第十五章 电路方程的矩阵形式
§ 15-1 割集
一,图的基本概念
uS
R1
R2 C
L1
3
4 5
2
抽象 1
3
2
4 5
线图
+
- 自环
+
-
us R1 R
2L1 L2
M例：
uS
R1
R2 C
L1
3
4 5
2
i2 i4 i5
542 iii ?? 542 iii ??
1
3
2
4
5
有向图
1,图 (Graph)
G={支路，节点 }
①
②
１
2.子图
路径：从图 G的一个节点出发沿着一些支路连续移动到达
另一节点所经过的支路构成路经。
二,回路、树、割集
1.回路 (Loop)
L是连通图的一个子图，构成一条闭合路径，并满足：
(1)连通 (2)每个节点关联支路数恰好为 2。
1 2 3
4
5
6
7
8
2
5
3 1 2
7 58 9
回路 不是回路
3.连通图
图 G的任意两节点间至少有
一条路经时称为连通图，
非连通图至少存在两个分离部分。
树
树支：属于树的支路
连支：属于 G而不属于 T的支路
树支数 bT=n-1
连支数 bl=b-(n-1)
2.树 (Tree)
T是连通图的一个子图满足下列条件：
(1)连通
(2)包含所有节点
(3)不含回路
基本回路 (单连支回路 )
1
2
3
4 5
6
1
2
3
5
1
2
3
6
基本回路数 =连支数 =b-(n-1)
3.割集 Q (Cut set )
Q是连通图 G中支路的集合，具有下述性质：
(1)把 Q中全部支路移去，图分成二个分离部分。
(2)任意放回 Q 中一条支路，仍构成连通图。
2
4
5
6 {2,4,5,6}
1
3
2
{2,3,6}
1
4
5 ?
1
2
3
4
6
5
7
{1,3,5,6}是否割集？
2 4 7
1
3
1 2 5
36
4
7 8
{1,2,3,4}
是否割集？
5
7 8
6
找割集方法：作封闭曲面
1 2
34
5
6 {1,3,5,6}为割集
{2,3,6}为割集
连支集合不能构成割集
基本割集
(单树支割集 )
基本割集数 =(n-1){2,4,5,6}为割集
§ 15-2 关联 矩阵、回路矩阵、割集矩阵
一,关联矩阵 (描述节点和支路的关联性质 )
N个节点 b条支路的图用 n?b的矩阵描述
1
２
３
６
５４
①
②
④
③
Aa=
1
2
3
4
1 2 3 4 5 6 支节
-1 -1 0 1 0 0
0 0 1 -1 -1 0
1 0 0 0 1 1
0 1 -1 0 0 -1
ajk
ajk=1 支路 k与节点 j 关联，方向背离节点。
ajk= -1 支路 k与节点 j 关联，方向指向节点
ajk =0 支路 k与节点 j无 关
1
２
３
６
５４
①
②
④
③
设④为参考节点
A=
1
2
3
1 2 3 4 5 6 支节
-1 -1 0 1 0 0
0 0 1 -1 -1 0
1 0 0 0 1 1
A降阶关联矩阵 (n-1)?b
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i
i
i
i
i
i
i
6
5
4
3
2
1
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u
u
u
u
u
u
u
6
5
4
3
2
1
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u
u
u
u
n
n
n
n
3
2
1设,
矩 阵形式的 KCL,[ A ][ i ]= 0
[A][ i ]=
1
２
３
６
５４
①
②
④
③ A=
1
2
3
1 2 3 4 5 6 支节
-1 -1 0 1 0 0
0 0 1 -1 -1 0
1 0 0 0 1 1
0
651
543
421
?
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?
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??
??
???
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iii
iii
iii
-1 -1 0 1 0 0
0 0 1 -1 -1 0
1 0 0 0 1 1 ?
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i
i
i
i
i
i
6
5
4
3
2
1
矩阵形式 KVL,
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3
32
21
2
1
31
n
nn
nn
n
n
nn
u
uu
uu
u
u
uu
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u
u
u
u
u
u
6
5
4
3
2
1
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3
2
1
1
1
0
0
0
1
0
1
1
1
0
0
0
0
1
0
1
1
n
n
n
u
u
u
1
２
３
６
５４
①
②
④
③ ][][][
nTAu ?
