三、换面法的四个基本作图
四、应用及举例
一、投影变换及换面法的基本概念
二、点的换面作图规则
返回
第三章 投影变换 —— 换面法
a’
a b
b’
两点之间距离
a’
a b
b’
c’
c
三角形实形
a’
a b
b’
c’
c d
d’
直线 与平面的交点
求解距离、夹角、实形、交点的最佳投影分析
a’
b’
c’
d’
a b
c d
两平面夹角
返回
一, 换面法的基本概念
a1'
c1 '
b1' V1
c1'
b1' a1'
X1 X
1
换面法 — 空间几何元素的位置保持不动，用新的投影面
来代替旧的投影面，使对新投影面的相对位置变成有利
解题的位置，然后找出其在新投影面上的投影。
V/H 体系变为 V1/H 体系
旧面
新面
不变面
旧轴
新轴
返回
1,点的一次变换
X1
V1
a1 '
返回
二、点的换面及规律
a2
2,点的两次变换
a2
返回
新
不变
旧
旧
新
不变
X2
V1 H2
新与旧是相对的
水平书写好
X2
a'
1,把一般位置直线变为 投影面平行线
2,把 一般位置直线 变为 投影面垂直线
3,把一般位置平 面 变为 投影面垂直面
4,把一般位置平 面 变为 投影面平行面
三、换面法的四个基本作图
返回
V
H
A
B
a?
b?
a
b
1,把一般位置直线变换成投影面平行线
用 P1面代替 V面，在 P1/H投影体系中,AB//P1。
X1 H P
1
P1 a
1?
b1?
空间分析,
换 H面行吗？ 不行！
作图,
例：求直线 AB的实长及与 H面的夹角。
a?
b?
a
b
X V
H
新投影轴的位置？
a1? ● b1? ●
与 ab平行。
?
,
a1? ● b
1?
●
V
H
a?
a X
B
b?
b
A
2,把一般位置直线变换成投影面垂直线
空间分析,
a?
b?
a
b
X V H
X1
H1
P1
作图,
X1
P1
a1?
b1?
X2
P2
二次换面把投影面平行线变成投影面垂直线 。
X2轴的位置？
?
a2?b2 ax2
a2?b2 ?
,
与 a1 ? b1 ?垂直
一次换面把直线变成投影面平行线；
一般位置直线变换
成投影面垂直线，需经
几次变换？
a? b?
c?
a b
c
d
V
H
A
B
C
D
X
d?
3,把一般位置平面变换成投影面垂直面
如果把平面内的一条直线变换成新投影面的垂
直线，那么该平面则变换成新投影面的垂直面。
P1
X1
c1?
b1?
a1? ?d1
空间分析,
在平面内 取一条
投影面平行线,经一
次换面后变换成新投
影面的垂直线，则该
平面变成新投影面的
垂直面。
作图方法,
两平面垂直需满足什么条件？
能否只进行一次变换？
思考,
若变换 H面，需在面
内取什么位置直线？
正平线！
α
a?
b?
c?
a
c
b
X V H
例：把 三角形 ABC变 换 成投影面垂直面。
H
P1 X1
作 图 过 程,
★ 在平面内取一条水平
线 AD。
d?
d
★ 将 AD变换成新投影
面的垂直线。
b1? ● a1? ?d1 ● c1? ● 反映平面对哪个投影面的夹角？
,
a1 ? ?b1
●
需经几次变换？ 一次换面,把一般位置平面变换成新投影面的垂直面；
二次换面，再变换成新投影面的平行面。
4,把一般位置平面变换成投影面平行面
a
b
a?
c?
b?
X V H
c
作 图,AB是水平 线
空间分析,
a2
●
c2 ●
b2 ●
c1 ? ●
X2轴 的位置？
平面的实形
,
X1
H P
1
,
与其平行
b1' ?
距离
d
d1'
X1
H
V1
X2
V1 H2 c2
?
d?
例 1：求点 C到直线 AB的距离，并求垂足 D。
c
c? b?
a?
a
b
X V
H
?
?
四、换面法的应用
如下图：当直线 AB
垂直于投影面时,CD平
行于投影面，其投影反映
实长。 A
P
B
D
C
c
a?b?d
作图,
求 C点到直线 AB的距离，
就是求垂线 CD的实长。
空间及投影分析,
c1' ?
a1' ? a2?b2?d2 ?
过 c1作线平行于 x2轴。
,
.,
如何确定 d1
点的位置？
a2b2 d2
c2
d1' c1'
11'
21'
2
1
b'
2'
1'
12 22
例 2,求两直线 AB与 CD的公垂线 。
X2
V1 H2
返回
空间及投影分析, AB与 CD都平行于投影面时，其投影
的夹角才反映实大（ 60° ），因此需将 AB与 C点所确定的
平面变换成投影面平行面。
例 3,过 C点作直线 CD与 AB相交成 60o角。
d?
