五、两直线的相对位置
空间两直线的相对位置分为,
平行, 相交, 交叉 (错 ),垂直
⒈ 两直线平行
投影特性,
空间两直线平
行，则其各 同名投
影 必相互平行，反
之亦然。 a
V
H
c?
b
c
d
A
B
C D
b? d?
a?
x
a
b
c
d
c?
a?
b?
d?
例 1：判断图中两条直线是否平行。
对于一般位置直
线，只要有两个同名
投影互相平行，空间
两直线就平行。
AB//CD
①
x
b? d?
c?
a?
c
b
a d
d?
b?
a?
c? 对于特殊位置直线，
只有两个同名投影互相
平行，空间直线不一定
平行。
求出侧面投影后可知,
AB与 CD不平行。
例 2：判断图中两条直线是否平行。
②
求出侧面投影
如何判断？
H
V
A B
C
D K
a
b c
d
k
a?
b? c? k?
d?
a
b c
d
b?
a?
c?
d?
k
k?
⒉ 两直线相交
判别方法,
若空间两直线相交,则其同名投影必
相交，且交点的投影必符合空间一点的投
影规律 。
交点是两直
线的共有点
x
x
o
o
●
●
c
a
b
b?
a?
c? d? k?
k
d
例 3：过 C点 作水平线 CD与 AB相交。
先作正面投影
o x
思考：如果给出 CD的长度，解题
过程有何变化？
d?
b?
a?
a
b
c
d
c'
1?(2? )
3(4 )
⒊ 两直线交叉
投影特性,
★ 同名投影可能相交，
但,交点” 不符合空间
一个点的投影规律 。
★,交点” 是两直线上
的一 对 重影点的投影,
用其可帮助判断两直线
的空间位置。
●
●
Ⅰ, Ⅱ 是Ｖ面的重影点，
Ⅲ, Ⅳ 是 H面的重影点。
为什么？
1
2 ●
●
3?
4? ●
● 两直线相交吗？
⒋ 两直线垂直相交（或垂直交叉）
定理：相互垂直的两直线，其中有一条直线平行于投
影面时，则两直线在该投影面上的投影仍反映直角 。
设 直角边 BC//H面
因 BC⊥ AB
BC⊥ Bb
所以 BC⊥ ABba平面
直线在 H面上的
投影互相垂直
即 ∠ abc为直角
因此 bc⊥ ab
故 bc ⊥ ABba平面
BC∥ bc A
B
C
a
b
c
H
a? c?
b?
a
b
c
,
证明,
x
垂直相交的两直线的投影
投影特性, a'b'∥ ox,∠ bac＝ 90°
A
B
C x o
b c
a
c
a b
c a b
返回
AB垂直于 AC,且 AB平行于 H面,则有 ab ? ac
交叉垂直的两直线的投影
例 4 过点 A作 EF线段的垂线 AB
b
b′
返回
x o
e′
f′
a′
e
f
a
例 5 以最短线 KM连接 AB，确定 M点，并求出
KM实长。
a b
a
b
k
k
a b
a
b
k
k
a b
a
b
k
k
m
m
M0
LKM
m
m
X X X
返回
例 6 过点 E作线段 AB,CD的公垂线 EF。
返回
f′
e
x o
a′
b′
c′ d′
e′
a b
c
d
f
b?
[例题 7] 作三角形 ABC,?ABC为直角，使 BC在 MN
上，且 BC?AB =2?3。
b c
AB
a?b?
|yA-yB|
b?c?=BC
c?
a?
a
小 结
★ 点与直线的投影特性，尤其是 特殊位置
直线的投影特性、直角三角形法 。
★点与直线及两直线的相对位置的判断方
法及投影特性。
★定比定理。
★直角定理，即两直线垂直时的投影特性。
重点掌握,
一、点的投影规律
① a?a⊥ OX轴
② aax= a?az=y=A到 V面的距离
a?ax= a?ay=z=A到 H面的距离
aay= a?az=x=A到 W面的距离
a?a?⊥ OZ轴
二、各种位置直线的投影特性
⒈ 一般位置直线
三个投影与各投影轴都倾斜。
利用直角三角形法求投影、实长、倾角
⒉ 投影面平行线
在其平行的投影面上的投影反映线段实长
及与相应投影面的夹角。另两个投影平行于相
应的投影轴。
⒊ 投影面垂直线
在其垂直的投影面上的投影积聚为一点。
另两个投影反映实长且垂直于相应的投影轴。
三、直线上的点
⒈ 点的投影在直线的同名投影上。
⒉ 点分线段成定比，点的投影必分线段的投影
成定比 ——定比定理。
四、两直线的相对位置
⒈ 平行
⒉ 相交
⒊ 交叉（交错）
同名投影互相平行。
同名投影相交，交点是两直线的共有点，
且符合空间一个点的投影规律。
同名投影可能相交，但“交点”不符合空
间一个点的投影规律。“交点”是两直线上一
对重影点的投影。
五、相互垂直的两直线的投影特性
⒈ 两直线同时平行于某一投影面时，在该
投影面上的投影反映直角。
⒉ 两直线中有一条平行于某一投影面时,
在该投影面上的投影反映直角。
⒊ 两直线均为一般位置直线时,
在三个投影面上的投影都不
反映直角。
直角定理
空间两直线的相对位置分为,
平行, 相交, 交叉 (错 ),垂直
⒈ 两直线平行
投影特性,
空间两直线平
行，则其各 同名投
影 必相互平行，反
之亦然。 a
V
H
c?
b
c
d
A
B
C D
b? d?
a?
x
a
b
c
d
c?
a?
b?
d?
