第六章 统计推断
本章重点和难点
? 重点,
１、假设检验的基本思想
２、几种常用的检验方法
? 难点,
假设检验的基本思想
? 统计研究的目的在于由样本特征来推断总
体情况。
? 其任务为：一是用样本统计量来估计总体
参数，即参数估计；二是通过样本的统计
指标来判定总体参数是否相等的问题，即
假设检验。
第一节 参数估计
一、参数估计的若干概念
? （一）误差
? 统计上所指的误差，泛指测得值与真值
之差，以及样本指标与总体指标之差。
主要有四种,
１、随机误差
２、系统误差
３、抽样误差
４、过失误差
? 随机误差和过失误差在统计处理中一般
不予考虑。
? 而系统误差和抽样误差在统计分析中则
必须认真对待，不可忽视。
（二）抽样误差及其标准误
? 由抽样造成的样本均数（或样本率）与
总体均数（或总体率）的偏差，便称之
为, 均数的（或率的）抽样误差, 。
? 度量抽样误差大小的指标－－标准误
? 依统计资料的性质（, 计数, 和, 计
量, ）不同，有, 均数的标准误, 和
,率的标准误, 。
１、标准误的意义与计算
? （１）标准误的意义
? 用来表示样本均数与总体均数间偏差程
度的标准差称之为标准误。
? 标准误的意义在于：当标准误较小时，
表明抽样误差小，以样本统计量平均数
推断总体参数 μ 的可靠性大；反之亦然。
标准差与标准误的区别
符
号
描述
对象
意义 用途
标准差
S
各个
体值
反映个体
值间的变
异
表示个体值间的波动
大小，反映观察值的
离散程度。
标准误
样本
均数
反映均数
的抽样误
差
表示样本均数在推断、
估计时的可靠程度。
xS
xS
（２）标准误的计算
? １）均数的标准误的计算
? 根据数理统计的研究结果，均数的标准误与总
体标准差及样本含量的关系由下式表示,
? 在实际应用中，通常用 S代替 σ,所以可写成,
X n
?? ?
X
SS
n
?
? 以上两公式表明，均数的标准误与标准
差成正比，标准差愈大，则标准误愈大；
而与样本含量的平方根成反比，样本含
量愈大，则标准误愈小。
? 因此，在抽样研究中，为了减少抽样误
差，应尽可能保证足够大的样本含量。
２）率的标准误的计算
? 在实际工作中计算率的标准误公式为,
? 例 6.2,P106
(1 )
p
ppS
n
??
二、区间估计
? 参数估计分为点估计与区间估计。
? 参数的点估计是选定一个适当的样本统
计量作为参数的估计量，并计算出估计
值。
? 参数的区间估计是以变量的概率分布规
律来确定未知参数值的可能范围的方法。
? 在区间估计中，预选规定的概率，称为
置信概率。置信概率或置信水平（符号
为 1 － α ）常取 95%（或 99%），按
此确定的置信区间分别称之为 95%（或
99% ）置信区间。
? 置信区间的理论内涵。
? 置信区间是以上、下置信限为界，而置
信限是置信区间的上下界值。当给出
,样本均数 ± 标准误, 或, 样本率 ± 率
的标准误, 时，可据此得到参数的置信
区间。
（一）总体均数的区间估计
１、大样本含量
? 当样本含量较大时，如 n≥45，根据正态分布的原理，可按下表
给定的置信限估计总体均数的置信区间。
总体均数置信区间的估计与表达（ n≥45 ）
置信概率
（ 1－ α ）
置信限
（ CL）
置信区间
0.95
0.99
12(,)LL
1,9 6 xxS?
2,5 8 xxS?
( 1, 9 6,1, 9 6 )xxx S x S??
( 2, 5 8,2, 5 8 )xxx S x S??
