第 九 章 正弦稳态电路的分析
重点：
? 复阻抗复导纳
? 相量图
? 用相量法分析正弦稳态电路
? 正弦交流电路中的功率分析
9,1 阻抗、导纳及其等效变换
1,复阻抗与复导纳
正弦激励下
I?
ZU?
+
-
无源
线性
I?
U?
+
-
XRφZ
I
UZ j||
????? ?
?
复阻抗
|Z|
R
X
j
阻抗三角形
iu ????j
单位,?I
UZ ? 阻抗模
阻抗角
复导纳 Y
)'( '||j ui ΨΨφφYBGUIY ??????? ??
|Y|
G
B
j?
导纳三角形
ZYYZ
1,1 ??对同一二端网络,
2,R,L,C 元件的阻抗和导纳
（ 1） R,G
RYRZ RR ??? 1,
（ 2） L：
LjLjYLjZ LL ???????
11,
（ 3） C：
CjYCjCjZ CC ???????,11
单位：
S
3,RLC串联电路
用相量法分析 R,L,C串联电路的阻抗。
由 KVL：
,1j,j.,,,, I
CILIRUUUU CLR ????????
IXXjRICLjR CL ?? )]([)]1([ ????????
IjXR ?)( ??
CLR uuuu ???
其相量关系也成立
L
C
R
u
uL
uC
i
+
-
+
-
+ -+ -uR
,I j? LR
+
-
+
-
+ -
,U
LU
,
CU
,
Cωj
1
+
jXR
C
jLjRZ
??
?
????
1
j????? ||j,
,
ZXR
I
UZ则
Z—复阻抗； R—电阻 (阻抗的实部 )； X—电抗 (阻抗的虚部 )；
|Z|—复阻抗的模； j—阻抗角。
关系：
a r c t g
| | 22
??
?
?
?
?
??
R
Xφ
XRZ 或
R=|Z|cosj
X=|Z|sinj
|Z|
R
X
j
阻抗三角形iu
I
U
Z
????j
?
具体分析一下 R,L,C 串联电路：
Z=R+j(?L-1/?C)=|Z|∠ j
?L > 1/? C, X>0,j >0，电路为感性，电压领先电流；
?L<1/? C, X<0,j <0，电路为容性，电压落后电流；
?L=1/? C, X=0,j =0，电路为电阻性，电压与电流同相。
画相量图,选电流为参考向量 (?L > 1/? C )
三角形 UR, UX, U 称为电压三
角形，它和阻抗三角形相似。即C
U?
I?RU?
LU?
U?
j UX
22 XR UUU ??
0?i?
例, L
C
R
u
uL
uC
i
+
-
+
-
+ - 已知,R=15?,L=0.3mH,C=0.2?F,
,Hz103 ),60s i n (25 4???? ftωu ?
求 i,uR,uL,uC,
解,
其相量模型为
,I j? LR
+
-
+
-
+ -
,U
LU
,
CU
,
Cωj
1
V ?605 ???U
CLRZ ??
1jj ???
uuuu CLR ???
Ωjjj 5.56103.01032 34 ?????? ??? L
Ωjπj1j 5.26102.01032 1 64 ????????? ?C?
5.265.5615 jj ??? Ω o4.6354.33 ??
A oo
o
4.3149.04.6354.33 605 ???????
?
?
Z
UI
则 A ω
o )4.3(s in21 4 9.0 ?? ti
UL=8.42>U=5，分电压大于总电压。
U?
LU?
CU?
I?RU?
j -3.4°
相量图
V oo 4.32 3 5.24.31 4 9.015 ???????? ?? IRU R
V j ooo 4.8642.84.314 9.0905.56 ???????? ?? ILU L ?
V C1j ooo 4.9395.34.3149.0905.26 ?????????? ?? IU C ?
V o )4.3s i n (2235.2 ?? tωu R
V o )6.86s i n (242.8 ?? tωu L
V o )4.93s i n (295.3 ?? tωu C
4,RLC并联电路
由 KCL：
CLR IIII
.,,, ???
i
L CRu
iL iC+
-
iL
,I
j? L,U
LI
,
CI
,
Cωj
1R
+
-
RI
,
,j,j,UCU
LUG ?? ???
1
,jj UC
LG )
1( ?
? ???
,j( UBBG
CL )[ ???
,j UBG )( ??
ui
u
i ψψ
U
I
ψU
I
U
IY ???
?
??? ?
,
,
Y—复导纳； G—电导 (导纳的实部 )； B—电纳 (导纳的虚部 )；
|Y|—复导纳的模； j'—导纳角。
关系：
a r c t g'
| | 22
??
?
?
?
?
??
G
B
φ
BGY 或
G=|Y|cosj '
B=|Y|sinj '
|Y|
G
B
j?
导纳三角形ui
U
IY
????j?
?
'j φYBG ???? ||
Y=G+j(?C-1/?L)=|Y|∠ j?
? C > 1/? L, B>0,j '>0，电路为容性,i领先 u；
? C<1/? L, B<0,j '<0，电路为感性,i落后 u；
?C=1/? L, B=0,j ? =0，电路为电阻性,i与 u同相。
画相量图,选电压为参考向量 (?C < 1/? L,j?<0 )
2222 )( CLGBG IIIIII ?????
U?
GI,
LI
,
I?
j '
CI
,
0??u
RLC并联电路同样会出现分电流大于总电流的现象
CLG IIII ???? ???
,I
j? L,U
LI
,
CI
,
Cωj
1R
+
-
RI
,
5,复阻抗和复导纳的等效互换
j φZXRZ ???? ||
一般情况 G?1/R B?1/X。 若 Z为感性,X>0，则 B<0，
即仍为感性。
o
o
Z
R
jX
o
o
G jBY
j '|| φYBGY ?????
BGXR XRXRZY jjj ???????? 2211
2222 XR XBXR RG ??????,
φ φZY ??? ',|| 1||
同样，若由 Y变为 Z，则有：
',
||
1
||
,
j
j
j
11
||j,'||j
2222
22
φ φ
Z
Y
BG
B
X
BG
G
R
XR
BG
BG
BGY
Z
φZXRZφYBGY
???
?
?
?
?
??
??
?
?
?
?
??
????????
o
o
Z
R
jX
o
o
G jBY
9,2 电路的相量图
1,电路的相量模型 (phasor model )
相量模型,电压、电流用相量；元件用复数阻抗或导纳。
L
C RuS
iL iC
iR
+
-
j? L
1/j? CSU?
LI? CI?
RI?
R
+
-
时域电路 相量模型
时域列写微分方程 相量形式代数方程
RCL iii ??
RCL III
??? ??
Sdd
d uti
Ct
iL
CL ?? ?
1
?? tiCiR CR d1
S
j
??? ?? UI
CILj CL ??
1
CR ICIR
?? ?
ωj
1
2,相量图
1,同频率的正弦量才能表示在同一个向量图中
2,反时针旋转角速度
3,选定一个参考相量 (设初相位为零。 )
例：上例中选 ùR为参考相量
U?LU? LI?CI
?
RI?
