实验四 用Mathematica软件作导数应用 实验目的: 1. 掌握用Mathematica软件作求函数极大值和极小值的语句和方法。 2. 熟悉软件在建模中应用 实验过程与要求: 教师利用多媒体组织教学,边讲边操作示范。 实验的内容: 一、求函数的极小值 在Mathematica系统中用FindMinimum函数求函数的极小值，基本格式为： FindMinimum [f[x],{x,x0}] 其中x0为初始值，表示求出的是f[x]在x0附近的极小值.因此，一般需借助于Plot函数先作出函数的图像，由图像确定初始值，再利用FindMinimum求出f[x]在x0附近的极小值. 实验1 求的极小值. 解 In[1]:= y=Exp[-x/2]Sin[x] Plot[y,{x,-5,6}] FindMinimum[y,{x,-3}] 图像如图  二、求函数的极大值 因为函数f[x]的图像与函数-f[x]的图像关于x轴是对称的，f[x]取得极大值时，-f[x]正好取得极小值，因此仍用FindMinimum函数求函数的极大值，基本格式为： FindMinimum [-f[x],{x,x0}] 其中x0为初始值，表示求出的是-f[x]在x0附近的极小值，设为W，实际上间接地求出了f[x]在x0附近的极大值，为-W. 实验2 求的极值. 解 In[4]:= y=3x/(1+x^2) Plot[y,{x,-2,2}] FindMinimum[y,{x,0}] In[7]:=FindMinimum[-y,{x,0}] 图像如图  实验一 求下列函数的极值：  建模与实验 问题 一幢楼房的后面是一个很大的花园。在花园中紧靠着楼房有一个温室，温室伸入花园宽2，高，温室正上方是楼房的窗台，清洁工打扫窗台周围，他得用梯子越过温室，一头放在花园中，一头靠在楼房的墙上，因为温室是不能承受梯子压力的，所以梯子太短是不行的，现清洁工只有一架长的梯子，你认为它能达到要求吗？能满足要求的梯子的最短长度为多少？ 二、实验目的 掌握求一元函数极值的驻点法，掌握求极小值的命令并会用它解决一些实际问题。 三、预备知识 一元函数的极值及最值的求法。 求极小值命令提示  在选取的初始点附近求的极小值；  在选取的两个不同的初始点与附近求的极小值，当的微分符号形式求不出时，必须用这种命令命令形式。 四、实验要求 1．动态观测梯子长度随倾角变化的变化。 2．设温室宽为，高为，梯子倾斜的角度为，当梯子与温室顶端A处恰好接触时，梯子的长度只与有关。试写出函数及其定义域。 3. 在环境，先用命令清除的值，再定义函数，并求导。 4.将赋值，画出的图形。注意自变量的范围选取。 5．求驻点，即求方程的根，用语句。 6．用语句直接求的极小值并与（5）的结果比较。 7．取，重新运行程序，结果如何？ 五、实验内容与步骤 1．问题分析与建立模型 问题很容易转化为数学模型： 即： 求函数 在区间的最小值。因，所以可用手算得唯一稳定点 从而得梯子的最小长度为：  然而代入的值，却使我们无法用手算得到数值结果，故宜上机计算 2．运行以下程序 In[1]：= ； ； ；  3．程序运行结果 4．结果分析 当时，输出表明。即 7米长的梯子是不行的。 当时，运行结果为 。即 7米长的梯子已足够。 练习与思考 梯子长度问题思考 （1）取，在只用6.5长梯子的情况下，温室最多能修建多高？ （2）一条1宽的通道与另一条2宽的通道相交成直角，一个梯子需要水平绕过拐角，试问梯子的最大长度是多少？ 2. 作函数的图形，并验证是否满足拉格朗日定理条件。 3. 求极值。