? 例题 6.3,P108
? 当置信概率确定后，抽样误差愈小，置
信区间愈窄，即参数估计的精度愈高。
由于样本含量 n愈大，抽样误差愈小，故
可以认为 n愈大，估计精确度愈高。
例题 1,
? 某市 100名高三学生男生 800米成绩的
平均数为 160.29秒，已知总体的标准差
为 9.35秒。假设 800米跑成绩服从正态
分布，试对总体均数进行区间估计。置
信度分别取 95%和 99%。
例题 2,
? 某体院一年级某班 36人的运动解剖学考
试平均成绩为 72分。依照过去一年的经
验，全部学生的分数的标准差为 10.2分。
试以 95%的置信度估计一年级全体学生
的平均分数。
２、小样本含量 (例题 6.4,P109)
? 当样本含量较小时，如 n＜ 45，根据 t分布的原理，可按下表给
定的置信限估计总体均数的置信区间。
总体均数置信区间的估计与表达（ n＜ 45 ）
置信概率
（ 1－ α ）
置信限
（ CL）
置信区间
0.95
0.99
12(,)LL
'0,0 5 / 2 () xx t n S?
'0,0 1 / 2 () xx t n S?
''0, 0 5 / 2 0, 0 5 / 2( ( ),( ) )xxx t n S x t n S??
''0, 0 1 / 2 0, 0 1 / 2( ( ),( ) )xxx t n S x t n S??
例题 3,
? 某体院篮球专业 16名男生的 100米跑平
均成绩为 13秒。 S＝ 0.5秒。假设 100米
跑成绩服从正态分布，试求全体篮球专
业男生 100米跑成绩均值的 95%的置信
区间。
? 当 n=50时，其置信区间为？
（二）总体率的区间估计
（例题 6.5,P110）
? 当样本含量足够大时 (如 n＞ 100),p的抽样分布逼近正态，
可按下表给定的置信限估计总体率的置信区间。
总体率置信区间的估计与表达
置信概率
（ 1－ α ）
置信限
（ CL）
置信区间
0.95
0.99
12(,)LL
1,9 6p S p?
2,5 8p S p?
( 1, 9 6,1, 9 6 )p S p p S p??
( 2, 5 8,2, 5 8 )p S p p S p??
第二节
假设检验的基本思想及步骤
假设检验
? 假设检验是将引起差异的抽样误差和非
抽样误差区分开来，看一看哪一个占主
导地位。假设检验是通过样本确定接受
还是拒绝统计假设的统计推断方法。
? 参数检验是对总体参数量值的假设检验，
非参数检验主要是对总体分布形式的假
设检验。
一、假设检验的基本思想
? 首先提出一个关于总体的原假设,假设
差异仅仅由抽样误差引起的，没有本质区别。
他的判断依据是一个小概率事件原理，即：
小概率事件在一次实验中是几乎不可能发生
的，那么在 成立前提下，若出现了一个小
概率事件，拒绝假设。反之，接受假设。
? 因此，我们说这是一种带有概率性质的反证
法。
0H
0H
二、假设检验的步骤
? 根据实际情况建立, 原假设, 。
? 在假设检验的前提下，选择和计算统计量。
? 根据实际情况确定显著水平 α,一般取 α ＝ 0.05或
α ＝ 0.01，并根据 α 查出相应的临界值。
? 判断结果，将计算的统计量与相应的临界值比较，
如果前者 ≥后者，概率 P≤α,则差异显著，否定
原假设；如果前者 <后者，概率 P> α,则差异不
显著，接受原假设。
0H
三、双侧检验和单侧检验
? （一）双侧检验
? 否定域对称分布于曲线两侧的检验称为
双侧检验。
? 当所要比较的两样本统计量的总体参数
事先无法肯定哪个大于哪个时，就要采
用双侧检验的手段进行检验。
（二）单侧检验
? 否定域仅存在于分布曲线一侧的检验，
称为单侧检验。
? 在很多情况下，对样本均值比较时，事
先预知某样本所属的总体均数只能大于
另一个样本所属的总体均数时，就可采
用单侧检验的手段进行检验。
四、假设检验中的两类错误
? （一）错否定，即, 原假设, 实际
上是正确的，而检验结论是否
定,此时犯下, 弃真, 错误，
统计上称为第 Ⅰ 类错误。
? （二）错接受,即, 原假设, 实际
上是不正确的，而检验结论却接受
了,此时犯下, 取伪, 错误，
统计上称为第 Ⅱ 类错误。
0H
0H
? 当样本含量一定时，弃真概率 α 和取伪
概率 β 不可能同时减小，一个减小另一
个就会增大。要使他们同时减小，只有
增加样本含量，减小抽样误差。
第三节 几种常用的检验方法
一,t检验
? （一） t分布
? t统计量的公式为,
x
x
t
S
??
