第二章 直线与平面及两平面的相对位置
相对位置包括 平行, 相交 和 垂直。
第一节 平行问题
直线与平面平行
平面与平面平行
包
括
一,直线与平面平行
若一直线平行于平面上的某一直
线，则该直线与此平面必相互平行。
正平线
例 1：过 M点作直线 MN平行于 V面和平面
ABC。
c?
●
●
b?
a? m?
a
b
c
m n
唯一解
n?
x o
二,两平面平行
① 若一平面上的 两相
交直线 对应平行于另
一平面上的 两相交直
线,则这两平面相互
平行。
② 若两 投影面垂直面
相互平行，则它们 具
有积聚性 的那组投影
必相互平行。
f?
h?
a b c
d
e
f h
a?
b?
c?
d?
e?
c?
f? b?
d?
e?
a?
a
b
c
d e
f
o
o
x
x
[例 2] 已知定平面由平行两直线 AB和 CD给定。试过点 K
作一平面平行于已知平面 。
e
m? n?
m
n
f? e?
f s
r?
s?
r
k?
k
第二节 相交问题
直线与平面相交
平面与平面相交
一,直线与平面相交
交点是直线与平面的 共有点
交点是直线可见与不可见的 分界点 。
● 求 直线与平面的 交点。
● 判别两者之间的相互遮挡关系，即 判别可
见性。
a b
c m
n
c?
n? b?
a?
m?
⑴ 平面为特殊位置
例 3 求直线 MN与平面 ABC的交点 K并判别可见性。
空间及投影分析
平面 ABC是一铅垂面，
其水平投影积聚成一条直
线，该直线与 mn的交点即
为 K点的水平投影。
① 求交点
② 判别可见性
由水平投影可知,KN
段在平面前，故正面投
影上 k?n?为可见。
还可通过重影点判别可见性。
k? ● 1?
(2?)
作 图
k
●
●
2 ●
1 ●
x
k
m(n)
b
●
m?
n?
c?
b?
a?
a
c
⑵ 直线为特殊位置
空间及投影分析
直线 MN为铅垂线，其
水平投影积聚成一个点，
故交点 K的水平投影也积聚
在该点上。
① 求交点
② 判别可见性
点 Ⅰ 位于平面上，在
前；点 Ⅱ 位于 MN上，在
后。故 k? 2?为不可见。
1?(2?)
k? ●
2 ●
1 ●
●
作图 用面上取点法 x
二,两平面相交 （利用积聚性求交线）
两平面相交其交线为直线,交线是两平
面的共有线,同时 交线上的点都是两平面的
共有点。
要解决的问题,
① 求 两平面的 交线
方法,⑴ 确定两平面的 两个共有点。
⑵ 确定 一个共有点及交线的方向。
② 判别两平面之间的相互遮挡关系，即,
判别可见性。
M
平面与平面相交
两平面的交线是一条直线，这条直线为两平面所共有
F
K
N
L
可通过正面投影
直观地进行判别。
a
b
c
d
e
f
c?
f?
d
b? e? a?
m?(n?)
空间及投影分析
平面 ABC与 DEF都
为 正垂面,它们的正面投
影都积聚成直线。 交线必
为一条正垂线, 只要求得
交线上的一个点便可作出
交线的投影。
① 求交线
② 判别可见性
作 图
从正面投影上可看出，
在交线左侧，平面 ABC
在上，其水平投影可见。
n ●
m ●
●
能否不用重
影点判别？ 能 !
如何判别？
例 4：求两平面的交线
MN并判别可见性。
⑴
b?
c?
f? h?
a?
e?
a
b
c
e
f
h
1(2)
空间及投影分析
平面 EFH是一水平面，它的
正面投影有积聚性。 a?b?与 e?f?
的交点 m?, b? c?与 f ?h?的交点
n?即为两个共有点的正面投影，
故 m?n?即 MN的正面投影 。
① 求交线
② 判别可见性
点 Ⅰ 在 FH上，点 Ⅱ 在 BC上，
点 Ⅰ 在上，点 Ⅱ 在下，故 fh
可见,n2不可见。
作 图
m ●
●
n? ●
2? ●
n ●
m? ● 1?
●
例 5 求两平面的交线 MN并判别可见性。
1?
2?
三, 直线与平面相交 （利用 辅助平面法求交点 ）
PV
2
1
k
k?
步骤,
1．过 EF作正
垂平面 P。
2．求 P平面与
ΔABC的交线
ⅠⅡ 。
3．求交线
ⅠⅡ 与 EF的交
点 K。
示意图
1
2
以铅垂面为辅助平面求线面交点 。
PH
1?
步骤,
1．过 EF作铅
垂平面 P。
2．求 P平面与
ΔABC的交线
ⅠⅡ 。
3．求交线
ⅠⅡ 与 EF的交
点 K。
k?
k
2?
两一般
位置平面相
交，求交线
步骤,
1．用求直线
与平面交点
的方法，作
出两平面的
两个共有点 K、
E。
四、求两平面的交线
l
l?
n
m
m?
n? PV
QV
1?
2?
2
1
k?
k
e
e
2．连接两个
共有点，画
出交线 KE。
示意图
利
用
重
影
点
判
别
可
见
性
两平面相交，判别可见性
3?
4?
( ) 3
4
2
1
( ) 1?
2?
[例 6] 试过 K点作一直线平行于已知平面 ΔABC，并与直线 EF相交
分析
过已知点 K作平面 P平行 于 ? ABC；直线 EF与平面 P交于 H；
连接 KH,KH即为所求。
F
E
K
H
作图
m?
n? h?
h
n
m
PV
1?
1
2?