二,基本回路矩阵 B
2。支路排列顺序为先树支后连支，
回路顺序与连支顺序一致
1 支路 j 在回路 i中方向一致
-1 支路 j 在回路 i中方向相反
0 支路 j 不在回路 i中
bij=
1
２
３
６
５４
(描述基本回路和支路的关联性质 )
规定：
1。连支电流方向为回路电流方向
B =
支回
l ?b的矩阵描述
1
２
３
６
５４
选 4,5,6为树，连支顺序为 1,2,3。
1
2
3
B =
4 5 6 1 2 3 支回
1 -1 0 1 0 0
1 -1 1 0 1 0
= [ Bt 1 ]
设
Tiiiiiii ] [][ 321654?
矩阵形式的 KVL,[ B ][ u ]= 0
T
lt uu
uuuuuuu ] [][ 321654 ??? ????? ???
0 1 -1 0 0 1
Bt Bl
[ B ][ u ]= 0 可写成 0] 1 [ ??
?
?
??
?
l
t
t u
uB
Btut+ul=0 ul= - Btut
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6
5
4
3
2
1
u
u
u
u
u
u
u
u tl
1
２
３
６
５４
= [ Bt 1 ]12
3
B =
4 5 6 1 2 3 支回
1 -1 0 1 0 0
1 -1 1 0 1 0
0 1 -1 0 0 1
Bt Bl
矩阵形式的 KCL,[ B ]T[ il ]=[ i ]
连支电压用树支电压表示
?
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??
3
2
1
1
0
0
1
1
0
0
1
0
1
1
1
0
0
1
0
1
1
i
i
i
?
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???
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3
2
1
6
5
4
3
2
1
32
321
21
i
i
i
i
i
i
i
i
i
ii
iii
ii
1
２
３
６
５４
矩阵形式的 KCL,[ B ]T[ il ]=[ i ]
B=[ Bt 1 ] ?
?
?
??
??
1
][
T
tT BB
??
?
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???
?
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??
?
l
t
l
T
t
i
iiB ][
1
tlTt ii ?? B 树支电流用连支电流表出
三, 基本割集矩阵 Q
行：表示基本割集
列：表示支路
规定,(1)割集方向为树支方向
(2)支路排列顺序先树支后连支
(3)割集顺序与树支次序一致
qij=
1 支路 j在割集 i中且与割集方向一致
-1 支路 j在割集 i中且与割集方向相反
0 支路 j不在割集中
(表示基本割集与支路的关联性质 )
1
２
３
６
５４
Q=
4 5 6 1 2 3 支割集
C1
C2
C3
1 0 0 -1 -1 0
0 1 0 1 1 -1
C1:{1,2,4} C2:{1,2,3,5} C3:{2,3,6}
设 Tiiiiiii ] [][ 321654? ut=[ u4 u5 u6 ]T
矩阵形式的 KCL,[ Q ][i ]=0 0] 1[ ??
?
?
??
?
l
t
l i
iQ
llt iQi ???
回路矩阵表示时 tlTt ii ?B Ttl BQ ???
1
２
３
６
５４
0 0 1 0 -1 1
QlQt
Q=
4 5 6 1 2 3 支割集
C1
C2
C3
1 0 0 -1 -1 0
0 1 0 1 1 -1
0 0 1 0 -1 1
QlQt
= [ Bt 1 ]12
3
B =
4 5 6 1 2 3 支回
1 -1 0 1 0 0
1 -1 1 0 1 0
0 1 -1 0 0 1
Bt Bl
1
２
３
６
５４
Ttl BQ ???
矩阵形式的 KVL,[Q ]Tut=u
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3
2
1
6
5
4
65
654
54
6
5
4
6
5
4
1
1
0
1
0
0
1
1
1
0
1
0
0
1
1
0
0
1
u
u
u
u
u
u
uu
uuu
uu
u
u
u
u
u
u
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l
t
T
l
t u
QuQu
uu
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?? 1][?
tTll uQu ??
1
２
３
６
５４
矩阵形式的 KVL,[Q ]Tut=u
连支电压用树支电压表示
Q
Qi=0
QTut=u
小结：
tlTt ii ?B
ul= - Btut
llt iQi ??
tTll uQu ?
Ttl BQ ??
A B
KCL Ai=0 BTil=i
KVL ATun=u Bu=0
§ 15.3 节点法
一,节点方程的矩阵式
电路分析依据：
KCL [A][ i ]=0
KVL [u]=[A]T[un]
元件特性
设标准支路为：
条支路电压第
条支路电流第
kU
kI
k
k
?