?
? （一） t分布
? 从正态分布总体 N（ μ, ）中抽出含量为
n的一切可能的样本，由样本均数及标准误
经 t转换就成了服从自由度为 n－ 1的 t分布。
其特点为：以 0为中心，两侧左右对称，曲
线中间比正态分布低，两侧翘得比正态分布
高。当自由度越小,t分布与正态分布偏离
越大；当自由度越大时,t分布逐渐逼近于
正态分布；当自由度 ∞ 时,t分布曲线几乎
完全与正态分布曲线吻合。
2?
（二） t检验的类型
? １、样本均数与总体均数的 t检验
例题 6.6,P115~116。
? ２、两样本均数的差异显著性检验
A、大样本的情况
例题 6.7,P116~117。
B、小样本的情况
例题 6.8,P117~118。
当两总体方差不等时，用 检
验，进行推断。
? 统计量的公式为,
't
't
12
'
22
12
12
xx
t
SS
nn
?
?
?
0H
? 当 成立时，对给定的显著水平 α,其
临界值为,（例 6.9,P119）
? 把求出 的临界值与计算的 值作比较，
从而确定 的拒绝域和接受域。
't
't
't
0H
22
12
/ 2 1 / 2 2
' 12
22
12
12
( 1 ) ( 1 )
SS
t n t n
nn
t
SS
nn
??
? ? ? ? ?
?
?
3、配对实验数据的差异显著性检验
? 例 6.10,P120~121。
? 一般用于实验前后的比较或不同训练方
法的比较。
二,u检验
? （一）样本率与总体率的显著性检验
? 例 6.11,P121~122。
? （二）两个样本率的显著性检验
? 例 6.11,P122~123。
三,检验
2?
2?
? 用 作为检验量的假设检验称为
检验，该检验所依据的分布称为 分
布。常用于两个或两个以上样本率之间
差别的显著性检验。
2?
2?
（一） 分布
? 定义：设随机变量 相对独立，并且
均服从标准正态分布。则随机变量
? 服从参数为 n的 分布。
? 分布曲线是一条高峰偏向左侧的曲线,n
越小偏度越大；当 n足够大时，曲线趋于对称。
2?
2?
2?
1,2,,nx x xL
2 2 2 2
12 nx x x? ? ? ?L
（二）两样本率的 检验
? 在对样本率进行 检验时，常采用表格方
式进行处理，这种表格称为 R× C联表,R和
C分别表示格子的行列数。
? 检验的基本公式,
? 其中,A为实际发生数。 T为理论预计数。
? 例 6.13,P124~126。
2?
2?
2?
2
2 ()AT
T
? ?? ?
对于 2× 2联表的计算可采用下
列简化公式计算,
? a,b,c,d分别代表基本格子里的数据。
2
2 ()
( ) ( ) ( ) ( )
a b b c n
a b c d a c b d
?
?
?
? ? ? ?
（三）多个率的 检验
? 例 6.14,P127～ 129。
? 多个率的 值计算，可以由实际数直接
计算得到。计算公式为,
? 其中 n为总例数,A为实际数,分别为
与某格子实际数（ A）同行、同列的合计数。
2?
2?
2
2 ( 1 )
rc
An
nn
? ??
??
,rcnn
（四） 拟合优度（正态性）检验
? 正态性检验可采用 检验的方法，其
值计算式为,
? 式中,为频数分布表中第 i组的组内数,
?,
? 为第 i组的组上限,k为组数
2?
2?
2?
2
2
1 2
()k ii
i
f n P
nP
?
?
?? ?
