实验三 用Mathematica软件计算导数与微分 实验目的: 掌握用Mathematica软件计算导数与微分的语句和方法。 实验准备 数学概念 1. 导数 2. 微分 实验过程与要求: 教师利用多媒体组织教学,边讲边操作示范。 实验的内容: 1、求函数的导数 在Mathematica系统中用D函数求函数的导数，基本格式为： D[f[x],{x,n}] 其中f[x]是以x为自变量的函数或表达式，n为求导的阶数，若省略则系统默认为一阶. 实验 求的导数. 解 In[1]:=D[x^3-4Sin[x]+2ArcTan[x]-9,x] 实验 求的二阶导数. 解 In[2]:=D[Sin[x]/x,{x,2}] 实验 求的导数. 解 In[3]:=D[Exp[ArcTan[Sqrt[x]]],x] 实验 设. 解 In[4]:=f[t_]=(t-Sin[t])/(t+Sin[t]) In[5]:=D[f[t],t] In[6]:=ff[t_]=% （*定义新函数ff*） In[7]:=Simplify[ff[Pi/2]] O 其中%代表上一计算结果. Simplify[表达式]为化简表达式函数，注意括号内的内容为注释内容，上机时不需输入. 2、求函数的微分 在Mathematica系统中用Dt函数求函数的微分，基本格式为： Dt[f[x]] 实验 求的微分. 解 In[8]:=Dt[Sin[2x]] 实验 求sinx的微分. 解 In[9]:= Dt[Exp[2x]-5Sin[x]] 3. 应用实验 ??? 本实验研究咳嗽问题。 人体的肺内压力增加可以引起咳嗽，通常肺内压力增加伴随着人体气管半径的缩小，那么较小半径是促进了还是阻碍了空气在人体气管里的流动？ ?1）问题分析 查找有关流体在圆柱形管子中流动的资料，获得如下物理学的结果： 在单位时间内流体流过管子的体积  （2-1） 这里r表示管子半径，s表示管子长度，p表示管子两端的压力差，q表示流体的粘滞度。 ???? 实验结果表明： 当压力差p增加，且在 内，半径r按照方程r=r0-ap? 减小,其中r为无压力差时的管子半径，a为正的常数。 ???? 我们将人体气管看作一个圆柱形的管子。并用r表示气管半径，s表示气管长度，p表示气管两端的压力差，q表示流体的粘滞度。于是我们可以使用如上的结果。 由于人在咳嗽时气管的压力差增加，因此由实验结果，有r=r0-ap? 在p? 时成立。从r=r0-ap? 解出p，则有  于是可以得到  把得到关系：  ,  代入(2-1)式，有： ?， 由于s和q在咳嗽过程中通常不发生变化，因此上式中的k是常数。于是在咳嗽过程中单位时间内流体流过气管的体积 V只是r的函数，即V=V(r)。为解决本题问题，从考虑V(r)取最大值时r的取值情况着手。由 ? V?(r)= kr3(4r0-5r)=0 得到驻点r1=0（舍去）和 。 V?(r)=4 k r 2 (-5 r + 3 r0)  因此由极值的充分条件，V(r)在r=r2时取得极大值，由于本题在考虑的范围内有唯一极值点，因此V(r)在r=r2也取得最大值。于是有在半径r=时单位时间内流体流过气管的体积最大。由于 说明气管半径缩小可以在单位时间内流体流过的体积最大，从而有利于空气在气管里的流动。因此我们说，咳嗽时气管在一定范围内收缩有助于咳嗽，可以促进气管内空气的流动与气管中异物的快速排出。 ? 2)实验步骤 In[1]:= Clear[v,r] ?????? v[r_]:=k*(r0-r)*r^4 In[2]:= v1=D[v[r],r] Out[2]= -(k r 4) + 4 k r3 (-r + r0) In[3]:= Simplify[v1] Out[3]= k r 3 (-5r + 4r0) In[3]:= Solve[v1==0,r] ??????????????????????????????? Out[3]= {{r -> 0}, {r -> 0}, {r -> 0}, }??????? In[4]:= v2=D[v[r],{r，2}] Out[4]= -8 k r 3 + 12 k r2 (- r + r0) In[5]:= Simplify[v2] Out[5]= 4 k r2 (-5r+ 3r0) ?In[6]:= %/.r->4/5*r0??? Out[6]= ??? 实验 1. 求的导数. 2. 求的导数. 3 . 求的导数. 4. 求的二阶导数. 5. 求的微分.