?
独立电流源
独立电压源
sk
sk
I
U
?
?
规定每个支路必须有一个阻抗
k支路抽象为：
k
.I
Sk
Zk
.U
k
.
IK ekI
?
SKU
?
k支路电压、电流关系：
skskkkkk IUYUYI
???? ???
skkskkk UZIIU
???? ??? )(
设 T
bUUUU ??
?
??
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21
T
sbsss IIII ??
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??
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? ????,.....
21
T
sbsss UUUU ??
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??
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21
T
bIIII ??
?
??
??
??????
????
......21
[Z]=diag[Z1Z2……Z b]T [Y]=diag[Y1Y2……Y b]
.I
Sk
Zk
.U
k
.
IK ekI
?
SKU
?
? ? ? ? ??????????????????????????? ???? SS IUYUYI
k支路电压、电流关系：
skskkkkk IUYUYI
???? ???
skkskkk UZIIU
???? ??? )(
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sb
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s
b
b I
I
UU
UU
Y
Y
Y
I
I
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?
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?
111
2
1
1
00
00
00
展开：
.I
Sk
Zk
.U
k
.
IK ekI
?
SKU
?
由 KCL有 ? ?? ? 0??IA
? ?? ? ? ?? ? ? ? 0????????????????????? ??? SS IAUYAUYA
由 KVL有 ? ?
??
?
??
??
??????
??
n
T UAU
? ?? ?? ? ? ? ? ?? ? ???????????????????? ??? SSnT UYAIAUAYA
为节点导纳阵
? ? ? ? ? ?? ? ???????????????????? ??? SSnn UYAIAUY
? ? ? ? ??????????????????????????? ???? SS IUYUYI
[Yn]
二,节点方程的形成
1
① 2 3
4 5
6
② ③
④
第一步：抽象为有向图
第二步：每条支路输入一组数据
B N1 N2 R US IS
1 1 4 0.5 -5 0
2 1 2 2 0 0
READ(*,*)B,N1,N2,R,US,IS
…,
.I
Sk
Zk
.U
k
.
IK ekI
?
SKU
?
5V
0.5W 2W
1W
0.5W
5W 1W
3A1A
第三步：形成 [A] A[N
1][B]=1
A[N2][B]= -1 支路 2,A[1][2]=1A[2][2]= -1
1
2
3
A=
1 2 3 4 5 6 支节
1 1 0 0 0 1
0 -1 1 1 0 0
0 0 -1 0 1 -1
支路 3,A[2][3]=1 A[3][3]= -1
第四步：形成 [Y]
Y[B][B]=1/R
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?
?
?
1
1
2.0
2
5.0
2
Y
1
① 2 3
4 5
6
② ③
④
第六步：用矩阵乘法求得节点方程
? ?? ?? ? ? ? ? ?? ? ???????????????????? ??? SSnT UYAIAUAYA
?
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?
3
1
50
400
07.20
005.3
3
2
1
U
U
U
n
n
n
第五步：形成 [US],[IS]
US[B]=US IS[B]=IS
US=[ -5 0 0 0 0 0 ]T
[IS]=[0 0 0 -1 3 0 ]T
5V
0.5W 2W
1W
0.5W
5W 1W
3A1A
1
① 2 3
4 5
6
② ③
④
2112222 )()( SSS UIIMjIILjU
?????? ????? ??
1221111 )()( SSS UIIMjIILjU
?????? ????? ??
一,有互感时的节点方程
.U
S1
.I
S2
.I
S1
.
US2
jωL1
jωL2
*
*
M
.I
1
.I
2
三、具有互感、受控源电路的节点法
? ? ? ? ??????????????????????????? ???? SS IUYUYI
? ? ? ? ??????????????????????????? ???? SS UIZIZU
[Y]=[Z]-1
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1
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11
2
1
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1
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LjMj
MjLj
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Z
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U
U
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11
3
2
1
2
1
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0
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[Y]=[Z]-1
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b
Y
Y
LM
ML
Y
0
0
3
1
2
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)( 221 MLLj ??? ?
二,具有受控源电路的节点方程
)( skkkekkek UUYUYI ???? ???