CU?RU? =
用途：
② 利用比例尺定量计算
① 定性分析
小结：
1,求正弦稳态解是求微分方程的特解, 应用相量法
将该问题转化为求解复数代数方程问题 。
2,引入电路的相量模型, 不必列写时域微分方程, 而
直接列写相量形式的代数方程 。
3,引入阻抗以后, 可将所有网络定理和方法都应用
于交流, 直流 （ f =0)是一个特例 。
9,3 正弦稳态电路的分析
电阻电路与正弦电流电路相量法分析比较：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
Gui
Riu
u
i
,
0,K V L
0,K C L
:
或
元件约束关系
电阻电路
,
0,K V L
0,K C L
:
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
?
?
?
?
UYI
IZU
U
I
或
元件约束关系
正弦电路相量分析
可见, 二者依据的电路定律是相似的 。 只要作出正弦
电流电路的相量模型, 便可将电阻电路的分析方法推广应
用于正弦稳态的 相量分析 中 。
例 1：已知 Z1=10+j6.28?,Z2=20-j31.9 ?,Z3=15+j15.7 ? 。
ZZZZ ZZZZ ????? 3
21
21
3ab
Z1Z2
Z3a
b
求 Zab。
9.312028.610
)9.3120)(28.610(
21
21
jj
jj
???
???
?? ZZ
ZZZ
o
oo
5.4045.39
61.5765.3713.3281.11
??
?????
86.289.10 j ??
Ω j
jj
o
ab
6.359.3156.1889.25
86.289.107.15153
????
??????? ZZZ
同直流电路相似：
Z
Z1
Z2
+ + +
-
-
-
? U
1
?U
2
?U
? I ?
I
Y
+
-
? U Y1 Y2
1
?I
2
?I
??
??
?
?
?
?
??
??
,:
,:
I
Y
Y
IYY
U
Z
Z
UZZ
k
k
kk
k
k
kk
并联
串联
阻抗串并联的计算
U
Z
Z
U
ZZZ
?? 1
1
21
?
??
I
Y
Y
I
YYY
?? 1
1
21
?
??
I
ZSZ
Z
I
ZZ
ZZ
Z
??
21
2
1
21
21
?
?
?
?
例 2,已知,
,/3 1 4,1 0 0
,10,5 0 0,10,1 0 0 0 21
sr a dVU
FCmHLRR
???
??????? 求,各支路电流。
Z1 Z2
R2+
_ L
i1
i2
i3
R1
C
u
U?
R2+
_
R1
1I?
2I?
3I? Cj ??
1
Lj?
解,画出电路的相量模型
??????
??
???
?
?
??
?
?
?
?
?
?
13.2 8 911.923.7245.3 0 3
7.175.1 0 4 9
901047.3 1 8
47.3 1 81 0 0 0
)47.3 1 8(1 0 0 0
1
)1( 3
1
1
1
j
j
j
C
jR
C
jR
Z
?
?
?
?????? 1571022 jLjRZ
Z1 Z2U?
R2+
_
R1
1I?
2I?
3I? Cj ??
1
Lj? ????
??
????
??
?
3.5299.166
13.13211.102
1571013.28911.92
21
j
jj
ZZZ
AZUI ??
???
3.526.03.5299.1 6 6 01 0 01 ???? ???
A
j
I
C
jR
CjI ??
?
?? 201 8 1.03.526.0
7.175.1 0 4 9
47.3 1 8
1
1
1
1
2 ???????
?
?
?
?
???
AI
C
jR
RI ??
?
?? 7057.03.526.0
7.175.1 0 4 9
1 0 0 0
1 1
1
1
3 ???????
?
?
?
Ati )3.523 1 4s i n (26.01 ???
AZUI ??
???
3.526.03.5299.1 6 6 01 0 01 ???? ???
A
j
I
C
jR
CjI ??
?
?? 201 8 1.03.526.0
7.175.1 0 4 9
47.3 1 8
1
1
1
1
2 ???????
?
?
?
?
???
AI
CjR
RI ??
?
?? 7057.03.526.0
7.175.1 0 4 9
1 0 0 0
1 1
1
1
3 ???????
??
?
Ati )20314s i n (2181.02 ???
Ati )703 1 4s in (257.03 ???
瞬时值表达式为：
解毕！
列写电路的回路电流方程和节点电压方程例 3,
解,
+_ su
siL R1
R2
R3R
4
C SI?
+_
R1 R2
R3R
4
Lj?
cj?
1?
SU?
1I?
2I?
4I?
3I?
回路法,
SUIRILjRILjRR ???? ?????? 3221121 )()( ??
0)()( 33112431 ??????? IRILjRILjRRR ??? ??
01)1( 42312332 ?????? ICjIRIRICjRR ???? ??
SII ?? ?4
SI?
+_
R1 R2
R3R
4
Lj?
cj?
1?
SU?
1nU?
2nU?
3nU?节点法,
Sn UU ?? ?1
011)111( 3
3
1
2
2
321
?????? nnn URURURRLjR ????
Snnn IUCjURUCjRR
???? ??????
12
3
3
43
1)11( ??
,
45,30
30j,A904
3
21
o
S
I
ZZ
ZZI
?
?
求：
已知：
ΩΩ
Ω
??
?????
法一：电源变换
?????? 15153030 )30(30// 31 jjjZZ
解：
例 4,Z2
SI?
Z1 ZZ3
I?
S31 )//( IZZ ?
Z2
Z1??Z3
Z
I?
+
-
ZZZZ
ZZII
???
?
231
31// )//(S
?
45301515
)1515(4
???
??
jj
jj
o
o
36, 9-5
455,65 7
?
?? A o9.8113.1 ??
法二：戴维南等效变换
V4586.84
)//(
o
310
??
? ZZIU S??
Z0
Z
0
?U
? I
+
-
例 5,用叠加定理计算电流
2
?I
Z2
SI?
Z1
Z3
2I?
S
?U
+
-
,Ω,Ω
A,V,
oo
o
S
o
S
30503050
0445100:
331 ??????
????
??
ZZZ
IU已知
Z2
SI?
Z1 Z3
0U?
求开路电压：
求等效电阻：
Ωj 4515
// 2310
??
?? ZZZZ
A9.8113.1454515 4586.84 o
0
0 ??
??
??
?? jZZ
UI ???
解,,)( )1( SS 短路单独作用 ?? UI
Z2
SI?
Z1
Z3
'2I?
32
3S
2
'
ZZ
ZII
??
??
Z2Z1
Z3
''2I?
S
?U
+
-
:)( )2( SS 开路单独作用 ?? IU
32
S
2
''
ZZ
UI
???
?
?
oo
222
13 515 5.13031.2
'''
?????
?? ??? III
oo
o
o
30503050
305004
????
????
A3031.2350 30200 o
o
????
A135155.1350 45100 o
o
??????
j 0, 8 1 7 )0, 8 1 7(j 1, 1 5 5 )(2 ?????
A9.1523.1
j 0,3 3 81,1 8 3
o???
??
已知平衡电桥 Z1=R1,Z2=R2,Z3=R3+j? L3。
求,Zx=Rx+j?Lx。
由平衡条件,Z1 Z3=Z2 Zx 得
R1(R3+j? L3)=R2(Rx+j ?Lx)
∴ Rx=R1R3 /R2,Lx=L3 R1/R2
例 6.