if
? ?1i i iP P L x L??? p
iL
? 例 6.15,P129~130。
第四节
假设检验方法在体育中的应用
一、假设检验方法在儿童若干
心理指标比较中的应用
? 研究目的
? 研究对象及样本含量
? 比较指标
? 检验方法及结果
? 结论
二、假设检验方法在跨栏教学
方法比较研究中的应用
? 目的
? 对象及样本含量
? 实验效应指标
? 检验方法及结果
? 结论
三、假设检验方法在排球落点
比较研究中的应用
? 目的
? 调查对象
? 测试方法
? 统计处理和检验
? 结果
? 结论
第六章习题
? P134~136
? 要求每道题都做。
谢谢大家！
本章重点和难点
? 重点,
１、假设检验的基本思想
２、几种常用的检验方法
? 难点,
假设检验的基本思想
? 统计研究的目的在于由样本特征来推断总
体情况。
? 其任务为：一是用样本统计量来估计总体
参数，即参数估计；二是通过样本的统计
指标来判定总体参数是否相等的问题，即
假设检验。
第一节 参数估计
一、参数估计的若干概念
? （一）误差
? 统计上所指的误差，泛指测得值与真值
之差，以及样本指标与总体指标之差。
主要有四种,
１、随机误差
２、系统误差
３、抽样误差
４、过失误差
? 随机误差和过失误差在统计处理中一般
不予考虑。
? 而系统误差和抽样误差在统计分析中则
必须认真对待，不可忽视。
（二）抽样误差及其标准误
? 由抽样造成的样本均数（或样本率）与
总体均数（或总体率）的偏差，便称之
为, 均数的（或率的）抽样误差, 。
? 度量抽样误差大小的指标－－标准误
? 依统计资料的性质（, 计数, 和, 计
量, ）不同，有, 均数的标准误, 和
,率的标准误, 。
１、标准误的意义与计算
? （１）标准误的意义
? 用来表示样本均数与总体均数间偏差程
度的标准差称之为标准误。
? 标准误的意义在于：当标准误较小时，
表明抽样误差小，以样本统计量平均数
推断总体参数 μ 的可靠性大；反之亦然。
标准差与标准误的区别
符
号
描述
对象
意义 用途
标准差
S
各个
体值
反映个体
值间的变
异
表示个体值间的波动
大小，反映观察值的
离散程度。
标准误
样本
均数
反映均数
的抽样误
差
表示样本均数在推断、
估计时的可靠程度。
xS
xS
（２）标准误的计算
? １）均数的标准误的计算
? 根据数理统计的研究结果，均数的标准误与总
体标准差及样本含量的关系由下式表示,
? 在实际应用中，通常用 S代替 σ,所以可写成,
X n
?? ?
X
SS
n
?
? 以上两公式表明，均数的标准误与标准
差成正比，标准差愈大，则标准误愈大；
而与样本含量的平方根成反比，样本含
量愈大，则标准误愈小。
? 因此，在抽样研究中，为了减少抽样误
差，应尽可能保证足够大的样本含量。
２）率的标准误的计算
? 在实际工作中计算率的标准误公式为,
? 例 6.2,P106
(1 )
p
ppS
n
??
二、区间估计
? 参数估计分为点估计与区间估计。
? 参数的点估计是选定一个适当的样本统
计量作为参数的估计量，并计算出估计
值。
? 参数的区间估计是以变量的概率分布规
律来确定未知参数值的可能范围的方法。
? 在区间估计中，预选规定的概率，称为
置信概率。置信概率或置信水平（符号
为 1 － α ）常取 95%（或 99%），按
此确定的置信区间分别称之为 95%（或
99% ）置信区间。
? 置信区间的理论内涵。
? 置信区间是以上、下置信限为界，而置
信限是置信区间的上下界值。当给出
,样本均数 ± 标准误, 或, 样本率 ± 率
的标准误, 时，可据此得到参数的置信
区间。
（一）总体均数的区间估计
１、大样本含量
? 当样本含量较大时，如 n≥45，根据正态分布的原理，可按下表
给定的置信限估计总体均数的置信区间。
总体均数置信区间的估计与表达（ n≥45 ）
置信概率
（ 1－ α ）
置信限
（ CL）
置信区间
0.95
0.99
12(,)LL
1,9 6 xxS?
2,5 8 xxS?
( 1, 9 6,1, 9 6 )xxx S x S??
( 2, 5 8,2, 5 8 )xxx S x S??