)( sjjkjejkjdk UUgUgI ???? ???
sksjjkjskkkk IUUgUUYI
?????? ?????? )()(
)( sjjjej UUYI ??? ??
sksjjjkjskkkk IUUYUUYI
?????? ?????? )()( ?
ejkjdk UgI
?? ?设
VCCS)1( 为dkI?
ejkjdk II
?? ? ?设 CCCS)2( 为
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k
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UU
UU
UU
Y
Y
Y
Y
I
I
I
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?
1111
1
0
0
考虑 b个支路时：
jkjY? kjg
sksjjkjskkkk IUUgUUYI
?????? ?????? )()(
5 2
4
3
1２ 3１
0
? ?
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00011
01101
11000
A
? ?50000 sS iI ??????? ?
例：
iS5 gua
ua
G5 C3
G4
+ - *
*
M
L2
L1
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0000
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000
G
G
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LM
ML
Y
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4
3
1２ 3１
0
例：
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ua
G5 C3
G4
+ - *
*
M
L2
L1
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0
2
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0
5
3
2
1
212
22
344
454 s
n
n
n I
U
U
U
MLLML
MLL
LjGgGg
GGG
?
代入
§ 15.4 回路法、割集法
一,回路法
设回路电流为未知量 [il ],
(b-n+1)?1阶。
? ? 0 ??????? ?UBK V L,
.I
Sk
Zk
.U
k
.
IK ekI
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SKU
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? ? 0][]][[]][[ ???????????????????????????? ???? SS UBIZBIZBUB
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SSl
T IZBUBIBZB ]][[][]][][[
? ? ? ? ??????????????????????????? ???? SS UIZIZU
回路方程矩阵形式
zL
回路阻抗阵
二,割集法
以树支电压为未知量
元件特性：
割集方程矩阵形式
? ? 0Q ??????? ?IKC L, ?????????????
??
t
T UQUK V L ][,
? ? ? ? ??????????????????????????? ???? SS IUYUYI
? ? 0][]][[]][[ ???????????????????????????? ???? SS IQUYQUYQIQ
??
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??
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??
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??
? ???
SSt
T UYQIQUQYQ ]][[][]][][[
Yt
割集导纳阵
要求：
1,掌握回路、树、割集的概念。
2.会写关联矩阵、基本回路矩阵、基本割集矩阵。
3.掌握节点方程的矩阵形式
? ?? ?? ? ? ? ? ?? ? ???????????????????? ??? SSnT UYAIAUAYA
(1)画出线图
(2)写出关联矩阵
(3)写出支路导纳阵
(4)以 3,4,5为树支写出基本回路矩阵 B，基本割集矩阵 Q。
4
① 1 2
3 5
6
② ③
④
uS C3
L2L1+
-
R4
R5
R6
* *
M
?
3I
① ② ③
?
3I?
A=
1
2
3
1 2 3 4 5 6 支节
-1 0 0 1 0 1
-1 1 1 0 0 0
0 -1 0 0 1 -1
uS C3
L2L1+
-
R4 R5
R6
* *
M
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3I
① ② ③
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3I?
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5
4
33
1
2
1
00000
0
1
0000
00
1
000
0000
0000
0000
R
R
R
CjCj
LM
ML
Y
???
4
① 1 2
3 5
6
② ③
④
4
① 1 2
3 5
6
② ③
④ B =
3 4 5 1 2 6支回
3
4
5
支回
1 -1 0 1 0 0
-1 0 1 0 1 0
0 - 1 1 0 0 1
Bt Bl
Q=
3 4 5 1 2 6支割集
C1
C2
C3
1 0 0 -1 1 0
0 1 0 1 0 1
0 0 1 0 -1 -1
QlQt
§ 15.5 改进节点法
7?I
8?I
+ -
+
-
G1
G2
C4
L5
C3 L
6
1SI
?
6SI?
8SU
?
7SU?
1 2 3
4
1 2 3
1
7
2
4 8 6
3
5
4
??? ??
1711 SIIVG
][ 41 ??? ? VVV ?
0)1()1( 74233
5
23
5
2 ???????
????
IVGVCjLjVCjLjG ????
???
?????? 63
6
3
5
23
5
)11()1( SIVLjCjLjVCjLj ?????
1:
2:
3:
7?I
8?I
+ -
+
-
G1
G2
C4
L5
C3 L
6
1SI
?
6SI?
8SU
?
7SU?
1 2 3
4
1 2 3
1
7
2
4 8 6
3
5
4
][ 41 ??? ? VVV ?
0)( 844222 ????? ??? IVCjGVG ?
??? ??
721 SUVV
?? ?