解,
Z1 Z2
Zx Z3
?
* |Z1|?j1?|Z3|?j3 = |Z2|?j2?|Zx|?jx
|Z1| |Z3| = |Z2| |Zx|
j1 +j3 = j2 +jx
已知,Z=10+j50?,Z1=400+j1000?。
90 o1 相位差和等于多少时，问,SUIβ ??
11111S )1( IZIβZIZIZU ????? ?????
例 7.
解,
? I
1 ?I
1
?Iβ
Z
Z1
+
_S ?U
.90,
o
11
相位差为实部为零
，关系：和分析：找出
转
转
Z
IZUUI SS ???? ?
)1 0 0 05050(j104 1 0)1( 1
1
S ???????? ββZZβ
I
U
?
?
41 010410 ???? ββ,令
.90 1000j o
1
S 故电流领先电压??
I
U
?
?
已知,U=115V,U1=55.4V,U2=80V,
R1=32?,f=50Hz
求,线圈的电阻 R2和电感 L2 。
画相量图进行定性分析。
例 8.
解,
R1
R2
L2
+
_
1U?
U? 2U?
+
_
+ _
? I
1U?
LU?
I?
2RU?
2U?q
2
U?
q
j??? c o s2 2122212 UUUUU
A73.132/4.55/ 11 ??? RUI
22121 LR UUUUUU ?????? ?????
j
?1.1154237.0c o s ?j???j
?? 9.641802 ?j??q
H1 3 3.0)2/(
8.41s i n ||
6.19co s ||
2.4673.1/80/||
2
222
222
22
??
??
?q?
???
fXL
θZX
ZR
IUZ
π
Ω
Ω
Ω
VUU L 45.729.64s i n80s i n 222 ???q? ?
VUU R 9.339.64c o s80c o s 222 ???q? ?
???? 6.1973.19.3322 IUR R
HL
IUL L
133.031488.41
88.4173.145.722
??
?????
用相量图分析
oo 0~180 ?为移相角，移相范围θ
例 9,移相桥电路。当 R2由 0??时,?ab 如何变化?U
解, 1U? U?
CU?
CI?
CU??
CI??;,21,,ab2 相位改变不变改变当由相量图可知 UUR ?
当 R2=0,q ??180?；当 R2??,q ?0?。
o oa b
1U?
2U? CU?
CI?
R2R1
R1
+
_U?
abU?
+
-
+
-
+
-
RU?
2U?
RU?
RU??
1
2121
2
,
UUU
UUU
U
UUUUU
Rab
CR
???
???
?
?????
??
??
????
q
abU?q?
abU??
9.4 正弦电流电路中的功率
无源一端口网络吸收的功率 ( u,i 关联 )
iu ΨΨφiuφ
φtωIti
tωUtu
??
??
?
)s i n (2)(
s i n2)(
的相位差和为
1,瞬时功率 (instantaneous power)
tωφUItωφUI
φtωφUI
φtωItωUuitp
2s i ns i n)2c o s1(c o s
)]2c o s ([ c o s
)s i n (2s i n2)(
???
???
????
无
源
+
u
i
_
第一种分解方法；
第二种分解方法。
第一种分解方法：
? tO
UIcosj (1-cos2? t)
- UIsinj sin2? t
第二种分解方法：
? p有时为正,有时为负 ；
? p>0,电路吸收功率,p<0，
电路发出功率；
UIcosj (1-cos2? t)为不可逆分量 。
UIsinj sin2? t为可逆分量。
? t
i
O
u
p
UIcosj
- UIcos(2? t?j )
)]2c o s ([ c o s )( φtφUItp ????
tUItφUItp ?????? 2s i ns i n)2c o s1(c o s)(
瞬时功率实用意义不大, 一般讨论所说的功率指一个周
期平均值 。
2,平均功率 (average power)P：
?? T tpTP 0 d1
j =?u-?i,功率因数角 。 对无源网络, 为其等效
阻抗的阻抗角 。
cos j,功率因数。
P 的单位, W（瓦）
? ?????? T ttUIUIT 0 d)]c o s (c o s[1
φUI c o s?
一般地,有 0??cosj??1
X>0,j >0,感性,滞后功率因数
X<0,j <0,容性,超前功率因数
例,cosj =0.5 (滞后 ),则 j =60o (电压领先电流 60o)。
cosj 1,纯电阻
0,纯电抗
平均功率 实际上是电阻消耗的功率, 亦称为有功功率 。
表示电路实际消耗的功率, 它不仅与电压电流有效值有关,
而且与 cosj 有关, 这是交流和直流的很大区别,主要由于
电压, 电流存在相位差 。
4,视在功率 (表观功率 )S
反映电气设备的容量。
3,无功功率 (reactive power) Q
φUIQ s i nd e f?
表示交换功率的最大值，单位,var (乏 )。
Q>0，表示网络吸收无功功率；
Q<0，表示网络发出无功功率。
Q 的大小反映网络与外电路交换功率的大小。是由储能元
件 L,C的性质决定的
)( VA, d e f 伏安单位UIS ?
5,R,L,C元件的有功功率和无功功率
u
i
R
+
-
PR =UIcosj =UIcos0? =UI=I2R=U2/R
QR =UIsinj =UIsin0? =0
对电阻,u,i 同相，故 Q=0,即电阻只吸收 (消
耗 )功率，不发出功率。
i
u L
+
-
PL=UIcosj =UIcos90? =0
QL =UIsinj =UIsin90? =UI
对电感,u领先 i 90°,故 PL=0,即电感不 消
耗 功率。由于 QL>0，故电感吸收无功功率。
i
u C
+
-
PC=UIcosj =Uicos(-90?)=0
QC =UIsinj =UIsin (-90?)= -UI
对电容,i领先 u 90°,故 PC=0,即电容不 消
耗 功率。由于 QC<0，故电容发出无功功率。
6,电感、电容的无功补偿作用
L
C
R
u
uL
uC
i
+
-
+
-
+ -
? t
i
O uL
uC
pL pC
当 L发出功率时, C刚好吸收功率, 则与外电路交换
功率为 pL+pC。 因此, L,C的无功具有互相补偿的作用 。
7,交流电路功率的测量
u
i
Z
+
-
W
*
*
i1
i2
R 电流线圈
电压线圈
单相功率表原理：
电流线圈中通电流 i1=i；电压线圈串一大电阻
R(R>>?L)后, 加上电压 u,则电压线圈中的电流近似为
i2?u/R2。
)s i n (2 ),s i n (2 21 φtωRURuiφtωIii ??????设
PKφUIKφIRUKM 'c o s'c o s ???则
指针偏转角度 (由 M确定 )与 P成正比, 由偏转角 (校准
后 )即可测量平均功率 P。
使用功率表应注意,
(1) 同名端：在负载 u,i关联方向下, 电流 i从电流线圈, *”
号端流入, 电压 u正端接电压线圈, *” 号端, 此时 P表
示负载吸收的功率 。
(2) 量程,P的量程 = U的量程 ?I的量程 ?cosj (表的 )
测量时,P,U,I均不能超量程。
已知：电动机 PD=1000W,U=220V,f =50Hz,C =30?F。
求负载电路的功率因数。
)( 96.0)]3.16(0c o s [c o s
3.1673.433.1j54.4
08.2jj02 2 0,8.3668.5
02 2 0
8.36,0, 8 (c o s
A68.5
8.02 2 0
1 0 0 0
c o s
oo
o
D
oo
D
o
o
DD
D
D
D
滞后
设
滞后）
?????
