第八章 相量法
本章重点内容：
? 相位差
? 正弦量的相量表示
? 复阻抗复导纳
? 相量图
§ 8,1 复数
1,复数 A表示形式：
Ab
Re
Im
a0
Ab
Re
Im
a0
y
|A|
复数及运算
jbaA ?? yy ??? || AeAA j
jje j ???? 2s i n2co s2 ??
?
jje j ??????? )2s i n ()2c o s ()2( ??
?
1)s i n ()c o s ()( ??????? ??? je j
+j,–j,-1 都可以看成旋转因子。
Re
Im
0
I?Ij ??
Ij??I??
3,旋转因子
复数 ejy = cos y + jsin y = 1∠ y
A逆时针旋转一个角度 y，模不变
2,复数运算
A1± A2=(a1± a2)+j(b1± b2)(1)加减运算 ——直角坐标
(2) 乘除运算 ——极坐标
212121 yy ???? AAAA
Aejy
一, 正弦量的三要素：
i(t)=Imsin(w t +y )
i
+ _u
§ 8,2 正弦量
(1) 幅值 (amplitude) (振幅, 最大值 ) Im
(2)角频率 (angular frequency) w
(3) 初相位 (initial phase angle) y
y
Im
w t
i(t)=Imsin(w t+y)i
波形图
t
一般 |y | ??
i
y
0
y =?/2
0
y =-?/2
0
y =0
0
初相位 y
二、同频率正弦量的相位差 (phase difference)。
设 u(t)=Umsin(w t+y u)
i(t)=Imsin(w t+y i)
相位差
? = (w t +y u) - (w t +y i)
= y u-y i
? >0,u 领先 (超前 )i,或 i落后 (滞后 ) u
w t
u,i
u
i
yuyi
?
0
? <0,i 领先 (超前 ) u,或 u 落后 (滞后 ) i
? = 0,同相,? = ?? (? 180o ), 反相：
规定, | ? | ?? ( 180° )
特殊相位关系：
w t
u,i
u
i
0
w t
u,i
u
i
0
w t
u,i
ui
0
? = 90°
u 领先 i 90°
或 i 落后 u 90°
1,定义
有效值也称 方均根值 (root-meen-square，简记为 rms。 )
三, 有效值 (effective value)
??
T
tti
T
I
0
2
d e f
d)(
1
电压有效值
??
T
ttu
T
U
0
2
d e f
d)(1
2,正弦电流、电压的有效值
设 i(t)=Imsin(w t + y )
ttITI T d ) (s i n1 0 22m? ?? yw
Tttttt TTT 2121d2 )(2c o s1d ) (s i n 000 2 ?????? ?? ywyw?
II
I
IT
I
T
I
2
707.0
22
1
m
m
m2
m
?
?????
) s i n (2) s i n ()( m ywyw ???? tItIti
?? T ttiTI 0 2
d e f
d)(1
注意,只适用正弦量
§ 8,3 相量法的基
础
复常数
一、正弦量的相量表示
复函数
)tj(e2)( yw ?? ItA
若对 A(t)取虚部,) s i n (2)](I m [ yw ?? tItA
)tj(e2)( ) s i n (2 ywyw ????? ItAtIi
A(t)还可以写成 tItA wy jj ee2)( ?
) s i n (2j) c o s (2 ywyw ???? tItI
teI wj2 ??
称 为正弦量 i(t) 对应的相量。 y??? II
) s i n (2)( yyw ????? ? IItIti
)s i n (2)( yyw ????? ? UUtUtu
正弦量的相量表示,
相量的模表示正弦量的有效值
相量的幅角表示正弦量的初相位
已知例 1.
试用相量表示 i,u 。)V6014t3 1 1, 1 s i n ( 3 A)30314s i n (4.141 oo?? ??u ti
解,
V602 2 0
A301 0 0
o
o
???
??
?
?
U
I
旋转因子相量
例 2.
试写出电流的瞬时值表达式。
解,
A)153 1 4s i n (250 o?? ti
,50 H z A,1550 o ???? fI已知
相量的几何意义
)s i n (2)( ywy ????? tItiII?
tjItAII wy e2)( ?? ????
