第三章 换面法
一、问题的提出
★ 如何求一般位置直线的实长？
★ 如何求一般位置平面的真实大小？
换 面 法,
物体本身在空间的位置不动，而用某
一新投影面（辅助投影面）代替原有投影
面，使 物体相对新的投影面处于解题所需
要的有利位置,然后将物体向新投影面进
行投射。
解决方法：更换投影面。
V
H
A
B
a?
b?
a
b
二、新投影面的选择原则
1,新投影面必须对空间物体处于 最有利的解
题位置。
? 平行于新的投影面
? 垂直于新的投影面
2,新投影面必须 垂直于 某一保留的原投影面,
以构成一个相互垂直的两投影面的新体系。
P
a1'
b1'
V
H
A a?
a
?
?
?
ax
X
?
?
⒈ 更换一次投影面
? 旧投影体系 X — V H ? 新投影体系 P1 H X1 —
A点的两个投影,a,a? A点的两个投影,a,a1 ?
⑴ 新投影体系的建立
三、点的投影变换规律
X1
P1
a1'
ax1
?
?
?
?
? V
H X
P1 H
X1
a?
a
a1'
?
ax
ax1,
ax1
?
?
? V
H X
P1 H
X1
a?
a
a1' V
H
A
a
?
?
?
ax
X
X1
P1
a1'
ax1
?
⑵ 新旧投影之间的关系
? aa1? ? X1
? a1?ax1 = a?ax
? 点的新投影到新投影轴的距离等于被代替的投影
到原投影轴的距离。
ax a?
? ?
?
?
一般规律,
? 点的新投影和与它有关的原投影的连线，必垂直
于新投影轴。
,
?
?
X V H
a
a?
ax
更换 H面
⑶ 求新投影的作图方法
?
?
V
H X
P1 H
X1
由点的不变投影向新投影轴作垂线，
并在垂线上量取一段距离，使这段距离等
于被代替的投影到原投影轴的距离。
a
a?
X1 P1
V ? a1 ?
ax ax1
ax1
更换 V面
● a1 ?
作图规律,
?
?
,
,
⒉ 更换两次投影面
先把 V面换成平面 P1,P1?H，得到中间新投影体系, P1 H X1 —
再把 H面换成平面 P2,P2? P1，得到新投影体系, X2 — P1 P
2
⑴ 新投影体系的建立
按次序更换
A
a
V
H
a?
ax
X
X1
P1
a1?
ax1
?
P2
X2
?
?
?
ax2 a2
?
?
? ?
?
?
?
ax2
?
a?
a
X V H
?
⑵ 求新投影的作图方法
? a2
X1
H
P1 X2 P1
P2
作图规律
a2a1? ? X2 轴
a2ax2 = aax1
a1? ?
ax
ax1
?
,
,
V
H
A
B
a?
b?
a
b
四、换面法的四个基本问题
1,把一般位置直线变换成投影面平行线
用 P1面代替 V面，在 P1/H投影体系中,AB//P1。
X1 H P
1
P1 a
1?
b1?
空间分析,
换 H面行吗？ 不行！
作图,
例：求直线 AB的实长及与 H面的夹角。
a?
b?
a
b
X V
H
新投影轴的位置？
a1? ● b1? ●
与 ab平行。
?
,
a1? ● b
1?
●
V
H
a?
a X
B
b?
b
A
2,把一般位置直线变换成投影面垂直线
空间分析,
a?
b?
a
b
X V H
X1
H1
P1
作图,
X1
P1
a1?
b1?
X2
P2
二次换面把投影面平行线变成投影面垂直线 。
X2轴的位置？
?
a2?b2 ax2
a2?b2 ?
,
与 a1 ? b1 ?垂直
一次换面把直线变成投影面平行线；
小 结
本章主要介绍了投影变换的一种常用方法
—— 换面法 。
一,换面法就是 改变投影面的位置,使它与所给物
体或其几何元素处于 解题所需的特殊位置 。
二,换面法的关键是要注意 新投影面的选择条件,
即必须使 新投影面与某一原投面保持垂直关系,
同时又有利于解题需要，这样才能使正投影规
律继续有效。
三,点的变换规律是换面法的作图基础,四个基本
问题是解题的基本作图方法，必需熟练掌握。
换面法的四个基本问题,
2,把一般位置直线变成投影面垂直线
1,把一般位置直线变成投影面平行线
3,把一般位置平面变成投影面垂直面
4,把一般位置平面变成投影面平行面
变换一次投影面
变换一次投影面
变换两次投影面
变换两次投影面
需先在面内作一条投影面平行线
四、解题时一般要注意下面几个问题,
⒈ 分析已给条件的空间情况，弄清原始条件中
物体与原投影面的相对位置,并把这些条件
抽象成几何元素（点、线、面等）。
⒉ 根据要求得到的结果，确定出有关几何元
素 对新投影面应处于什么样的特殊位置 （垂
直或平行），据此选择正确的解题思路与方
法。
⒊ 在具体作图过程中，要注意新投影与原投影
在变换前后的关系,既要在新投影体系中正
确无误地求得结果，又能将结果 返回到原投
影体系中去。
一、问题的提出
★ 如何求一般位置直线的实长？
★ 如何求一般位置平面的真实大小？
换 面 法,
物体本身在空间的位置不动，而用某
一新投影面（辅助投影面）代替原有投影
面，使 物体相对新的投影面处于解题所需
要的有利位置,然后将物体向新投影面进
行投射。
解决方法：更换投影面。
V
H
A
B
a?
b?
a
b
二、新投影面的选择原则
1,新投影面必须对空间物体处于 最有利的解
题位置。
? 平行于新的投影面
? 垂直于新的投影面
2,新投影面必须 垂直于 某一保留的原投影面,
以构成一个相互垂直的两投影面的新体系。
P
a1'
b1'
V
H
A a?
a
?