84 SUV
4：
矩 阵形式为：
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1
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3
2
1
422
5
3
65
3
2
5
3
5
32
1
0
0
001000
000011
10)(00
000)
11
()
1
(0
01)
1
()
1
(0
01000
S
S
S
S
U
U
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I
I
I
V
V
V
V
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Lj
Cj
LjLj
Cj
G
Lj
Cj
Lj
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G
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S
n
E
n
U
J
I
V
H
HY
021
12
Yn,为 电压源支路断开后的电路节点导纳阵
H12：表明每个节点和哪几个纯电压源支路相关联
H21：表明这些支路电压和哪些节点电压相关联 ??
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1
1
0
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1
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1
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2
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3
5
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1
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000011
10)(00
000)
11
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1
(0
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1
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1
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S
S
S
S
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I
I
I
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V
V
V
CjGG
Lj
Cj
LjLj
Cj
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Cj
Lj
CjG
G
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一般形式,??
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S
n
E
n
U
J
I
V
H
HY
021
12
：为电压源支路设定的电流列矢量?EI
:?nJ 为注入节点的电流源列矢量
：?SU 为电压源支路的电压列矢量
：为节点电压列矢量?V
§ 15-1 割集
一,图的基本概念
uS
R1
R2 C
L1
3
4 5
2
抽象 1
3
2
4 5
线图
+
- 自环
+
-
us R1 R
2L1 L2
M例：
uS
R1
R2 C
L1
3
4 5
2
i2 i4 i5
542 iii ?? 542 iii ??
1
3
2
4
5
有向图
1,图 (Graph)
G={支路，节点 }
①
②
１
2.子图
路径：从图 G的一个节点出发沿着一些支路连续移动到达
另一节点所经过的支路构成路经。
二,回路、树、割集
1.回路 (Loop)
L是连通图的一个子图，构成一条闭合路径，并满足：
(1)连通 (2)每个节点关联支路数恰好为 2。
1 2 3
4
5
6
7
8
2
5
3 1 2
7 58 9
回路 不是回路
3.连通图
图 G的任意两节点间至少有
一条路经时称为连通图，
非连通图至少存在两个分离部分。
树
树支：属于树的支路
连支：属于 G而不属于 T的支路
树支数 bT=n-1
连支数 bl=b-(n-1)
2.树 (Tree)
T是连通图的一个子图满足下列条件：
(1)连通
(2)包含所有节点
(3)不含回路
基本回路 (单连支回路 )
1
2
3
4 5
6
1
2
3
5
1
2
3
6
基本回路数 =连支数 =b-(n-1)
3.割集 Q (Cut set )
Q是连通图 G中支路的集合，具有下述性质：
(1)把 Q中全部支路移去，图分成二个分离部分。
(2)任意放回 Q 中一条支路，仍构成连通图。
2
4
5
6 {2,4,5,6}
1
3
2
{2,3,6}
1
4
5 ?
1
2
3
4
6
5
7
{1,3,5,6}是否割集？
2 4 7
1
3
1 2 5
36
4
7 8
{1,2,3,4}
是否割集？
5
7 8
6
找割集方法：作封闭曲面
1 2
34
5
6 {1,3,5,6}为割集
{2,3,6}为割集
连支集合不能构成割集
基本割集
(单树支割集 )
基本割集数 =(n-1){2,4,5,6}为割集
§ 15-2 关联 矩阵、回路矩阵、割集矩阵
一,关联矩阵 (描述节点和支路的关联性质 )
N个节点 b条支路的图用 n?b的矩阵描述
1
２
３
６
５４
①
②
④
③
Aa=
1
2
3
4
1 2 3 4 5 6 支节
-1 -1 0 1 0 0
0 0 1 -1 -1 0
1 0 0 0 1 1
0 1 -1 0 0 -1
ajk
ajk=1 支路 k与节点 j 关联，方向背离节点。
ajk= -1 支路 k与节点 j 关联，方向指向节点
ajk =0 支路 k与节点 j无 关
1
２
３
６
５４
①
②
④
③
设④为参考节点
A=
1
2
3
1 2 3 4 5 6 支节
-1 -1 0 1 0 0
0 0 1 -1 -1 0
1 0 0 0 1 1
A降阶关联矩阵 (n-1)?b
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i
i
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u
u
u
u
n
n
n
n
3
2
1设,
矩 阵形式的 KCL,[ A ][ i ]= 0
[A][ i ]=
1
２
３
６
５４
①
②
④
③ A=
1
2
3
1 2 3 4 5 6 支节
-1 -1 0 1 0 0
0 0 1 -1 -1 0
1 0 0 0 1 1
0
651
543
421
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???