A(t)是旋转相量
旋转相量在纵轴上的投影就是正弦函数
二, 相量图
ii IItωIti yy ????? ?) s i n (2)(
uu UUtUtu yyw ????? ?)s i n (2)(
y iy u
?
U
?I
三, 相量运算
(1) 同频率正弦量相加减
)2I m () s i n (2)(
)2I m () s i n (2)(
j
2222
j
1111
t
t
eUtUtu
eUtUtu
w
w
yw
yw
?
?
???
???
)()( )( 21 tututu ??
U?
21 UUU ??? ??
得：
)2I m ()2I m ( j2j1 tt eUeU ww ?? ??
)22I m ( j2j1 tt eUeU ww ?? ?? ))(2I m ( j21 teUU w?? ??
这实际上是一种变换思想，由时域变换到频域
时域, 在变量是时间函数条件下研究网络，以时间为自
变量分析电路。
频域, 在变量经过适当变换的条件下研究网络，以频率为
自变量分析电路。
向量法, 将正弦时间函数,变换” 为相量后再进行分析,
属于频域分析。
i1 ? i2 = i3
321 III ??? ??
时域
频域
例
V )603 1 4s i n (24)(
V )303 1 4s i n (26)(
o
2
1
??
??
ttu
ttu ?
同频正弦量的加, 减运算可借助相量图进行 。 相量图在正弦稳
态分析中有重要作用, 尤其适用于定性分析 。
V604
V 306
o
2
o
1
??
??
U
U
?
?
V )9.413 1 4s i n (267.9)()()( o21 ????? ttututu
????? 60430621 ?????? UUU
Re
Im
?30
1U?
?9.41
U?
Re
Im
?9.41
?30
1U?
?60
2U?
U?
464.323196.5 jj ????
4 64.61 96.7 j?? V 9.4167.9 o??
?60
2U?
2, 正弦量的微分，积分运算
Ii ??
Ij
dt
di ?w?
I
j
i d t ?
w
1
? ?
Ii ??
]2I m [ tjeI
dt
d
dt
di w?
?
证明：
] 2I m [ tjejI ww??
]2[Im tjeIdtd w??
相量法小结
① 正弦量 相量
时域 频域
② 相量法只适用于激励为同频正弦量的非时变线性电路。
③ 相量法可以用来求强制分量是正弦量的任意常系数线
性微分方程的特解, 即可用来分析正弦稳态电路 。
N
线性
N
线性
w1
w2 非线性w
不适用
正弦波形图 相量图
一, 基尔霍夫定律的相量形式
??
??
???
???
0 0)(
0 0)(
Utu
Iti
?
?
二, 电路元件的相量关系
I
C
Uti
C
u
ILjU
t
i
Lu
IRURiu
??
??
??
w
w
j
1
d
1
d
d
???
??
??
§ 8,4 电路定律的相量形式
1,电阻
)s i n (2)( yw ?? tIti已知
)s i n (2)()( yw ??? tRItRitu R则
uR(t)
i(t)
R
+
-
相量形式：
y
y
??
??
RIU
II
R
?
?
有效值关系,UR = RI
相位关系,u,i 同相
相量模型
R
+
-RU?
I?
相量关系
IRU R ?? ?
I?
U?
相量图
频域
有效值关系
U=w L I
相位关系
u 超前 i 90°
ILU ?? wj?
o0?? II?
jw L
相量模型
+
-
U?
I?
U?
I?
相量图
2, 电感
i(t)
u (t) L
+
-
时域模型
时域
tIti ws i n2)( ?
)90s i n (2
c o s2
d
)(d
)(
o
??
?
?
tIL
tIL
t
ti
Ltu
ww
ww
w t
u,i u
i
0
波形图
感抗的物理意义：
(1) 表示限制电流的能力；
(2) 感抗和频率成正比。
w
XL
XL= U/I =w L= 2? f L,单位, 欧
感抗;,,;,0 ),(0
开路
短路直流
????
??
