一、内容提要： 本章介绍线性电阻电路方程的建立方法。内容包括：电路图论的初步概念，支路电流法，网孔法，回路法和结点法。通过本章的学习，要求蕙用手写法列出电路方程。 二、典型题解析： 例3.1 图3.1所示电路，求电压u。 分析 这个电路看似复杂，支路数较多，又包含有受控源，但仔细观察该电路的结构，将短路线压缩，它实际上只有两个节点，选用节点法分析简便。 解： 设参考点(接地点)及a点如图中所标。显然a点电位va即是u。先把受控电流源视为独立电流源参加列写节点基本方程(套用节点方程通式所列方程)为  再将受控源中的控制量i1用所求量u表示，应用OL，有  故有  u＝12V  [评注] 对于同一个问题可能有多种方法都可以求解。若选择方法合适，非常简便快捷地就求出了结果。若选择方法不当，即使概念是正确的，该方法的应用也无误，但会费时、费力，．要经繁琐的过程计算才能得到结果。所以，根据具体的电路结构能够选择一种合适的方法求解，成了读者解题速度是否快捷的关键。 例3.2 图3.2所示电路，求电压Uoc。  分析 这个电路有两个网孔，其中一个网孔的电流又已知，所以选择网孔法求解本问题简便。 解 设网孔电流I1，I2如同中所标。显然 I1＝2A 根据网孔方程通式写网孔2方程为 16 I2+12×2＝40 解上式，得 I2＝1A 所以 Uoc＝-4 I2+6 I1＝-4×1＋6×2＝8V [评注] 这个电路还可以用节点法求解或电源互换等效求解。读者可自行练习作比较。 例3.3 图3.3所示电路，电压表看做理想电压表，问电压表的读数为多少？并标出直流电压友的正、负极。 分析 因电压表是理想的，其内阻为∞，相当于开路。理想电压表的读数即是a，b点间真实的电压大小。根据求得的电压Uab是正值或负佰来判别直流电压表的止极、负极。  解 自a，b断开电压表，设三个网孔电流分别为IⅠ，IⅡ，IⅢ，如图中所标。观察电路，分别求自电阻、互电阻、等效电压源，代入网孔方程通式，写得方程为  化简式（3.3）得  解式（3.4）有  故得  根据支路电流等于流经该支路网孔电流代数和关系，显然 I1＝IⅠ＝-0.5A 所以电压 Uab＝50 I1+60＝50×（-0.5）+60＝35V 可判断接a点的电压表端子为正极，接b点的为负极。 [评注] 设网孔电流方向为顺则针或逆时引均可以。若在一个电路中各网孔电流都设成顺时针方向或都设成逆时针方向，那么各网孔间的互电阻都是负的，掌握这一规律对正确书写网孔方程是有益的。若遇已标出各网孔电流方向的，且有的网孔电流是顺时针方向，有的网孔电流是逆时针方向，读者在列写网孔方程时就要特别注意互电阻的取号。若流经两个网孔公共支路的网孔电流方向—致，则互电阻取正号，反之取负号。本问题最终结果是要求求出电压Uab，所以解网孔方程时并不需要把每个网孔电流都解出。 如前，我们解出I1即可求得Uab。 例3.4 在图3.4所示电路中，已知网络N吸收的功率PN＝2 W。求电压u。 分析 功率是电压平方或电流平方的函数，若巳知功率求电压或电流，就可能会得到有意义的两个解。设电流i叁考方向和小a，b，c，d点以及接地点如图中所标。由N吸收功率找出网络N端子上电压u与电流i的关系，应用节点法求得u。    [评注]  例3.5 在图3.5所示电路中，求各支路电流及两受控源吸收的功率。  分析 本题电路中含有两个受控源：一个是电压控制电压源(VCVS)，一个是电压控制电流源(VCCS)。设置这个例子的目的之一就是让读者掌握对含有受控源的电路如何列写网孔力程。 解 设各网孔电流iⅠ，iⅡ，iⅢ如图中所标。 由图可知 iⅠ＝0.1u2 (3.8) 先把受控源视为独立源一样，对照网孔方程通式列写网孔Ⅱ，网孔Ⅲ的方程，列写中若用到网孔电流iⅠ则均以式(3.8)去代。其所列这两个网孔的基本方程为  另设各支路电流i1～i6如图中所标。根据支路电流等于流经该支路网孔电流代数和关系，求得各支路电流为   [评注] VCVS受控源吸收-150w功率，实际上它发出（产生）150w功率。本例属于“全面求解”的电路问题。所谓“全面求解”问题，就是题目中要求求解的量较多。对于这类问题选用网孔法或节点法求解较简便。尽管解多元方程组费时一些，但解得网孔电流(或节点电位)后，即可简便地求得各支路电流(或支路电压)，进而求得欲求的各个功率。 例3.6 在图3.6所示电路中，求各支路电流及各理想电源（含受控源）产生的功率。  分析 观察本题电路结构特点：元件参数单位用西门子（S）标注(电导)，节点3与节点4之间含有一理想电流控制电压源。选用节点法分析方便。 解 选节点4为参考点，设节点1，2，3的电位分别为V1，V2，V3。