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iii
iii
iii
-1 -1 0 1 0 0
0 0 1 -1 -1 0
1 0 0 0 1 1 ?
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2
1
31
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nn
nn
n
n
nn
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uu
uu
u
u
uu
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1
1
0
0
0
1
0
1
1
1
0
0
0
0
1
0
1
1
n
n
n
u
u
u
1
２
３
６
５４
①
②
④
③ ][][][
nTAu ?
二,基本回路矩阵 B
2。支路排列顺序为先树支后连支，
回路顺序与连支顺序一致
1 支路 j 在回路 i中方向一致
-1 支路 j 在回路 i中方向相反
0 支路 j 不在回路 i中
bij=
1
２
３
６
５４
(描述基本回路和支路的关联性质 )
规定：
1。连支电流方向为回路电流方向
B =
支回
l ?b的矩阵描述
1
２
３
６
５４
选 4,5,6为树，连支顺序为 1,2,3。
1
2
3
B =
4 5 6 1 2 3 支回
1 -1 0 1 0 0
1 -1 1 0 1 0
= [ Bt 1 ]
设
Tiiiiiii ] [][ 321654?
矩阵形式的 KVL,[ B ][ u ]= 0
T
lt uu
uuuuuuu ] [][ 321654 ??? ????? ???
0 1 -1 0 0 1
Bt Bl
[ B ][ u ]= 0 可写成 0] 1 [ ??
?
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??
?
l
t
t u
uB
Btut+ul=0 ul= - Btut
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5
4
3
2
1
u
u
u
u
u
u
u
u tl
1
２
３
６
５４
= [ Bt 1 ]12
3
B =
4 5 6 1 2 3 支回
1 -1 0 1 0 0
1 -1 1 0 1 0
0 1 -1 0 0 1
Bt Bl
矩阵形式的 KCL,[ B ]T[ il ]=[ i ]
连支电压用树支电压表示
?
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3
2
1
1
0
0
1
1
0
0
1
0
1
1
1
0
0
1
0
1
1
i
i
i
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3
2
1
6
5
4
3
2
1
32
321
21
i
i
i
i
i
i
i
i
i
ii
iii
ii
1
２
３
６
５４
矩阵形式的 KCL,[ B ]T[ il ]=[ i ]
B=[ Bt 1 ] ?
?
?
??
??
1
][
T
tT BB
??
?
??
???
?
?
??
?
l
t
l
T
t
i
iiB ][
1
tlTt ii ?? B 树支电流用连支电流表出
三, 基本割集矩阵 Q
行：表示基本割集
列：表示支路
规定,(1)割集方向为树支方向
(2)支路排列顺序先树支后连支
(3)割集顺序与树支次序一致
qij=
1 支路 j在割集 i中且与割集方向一致
-1 支路 j在割集 i中且与割集方向相反
0 支路 j不在割集中
(表示基本割集与支路的关联性质 )
1
２
３
６
５４
Q=
4 5 6 1 2 3 支割集
C1
C2
C3
1 0 0 -1 -1 0
0 1 0 1 1 -1
C1:{1,2,4} C2:{1,2,3,5} C3:{2,3,6}
设 Tiiiiiii ] [][ 321654? ut=[ u4 u5 u6 ]T
矩阵形式的 KCL,[ Q ][i ]=0 0] 1[ ??
?
?
??
?
l
t
l i
iQ
llt iQi ???
回路矩阵表示时 tlTt ii ?B Ttl BQ ???
1
２
３
６
５４
0 0 1 0 -1 1
QlQt
Q=
4 5 6 1 2 3 支割集
C1
C2
C3
1 0 0 -1 -1 0
0 1 0 1 1 -1
0 0 1 0 -1 1
QlQt
= [ Bt 1 ]12
3
B =
4 5 6 1 2 3 支回
1 -1 0 1 0 0
1 -1 1 0 1 0
0 1 -1 0 0 1
Bt Bl
1
２
３
６
５４
Ttl BQ ???
矩阵形式的 KVL,[Q ]Tut=u
?
?
?
?
?
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3
2
1
6
5
4
65
654
54
6
5
4
6
5
4
1
1
0
1
0
0
1
1
1
0
1
0
0
1
1
0
0
1
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uu
uuu
uu
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tTll uQu ??