L
L
X
X
w
w
U=w L I
(3) 由于 感抗的存在使电流落后电压。
i
uL ?w
I
UL
?
??w
错误的写法
频域
有效值关系
I=w C U
相位关系
i 超前 u 90°
UCI ?? wj?
o0?? UU?
时域
tUtu ws i n2)( ?
)90s i n (2
co s2
d
)(d
)(
o
??
?
?
tCU
tCU
t
tu
Cti
ww
ww
w t
u,i
u
i
0
波形图
3,电容
时域模型
i (t)
u(t) C
+
-
U?
I?
相量图
相量模型
I?
U?
+
- Cjw
1
容抗的物理意义：
(1) 表示限制电流的能力；
(2) 容抗的绝对值和频率成反比。
容抗;,0,;,),(0 C
旁路作用
隔直作用直流
???
???
CX
X
w
w
I=w CU
(3) 由于 容抗的存在使电流领先电压。
i
u
C ?w
1
I
U
C ?
??
w
1
错误的写法
CI
U
w
1?
CX C w
1??定义
w
CX
三, 电路的相量模型 (phasor model )
时域列写微分方程 相量形式代数方程
L
C RuS
iL iC
iR
+
-
jw L
1/jw CSU?
LI? CI?
RI?
R
+
-
时域电路 相量模型
RCL iii ??
RCL III ??? ??
Sdd
d uti
Ct
iL
CL ?? ?
1
?? tiCiR CR d1
Sj
1 UI
CILj CL ??? ?? ww
CR ICIR ?? wj
1?
相量模型,电压、电流用相量；元件用复数阻抗或导纳。
四, 相量图
1,同频率的正弦量才能表示在同一个向量图中；
2,以 w角速度反时针方向旋转；
3,选定一个参考相量 (设初相位为零。 )
选 ùR为参考相量
U?
RI? CUU ?? ?R
LI?
CI?
LU?
jw L
1/jw CU?
LI? C
I?
RI?
R
+
-
RU?
+
-
+
+
-
-
LU?
CU?
小 结
1,求正弦稳态解是求微分方程的特解, 应用相量法
将该问题转化为求解复数代数方程问题 。
2,引入电路的相量模型, 不必列写时域微分方程,
而直接列写相量形式的代数方程 。
3,采用相量法后, 电阻电路中所有网络定理和一般
分析方法都可应用于交流电路 。
本章重点内容：
? 相位差
? 正弦量的相量表示
? 复阻抗复导纳
? 相量图
§ 8,1 复数
1,复数 A表示形式：
Ab
Re
Im
a0
Ab
Re
Im
a0
y
|A|
复数及运算
jbaA ?? yy ??? || AeAA j
jje j ???? 2s i n2co s2 ??
?
jje j ??????? )2s i n ()2c o s ()2( ??
?
1)s i n ()c o s ()( ??????? ??? je j
+j,–j,-1 都可以看成旋转因子。
Re
Im
0
I?Ij ??
Ij??I??
3,旋转因子
复数 ejy = cos y + jsin y = 1∠ y
A逆时针旋转一个角度 y，模不变
2,复数运算
A1± A2=(a1± a2)+j(b1± b2)(1)加减运算 ——直角坐标
(2) 乘除运算 ——极坐标
212121 yy ???? AAAA
Aejy
一, 正弦量的三要素：
i(t)=Imsin(w t +y )
i
+ _u
§ 8,2 正弦量
(1) 幅值 (amplitude) (振幅, 最大值 ) Im
(2)角频率 (angular frequency) w
(3) 初相位 (initial phase angle) y
y
Im
w t
i(t)=Imsin(w t+y)i
波形图
t
一般 |y | ??
i
y
0
y =?/2
0
y =-?/2
0
y =0
0
初相位 y
二、同频率正弦量的相位差 (phase difference)。
设 u(t)=Umsin(w t+y u)
i(t)=Imsin(w t+y i)
相位差
? = (w t +y u) - (w t +y i)
= y u-y i
? >0,u 领先 (超前 )i,或 i落后 (滞后 ) u
w t
u,i
u
i
yuyi
?