X1
H V1 X
2
V1
H2
a
b
a?
c?
b?
X V H
c
作 图,
c2 ●
●
●
c1' ●
a'1?b'1 ●
a2 ●
d2
● d
●
b2 ●
几个解？
两个解！
已知点 C是等边三角形的顶点，另两个顶点在直线 AB上，
求等边三角形的投影。 （用基本法和换面法分别求解）
思考,
如何解？
解法相同！
60°
D点的投影
如何返回？
,
,
例 4 已知 E点 在平面 ABC上，距离 A,B为 15，求点 E的投影 。
d?
d
a2?
c2?
b2?
d2
15
e
e?
e1
e2?
小 结
本章主要介绍了投影变换的一种常用方法
—— 换面法 。
一,换面法就是 改变投影面的位置,使它与所给物
体或其几何元素处于 解题所需的特殊位置 。
二,换面法的关键是要注意 新投影面的选择条件,
即必须使 新投影面与某一原投面保持垂直关系,
同时又有利于解题需要，这样才能使正投影规
律继续有效。
三,点的变换规律是换面法的作图基础,四个基本
问题是解题的基本作图方法，必需熟练掌握。
换面法的四个基本问题,
2,把一般位置直线变成投影面垂直线
1,把一般位置直线变成投影面平行线
3,把一般位置平面变成投影面垂直面
4,把一般位置平面变成投影面平行面
变换一次投影面
变换一次投影面
变换两次投影面
变换两次投影面
需先在面内作一条投影面平行线
四、解题时一般要注意下面几个问题,
⒈ 分析已给条件的空间情况，弄清原始条件中 物体
与原投影面的相对位置,并把这些条件抽象成几
何元素（点、线、面等）。
⒉ 根据要求得到的结果，确定出有关几何元素 对新
投影面应处于什么样的特殊位置 （垂直或平行）,
据此选择正确的解题思路与方法。
⒊ 在具体作图过程中，要注意新投影与原投影在变
换前后的关系,既要在新投影体系中正确无误地
求得结果，又能将结果 返回到原投影体系中去。
4,涉及直线与平面垂直、两平面垂直问题，不要求掌握，可
以自学。
看书,P41~P47 作业,3－ 4,8,9,10,11,12
四、应用及举例
一、投影变换及换面法的基本概念
二、点的换面作图规则
返回
第三章 投影变换 —— 换面法
a’
a b
b’
两点之间距离
a’
a b
b’
c’
c
三角形实形
a’
a b
b’
c’
c d
d’
直线 与平面的交点
求解距离、夹角、实形、交点的最佳投影分析
a’
b’
c’
d’
a b
c d
两平面夹角
返回
一, 换面法的基本概念
a1'
c1 '
b1' V1
c1'
b1' a1'
X1 X
1
换面法 — 空间几何元素的位置保持不动，用新的投影面
来代替旧的投影面，使对新投影面的相对位置变成有利
解题的位置，然后找出其在新投影面上的投影。
V/H 体系变为 V1/H 体系
旧面
新面
不变面
旧轴
新轴
返回
1,点的一次变换
X1
V1
a1 '
返回
二、点的换面及规律
a2
2,点的两次变换
a2
返回
新
不变
旧
旧
新
不变
X2
V1 H2
新与旧是相对的
水平书写好
X2
a'
1,把一般位置直线变为 投影面平行线
2,把 一般位置直线 变为 投影面垂直线
3,把一般位置平 面 变为 投影面垂直面
4,把一般位置平 面 变为 投影面平行面
三、换面法的四个基本作图
返回
V
H
A
B
a?
b?
a
b
1,把一般位置直线变换成投影面平行线
用 P1面代替 V面，在 P1/H投影体系中,AB//P1。
X1 H P
1
P1 a
1?
b1?
空间分析,
换 H面行吗？ 不行！
作图,
例：求直线 AB的实长及与 H面的夹角。
a?
b?
a
b
X V
H
新投影轴的位置？
a1? ● b1? ●
与 ab平行。
?
,
a1? ● b
1?
●
V
H
a?
a X
B
b?
b
A
2,把一般位置直线变换成投影面垂直线
空间分析,
a?
b?
a
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X V H
X1
H1
P1
作图,
X1
P1
a1?
b1?
X2
P2
二次换面把投影面平行线变成投影面垂直线 。
X2轴的位置？
?
a2?b2 ax2
a2?b2 ?
,
与 a1 ? b1 ?垂直
一次换面把直线变成投影面平行线；
一般位置直线变换
成投影面垂直线，需经
几次变换？
a? b?
c?
a b
c
d
V
H
A
B
C
D
X
d?