1
２
３
６
５４
矩阵形式的 KVL,[Q ]Tut=u
连支电压用树支电压表示
Q
Qi=0
QTut=u
小结：
tlTt ii ?B
ul= - Btut
llt iQi ??
tTll uQu ?
Ttl BQ ??
A B
KCL Ai=0 BTil=i
KVL ATun=u Bu=0
§ 15.3 节点法
一,节点方程的矩阵式
电路分析依据：
KCL [A][ i ]=0
KVL [u]=[A]T[un]
元件特性
设标准支路为：
条支路电压第
条支路电流第
kU
kI
k
k
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独立电流源
独立电压源
sk
sk
I
U
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规定每个支路必须有一个阻抗
k支路抽象为：
k
.I
Sk
Zk
.U
k
.
IK ekI
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k支路电压、电流关系：
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skkskkk UZIIU
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[Z]=diag[Z1Z2……Z b]T [Y]=diag[Y1Y2……Y b]
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Sk
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k
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? ? ? ? ??????????????????????????? ???? SS IUYUYI
k支路电压、电流关系：
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111
2
1
1
00
00
00
展开：
.I
Sk
Zk
.U
k
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IK ekI
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SKU
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由 KCL有 ? ?? ? 0??IA
? ?? ? ? ?? ? ? ? 0????????????????????? ??? SS IAUYAUYA
由 KVL有 ? ?
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??
??????
??
n
T UAU
? ?? ?? ? ? ? ? ?? ? ???????????????????? ??? SSnT UYAIAUAYA
为节点导纳阵
? ? ? ? ? ?? ? ???????????????????? ??? SSnn UYAIAUY
? ? ? ? ??????????????????????????? ???? SS IUYUYI
[Yn]
二,节点方程的形成
1
① 2 3
4 5
6
② ③
④
第一步：抽象为有向图
第二步：每条支路输入一组数据
B N1 N2 R US IS
1 1 4 0.5 -5 0
2 1 2 2 0 0
READ(*,*)B,N1,N2,R,US,IS
…,
.I
Sk
Zk
.U
k
.
IK ekI
?
SKU
?
5V
0.5W 2W
1W
0.5W
5W 1W
3A1A
第三步：形成 [A] A[N
1][B]=1
A[N2][B]= -1 支路 2,A[1][2]=1A[2][2]= -1
1
2
3
A=
1 2 3 4 5 6 支节
1 1 0 0 0 1
0 -1 1 1 0 0
0 0 -1 0 1 -1
支路 3,A[2][3]=1 A[3][3]= -1
第四步：形成 [Y]
Y[B][B]=1/R
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1
1
2.0
2
5.0
2
Y
1
① 2 3
4 5
6
② ③
④
第六步：用矩阵乘法求得节点方程
? ?? ?? ? ? ? ? ?? ? ???????????????????? ??? SSnT UYAIAUAYA
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3
1
50
400
07.20
005.3
3
2
1
U
U
U
n
n
n
第五步：形成 [US],[IS]
US[B]=US IS[B]=IS
US=[ -5 0 0 0 0 0 ]T
[IS]=[0 0 0 -1 3 0 ]T
5V
0.5W 2W
1W
0.5W
5W 1W
3A1A
1
① 2 3
4 5
6
② ③
④
2112222 )()( SSS UIIMjIILjU
?????? ????? ??
1221111 )()( SSS UIIMjIILjU
?????? ????? ??
一,有互感时的节点方程
.U
S1
.I
S2
.I
S1
.
US2
jωL1
jωL2
*
*
M
.I
1
.I
2
三、具有互感、受控源电路的节点法
? ? ? ? ??????????????????????????? ???? SS IUYUYI
? ? ? ? ??????????????????????????? ???? SS UIZIZU
[Y]=[Z]-1
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1
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11
2
1
2
1
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S
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U
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LjMj
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U
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Z
Z
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U
U
U
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11
3
2
1
2
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0
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[Y]=[Z]-1
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b
Y
Y
LM
ML
Y
0
0
3
1
2
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)( 221 MLLj ??? ?
二,具有受控源电路的节点方程
)( skkkekkek UUYUYI ???? ???