0
? <0,i 领先 (超前 ) u,或 u 落后 (滞后 ) i
? = 0,同相,? = ?? (? 180o ), 反相：
规定, | ? | ?? ( 180° )
特殊相位关系：
w t
u,i
u
i
0
w t
u,i
u
i
0
w t
u,i
ui
0
? = 90°
u 领先 i 90°
或 i 落后 u 90°
1,定义
有效值也称 方均根值 (root-meen-square，简记为 rms。 )
三, 有效值 (effective value)
??
T
tti
T
I
0
2
d e f
d)(
1
电压有效值
??
T
ttu
T
U
0
2
d e f
d)(1
2,正弦电流、电压的有效值
设 i(t)=Imsin(w t + y )
ttITI T d ) (s i n1 0 22m? ?? yw
Tttttt TTT 2121d2 )(2c o s1d ) (s i n 000 2 ?????? ?? ywyw?
II
I
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I
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I
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m
m2
m
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) s i n (2) s i n ()( m ywyw ???? tItIti
?? T ttiTI 0 2
d e f
d)(1
注意,只适用正弦量
§ 8,3 相量法的基
础
复常数
一、正弦量的相量表示
复函数
)tj(e2)( yw ?? ItA
若对 A(t)取虚部,) s i n (2)](I m [ yw ?? tItA
)tj(e2)( ) s i n (2 ywyw ????? ItAtIi
A(t)还可以写成 tItA wy jj ee2)( ?
) s i n (2j) c o s (2 ywyw ???? tItI
teI wj2 ??
称 为正弦量 i(t) 对应的相量。 y??? II
) s i n (2)( yyw ????? ? IItIti
)s i n (2)( yyw ????? ? UUtUtu
正弦量的相量表示,
相量的模表示正弦量的有效值
相量的幅角表示正弦量的初相位
已知例 1.
试用相量表示 i,u 。)V6014t3 1 1, 1 s i n ( 3 A)30314s i n (4.141 oo?? ??u ti
解,
V602 2 0
A301 0 0
o
o
???
??
?
?
U
I
旋转因子相量
例 2.
试写出电流的瞬时值表达式。
解,
A)153 1 4s i n (250 o?? ti
,50 H z A,1550 o ???? fI已知
相量的几何意义
)s i n (2)( ywy ????? tItiII?
tjItAII wy e2)( ?? ????
A(t)是旋转相量
旋转相量在纵轴上的投影就是正弦函数
二, 相量图
ii IItωIti yy ????? ?) s i n (2)(
uu UUtUtu yyw ????? ?)s i n (2)(
y iy u
?
U
?I
三, 相量运算
(1) 同频率正弦量相加减
)2I m () s i n (2)(
)2I m () s i n (2)(
j
2222
j
1111
t
t
eUtUtu
eUtUtu
w
w
yw
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???
???
)()( )( 21 tututu ??
U?
21 UUU ??? ??
得：
)2I m ()2I m ( j2j1 tt eUeU ww ?? ??
)22I m ( j2j1 tt eUeU ww ?? ?? ))(2I m ( j21 teUU w?? ??
这实际上是一种变换思想，由时域变换到频域
时域, 在变量是时间函数条件下研究网络，以时间为自
变量分析电路。
频域, 在变量经过适当变换的条件下研究网络，以频率为
自变量分析电路。
向量法, 将正弦时间函数,变换” 为相量后再进行分析,
属于频域分析。
i1 ? i2 = i3
321 III ??? ??
时域
频域
例
V )603 1 4s i n (24)(
V )303 1 4s i n (26)(
o
2
1
??
??
ttu
ttu ?
同频正弦量的加, 减运算可借助相量图进行 。 相量图在正弦稳
态分析中有重要作用, 尤其适用于定性分析 。
V604
V 306
o
2
o
1
??
??
U
U
?
?
V )9.413 1 4s i n (267.9)()()( o21 ????? ttututu
????? 60430621 ?????? UUU
Re
Im
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1U?
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U?
Re
Im
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4 64.61 96.7 j?? V 9.4167.9 o??
