实验五 用Mathematica软件计算一元函数的积分 实验目的: 1. 掌握用Mathematica软件作求不定积分和定积分语句和方法。 2. 熟悉软件在建模中应用 实验准备： 数学概念 1. 不定积分 2. 定积分 实验过程与要求: 教师利用多媒体组织教学,边讲边操作示范。 实验的内容: 一、利用Mathematica软件包计算不定积分 在Mathematica系统中用Integrate函数求函数的不定积分，基本格式为： Integrate [f[x],?x] 其中f[x]是以x为自变量的函数或表达式. 实验 求. 解 In[1]:= Integrate[x^3-4Sin[x]+2ArcTan[x]-9,x] 注意结果中省略了常数C. 实验 求. 解 In[2]:= Integrate[(x+Sin[x])/(1+Cos[x]),x] 课后实验 用笔算和机算两种方法求下列各积分： （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） 二、求定积分和广义积分 在Mathematica系统中定积分的计算也用Integrate函数，基本格式为： Integrate [f[x],?{x,a,b}] 其中表{x,a,b}中，x为积分变量，a,b分别代表积分下限和上限，当b为∞时，即为广义积分. 实验 求. 解 In[3]:= Integrate[(x^2)Cos[x],{x,0,1}] 实验 求. 解 In[4]:= Integrate[Exp[-2x],{x,0,+Infinity}] Out[4]= 如果要得积分值的近似值，可将N函数作用于上，对于某些已经被证明其原函数不能用初等函数来表示的积分也可直接用Nintegrate求其数值解. 实验 求的近似值. 解 In[5]:= NIntegrate[(x^2)Cos[x],{x,0,1}] Out[5]= 实验 求的数值解. 解 In[6]:= NIntegrate[Sin[x]/x,{x,0,1}] Out[6]= 实验 三、应用实验 ?? 本实验研究转售机器的最佳时间问题 人们使用机器从事生产是为获得更大的利润。通常是把购买的机器使用一段时间后再转售出去买更好的机器。那么一台机器使用多少时间再转售出去才能获得最大的利润是使用机器者最想知道的。现有一种机器由于折旧等因素其转售价格R(t)服从如下函数关系（元），这里t是时间，单位是周，A是机器的最初价格。此外，还知道在任何时间t,机器开动就能产生的利润，问该机器使用了多长时间后转售出去能使总利润最大？最大利润是多少？机器卖了多少钱？ 1)问题分析 ??? 设机器总共使用了x周，总收入为S(x)。因为总收入S(x)为使用和卖出机器获得的利润之和。由题意当机器使用了x周卖出后，获得的转售利润为，使用机器创造的利润为，因此有总收入  于是问题变为求函数S(x)在区间 (0,+?)最大值问题。对函数S(x)在求导  求出函数S(x)在区间(0,+?)的驻点，然后进行讨论即可。如果S(x)在 x1取得最大值，则有总最大利润为S(x1)，最大利润为S(x1)-A,机器卖的钱数为。 2）实验步骤 In[1]:=? s[x_]:=3a/4*Exp[-x/96]+Integrate[a/4*Exp[-t/48],{t,0,x}] In[2]:=? D[s[x],x] Out[2]=  In[3]:= Exp[x/48-x/96]==128/4 Out[3]= E x/96 ??== 32 In[4]:= x1=96*Log[32] Out[4]= 96 Log[32]? In[5]:= D[s[x],{x,2}]/.x->x1 Out[5]=? -a/393216 In[6]:= x1//N Out[6]= 332.711 In[7]:= ?s[x1]//N Out[7]=? 12.0117 a In[8]:=? p=s[x1]-a//N Out[8]= 11.9883 a In[9]:= 3a/4*Exp[-x1/96] Out[9]=  ???? 由计算结果可知，驻点x1=96ln32。函数S?(x1)= -a/393216<0,(因为a>0),因此S (x)在x1取得最大值。在使用时间为x1=96ln32?333周获得最大总利润约为12.0117 a，最大利润越为11.9883 a，机器卖了元钱。