?
?
ax
X
?
?
⒈ 更换一次投影面
? 旧投影体系 X — V H ? 新投影体系 P1 H X1 —
A点的两个投影,a,a? A点的两个投影,a,a1 ?
⑴ 新投影体系的建立
三、点的投影变换规律
X1
P1
a1'
ax1
?
?
?
?
? V
H X
P1 H
X1
a?
a
a1'
?
ax
ax1,
ax1
?
?
? V
H X
P1 H
X1
a?
a
a1' V
H
A
a
?
?
?
ax
X
X1
P1
a1'
ax1
?
⑵ 新旧投影之间的关系
? aa1? ? X1
? a1?ax1 = a?ax
? 点的新投影到新投影轴的距离等于被代替的投影
到原投影轴的距离。
ax a?
? ?
?
?
一般规律,
? 点的新投影和与它有关的原投影的连线，必垂直
于新投影轴。
,
?
?
X V H
a
a?
ax
更换 H面
⑶ 求新投影的作图方法
?
?
V
H X
P1 H
X1
由点的不变投影向新投影轴作垂线，
并在垂线上量取一段距离，使这段距离等
于被代替的投影到原投影轴的距离。
a
a?
X1 P1
V ? a1 ?
ax ax1
ax1
更换 V面
● a1 ?
作图规律,
?
?
,
,
⒉ 更换两次投影面
先把 V面换成平面 P1,P1?H，得到中间新投影体系, P1 H X1 —
再把 H面换成平面 P2,P2? P1，得到新投影体系, X2 — P1 P
2
⑴ 新投影体系的建立
按次序更换
A
a
V
H
a?
ax
X
X1
P1
a1?
ax1
?
P2
X2
?
?
?
ax2 a2
?
?
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?
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?
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a
X V H
?
⑵ 求新投影的作图方法
? a2
X1
H
P1 X2 P1
P2
作图规律
a2a1? ? X2 轴
a2ax2 = aax1
a1? ?
ax
ax1
?
,
,
V
H
A
B
a?
b?
a
b
四、换面法的四个基本问题
1,把一般位置直线变换成投影面平行线
用 P1面代替 V面，在 P1/H投影体系中,AB//P1。
X1 H P
1
P1 a
1?
b1?
空间分析,
换 H面行吗？ 不行！
作图,
例：求直线 AB的实长及与 H面的夹角。
a?
b?
a
b
X V
H
新投影轴的位置？
a1? ● b1? ●
与 ab平行。
?
,
a1? ● b
1?
●
V
H
a?
a X
B
b?
b
A
2,把一般位置直线变换成投影面垂直线
空间分析,
a?
b?
a
b
X V H
X1
H1
P1
作图,
X1
P1
a1?
b1?
X2
P2
二次换面把投影面平行线变成投影面垂直线 。
X2轴的位置？
?
a2?b2 ax2
a2?b2 ?
,
与 a1 ? b1 ?垂直
一次换面把直线变成投影面平行线；
小 结
本章主要介绍了投影变换的一种常用方法
—— 换面法 。
一,换面法就是 改变投影面的位置,使它与所给物
体或其几何元素处于 解题所需的特殊位置 。
二,换面法的关键是要注意 新投影面的选择条件,
即必须使 新投影面与某一原投面保持垂直关系,
同时又有利于解题需要，这样才能使正投影规
律继续有效。
三,点的变换规律是换面法的作图基础,四个基本
问题是解题的基本作图方法，必需熟练掌握。
换面法的四个基本问题,
2,把一般位置直线变成投影面垂直线
1,把一般位置直线变成投影面平行线
3,把一般位置平面变成投影面垂直面
4,把一般位置平面变成投影面平行面
变换一次投影面
变换一次投影面
变换两次投影面
变换两次投影面
需先在面内作一条投影面平行线
四、解题时一般要注意下面几个问题,
⒈ 分析已给条件的空间情况，弄清原始条件中
物体与原投影面的相对位置,并把这些条件
抽象成几何元素（点、线、面等）。
⒉ 根据要求得到的结果，确定出有关几何元
素 对新投影面应处于什么样的特殊位置 （垂
直或平行），据此选择正确的解题思路与方
法。
⒊ 在具体作图过程中，要注意新投影与原投影
在变换前后的关系,既要在新投影体系中正
确无误地求得结果，又能将结果 返回到原投
影体系中去。