3,把一般位置平面变换成投影面垂直面
如果把平面内的一条直线变换成新投影面的垂
直线，那么该平面则变换成新投影面的垂直面。
P1
X1
c1?
b1?
a1? ?d1
空间分析,
在平面内 取一条
投影面平行线,经一
次换面后变换成新投
影面的垂直线，则该
平面变成新投影面的
垂直面。
作图方法,
两平面垂直需满足什么条件？
能否只进行一次变换？
思考,
若变换 H面，需在面
内取什么位置直线？
正平线！
α
a?
b?
c?
a
c
b
X V H
例：把 三角形 ABC变 换 成投影面垂直面。
H
P1 X1
作 图 过 程,
★ 在平面内取一条水平
线 AD。
d?
d
★ 将 AD变换成新投影
面的垂直线。
b1? ● a1? ?d1 ● c1? ● 反映平面对哪个投影面的夹角？
,
a1 ? ?b1
●
需经几次变换？ 一次换面,把一般位置平面变换成新投影面的垂直面；
二次换面，再变换成新投影面的平行面。
4,把一般位置平面变换成投影面平行面
a
b
a?
c?
b?
X V H
c
作 图,AB是水平 线
空间分析,
a2
●
c2 ●
b2 ●
c1 ? ●
X2轴 的位置？
平面的实形
,
X1
H P
1
,
与其平行
b1' ?
距离
d
d1'
X1
H
V1
X2
V1 H2 c2
?
d?
例 1：求点 C到直线 AB的距离，并求垂足 D。
c
c? b?
a?
a
b
X V
H
?
?
四、换面法的应用
如下图：当直线 AB
垂直于投影面时,CD平
行于投影面，其投影反映
实长。 A
P
B
D
C
c
a?b?d
作图,
求 C点到直线 AB的距离，
就是求垂线 CD的实长。
空间及投影分析,
c1' ?
a1' ? a2?b2?d2 ?
过 c1作线平行于 x2轴。
,
.,
如何确定 d1
点的位置？
a2b2 d2
c2
d1' c1'
11'
21'
2
1
b'
2'
1'
12 22
例 2,求两直线 AB与 CD的公垂线 。
X2
V1 H2
返回
空间及投影分析, AB与 CD都平行于投影面时，其投影
的夹角才反映实大（ 60° ），因此需将 AB与 C点所确定的
平面变换成投影面平行面。
例 3,过 C点作直线 CD与 AB相交成 60o角。
d?
X1
H V1 X
2
V1
H2
a
b
a?
c?
b?
X V H
c
作 图,
c2 ●
●
●
c1' ●
a'1?b'1 ●
a2 ●
d2
● d
●
b2 ●
几个解？
两个解！
已知点 C是等边三角形的顶点，另两个顶点在直线 AB上，
求等边三角形的投影。 （用基本法和换面法分别求解）
思考,
如何解？
解法相同！
60°
D点的投影
如何返回？
,
,
例 4 已知 E点 在平面 ABC上，距离 A,B为 15，求点 E的投影 。
d?
d
a2?
c2?
b2?
d2
15
e
e?
e1
e2?
小 结
本章主要介绍了投影变换的一种常用方法
—— 换面法 。
一,换面法就是 改变投影面的位置,使它与所给物
体或其几何元素处于 解题所需的特殊位置 。
二,换面法的关键是要注意 新投影面的选择条件,
即必须使 新投影面与某一原投面保持垂直关系,
同时又有利于解题需要，这样才能使正投影规
律继续有效。
三,点的变换规律是换面法的作图基础,四个基本
问题是解题的基本作图方法，必需熟练掌握。
换面法的四个基本问题,
2,把一般位置直线变成投影面垂直线
1,把一般位置直线变成投影面平行线
3,把一般位置平面变成投影面垂直面
4,把一般位置平面变成投影面平行面
变换一次投影面
变换一次投影面
变换两次投影面
变换两次投影面
需先在面内作一条投影面平行线
四、解题时一般要注意下面几个问题,
⒈ 分析已给条件的空间情况，弄清原始条件中 物体
与原投影面的相对位置,并把这些条件抽象成几
何元素（点、线、面等）。
⒉ 根据要求得到的结果，确定出有关几何元素 对新
投影面应处于什么样的特殊位置 （垂直或平行）,
据此选择正确的解题思路与方法。
⒊ 在具体作图过程中，要注意新投影与原投影在变
换前后的关系,既要在新投影体系中正确无误地
求得结果，又能将结果 返回到原投影体系中去。
4,涉及直线与平面垂直、两平面垂直问题，不要求掌握，可
以自学。
看书,P41~P47 作业,3－ 4,8,9,10,11,12