? 例题 6.3,P108
? 当置信概率确定后，抽样误差愈小，置
信区间愈窄，即参数估计的精度愈高。
由于样本含量 n愈大，抽样误差愈小，故
可以认为 n愈大，估计精确度愈高。
例题 1,
? 某市 100名高三学生男生 800米成绩的
平均数为 160.29秒，已知总体的标准差
为 9.35秒。假设 800米跑成绩服从正态
分布，试对总体均数进行区间估计。置
信度分别取 95%和 99%。
例题 2,
? 某体院一年级某班 36人的运动解剖学考
试平均成绩为 72分。依照过去一年的经
验，全部学生的分数的标准差为 10.2分。
试以 95%的置信度估计一年级全体学生
的平均分数。
２、小样本含量 (例题 6.4,P109)
? 当样本含量较小时，如 n＜ 45，根据 t分布的原理，可按下表给
定的置信限估计总体均数的置信区间。
总体均数置信区间的估计与表达（ n＜ 45 ）
置信概率
（ 1－ α ）
置信限
（ CL）
置信区间
0.95
0.99
12(,)LL
'0,0 5 / 2 () xx t n S?
'0,0 1 / 2 () xx t n S?
''0, 0 5 / 2 0, 0 5 / 2( ( ),( ) )xxx t n S x t n S??
''0, 0 1 / 2 0, 0 1 / 2( ( ),( ) )xxx t n S x t n S??
例题 3,
? 某体院篮球专业 16名男生的 100米跑平
均成绩为 13秒。 S＝ 0.5秒。假设 100米
跑成绩服从正态分布，试求全体篮球专
业男生 100米跑成绩均值的 95%的置信
区间。
? 当 n=50时，其置信区间为？
（二）总体率的区间估计
（例题 6.5,P110）
? 当样本含量足够大时 (如 n＞ 100),p的抽样分布逼近正态，
可按下表给定的置信限估计总体率的置信区间。
总体率置信区间的估计与表达
置信概率
（ 1－ α ）
置信限
（ CL）
置信区间
0.95
0.99
12(,)LL
1,9 6p S p?
2,5 8p S p?
( 1, 9 6,1, 9 6 )p S p p S p??
( 2, 5 8,2, 5 8 )p S p p S p??
第二节
假设检验的基本思想及步骤
假设检验
? 假设检验是将引起差异的抽样误差和非
抽样误差区分开来，看一看哪一个占主
导地位。假设检验是通过样本确定接受
还是拒绝统计假设的统计推断方法。
? 参数检验是对总体参数量值的假设检验，
非参数检验主要是对总体分布形式的假
设检验。
一、假设检验的基本思想
? 首先提出一个关于总体的原假设,假设
差异仅仅由抽样误差引起的，没有本质区别。
他的判断依据是一个小概率事件原理，即：
小概率事件在一次实验中是几乎不可能发生
的，那么在 成立前提下，若出现了一个小
概率事件，拒绝假设。反之，接受假设。
? 因此，我们说这是一种带有概率性质的反证
法。
0H
0H
二、假设检验的步骤
? 根据实际情况建立, 原假设, 。
? 在假设检验的前提下，选择和计算统计量。
? 根据实际情况确定显著水平 α,一般取 α ＝ 0.05或
α ＝ 0.01，并根据 α 查出相应的临界值。
? 判断结果，将计算的统计量与相应的临界值比较，
如果前者 ≥后者，概率 P≤α,则差异显著，否定
原假设；如果前者 <后者，概率 P> α,则差异不
显著，接受原假设。
0H
三、双侧检验和单侧检验
? （一）双侧检验
? 否定域对称分布于曲线两侧的检验称为
双侧检验。
? 当所要比较的两样本统计量的总体参数
事先无法肯定哪个大于哪个时，就要采
用双侧检验的手段进行检验。
（二）单侧检验
? 否定域仅存在于分布曲线一侧的检验，
称为单侧检验。
? 在很多情况下，对样本均值比较时，事
先预知某样本所属的总体均数只能大于
另一个样本所属的总体均数时，就可采
用单侧检验的手段进行检验。
四、假设检验中的两类错误
? （一）错否定，即, 原假设, 实际
上是正确的，而检验结论是否
定,此时犯下, 弃真, 错误，
统计上称为第 Ⅰ 类错误。
? （二）错接受,即, 原假设, 实际
上是不正确的，而检验结论却接受
了,此时犯下, 取伪, 错误，
统计上称为第 Ⅱ 类错误。
0H
0H
? 当样本含量一定时，弃真概率 α 和取伪
概率 β 不可能同时减小，一个减小另一
个就会增大。要使他们同时减小，只有
增加样本含量，减小抽样误差。
第三节 几种常用的检验方法
一,t检验
? （一） t分布
? t统计量的公式为,
x
x
t
S
??