2
1．过点 K作平面
KMN//? ABC平面。
2．求直线 EF与平面
KMN的交点 H 。
3．连接 KH,KH即
为所求。
相对位置包括 平行, 相交 和 垂直。
第一节 平行问题
直线与平面平行
平面与平面平行
包
括
一,直线与平面平行
若一直线平行于平面上的某一直
线，则该直线与此平面必相互平行。
正平线
例 1：过 M点作直线 MN平行于 V面和平面
ABC。
c?
●
●
b?
a? m?
a
b
c
m n
唯一解
n?
x o
二,两平面平行
① 若一平面上的 两相
交直线 对应平行于另
一平面上的 两相交直
线,则这两平面相互
平行。
② 若两 投影面垂直面
相互平行，则它们 具
有积聚性 的那组投影
必相互平行。
f?
h?
a b c
d
e
f h
a?
b?
c?
d?
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c?
f? b?
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c
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o
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x
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[例 2] 已知定平面由平行两直线 AB和 CD给定。试过点 K
作一平面平行于已知平面 。
e
m? n?
m
n
f? e?
f s
r?
s?
r
k?
k
第二节 相交问题
直线与平面相交
平面与平面相交
一,直线与平面相交
交点是直线与平面的 共有点
交点是直线可见与不可见的 分界点 。
● 求 直线与平面的 交点。
● 判别两者之间的相互遮挡关系，即 判别可
见性。
a b
c m
n
c?
n? b?
a?
m?
⑴ 平面为特殊位置
例 3 求直线 MN与平面 ABC的交点 K并判别可见性。
空间及投影分析
平面 ABC是一铅垂面，
其水平投影积聚成一条直
线，该直线与 mn的交点即
为 K点的水平投影。
① 求交点
② 判别可见性
由水平投影可知,KN
段在平面前，故正面投
影上 k?n?为可见。
还可通过重影点判别可见性。
k? ● 1?
(2?)
作 图
k
●
●
2 ●
1 ●
x
k
m(n)
b
●
m?
n?
c?
b?
a?
a
c
⑵ 直线为特殊位置
空间及投影分析
直线 MN为铅垂线，其
水平投影积聚成一个点，
故交点 K的水平投影也积聚
在该点上。
① 求交点
② 判别可见性
点 Ⅰ 位于平面上，在
前；点 Ⅱ 位于 MN上，在
后。故 k? 2?为不可见。
1?(2?)
k? ●
2 ●
1 ●
●
作图 用面上取点法 x
二,两平面相交 （利用积聚性求交线）
两平面相交其交线为直线,交线是两平
面的共有线,同时 交线上的点都是两平面的
共有点。
要解决的问题,
① 求 两平面的 交线
方法,⑴ 确定两平面的 两个共有点。
⑵ 确定 一个共有点及交线的方向。
② 判别两平面之间的相互遮挡关系，即,
判别可见性。
M
平面与平面相交
两平面的交线是一条直线，这条直线为两平面所共有
F
K
N
L
可通过正面投影
直观地进行判别。
a
b
c
d
e
f
c?
f?
d
b? e? a?
m?(n?)
空间及投影分析
平面 ABC与 DEF都
为 正垂面,它们的正面投
影都积聚成直线。 交线必
为一条正垂线, 只要求得
交线上的一个点便可作出
交线的投影。
① 求交线
② 判别可见性
作 图
从正面投影上可看出，
在交线左侧，平面 ABC
在上，其水平投影可见。
n ●
m ●
●
能否不用重
影点判别？ 能 !
如何判别？
例 4：求两平面的交线
MN并判别可见性。
⑴
b?
c?
f? h?
a?
e?
a
b
c
e
f
h
1(2)
空间及投影分析
平面 EFH是一水平面，它的
正面投影有积聚性。 a?b?与 e?f?
的交点 m?, b? c?与 f ?h?的交点
n?即为两个共有点的正面投影，
故 m?n?即 MN的正面投影 。
① 求交线
② 判别可见性
点 Ⅰ 在 FH上，点 Ⅱ 在 BC上，
点 Ⅰ 在上，点 Ⅱ 在下，故 fh
可见,n2不可见。
作 图
m ●
●
n? ●
2? ●
n ●
m? ● 1?
●
例 5 求两平面的交线 MN并判别可见性。
1?
2?
三, 直线与平面相交 （利用 辅助平面法求交点 ）
PV
2
1
k
k?
步骤,
1．过 EF作正
垂平面 P。
2．求 P平面与
ΔABC的交线
ⅠⅡ 。
3．求交线
ⅠⅡ 与 EF的交
点 K。
示意图
1
2
以铅垂面为辅助平面求线面交点 。
PH
1?
步骤,
1．过 EF作铅
垂平面 P。
2．求 P平面与
ΔABC的交线
ⅠⅡ 。
3．求交线
ⅠⅡ 与 EF的交
点 K。
k?
k
2?
两一般
位置平面相
交，求交线
步骤,
1．用求直线
与平面交点
的方法，作
出两平面的
两个共有点 K、
E。
四、求两平面的交线
l
l?
n
m
m?
n? PV
QV
1?
2?
2
1
k?
k
e
e
2．连接两个
共有点，画
出交线 KE。
示意图
利
用
重
影
点
判
别
可
见
性
两平面相交，判别可见性
3?
4?
( ) 3
4
2
1
( ) 1?
2?
[例 6] 试过 K点作一直线平行于已知平面 ΔABC，并与直线 EF相交
分析
过已知点 K作平面 P平行 于 ? ABC；直线 EF与平面 P交于 H；
连接 KH,KH即为所求。
F
E
K
H
作图
m?
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PV
1?
1
2?
2
1．过点 K作平面
KMN//? ABC平面。
2．求直线 EF与平面
KMN的交点 H 。
3．连接 KH,KH即
为所求。