???????
??????
??
???
?
?
??
φ
III
CωII
U
φφ
φU
P
I
C
C
???
??
?
?
+
_ D CU?
I? CI?
DI?
例,
解,
例, 三表法测线圈参数。
已知 f=50Hz, 且 测 得
U=50V,I=1A,P=3W。
H127.0
314
40
3050
1
||
1
)(||
Ω50
1
50
||
Ω30
1
30
2222
22
22
2
??????
??
???
?????
314
RZ
ω
L
LωRZ
I
U
Z
I
P
RRIP
解,
R
L
+
_
U?
? I
ZV
A W
*
*
9,5 复功率
1,复功率
功率”来计算功率，引入“复和为了用相量 IU ??
)eeRe (
]Re [)c o s (
,
jj
)j(
iu
iu
IU
eUIΨΨUIP
ΨIIΨUU
iu
iu
??
??
?
?
??
???
???? ??
U? *I?
]R e[ *IUP ?? ??
))V a r(,s i n( j
s i njco s
)(
VA,*
乏单位无功功率其中
则
单位为复功率记
φUIQQP
φUIφUI
φSφUIΨΨUIS
IUS
iu
???
??
???????
? ??
U?
I?
负
载
+
_
有功，无功，视在功率的关系：
有功功率, P=UIcosj 单位,W
无功功率, P=UIsinj 单位,var
视在功率, S=UI 单位,VA
22 QPS ??
j
S
P
Q jZ
R
X jU
UR
UX R X+
_
+ _
o
o
+
_U?
RU?
XU?
功率三角形 阻抗三角形 电压三角形
电压、电流的有功分量和无功分量,
(以感性负载为例 )
R
X
+
_
+ _
+
_U?
RU?
XU?
? I
j
? I
? U
RU
?
XU
?
的无功分量为称
的有功分量为称
??
??
??
??
s i n
co s
UU
QφUIU
UU
PφUIU
X
X
R
R
的无功分量为称
的有功分量为称
??
??
??
??
s i n
c o s
II
QφUIUI
II
PφUIUI
B
B
G
G
j
? I
? U
BI
?
GI
?
G B
+
_
GI
?
? I
BI
?
? U
根据定义
吸收无功为负
吸收无功为正
0)90s i n (
090s i n
0
s i n
2
2o
2
2o
???????
?????
?
?
C
CC
L
LL
R
X
U
XIUIUIQ
X
U
XIUIUIQ
Q
φUIQ
(发出无功 )
电抗元件吸收无功, 在平均意义上不做功 。
反映了电源和负载之间交换能量的速率 。
m axm ax
2
m
222
2π2
2
1
)2(21
:
WTfWLIω
ILωLωIXIQ LL
?????
????
π
举例
无功的物理意义,
CX C ?
?? 1
)(*
*
,
*2***
2*
YUYUUYUUIUS
ZIIIZIUS
S
?????
????
??
????
????
也可以表示为以下式子复功率
复功率守恒定理,在正弦稳态下, 任一电路的所有支路吸收
的复功率之和为零 。 即
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
?
?
?
??
?
?
?
??
??
0
0
0)j(
0 0
1
1
1
1
*
1
b
k
k
b
k
kb
k
kk
b
k
kk
b
k
k
Q
P
QP
IUS
此结论可 用特勒根定理证明 。
21
21
2121
21
**
*)(*
SSS
UUU
SSIUIU
IUUIUS
???
??
????
???
???
????
?????
一般情况下：
?
?
?
b
k
kSS
1
+
_
+ _+
_U?
1U?
2U?
I?
.,* 不等于视在功率守恒复功率守恒
已知如图，求各支路的复功率。
VA 3 3 4 5j1 1 1 3
VA 1 9 2 0j7 6 8)
2510
1
(2 3 6
VA 1 4 2 4j1 8 8 2010)1.37(2 3 6
V )1.37(2 3 6
)]15j5/ / ()2510[(010
*
2
2
2
*2*
1
2
1
oo
o
o
???
??
?
??
???????
???
?????
YUS
j
YUS
S
jU
吸
吸
发
?
例,
+
_
U?10∠ 0
o A 10?
j25?
5?
-j15?
1I?
2I?
解一,
VA 1 4 2 3j1 8 8 5
)25j10)(3.1 0 5(77.810
VA 3 3 4 8j1 1 1 6)15j5(94.14
VA 1 9 2 3j7 6 9)25j10(77.8
A5.3494.14
A)3.1 0 5(77.8
15j525j10
15j5
010
o
11
*
2
2
2
22
2
1
2
11
o
12
oo
1
??
???????
??????
??????
????
???
???
?
???
ZIIS
ZIS
ZIS
III
I
S
S
??
???
?
发
吸
吸
+
_
U?10∠ 0
o A 10?
j25?
5?
-j15?
1I?
2I?
解二,
2,功率因数提高
设备容量 S (额定 )向负载送多少有功要由负载的阻抗角决定。
P=ScosjS
75kVA
负载 cosj =1,P=S=75kW
cosj =0.7,P=0.7S=52.5kW
一般用户,异步电机 空载 cosj =0.2~0.3
满载 cosj =0.7~0.85
日光灯 cosj =0.45~0.6
(1) 设备不能充分利用, 电流到了额定值, 但功率容量还有；
(2) 当输出相同的有功功率时, 线路上电流大 I=P/(Ucosj )，
线路压降损耗大 。
功率因数低带来的问题,
解决办法,并联电容，提高功率因数 (改进自身设备 )。
分析,
U?
I?
LI?
CI?
j1 j2
L
R
C
U?
I?
LI?
CI?
+
_
.c o s
,,,.,90
,
,,,
φ
IUI
UI C
电源端的功率因数
从而提高了的夹角减小了从相量图上看减少总电流
领先由于并联电容的电流生任何变化即负载工作状态没有发
吸收的有功无功都不变不变原感性负载取用的电流并联电容后
???
??
?
补偿容量的确定, U?
I?
LI?
CI?
j1 j2
)tgtg(
)tgtg(
co s
,
co sco s
co s
s i ns i n
212
21
122
1
21
φφ
Uω
P
C
φφ
U
P
I
φU
P
I
φU
P
φ
φI
I
φIφII
C
L
L
LC
???
??
???
??
代入得将
)tgtg( 212 φφPCUωQ C ???