例 1：判断图中两条直线是否平行。
对于一般位置直
线，只要有两个同名
投影互相平行，空间
两直线就平行。
AB//CD
①
x
b? d?
c?
a?
c
b
a d
d?
b?
a?
c? 对于特殊位置直线，
只有两个同名投影互相
平行，空间直线不一定
平行。
求出侧面投影后可知,
AB与 CD不平行。
例 2：判断图中两条直线是否平行。
②
求出侧面投影
如何判断？
H
V
A B
C
D K
a
b c
d
k
a?
b? c? k?
d?
a
b c
d
b?
a?
c?
d?
k
k?
⒉ 两直线相交
判别方法,
若空间两直线相交,则其同名投影必
相交，且交点的投影必符合空间一点的投
影规律 。
交点是两直
线的共有点
x
x
o
o
●
●
c
a
b
b?
a?
c? d? k?
k
d
例 3：过 C点 作水平线 CD与 AB相交。
先作正面投影
o x
思考：如果给出 CD的长度，解题
过程有何变化？
d?
b?
a?
a
b
c
d
c'
1?(2? )
3(4 )
⒊ 两直线交叉
投影特性,
★ 同名投影可能相交，
但,交点” 不符合空间
一个点的投影规律 。
★,交点” 是两直线上
的一 对 重影点的投影,
用其可帮助判断两直线
的空间位置。
●
●
Ⅰ, Ⅱ 是Ｖ面的重影点，
Ⅲ, Ⅳ 是 H面的重影点。
为什么？
1
2 ●
●
3?
4? ●
● 两直线相交吗？
⒋ 两直线垂直相交（或垂直交叉）
定理：相互垂直的两直线，其中有一条直线平行于投
影面时，则两直线在该投影面上的投影仍反映直角 。
设 直角边 BC//H面
因 BC⊥ AB
BC⊥ Bb
所以 BC⊥ ABba平面
直线在 H面上的
投影互相垂直
即 ∠ abc为直角
因此 bc⊥ ab
故 bc ⊥ ABba平面
BC∥ bc A
B
C
a
b
c
H
a? c?
b?
a
b
c
,
证明,
x
垂直相交的两直线的投影
投影特性, a'b'∥ ox,∠ bac＝ 90°
A
B
C x o
b c
a
c
a b
c a b
返回
AB垂直于 AC,且 AB平行于 H面,则有 ab ? ac
交叉垂直的两直线的投影
例 4 过点 A作 EF线段的垂线 AB
b
b′
返回
x o
e′
f′
a′
e
f
a
例 5 以最短线 KM连接 AB，确定 M点，并求出
KM实长。
a b
a
b
k
k
a b
a
b
k
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a b
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k
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m
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M0
LKM
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X X X
返回
例 6 过点 E作线段 AB,CD的公垂线 EF。
返回
f′
e
x o
a′
b′
c′ d′
e′
a b
c
d
f
b?
[例题 7] 作三角形 ABC,?ABC为直角，使 BC在 MN
上，且 BC?AB =2?3。
b c
AB
a?b?
|yA-yB|
b?c?=BC
c?
a?
a
小 结
★ 点与直线的投影特性，尤其是 特殊位置
直线的投影特性、直角三角形法 。
★点与直线及两直线的相对位置的判断方
法及投影特性。
★定比定理。
★直角定理，即两直线垂直时的投影特性。
重点掌握,
一、点的投影规律
① a?a⊥ OX轴
② aax= a?az=y=A到 V面的距离
a?ax= a?ay=z=A到 H面的距离
aay= a?az=x=A到 W面的距离
a?a?⊥ OZ轴
二、各种位置直线的投影特性
⒈ 一般位置直线
三个投影与各投影轴都倾斜。
利用直角三角形法求投影、实长、倾角
⒉ 投影面平行线
在其平行的投影面上的投影反映线段实长
及与相应投影面的夹角。另两个投影平行于相
应的投影轴。
⒊ 投影面垂直线
在其垂直的投影面上的投影积聚为一点。
另两个投影反映实长且垂直于相应的投影轴。
三、直线上的点
⒈ 点的投影在直线的同名投影上。
⒉ 点分线段成定比，点的投影必分线段的投影
成定比 ——定比定理。
四、两直线的相对位置
⒈ 平行
⒉ 相交
⒊ 交叉（交错）
同名投影互相平行。
同名投影相交，交点是两直线的共有点，
且符合空间一个点的投影规律。
同名投影可能相交，但“交点”不符合空
间一个点的投影规律。“交点”是两直线上一
对重影点的投影。
五、相互垂直的两直线的投影特性
⒈ 两直线同时平行于某一投影面时，在该
投影面上的投影反映直角。
⒉ 两直线中有一条平行于某一投影面时,
在该投影面上的投影反映直角。
⒊ 两直线均为一般位置直线时,
在三个投影面上的投影都不
反映直角。
直角定理
