第八章相关分析
在数理统计的应用中，探索两个或
多个事物之间的相互关联或相互作
用的规律，常用的方法则是相关分
析方法。
第一节
相关分析的概念与性质
一、相关分析的概念
（一）函数关系
事物之间的关系可以用一个数学公式来
表示。
比如,
知道其中一个变量就可以精确的求出另
一个变量的数值。
2Sr??
（二）相关关系
变量间即存在着密切关系，可又无
法以自变量的值去精确地求得因变
量的值。我们称这类变量之间的关
系为相关关系。简称相关。
相关分析是指用适当的统计量来描
述两个变量或多个变量之间的相互
关系，也就是定量显示变量之间的
相关程度的方法。
线性相关系数是表示两个变量之间
线性关系的密切程度和相关方向的
统计指标，简言之，相关系数就是
两个变量之间相互关系的定量化描
述，用符号 r表示。
二、线性相关系数的性质
相关系数是表示两变量间直线相关的密
切程度和相关方向的统计指标。是一个
无单位，取值范围在 [-1,1],r的绝对值
越接近 1，表示变量间线性相关关系越密
切；反之,r的绝对值越接近 0，表示线
性关系越疏远。
相关系数的符号表示相关变量间关系的
另一重要性质：相关方向。
有四种情况,
１、正相关
２、负相关
３、完全相关
４、无线性关系
二、线性相关系数的性质
第二节
相关系数的计算与检验
相关系数的计算公式为,
一、相关系数的计算
2 2 2 2[ ( ) / ] [ ( ) / ]
xy
x x y y
xy
xyL
nr
LL x x n y y n
?
??
??
??
?
? ? ? ?g g
例题 8.1P167
15名学生百米和立定跳远成绩如下表，试计算相关系数，
并检验相关显著性。 Lxx=16.4333
Lyy=4797.6 Lxy=-212.6 r=-0.757
编
号
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
百
米
12.5 12.
3
15.1 13.
1
12.
0
12.
2
15.
4
12.
8
12.
1
12.
5
12.
4
12.
3
12.
9
11.
7
13.
7
立
跳
267 277 237 255 284 277 242 230 268 262 274 275 248 287 238
相关系数检验的基本思想
１,ρ =0，样本是由零线性相关的总体中抽
取出来的,r ≠ 0是由于抽样误差的影响所造
成的。在这种情况下,r反映的是虚假情况，
不具有实际统计意义。
２,ρ ≠0，即样本确实是从具有线性相关关
系的总体中抽取出来的,r ≠ 0恰恰反映了这
种相关性质。在此情况下,r确实具有统计应
用意义。
二、相关系数的检验
在使用样本的相关系数 r去推断 X与 Y两
变量之间的相关性时，只有通过检验得
出显著意义的情况下，才能根据相关系
数 r值的大小来说明随机变量 X与 Y的相
互关系密切程度。
（一）相关系数的 t检验法
用统计量 t进行相关系数检验时，其公式
为,
相关系数检验的方法
2
0
1
2
r
r
t
r
n
?
?
?
?
（ 二）相关系数的直接查表检验法
P171,相关检验结果判断
P378~380
第三节 等级相关
一、等级相关系数及其性质
若变量 X和 Y的观测值是等级形式的，那
么等级相关系数的定义为,
22
11
22
6 ( ) 6
11
( 1 ) ( 1 )
nn
i i i
ii
s
x y D
r
n n n n
??
?
? ? ? ?
??
??