补偿容
量不同 全 ——不要求 (电容设备投资增加,经济效果不明显 )
欠
过 ——使功率因数又由高变低 (性质不同 )
综合考虑，提高到适当值为宜 ( 0.9 左右 )。
功率因数提高后, 线路上电流减少, 就可以带更
多的负载, 充分利用设备的能力 。
再从功率这个角度来看,
并联 C后, 电源向负载输送的有功 UIL cosj1=UI
cosj2 不变, 但 是 电 源 向 负 载 输 送 的 无 功
UIsinj2<UILsinj1减少了, 减少的这部分无功就由电容
,产生, 来补偿, 使感性负载吸收的无功不变, 而功
率因数得到改善 。
已知,f=50Hz,U=380V,P=20kW,cosj1=0.6(滞后 )。要
使功率因数提高到 0.9,求并联电容 C。
o11 13.53 6.0c o s ?? φφ 得由
例,
P=20kW
cosj1=0.6
+
_
C
U?
L
R
C
U?
I?
LI?
CI?
+
_
解,
o22 84.25 9.0c o s ?? φφ 得由
U?
I?
LI?
CI?
j1 j2
F 375
)84.25tg13.53tg(
380314
1020
)tgtg(
2
3
212
??
?
?
?
?
?
?
?
??
φφ
U
P
C
补偿容量也可以用功率三角形确定：
j1 j2
P
QC
QL
Q )tgtg(
)tgtg(
212
2
21
φφ
ω U
PC
ω CUQ
φφPQQQ
C
L
???
?
????
单纯从提高 cosj 看是可以, 但是负载上电压改变了 。 在
电网与电网连接上有用这种方法的, 一般用户采用并联电容 。
思考,能否用串联电容提高 cosj?
9,6 最大功率传输
讨论正弦电流电路中负载获得最大功率 Pmax的条件。
S
?U
ZL
Zi
I?
+
-
Zi= Ri + jXi,ZL= RL + jXL
2
Li
2
Li
S
Li
S
)()(
,
XXRR
UI
ZZ
UI
???
?
?
?
?
?
(1) ZL= RL + jXL可任意改变
2
Li
2
Li
2
SL2
L )()( XXRR
URIRP
?????有功功率
(a) 先讨论 XL改变时,P的极值
显然，当 Xi + XL=0，即 XL =-Xi时,P获得极值
2
Li
2
SL
)( RR
URP
??
(b) 再讨论 RL改变时,P的最大值
当 RL= Ri时,P获得最大值
i
2
S
m a x 4 R
UP ?
综合 (a),(b)，可得负载上获得最大功率的条件是：
ZL= Zi*，即
RL= Ri
XL =-Xi
此结果可由 P分别对 XL,RL求偏导数得到 。
(2) 若 ZL= RL + jXL只允许 XL改变
此时获得最大功率的条件 Xi + XL=0，即 XL =-Xi 。
(3) 若 ZL= RL + jXL=|ZL|?j,RL,XL均可改变，但 XL/ RL不变
(即 |ZL|可变,j不变 )
2
Li
2
SL
m a x )( RR
URP
??
最大功率为
此时获得最大功率的条件 |ZL| = |Zi| 。
)s i nc os(2||2
c os
iii
2
S
m a x jj
j
XRZ
UP
???
最大功率为
证明如下：
(3)的证明,
)s i n2co s(2||
||
||
co s
s i n||2co s||2||||
co s||
22
co s||
)()(
iiL
L
2
i
2
S
LiLi
2
L
2
i
2
SL
2
LLi
2
i
2
LLi
2
i
2
SL
2
Li
2
Li
2
SL
φXφRZ
Z
Z
U
φZXφZRZZ
UZ
XXXXRRRR
UZ
XXRR
UR
P
???
?
???
?
?????
?
???
?
j
j
φ
|||| ||||
01
||
||
0,)||
||
||
(
||d
d
)|(| )||
||
||
(,
iL
2
L
2
i
2
L
2
i
L
L
2
i
L
LL
L
2
i
ZZZZ
Z
Z
Z
Z
Z
Z
ZZ
Z
Z
P
??
??
?
??
?
即
得即
改变最小需使最大若使
此时 Pmax即如 (3)中所示。 证毕！
谐振 (resonance)是正弦电路在特定条件下所产生的一种
特殊物理现象, 作为电路计算没有新内容, 主要分析谐振电
路的特点 。
9,7 串联电路的谐振
含有 L,C的电路, 当电路中端口电压,
电流同相时, 称电路发生了谐振 。
一,谐振的定义
R,L,C
电路U?
I?
相，电路发生谐振。纯电阻。电压、电流同
为时当入端阻抗 RZXjXRZ ????,0,
XR
XXRω Cω LRZ CL
j
)(j)1(j
??
??????
? I R
j? L
+
_
Cωj
1
? U
二,RLC串联电路的谐振
1、谐振条件：（谐振角频率）
谐振角频率 (resonant angular frequency)
LCω
1
0 ?
谐振频率 (resonant frequency)
LCf π2
1
0 ?
谐振周期 (resonant period)LCfT π2/1 00 ??
时，电路发生谐振。当 CLω
00
1 ??
2、使 RLC串联电路发生谐振的条件
（ 1）, L C 不变，改变 ?。
（ 2）, 电源频率不变，改变 L 或 C ( 常改变 C )。
?0由电路本身的参数决定，一个 R L C 串联电路只能有一
个对应的 ?0,当外加频率等于谐振频率时，电路发生谐振。
通常收音机选台, 即选择不同频率的信号, 就采用改变 C
使电路达到谐振 。
3,RLC串联电路谐振时的特点
,).1( 同相与 ?? IU
根据这个特征来判断电
路是否发生了串联谐振。
(2),入端阻抗 Z为 纯电阻，即 Z=R。电路中阻抗值 |Z|最小。
|Z|
??0O
R
(3),电流 I达到最大值 I0=U/R (U一定 )。
? I R
j? L
+
_ Cωj 1
? U
+ +
+
_
_
_
RU
?
LU
?
CU
?
相当于短路。LCUU CL,0 ?? ??
(4),LC上串联总电压为零, 即
。上，电源电压全部加在电阻 UU R ?? ?
串联谐振时, 电感上的电压和
电容上的电压大小相等, 方向相反,
相互抵消, 因此串联谐振又称 电压
谐振 。
LU
?
CU
?
RU
? ? I
谐振时的相量图
当 ?0L=1/(?0C )>>R 时,
UL= UC >>U 。
(5),功率
P=RI02=U2/R,电阻功率达到最大。
即 L与 C交换能量，与电源间无能量交换。
2
0
0
2
00
1,,0 I
CωQLIωQQQQ CLCL ??????
三、特性阻抗和品质因数
1,特性阻抗 (characteristic impedance) ?
单位,?
与谐振频率无关，仅由电路参数决定。
C
L
CL ??? 00
1
???
2,品质因数 (quality factor)Q
它是说明谐振电路性能的一个指标，同样仅由电路
的参数决定。
无量纲
C
L
RRCωR
Lω
RQ
11
0
0 ???? ?
谐振时的感抗或容抗
(a) 电压关系：
RIUU R ??? ?? 0
??? ?????? UQIR
R
LILU
L j
jj
0000?
??
?
?
?????? UQIR
CRC
IU
C j
1j
j 0000 ??
品质因数的意义：
U
U
U
U
RI
LIω
R
LωQ CL 00
0
000 ????
即 UL0 = UC0=QU
谐振时电感电压 UL0(或电容电压 UC0)与电源电压之比。
表明谐振时的电压放大倍数。
UL0和 UC0是外施电压 Q倍，如 ?0L=1/(?0C )>>R, 则 Q
很高,L 和 C 上出现高电压,这一方面可以利用，另一方面
要加以避免。
例,某收音机 C=150pF,L=250mH,R=20?