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2, 正弦量的微分，积分运算
Ii ??
Ij
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I
j
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1
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Ii ??
]2I m [ tjeI
dt
d
dt
di w?
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证明：
] 2I m [ tjejI ww??
]2[Im tjeIdtd w??
相量法小结
① 正弦量 相量
时域 频域
② 相量法只适用于激励为同频正弦量的非时变线性电路。
③ 相量法可以用来求强制分量是正弦量的任意常系数线
性微分方程的特解, 即可用来分析正弦稳态电路 。
N
线性
N
线性
w1
w2 非线性w
不适用
正弦波形图 相量图
一, 基尔霍夫定律的相量形式
??
??
???
???
0 0)(
0 0)(
Utu
Iti
?
?
二, 电路元件的相量关系
I
C
Uti
C
u
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i
Lu
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??
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w
w
j
1
d
1
d
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§ 8,4 电路定律的相量形式
1,电阻
)s i n (2)( yw ?? tIti已知
)s i n (2)()( yw ??? tRItRitu R则
uR(t)
i(t)
R
+
-
相量形式：
y
y
??
??
RIU
II
R
?
?
有效值关系,UR = RI
相位关系,u,i 同相
相量模型
R
+
-RU?
I?
相量关系
IRU R ?? ?
I?
U?
相量图
频域
有效值关系
U=w L I
相位关系
u 超前 i 90°
ILU ?? wj?
o0?? II?
jw L
相量模型
+
-
U?
I?
U?
I?
相量图
2, 电感
i(t)
u (t) L
+
-
时域模型
时域
tIti ws i n2)( ?
)90s i n (2
c o s2
d
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tIL
tIL
t
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Ltu
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u,i u
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波形图
感抗的物理意义：
(1) 表示限制电流的能力；
(2) 感抗和频率成正比。
w
XL
XL= U/I =w L= 2? f L,单位, 欧
感抗;,,;,0 ),(0
开路
短路直流
????
??
L
L
X
X
w
w
U=w L I
(3) 由于 感抗的存在使电流落后电压。
i
uL ?w
I
UL
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??w
错误的写法
频域
有效值关系
I=w C U
相位关系
i 超前 u 90°
UCI ?? wj?
o0?? UU?
时域
tUtu ws i n2)( ?
)90s i n (2
co s2
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)(d
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tCU
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ww
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波形图
3,电容
时域模型
i (t)
u(t) C
+
-
U?
I?
相量图
相量模型
I?
U?
+
- Cjw
1
容抗的物理意义：
(1) 表示限制电流的能力；
(2) 容抗的绝对值和频率成反比。
容抗;,0,;,),(0 C
旁路作用
隔直作用直流
???
???
CX
X
w
w
I=w CU
(3) 由于 容抗的存在使电流领先电压。
i
u
C ?w
1
I
U
C ?
??
w
1
错误的写法
CI
U
w
1?
CX C w
1??定义
w
CX
三, 电路的相量模型 (phasor model )
时域列写微分方程 相量形式代数方程
L
C RuS
iL iC
iR
+
-
jw L
1/jw CSU?
LI? CI?
RI?
R
+
-
时域电路 相量模型
RCL iii ??
RCL III ??? ??
Sdd
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Ct
iL
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1
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Sj
1 UI
CILj CL ??? ?? ww
CR ICIR ?? wj
1?
相量模型,电压、电流用相量；元件用复数阻抗或导纳。
四, 相量图
1,同频率的正弦量才能表示在同一个向量图中；
2,以 w角速度反时针方向旋转；
3,选定一个参考相量 (设初相位为零。 )
选 ùR为参考相量
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RI? CUU ?? ?R
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LI? C
I?
RI?
R
+
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RU?
+
-
+
+
-
-
LU?
CU?
小 结
1,求正弦稳态解是求微分方程的特解, 应用相量法
将该问题转化为求解复数代数方程问题 。
2,引入电路的相量模型, 不必列写时域微分方程,
而直接列写相量形式的代数方程 。
3,采用相量法后, 电阻电路中所有网络定理和一般
分析方法都可应用于交流电路 。