?
? （一） t分布
? 从正态分布总体 N（ μ, ）中抽出含量为
n的一切可能的样本，由样本均数及标准误
经 t转换就成了服从自由度为 n－ 1的 t分布。
其特点为：以 0为中心，两侧左右对称，曲
线中间比正态分布低，两侧翘得比正态分布
高。当自由度越小,t分布与正态分布偏离
越大；当自由度越大时,t分布逐渐逼近于
正态分布；当自由度 ∞ 时,t分布曲线几乎
完全与正态分布曲线吻合。
2?
（二） t检验的类型
? １、样本均数与总体均数的 t检验
例题 6.6,P115~116。
? ２、两样本均数的差异显著性检验
A、大样本的情况
例题 6.7,P116~117。
B、小样本的情况
例题 6.8,P117~118。
当两总体方差不等时，用 检
验，进行推断。
? 统计量的公式为,
't
't
12
'
22
12
12
xx
t
SS
nn
?
?
?
0H
? 当 成立时，对给定的显著水平 α,其
临界值为,（例 6.9,P119）
? 把求出 的临界值与计算的 值作比较，
从而确定 的拒绝域和接受域。
't
't
't
0H
22
12
/ 2 1 / 2 2
' 12
22
12
12
( 1 ) ( 1 )
SS
t n t n
nn
t
SS
nn
??
? ? ? ? ?
?
?
3、配对实验数据的差异显著性检验
? 例 6.10,P120~121。
? 一般用于实验前后的比较或不同训练方
法的比较。
二,u检验
? （一）样本率与总体率的显著性检验
? 例 6.11,P121~122。
? （二）两个样本率的显著性检验
? 例 6.11,P122~123。
三,检验
2?
2?
? 用 作为检验量的假设检验称为
检验，该检验所依据的分布称为 分
布。常用于两个或两个以上样本率之间
差别的显著性检验。
2?
2?
（一） 分布
? 定义：设随机变量 相对独立，并且
均服从标准正态分布。则随机变量
? 服从参数为 n的 分布。
? 分布曲线是一条高峰偏向左侧的曲线,n
越小偏度越大；当 n足够大时，曲线趋于对称。
2?
2?
2?
1,2,,nx x xL
2 2 2 2
12 nx x x? ? ? ?L
（二）两样本率的 检验
? 在对样本率进行 检验时，常采用表格方
式进行处理，这种表格称为 R× C联表,R和
C分别表示格子的行列数。
? 检验的基本公式,
? 其中,A为实际发生数。 T为理论预计数。
? 例 6.13,P124~126。
2?
2?
2?
2
2 ()AT
T
? ?? ?
对于 2× 2联表的计算可采用下
列简化公式计算,
? a,b,c,d分别代表基本格子里的数据。
2
2 ()
( ) ( ) ( ) ( )
a b b c n
a b c d a c b d
?
?
?
? ? ? ?
（三）多个率的 检验
? 例 6.14,P127～ 129。
? 多个率的 值计算，可以由实际数直接
计算得到。计算公式为,
? 其中 n为总例数,A为实际数,分别为
与某格子实际数（ A）同行、同列的合计数。
2?
2?
2
2 ( 1 )
rc
An
nn
? ??
??
,rcnn
（四） 拟合优度（正态性）检验
? 正态性检验可采用 检验的方法，其
值计算式为,
? 式中,为频数分布表中第 i组的组内数,
?,
? 为第 i组的组上限,k为组数
2?
2?
2?
2
2
1 2
()k ii
i
f n P
nP
?
?
?? ?
if
? ?1i i iP P L x L??? p
iL
? 例 6.15,P129~130。
第四节
假设检验方法在体育中的应用
一、假设检验方法在儿童若干
心理指标比较中的应用
? 研究目的
? 研究对象及样本含量
? 比较指标
? 检验方法及结果
? 结论
二、假设检验方法在跨栏教学
方法比较研究中的应用
? 目的
? 对象及样本含量
? 实验效应指标
? 检验方法及结果
? 结论
三、假设检验方法在排球落点
比较研究中的应用
? 目的
? 调查对象
? 测试方法
? 统计处理和检验
? 结果
? 结论
第六章习题
? P134~136
? 要求每道题都做。
谢谢大家！
