - G3 U1 G1US1 – IS3
-（ G1 + G2 ） G1+ G2+ G4 + G5 - G4 U2 - G1US1
-G3 – G4 G3 + G4 + G6 U3 IS3– G6US6 +I
=
IS3
U3 = - US7
G4
G6
G1
G2
G3
G1US1
G6US6
? ?
?
1 3
-
+ US7
G5
2 0?
G1+ G2+ G3 -（ G1 + G2 ） - G3 G1US1 – IS3
-（ G1 + G2 ） G1+ G2+ G4 + G5 - G4 - G1US1 -US7 =
IS3
U1
U2
G4
G6
G1
G2
G3
US1
G6US6
? ?
?
1 3
-
+ US7
G5
2 0?
G1+ G2+ G3 -（ G1 + G2 ） - G3 G1US1 – IS3
-（ G1 + G2 ） G1+ G2+ G4 + G5 - G4 - G1US1 -US7 =
IS3
U1
U2
+
-
I
I
-IU
S1 = U1 – U2
例：图 3.25
G4
G6G
2
G3
US1
G6US6
? ?
?
1 3
-
+ US7
G5
2 0?
I7
G2+ G3 - G2 - G3 U1 I1– IS3
- G2 G2+ G4 + G5 - G4 U2 - I1
-G3 – G4 G3 + G4 + G6 U3 IS3– G6US6 + I7
=
IS3
U3 = - US7
+
-
I1
US1 = U1 - U2
3.6 置换定理
? 在线性或非线性电路中，某支路的电压和电流 为 U=α
和 I=β 。把该支路用 US= α 的电压源或 IS= β 的电流源置
换。若置换后的电路有唯一解，则置换前后电路中的各
支路电压和电流保持不变。
。
。
+
-U
I
。
。
+
-U
I
。
。
+
-U
I
+
- US= α
IS= β
U= α
I= β
? 证明
若电路有 b 条支路,n 个节点
求各支路的电压、电流。共 2b个未知数
各支路的伏安关系方程 数 b
总数 2 b
可列方程数 KCL,n-1
KVL,b-(n-1)
已知：该方程的两个解 U= α,I= β
把其中一个解 U= α 或 I= β 代回原方程，当然
不会影响其他解。
? 证明
各支路的伏安关系方程 数 b
可列方程数 KCL,n-1
KVL,b-(n-1)
。
。
+
-U
I
。
。
+
-U
。
。
+
-U
I
+
- US= α
IS= β
U= α
I= β
结构未变，方程不变
改变一个
I
U未变,KCL使 I
不变
I未变,KVL使 U
不变
例 3.8
1
1 1
+
-2V
I2
I1 I3
- +
3I2
1I1 I2
2 -1 I1 2+ 3I2
-1 3 I2 0=
I1 = 3 (A)
I2 = 1 (A)
I3 = 2 (A)
+
-
U1
U1 = 1 (V)
例 3.8
1
1 1
+
-2V
I2
I1 I3
1
- +
3I2
1
1 1
+
-2V
I2
I1 I3
- +
3I2
1A
例 3.8
1
1 1
+
-2V
I2
I1 I3
- +
3I2
1A
I1 + (I1 –1) = 2+3
I1 = 3 (A)
I2 = 1 (A)
I3 = 2 (A)
+
-
U1
U1 = I3 - I2 = 1 (V)
例 3.8
1
1 1
+
-2V
I2
I1 I3
1
- +
3I2
1
1 1
+
-2V
I2
I1 I3
- +
3I2
1 V+-
1
1 1
+
-2V
I2
I1 I3
- +
3I2
1 V+-I1 I2
2 -1 I1 2+ 3I2
-1 2 I2 - 1=
2 - 4 I1 2
-1 2 I2 - 1= 不满足：有
唯一解的条
件