但是在电力系统中, 由于电源电压本身比较高, 一旦
发生谐振, 会因过电压而击穿绝缘损坏设备 。 应尽量避免 。
如信号电压 10mV,电感上电压 650mV 这是所要的。
65?? RQ ?Ω 1 2 9 0?? CL?
(b) 功率关系：
电源发出功率：无功
电源不向电路输送无功 。 电
感中的无功与电容中的无功
大小相等, 互相补偿, 彼此
进行能量交换 。
200 c o s RIUIP ?j?
0s i n0 ?j? UIQ
有功
+
_ P
Q
L C
R
)(
|| 00
2
0
2
000
功率谐振时电阻消耗的有功
中无功功率的绝对值或电容谐振时电感
?
??
?
?
?
?
P
Q
P
Q
RI
LI
R
L
Q CL
(c) 能量关系：
tLItCUCuw cmCC c o s21c o s2121 22 0m22 02 ?????
tICLtCItUu CC c o s)90 s i n ()90 s i n ( m0o
0
m0o
m0 ???? ??????
tLILiw L s i n2121 22 0m2 ???
tUu s i nm0 ??设
tItRUi s i n s i n m00m ?? ??则
电场能量
磁场能量
电感和电容能量按正弦规律变化，最大值相等 WLm=WCm。
总能量是常量，不随时间变化，正好等于最大值。
2
0
2
0m
2
0m 2
121 LICULIwww
CCL ?????总
电场能量和磁场能量不断相互转换, 有一部分能量在
电场和磁场之间作周期振荡, 不管振荡过程剧烈程度如何,
它都无能量传给电源, 也不从电源吸收能量 。
电感、电容储能的总值与品质因数的关系：
UC0=QU，则 UCm0=QUm
品质因数越大，总的能量就越大，振荡程度就越剧烈。
Q是反映谐振回路中电磁振荡程度的量, 一般讲在
要求发生谐振的回路中总希望尽可能提高 Q值 。
2
m
22
0m
2
0m 2
1
2
1
2
1 UCQCULIw
C ???总
与 Q2 成正比
由 Q 的定义：
耗的能量谐振时一周期内电路消
总储能谐振时电路中电磁场的
π
π
2
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
0
0
?
?????
TRI
LI
RI
LI
R
L
Q ?
?
从这个定义，可以对品质因数的本质有更进一步的了解：
维持一定量的振荡所消耗的能量愈小，则振荡电
路的“品质”愈好。
四,RLC串联谐振电路的谐振曲线和选择性
1,阻抗的频率特性
R
X
R
XX
R
ω Cω Lω CL 111 tgtg
1
tg) ( ??? ???
?
?j
)(|)(|)1(j ωφωZCωLωRZ ?????
222222 )()1(|)(| XRXXRCωLωRωZ
LL ????????
2,电流谐振曲线
谐振曲线：表明电压、电流大小与频率的关系。
幅值关系：
可见 I(? )与 |Y(? )|相似。
UωY
CωLωR
UωI |)(|
)1(
)(
22
?
??
?
幅频特性
相频特性
X(? )
|Z(?)| XL(? )
XC(? )
R
? 0 ?
Z (? )
O
阻抗幅频特性
j (? )
? 0 ?O
–?/2
?/2
阻抗相频特性
电流谐振曲线
? 0 ?O
|Y(?)|
I(? )
I(? )
U/R
从电流谐振曲线看到, 谐振时电流达到最大, 当 ? 偏
离 ?0时, 电流从最大值 U/R降下来 。 换句话说, 串联谐振
电路对不同频率的信号有不同的响应, 对谐振信号最突出
(表现为电流最大 ),而对远离谐振频率的信号加以抑制 (电
流小 )。 这种对不同输入信号的选择能力称为, 选择性, 。
3,选择性与通用谐振曲线
(a)选择性 (selectivity)
? 0 ?O
I(? )
例, 一接收器的电路参数为：
L=250?H,R=20?,C=150pF(调好 ),
U1=U2= U3 =10?V,? 0=5.5?106 rad/s,
f0=820 kHz.
+
_
+
_
+
L
C
R
u1
u2
u3
_
f (kHz)
北京台 中央台 北京经济台
? L
820 640 1026
X
1290 –1660 1034
0 – 660 577
1290 1000 1611
I0=0.5 I1=0.0152 I2=0.0173I=U/|Z| (?A)
ωC
1
从多频率的信号中取出 ? 0 的那个信号，即 选择性 。
选择性的好坏与谐振曲线的形状有关，愈尖选择性愈好。
若 LC不变,R大,曲线平坦，选择性差。
I0=0.5 I1=0.0152 I2=0.0173I=U/|Z| (?A)
%04.3
0
1 ?
I
I 小得多
∴ 收到北京台 820kHz的节目。
Q 对选择性的影响,R 变化对选择性的影响就是 Q对选择性的
影响。
820640 1200
I(f )
f (kHz)0
%46.3
0
2 ?
I
I
为了方便与不同谐振回路之间进行比较, 把电流谐振
曲线的横, 纵坐标分别除以 ?0和 I(?0),即
000
)(
)(
)()(,
I
ηI
ωI
ωIωIη
ω
ωω ????
(b) 通用谐振曲线
2220 )1(1
1
)1(
/
||/
)(
)(
RCωR
Lω
Cω
LωR
R
RU
ZU
ωI
ωI
??
?
??
??
20
0
20
00
0 )(1
1
)
1
(1
1
ω
ω
Q
ω
ω
Q
ω
ω
RCωω
ω
R
Lω
????
?
????
?
220 )1(1
1)(
η
ηQ
I
ηI
??
?
Q越大, 谐振曲线越尖 。 当稍微偏离谐振点时, 曲线就
急剧下降, 电路对非谐振频率下的电流具有较强的抑制能力,
所以选择性好 。
Q=10
Q=1
Q=0.5
1 ?2?1
0
)(
I
ηI
0.707
0 ?
通用谐振曲线：
因此,Q是反映谐振电路性质的一个重要指标。
'?
Q=10
Q=1
Q=0.5
1 ?2?1
0
)(IηI
0.707
0 ?
,
,
,7 07.02/1/
21
0
ηη
II
和标分别为
对应横坐点与每一谐振曲线交于两
处作一水平线在 ??
.,,12
0
2
2
0
1
1 ωωω
ωη
ω
ωη ???
12 ωω ? 称为通频带 BW (Band Width)
可以证明：
.1,1
12
0
12
12 ωω
ω
ηηQQηη ?????? 即
I/I0=0.707以分贝 (dB)表示,20log10I/I0=20lg0.707= –3 dB.
所以,?1,?2称为 3分贝频率。
Q=1
? 0 ?2?1
I
0.707I0
0 ?
4,UL(? )与 UC(? )的频率特性
2222
22
)1(
)1(
)(
??
?
??
??
ηQη
QU
Cω
LωRCω
U
Cω
IωU
C
2
2
2
2
22
)
1
1(
1
)
1
(
||
)(
η
Q
η
QU
Cω
LωR
LUω
Z
U
LωLIωωU
L
??