显然  （3.13） 对照节点方程通式，列写节点1，2的节点方程，列写中用到V3，就用式（3.13）代入。     [评注] 自电导G11等于连接节点l的各支路电导之和。写G11时需要特别注意：12S与6S串联支路的电导，而非12+6=18S；1S与8A串联支路的支路电导是零，而非1S。因为，理想电流源可看做是内阻无穷大的电阻。无论与理想电流源串联多大的电导(或电阻)，该支路的支路电导都为零。本电路选节点“4”或节点“3”作参考点用节点法分析比选其他节点作参考点时简便。 例3.7在图3.7(a)所示电路中，求电阻R上消耗的功率PR。  分析 本题并不需要求出所有支路电流，为求得R上L消耗的功率，只须求出R上电流即可。如果按图3.7(a)所示设网孔电流，则须解出iⅠ，iⅢ两个网孔电流才能求得R上的电流，即iR＝iⅠ-iⅢ。若对电跻作扭动伸缩变形，由图3.7(a)变换为图3.7(b) (注意节点2，4的变化)，则按图3.7(b)所示设网孔电流iⅠ，iⅡ，iⅢ，使所求支路电流iR恰为网孔Ⅲ的网孔电流。   [评注] 变行改画电路的目的很明确，是为了少求出一个网孔电流（少展开一个三阶行列式）使计算简单。而若使用一般的回路法求解就可不改画电路，只需选择独立回路时使R所在支路单独属于某一独立回路，即可列写出与式(3.18)同解的方程组。独立回路选取的方法是，如果不选树确定树支、连支的话，则可这样简便地选取，即使所选回路都包含一条其他回路所没有的新支路。如图3.7(a)所示将第一网孔电流改为如虚线所示的独立回路，·其他两网孔电流仍作为独立回路电流，可列写回路方程为  例3.8 图3.8所示电路，求电压U及电流I。  分析 根据本电路的特点，选节点4（或节点1）作参考点，应用节点法求解方便。   [评注] 因节点1，4间接有10V理想电压源支路，若原电路未标定参考点，解题者就可自由选参考点，这时选理想电压源所连的两个节点之一作参考点，所列联立方程数少，求解过程简单，如本例的求解。 本例电路，若原已标定节点3为参考点（解题者不要另选参考点），那么在列写节点1，2，4节点方程时必须对10V理想电压源支路设电流Ix，把10V电压源支路看作电流源Ix支路参加节点基本方程的列写。除需要列写控制量用节点表示的辅助方程外，还需要增加一个联系节点1、节点4间电位关系的一个辅助方程。以节点3为参考点所列方程组为  需要解六元联立方程组得到I，U。 例3.9 图3.9所示电路，求各支路电流。  分析 选用网孔法分析。注意，对Ⅰ，Ⅱ两网孔公共支路上的受控电流源两端设电压ux，把受控电流源支路看做ux电压源支路。 解 设网孔电流iⅠ，iⅡ，iⅢ如图中所标。对照网孔方程通式列写基本方程   [评注] 遇有网孔(独立回路)内含有独立电流源或受控电流源，在列写网孔(回路)方程时，若能通过电路扭动变形将电流源支路变形到电路的外沿支路(使它单属于某一网孔)，则该网孔的电流就是电流源的数值。这样，利用了电路结构上的这一特点，可以减少求解该电路的方程个数。若无论如何扭动变形也不能把电流源所在支路变形到电路的外沿，就必须对电流源两端设电压ux，还必须增加一个辅助方程，然后联立所列方程求出结果，如本例例这种情况，若如例3.7[评注]中所述及的那样，不扭动变形电路，而采用一般的回路法求解，选独立回路时使电流源所住支路单属于某一独立回路，则该回路的回路电流就是电流源的数值（成为已知量），非但不用对电流源两端设电压ux，还可减少两个方程（一个基本方程、一个辅助方程）。 例3.10 图3.10（a）所示电路，求各支路电流。 分析 在—些电路里，常给出电阻参数和电压源形式的激励。对这样的电路应用节点法分析时，可先应用电源互换等效将电压源互换为电流源，并将各电阻参数换算为电导参数，如图3.10（b）所示。就本例电路而言，独立节点数少于网孔数，选用节点法求解简便。 解：设节点1，2的电位分别为v1，v2。对图3.10（b）所示电路分别求各自电导、互电导、等效电流源，套节点方程通式，可得原始方程组为  化简整理该方程组，得  解式（3.33）方程组，得 v1＝10V v2＝6V 图3.10（b）与（a）对求各节点电位来说是等效的。在图3.10（a）所示电路中设各支路电流参考方向，由支路VAR，得   [评注] 在用节点法分析电路掌握熟练之后，可不画图3.10（b）所示等效电路，而由图3.10（a）所示电路就可直接列出原始方程式。但要注意，列写方程时电阻要换算为电导；计算节点等效电流源时，某支路等效电流源得数值等于该支路电压源除以该支路的电阻，若电压源正极性端向着该节点，则取正号，反之取负号。 三、习题