一、内容提要： 本章用相量法分析线性电路的正弦稳态响应。首先，引入阻抗、导纳的概念和电路的相量图。其次，通过实例介绍电路方程的相量形式和线性电路的定理的相量描述和应用，介绍正弦电流电路的瞬时功率、平均功率、无功功率、视在功率和复功率，以及最大功率的传输问题。最后，介绍了电路的谐振现象和电路的频率响应。 二、典型题解析： 例9.1 如图9.1所示正弦稳态电路，已知I1=I2=10A,电阻R上电压的初相位为零，求相量和。  分析 根据的初相和元件的特征，先求出电流相量和，然后，由KCL，KVL方程求出和。 解： 电路中电阻R和电容C并联，且两端电压的初相为0。由电阻和电容傻姑娘的电压与电流的相位关系可知：电阻电流与电压同相，电容电流超前电压相角90○，故 A A 由KCL方程，有 A 由KVL方程，有 V [评注] 对R，L，C这三个基本元件，不仅要掌握端口电压、电流相量之间的关系，而且要掌握其有效值，相位之间的关系。电压和电流的相量仍满足基尔霍夫定律。 例9.2 如图9.2所示正弦稳态电路，R1=R2=1Ω。 （1）当电源频率为f0时，XC2=1Ω，理想电压表读数V1=3V，V2=6V，V3=2V,求IS。 （2）电路中电阻、电容和电感的值不变，现将电源的频率提高一倍，即为2 f0，若想维持V1的读数不变，IS问应变为多少？  分析 （1）设电流为参考相量，求出各元件上电压、电流的相量。对其取模可以得到有效值之间的关系。 （2）对R1LC1串联支路，电阻R1上的电压有效值不变，则该支路上电流有效值也不变；根据电容、电感上电压和电流有效值之间的关系，在电流一定的情况下，电容电压与电流频率成反比，电感电压与频率成正比。    如果把电源的频率提高一倍，而维持V1的读数不变，即R1上的电压有效值UR1＝3V，那么R1上的电流的有效值I也不变，此时仍把设置为参考相量，故A。由于L和C1上的电流不变，根据电感和电容上电压有效值与频率的关系，电源的频率提高一倍，电感上电压表的读数增大一倍，而电容上电压表的读数降为原来的一半，故  [评注] 电容和电感的阻抗均为频率的函数，电容的阻抗与频率成反比，电感的阻抗与频率成正比。 例9.3 如图9.3所示正弦稳态电路，已知I1＝10A，I2=20A，R2=5Ω，U=220V,并且总电压与总电流同相。求电流I和R，X2，XC的值。  分析 由于总电压与总电流同相，所以并联支路两端的电压和总电流也同相，故并联支路导纳的虚部为零，这样可以得到一个含有待求变量X2，XC的方程。再根据两个并联分支电压相等列出第二个含有待求变量X2，XC的方程，联立可求出X2，XC的值。由于落后相角，以及=+，因此该三电流相量构成直角三角形，这样可求出I 。     [评注] 若二端口电路上的电压与电流同相，则该电路的阻抗和导纳的虚部均为零。 例9.4 如图9.4所示正弦稳态电路，已知有效值U1=100V, U=500V，I2=30A，电阻R=10Ω，求电抗X1，X2和X3的值。  分析 将设置为参考相量，从而找出电路中电压和电流之间的相量关系；对相量关系取模找出有效值之间的关系。    [评注] 解本题的关键在于找出电压、电流相量之间的关系，对其取模得到有效值之间的关系。   分析 因为us(t)和is(t)的频率一样，所以采用一个相量模型，在相量模型的基础上，列方程求解有关相量，再对应写出时间函数，即可求解。 解： 相量模型如图9.5（b）所示。设两个节点电压分别为和，列方程  整理得   [评注] 求电源提供得功率时，设流过电压源得电流方向与电压得方向取非关联参考方向，则功率等于电压乘电流；若取关联参考方向，则等于负的电压乘电流。另外，相量要同时取有效值相量或最大值相量。不要再同一个问题计算中，有的相量用有效值相量形式，有的用振幅相量形式。 例9.6 计算如图9.6所示电路的有功功率P，视在功率S和功率因数λ。 分析 要求整个电路的P，S和λ，必须求出电压源流过的电流。因为电路只有一个独立节点，应用节点法求解比较简单。  解： 设，列方程为  则   [评注] 此电路的平均功率并不是RI12，因为本电路包含有受控源。若求含受控源支路与电感支路并联的等效阻抗，它的实部应为-2kΩ，与2kΩ的相互抵消，P＝0。 例9.7 如图9.7（a）所示电路，问ZL为何值时可获得最大功率？求此最大功率。   分析 解决这类问题通常是先求出负载端的戴维宁等效电路，再利用正弦稳态最大功率传输定理，即可得到答案。 解：（1）负载断开，求开路电压，如图9.7（b）所示。 A （2）求等效阻抗Z0，如图9.7（c）所示，外设电压、电流参考方向一致。   （3）若ZL实部、虚部均可调，则当 时，获得最大功率。此最大功率为  [评注] 注意此电路中的短路线。在图9.7（b）所示电路中，两部分电路可分开计算，所以;在图9.7（c）所示电路中，短路线将20Ω电阻短接，电阻支路上无电流通过。另外，图9.7（b）与图9.7（c）中所示的电阻与电容串联支路的电流是不同的，图9.7（b）所示电路负载端设为开路，串联支路电流为受控源电流；图9.7（c）所示电路外设有电压与电流，串联支路电流为两个电流之和。 三、习题