?
??
????
UL(? )：
当 ? =0,UL(? )=0； 0<?<?0,UL(? )增大； ? =?0，
UL(? )= QU； ? >? 0,电流开始减小, 但速度不快,
XL继续增大, UL 仍有增大的趋势, 但在某个 ?下 UL(? )
达到最大值, 然后减小 。 ???,XL??,UL(?)=U。
类似可讨论 UC(? )。
U
UC(?Cm)
QU
?Cm ?Lm ?0
UL(? )
UC(? )
U(? )
1
根据数学分析，当 ? =? Cm时,UC(?)获最大值； 当 ? =? Lm时，
UL(?)获最大值。且 UC(?Cm)=UL(? Lm)。 )2/1 ( ?Q条件是
Q越高,?Lm和 ?Cm 越靠近 ?0。
? Lm?? Cm =? 0。 020m 2
11 ω
Qωω c ???
02
2
0m 12
2 ω
Q
Qωω
L ???
QU
Q
QU
ωUωU LLcC ?
?
??
2
mm
4
1
1
)()(
上面得到的都是由改变频率而获得的, 如改变电路
参数, 则变化规律就不完全与上相似 。
上述分析原则一般来讲可以推广到其它形式的谐振
电路中去, 但不同形式的谐振电路有其不同的特征, 要
进行具体分析, 不能简单搬用 。
由于电压最大值出现在谐振频率附近很小的范围内，
因此同样可以用串联谐振电路来选择谐振频率及其附近的
电压，即对电压也具有选择性。
一、简单 G,C,L 并联电路
对偶,R L C 串联 G C L 并联
LCω
1
0 ?
)1(j ω Cω LRZ ??? )1(j ω Lω CGY ???
9,8 并联电路的谐振
+
_S
?I G C L?U
LCω
1
0 ?
R L C 串联 G C L 并联
|Z|
??0O
R
? 0 ?O
I(? )
U/R
? 0 ?O
U(? )
IS/G
LU
?
CU
?
?? ? UU
R
? I
CI?
LI?
?? ?
SG II
? U
|Y|
??0O
G
R L C 串联 G C L 并联
电压谐振 电流谐振
UL(? 0)=UC (? 0)=QU IL(? 0) =IC(? 0) =QIS
L
C
GGLωG
CωQ 11
0
0 ??? CLRRCωR LωQ 11
0
0 ???
推导过程如下：由定义得
G
Cω0?
2
2
2
1
π2
GUT
CU
Q
Cm
?
??
G
Cf
0π2?
二,电感线圈与电容并联
上面讨论的电流谐振现象实际上是不可能得到的，因为
电感线圈总是存在电阻的，于是电路就变成了混联，谐振现
象也就较为复杂。
BG j??
LωRCωY j
1j
???
))((j)( 2222 LωR LωCωLωR R ?????
谐振时 B=0，即
0)( 2
0
2
0
0 ??? LωR
LωCω
由电路参数决定。求得 2
0 )(
1
L
R
LCω ??
C
L
R
此电路参数发生谐振是有条件的，参数不合适可能不
会发生谐振。
在电路参数一定时，改变电源频率是否能达到谐振，
要由下列条件决定：
当电路发生谐振时，电路相当于一个电阻：
RC
L
R
LωRRωZ ???? 202
00
)()(
可以发生谐振时即当,,)(1 2 CLRLRLC ??
.,,0 是虚数因不会发生谐振时当 ωCLR ?
C
L
R
等效电路：
其中,C不变。
)) ( (j) ( 2222 LR LCLR RY ???? ?????
22 )( LR
RG
e ??? 。或,CR
LR
L
CRG
ee ??
谐振时：
L
LRL
LR
L
L ee 2
22
22
)(,
)(
1
?
?
?
?
?
??
??
Ge CLe
近似等效电路：
)1(
)1(
)1(
)(
)1(
)1)((
C
LjR
L
Rj
C
L
C
LjR
C
Rj
C
L
C
LjR
C
jLjR
Z
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
??
?
?
??
??
?
C
L
R
当线圈 Q值很高时，即,1??
R
L? 时，上式可近似为：
LjCjL
RC
CjLjR
C
L
Z
????
1
1
1 ??????
LjCjL
CR
ZY ??
11 ????
Ge C L
近似等效电路,其中,L,C不变，
。或,CRLRLCRG ee ??
LC
1
0??
讨论由纯电感和纯电容所构成的串并联电路：
(a) (b)
9,9 串并联电路的谐振
L1
L3
C2 L1 C2
C3
上述电路既可以发生串联谐振 (Z=0),又可以发生并联谐
振 (Z=?)。 可通过求入端阻抗来确定串, 并联谐振频率 。
对 (a)电路, L1,C2并联, 在低频时呈感性 。 随着频率
增加, 在某一角频率 ?1下发生并联谐振 。 ? >?1时, 并联
部分呈容性, 在 某一角频率 ?2下可与 L3发生串联谐振 。
对 (b)电路可作类似定性分析 。 L1,C2并联, 在低频时
呈感性 。 在某一角频率 ?1下可与 C3发生串联谐振 。 ? >?1
时, 随着频率增加, 并联部分可由感性变为容性, 在 某一
角频率 ?2下发生并联谐振 。
定量分析：
(a)
1
)(
j
1
j
j
1
j
)
j
1
(j
j)(
21
2
31231
3
21
2
1
3
2
1
2
1
3
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
??
CLω
LLωCLLω
CLω
L
ω L
ω C
ω L
ω C
ω L
ω LωZ
?
当 Z(?)=0，即分子为零，有：
0)( 31223132 ??? LLωCLLω
L1
L3
C2
可解得：
)( 02 舍去?ω
)(
231
31
2 串联谐振CLL
LLω ??
当 Y(?)=0，即分母为零，有：
012121 ??CLω
)( 1
21
1 并联谐振CLω ?
可见,? 1<? 2。
L1
L3
C2
21 ωω ?
)1(
)(1
j
1
j
j
1
j
1
j
j
1
j
j
1
)(
21
2
3
321
2
21
2
1
3
2
1
2
1
3
1
CLωω C
CCLω
CLω
ω L
ω C
ω C
ω L
ω C
ω L
ω C
ωZ
?
??
??
?
??
?
?
??(b)
分别令分子、分母为零，可得：
串联谐振
)(
1
321
1 CCLω ??
并联谐振
21
2
1
CLω ?
L1 C2
C3
阻抗的频率特性：
? 1 ?
X(? )
O ? 2
Z (? )=jX(? )
? 1 ?
X(? )
O ? 2
(a)
(b)
例,激励 u1(t)，包含两个频率 ?1,?2分量 (?1<?2)：
要求响应 u2(t)只含有 ?1频率电压。
u1(t) =u11(?1)+u12(?2)
如何实现？
LC串并联电路的应用：
可构成各种无源滤波电路 (passive filter)。
+
_
u1(t) u2(t)
可由下列滤波电路实现：
21
2
1
CLω ?