)( sjjkjejkjdk UUgUgI ???? ???
sksjjkjskkkk IUUgUUYI
?????? ?????? )()(
)( sjjjej UUYI ??? ??
sksjjjkjskkkk IUUYUUYI
?????? ?????? )()( ?
ejkjdk UgI
?? ?设
VCCS)1( 为dkI?
ejkjdk II
?? ? ?设 CCCS)2( 为
dkI
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1111
1
0
0
考虑 b个支路时：
jkjY? kjg
sksjjkjskkkk IUUgUUYI
?????? ?????? )()(
5 2
4
3
1２ 3１
0
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01101
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G5 C3
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*
M
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0
例：
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ua
G5 C3
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+ - *
*
M
L2
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22
344
454 s
n
n
n I
U
U
U
MLLML
MLL
LjGgGg
GGG
?
代入
§ 15.4 回路法、割集法
一,回路法
设回路电流为未知量 [il ],
(b-n+1)?1阶。
? ? 0 ??????? ?UBK V L,
.I
Sk
Zk
.U
k
.
IK ekI
?
SKU
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? ? ????????????? ?? lT IBIK C L,
? ? 0][]][[]][[ ???????????????????????????? ???? SS UBIZBIZBUB
??
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? ???
SSl
T IZBUBIBZB ]][[][]][][[
? ? ? ? ??????????????????????????? ???? SS UIZIZU
回路方程矩阵形式
zL
回路阻抗阵
二,割集法
以树支电压为未知量
元件特性：
割集方程矩阵形式
? ? 0Q ??????? ?IKC L, ?????????????
??
t
T UQUK V L ][,
? ? ? ? ??????????????????????????? ???? SS IUYUYI
? ? 0][]][[]][[ ???????????????????????????? ???? SS IQUYQUYQIQ
??
?
??
??
??
?
??
??
??
?
??
? ???
SSt
T UYQIQUQYQ ]][[][]][][[
Yt
割集导纳阵
要求：
1,掌握回路、树、割集的概念。
2.会写关联矩阵、基本回路矩阵、基本割集矩阵。
3.掌握节点方程的矩阵形式
? ?? ?? ? ? ? ? ?? ? ???????????????????? ??? SSnT UYAIAUAYA
(1)画出线图
(2)写出关联矩阵
(3)写出支路导纳阵
(4)以 3,4,5为树支写出基本回路矩阵 B，基本割集矩阵 Q。
4
① 1 2
3 5
6
② ③
④
uS C3
L2L1+
-
R4
R5
R6
* *
M
?
3I
① ② ③
?
3I?
A=
1
2
3
1 2 3 4 5 6 支节
-1 0 0 1 0 1
-1 1 1 0 0 0
0 -1 0 0 1 -1
uS C3
L2L1+
-
R4 R5
R6
* *
M
?
3I
① ② ③
?
3I?
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4
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1
2
1
00000
0
1
0000
00
1
000
0000
0000
0000
R
R
R
CjCj
LM
ML
Y
???
4
① 1 2
3 5
6
② ③
④
4
① 1 2
3 5
6
② ③
④ B =
3 4 5 1 2 6支回
3
4
5
支回
1 -1 0 1 0 0
-1 0 1 0 1 0
0 - 1 1 0 0 1
Bt Bl
Q=
3 4 5 1 2 6支割集
C1
C2
C3
1 0 0 -1 1 0
0 1 0 1 0 1
0 0 1 0 -1 -1
QlQt
§ 15.5 改进节点法
7?I
8?I
+ -
+
-
G1
G2
C4
L5
C3 L
6
1SI
?
6SI?
8SU
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7SU?
1 2 3
4
1 2 3
1
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2
4 8 6
3
5
4
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1711 SIIVG
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0)1()1( 74233
5
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5
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IVGVCjLjVCjLjG ????
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6
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5
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2:
3:
7?I
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+
-
G1
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1
7
2
4 8 6
3
5
4
][ 41 ??? ? VVV ?
0)( 844222 ????? ??? IVCjGVG ?
??? ??
721 SUVV
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84 SUV
4：
矩 阵形式为：
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5
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1
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000011
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1
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H
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021
12
Yn,为 电压源支路断开后的电路节点导纳阵
H12：表明每个节点和哪几个纯电压源支路相关联
H21：表明这些支路电压和哪些节点电压相关联 ??
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1
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H
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021
12
：为电压源支路设定的电流列矢量?EI
:?nJ 为注入节点的电流源列矢量
：?SU 为电压源支路的电压列矢量
：为节点电压列矢量?V