等级相关系数的性质
（ 1）取值在 [-1,1]之间；
（ 2）等于 1时，完全正相关，表明 X和 Y的等
级完全符合；等于 -1时，为完全负相关，表明
X和 Y的等级正好完全相反；
（ 3）等于 0，表明 X和 Y的等级排列无规律；
（ 4）大于 0时,X和 Y为正相关，表明随着 X
变量的值等级的升高,Y变量的值等级也升高；
（ 5）小于 0时,X和 Y为负相关，表明随着 X
变量的值等级的升高,Y变量的值等级在下降。
二、等级相关系数的计算与检验
第一步：建立统计假设；
第二步：列计算表，求等级相关系数
第三步：等级相关系数的检验
第四步：结论
例题 8.2,P172~173
例题,
76公斤级举重比赛中 8名运动员抓举和挺举名次
如下表所示，试计算等级相关系数。
各队员抓举、挺举名次
抓举名次（ x） 1 2 3 4 5 6 7 8
挺举名次 （ y） 1 5 2 7 3 4 6 8
D=x－ y 0 -3 1 -3 2 2 1 0
0 9 1 9 4 4 1 0 2D
当变量 X,Y之中一个为次序测度，另一
个为检举测度或比例测度时，可以将间
距测度或比例测度转换为次序测度，然
后计算 Rs值。
例题
1996年辽宁省高考成绩前 10名的体育加试成
绩如下表所示，计算两者等级相关系数。
高考成绩前 10名的体育加试成绩
高考
名次
（ x）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
体育
成绩
（ y）
79.3 73.2 75.3 68.7 80.6 73.2 63.8 45.5 72.4 73.2
等级相关只能反映两变量间的相
关情况，而不能将两个变量建立
回归方程。
等级相关也称秩相关，它主要是在 X
与 Y为非连续型变量且不易判定它们
服从何种分布时所采用的相关处理
方法。它也能对连续型变量进行相
关处理，但此时的统计效果不如积
差相关法。
第四节 偏相关与复相关
一、偏相关和复相关的功能
每两个变量之间的真正关系，必须在除
去其他变量影响的情况下，计算它们的
相关系数，这种相关系数称为偏相关系
数。
偏相关系数的功能：在排除其他因素影
响的前提下，真正反映两个变量之间的
直接关系，可以通过该方法确定与所要
研究的事物 Y有真正关系的主要因素。
复相关的主要功能就是研究多因
素对所要研究的事物的交互综合
作用的程度。
偏相关系数是由简单相关系数决定的。
偏相关系数的计算公式
只有偏相关系数才真正反映了两个变量
的直接关系，而简单相关系数则可能反
映了表面的非本质的联系。
二、偏相关的计算与检验
计算步骤,
（ 1）计算简单相关系数
（ 2）计算偏相关系数
（ 3）偏相关系数的检验
1）自由度
2）检验
例题,8.4P175~176
当要考虑多个变量对某一事物交互综合
影响时，可采用复相关进行研究。
复相关系数的计算公式,
三、复相关系数的计算
i i y
y y y y
bLU
R
LL
??
?
·
（一）求 U
（二）求复相关系数 R
例题 8.5P177~178
复相关除了能对多个变量对某一事物的
交互作用进行研究，它还能对多元回归
方程的回归效应进行判断。
计算步骤
第五章
相关分析在体育中的应用
目的
对象与样本含量
测试
相关分析
结论
一、相关分析在运动项目关联研
究中的应用
目的
对象
指标
等级相关分析
结论
二、等级相关分析在竞技运动水平与
经济发展水平关系研究中的应用
目的
对象与样本含量
测试指标
相关分析
结论
三、相关分析方法在运动场地与
学生达标率相关研究中的应用
P180~181,1~8题
课后习题
谢谢大家！
欢迎指导！
,
·
在数理统计的应用中，探索两个或
多个事物之间的相互关联或相互作
用的规律，常用的方法则是相关分
析方法。
第一节
相关分析的概念与性质
一、相关分析的概念
（一）函数关系
事物之间的关系可以用一个数学公式来
表示。
比如,
知道其中一个变量就可以精确的求出另
一个变量的数值。
2Sr??
（二）相关关系
变量间即存在着密切关系，可又无
法以自变量的值去精确地求得因变
量的值。我们称这类变量之间的关
系为相关关系。简称相关。
相关分析是指用适当的统计量来描
述两个变量或多个变量之间的相互
关系，也就是定量显示变量之间的
相关程度的方法。
线性相关系数是表示两个变量之间
线性关系的密切程度和相关方向的
统计指标，简言之，相关系数就是
两个变量之间相互关系的定量化描
述，用符号 r表示。
二、线性相关系数的性质
相关系数是表示两变量间直线相关的密
切程度和相关方向的统计指标。是一个
无单位，取值范围在 [-1,1],r的绝对值
越接近 1，表示变量间线性相关关系越密
切；反之,r的绝对值越接近 0，表示线
性关系越疏远。
相关系数的符号表示相关变量间关系的
另一重要性质：相关方向。
有四种情况,
１、正相关
２、负相关
３、完全相关
４、无线性关系
二、线性相关系数的性质
第二节
相关系数的计算与检验
相关系数的计算公式为,
一、相关系数的计算
2 2 2 2[ ( ) / ] [ ( ) / ]
xy
x x y y
xy
xyL
nr
LL x x n y y n
?
??
??
??
?
? ? ? ?g g
例题 8.1P167
15名学生百米和立定跳远成绩如下表，试计算相关系数，
并检验相关显著性。 Lxx=16.4333
Lyy=4797.6 Lxy=-212.6 r=-0.757
编
号
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
百
米
12.5 12.
3
15.1 13.
1
12.
0
12.
2
15.
4
12.
8
12.
1
12.
5
12.
4
12.
3
12.
9
11.
7
13.
7
立
跳
267 277 237 255 284 277 242 230 268 262 274 275 248 287 238
相关系数检验的基本思想
１,ρ =0，样本是由零线性相关的总体中抽
取出来的,r ≠ 0是由于抽样误差的影响所造
成的。在这种情况下,r反映的是虚假情况，
不具有实际统计意义。
２,ρ ≠0，即样本确实是从具有线性相关关
系的总体中抽取出来的,r ≠ 0恰恰反映了这
种相关性质。在此情况下,r确实具有统计应
用意义。
二、相关系数的检验
在使用样本的相关系数 r去推断 X与 Y两
变量之间的相关性时，只有通过检验得
出显著意义的情况下，才能根据相关系
数 r值的大小来说明随机变量 X与 Y的相
互关系密切程度。
（一）相关系数的 t检验法
用统计量 t进行相关系数检验时，其公式
为,
相关系数检验的方法
2
0
1
2
r
r
t
r
n
?
?
?
?
（ 二）相关系数的直接查表检验法
P171,相关检验结果判断
P378~380
第三节 等级相关
一、等级相关系数及其性质
若变量 X和 Y的观测值是等级形式的，那
么等级相关系数的定义为,
22
11
22
6 ( ) 6
11
( 1 ) ( 1 )
nn
i i i
ii
s
x y D
r
n n n n
??
?
? ? ? ?
??
??
等级相关系数的性质
（ 1）取值在 [-1,1]之间；
（ 2）等于 1时，完全正相关，表明 X和 Y的等
级完全符合；等于 -1时，为完全负相关，表明
X和 Y的等级正好完全相反；
（ 3）等于 0，表明 X和 Y的等级排列无规律；
（ 4）大于 0时,X和 Y为正相关，表明随着 X
变量的值等级的升高,Y变量的值等级也升高；
（ 5）小于 0时,X和 Y为负相关，表明随着 X
变量的值等级的升高,Y变量的值等级在下降。
二、等级相关系数的计算与检验
第一步：建立统计假设；
第二步：列计算表，求等级相关系数
第三步：等级相关系数的检验
第四步：结论
例题 8.2,P172~173
例题,
76公斤级举重比赛中 8名运动员抓举和挺举名次
如下表所示，试计算等级相关系数。
各队员抓举、挺举名次
抓举名次（ x） 1 2 3 4 5 6 7 8
挺举名次 （ y） 1 5 2 7 3 4 6 8
D=x－ y 0 -3 1 -3 2 2 1 0
0 9 1 9 4 4 1 0 2D
当变量 X,Y之中一个为次序测度，另一
个为检举测度或比例测度时，可以将间
距测度或比例测度转换为次序测度，然
后计算 Rs值。
例题
1996年辽宁省高考成绩前 10名的体育加试成
绩如下表所示，计算两者等级相关系数。
高考成绩前 10名的体育加试成绩
高考
名次
（ x）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
体育
成绩
（ y）
79.3 73.2 75.3 68.7 80.6 73.2 63.8 45.5 72.4 73.2
等级相关只能反映两变量间的相
关情况，而不能将两个变量建立
回归方程。
等级相关也称秩相关，它主要是在 X
与 Y为非连续型变量且不易判定它们
服从何种分布时所采用的相关处理
方法。它也能对连续型变量进行相
关处理，但此时的统计效果不如积
差相关法。
第四节 偏相关与复相关
一、偏相关和复相关的功能
每两个变量之间的真正关系，必须在除
去其他变量影响的情况下，计算它们的
相关系数，这种相关系数称为偏相关系
数。
偏相关系数的功能：在排除其他因素影
响的前提下，真正反映两个变量之间的
直接关系，可以通过该方法确定与所要
研究的事物 Y有真正关系的主要因素。
复相关的主要功能就是研究多因
素对所要研究的事物的交互综合
作用的程度。
偏相关系数是由简单相关系数决定的。
偏相关系数的计算公式
只有偏相关系数才真正反映了两个变量
的直接关系，而简单相关系数则可能反
映了表面的非本质的联系。
二、偏相关的计算与检验
计算步骤,
（ 1）计算简单相关系数
（ 2）计算偏相关系数
（ 3）偏相关系数的检验
1）自由度
2）检验
例题,8.4P175~176
当要考虑多个变量对某一事物交互综合
影响时，可采用复相关进行研究。
复相关系数的计算公式,
三、复相关系数的计算
i i y
y y y y
bLU
R
LL
??
?
·
（一）求 U
（二）求复相关系数 R
例题 8.5P177~178
复相关除了能对多个变量对某一事物的
交互作用进行研究，它还能对多元回归
方程的回归效应进行判断。
计算步骤
第五章
相关分析在体育中的应用
目的
对象与样本含量
测试
相关分析
结论
一、相关分析在运动项目关联研
究中的应用
目的
对象
指标
等级相关分析
结论
二、等级相关分析在竞技运动水平与
经济发展水平关系研究中的应用
目的
对象与样本含量
测试指标
相关分析
结论
三、相关分析方法在运动场地与
学生达标率相关研究中的应用
P180~181,1~8题
课后习题
谢谢大家！
欢迎指导！
,
·