)(
1
321
1 CCLω ??
并联谐振，开路
串联谐振，短路
?1 信号短路直接加到负载上。
该电路 ?2 >?1,滤去高频，得到低频。
C R2
C3 L1
+
_
u1(t)
+
_
u2(t)
重点：
? 复阻抗复导纳
? 相量图
? 用相量法分析正弦稳态电路
? 正弦交流电路中的功率分析
9,1 阻抗、导纳及其等效变换
1,复阻抗与复导纳
正弦激励下
I?
ZU?
+
-
无源
线性
I?
U?
+
-
XRφZ
I
UZ j||
????? ?
?
复阻抗
|Z|
R
X
j
阻抗三角形
iu ????j
单位,?I
UZ ? 阻抗模
阻抗角
复导纳 Y
)'( '||j ui ΨΨφφYBGUIY ??????? ??
|Y|
G
B
j?
导纳三角形
ZYYZ
1,1 ??对同一二端网络,
2,R,L,C 元件的阻抗和导纳
（ 1） R,G
RYRZ RR ??? 1,
（ 2） L：
LjLjYLjZ LL ???????
11,
（ 3） C：
CjYCjCjZ CC ???????,11
单位：
S
3,RLC串联电路
用相量法分析 R,L,C串联电路的阻抗。
由 KVL：
,1j,j.,,,, I
CILIRUUUU CLR ????????
IXXjRICLjR CL ?? )]([)]1([ ????????
IjXR ?)( ??
CLR uuuu ???
其相量关系也成立
L
C
R
u
uL
uC
i
+
-
+
-
+ -+ -uR
,I j? LR
+
-
+
-
+ -
,U
LU
,
CU
,
Cωj
1
+
jXR
C
jLjRZ
??
?
????
1
j????? ||j,
,
ZXR
I
UZ则
Z—复阻抗； R—电阻 (阻抗的实部 )； X—电抗 (阻抗的虚部 )；
|Z|—复阻抗的模； j—阻抗角。
关系：
a r c t g
| | 22
??
?
?
?
?
??
R
Xφ
XRZ 或
R=|Z|cosj
X=|Z|sinj
|Z|
R
X
j
阻抗三角形iu
I
U
Z
????j
?
具体分析一下 R,L,C 串联电路：
Z=R+j(?L-1/?C)=|Z|∠ j
?L > 1/? C, X>0,j >0，电路为感性，电压领先电流；
?L<1/? C, X<0,j <0，电路为容性，电压落后电流；
?L=1/? C, X=0,j =0，电路为电阻性，电压与电流同相。
画相量图,选电流为参考向量 (?L > 1/? C )
三角形 UR, UX, U 称为电压三
角形，它和阻抗三角形相似。即C
U?
I?RU?
LU?
U?
j UX
22 XR UUU ??
0?i?
例, L
C
R
u
uL
uC
i
+
-
+
-
+ - 已知,R=15?,L=0.3mH,C=0.2?F,
,Hz103 ),60s i n (25 4???? ftωu ?
求 i,uR,uL,uC,
解,
其相量模型为
,I j? LR
+
-
+
-
+ -
,U
LU
,
CU
,
Cωj
1
V ?605 ???U
CLRZ ??
1jj ???
uuuu CLR ???
Ωjjj 5.56103.01032 34 ?????? ??? L
Ωjπj1j 5.26102.01032 1 64 ????????? ?C?
5.265.5615 jj ??? Ω o4.6354.33 ??
A oo
o
4.3149.04.6354.33 605 ???????
?
?
Z
UI
则 A ω
o )4.3(s in21 4 9.0 ?? ti
UL=8.42>U=5，分电压大于总电压。
U?
LU?
CU?
I?RU?
j -3.4°
相量图
V oo 4.32 3 5.24.31 4 9.015 ???????? ?? IRU R
V j ooo 4.8642.84.314 9.0905.56 ???????? ?? ILU L ?
V C1j ooo 4.9395.34.3149.0905.26 ?????????? ?? IU C ?
V o )4.3s i n (2235.2 ?? tωu R
V o )6.86s i n (242.8 ?? tωu L
V o )4.93s i n (295.3 ?? tωu C
4,RLC并联电路
由 KCL：
CLR IIII
.,,, ???
i
L CRu
iL iC+
-
iL
,I
j? L,U
LI
,
CI
,
Cωj
1R
+
-
RI
,
,j,j,UCU
LUG ?? ???
1
,jj UC
LG )
1( ?
? ???
,j( UBBG
CL )[ ???
,j UBG )( ??
ui
u
i ψψ
U
I
ψU
I
U
IY ???
?
??? ?
,
,
Y—复导纳； G—电导 (导纳的实部 )； B—电纳 (导纳的虚部 )；
|Y|—复导纳的模； j'—导纳角。
关系：
a r c t g'
| | 22
??
?
?
?
?
??
G
B
φ
BGY 或
G=|Y|cosj '
B=|Y|sinj '
|Y|
G
B
j?
导纳三角形ui
U
IY
????j?
?
'j φYBG ???? ||
Y=G+j(?C-1/?L)=|Y|∠ j?
? C > 1/? L, B>0,j '>0，电路为容性,i领先 u；
? C<1/? L, B<0,j '<0，电路为感性,i落后 u；
?C=1/? L, B=0,j ? =0，电路为电阻性,i与 u同相。
画相量图,选电压为参考向量 (?C < 1/? L,j?<0 )
2222 )( CLGBG IIIIII ?????
U?
GI,
LI
,
I?
j '
CI
,
0??u
RLC并联电路同样会出现分电流大于总电流的现象
CLG IIII ???? ???
,I
j? L,U
LI
,
CI
,
Cωj
1R
+
-
RI
,
5,复阻抗和复导纳的等效互换
j φZXRZ ???? ||
一般情况 G?1/R B?1/X。 若 Z为感性,X>0，则 B<0，
即仍为感性。
o
o
Z
R
jX
o
o
G jBY
j '|| φYBGY ?????
BGXR XRXRZY jjj ???????? 2211
2222 XR XBXR RG ??????,
φ φZY ??? ',|| 1||
同样，若由 Y变为 Z，则有：
',
||
1
||
,
j
j
j
11
||j,'||j
2222
22
φ φ
Z
Y
BG
B
X
BG
G
R
XR
BG
BG
BGY
Z
φZXRZφYBGY
???
?
?
?
?
??
??
?
?
?
?
??
????????
o
o
Z
R
jX
o
o
G jBY
9,2 电路的相量图
1,电路的相量模型 (phasor model )
相量模型,电压、电流用相量；元件用复数阻抗或导纳。
L
C RuS
iL iC
iR
+
-
j? L
1/j? CSU?
LI? CI?
RI?
R
+
-
时域电路 相量模型
时域列写微分方程 相量形式代数方程
RCL iii ??
RCL III
??? ??
Sdd
d uti
Ct
iL
CL ?? ?
1
?? tiCiR CR d1
S
j
??? ?? UI
CILj CL ??
1
CR ICIR
?? ?
ωj
1
2,相量图
1,同频率的正弦量才能表示在同一个向量图中
2,反时针旋转角速度
3,选定一个参考相量 (设初相位为零。 )
例：上例中选 ùR为参考相量
U?LU? LI?CI
?
RI?
CU?RU? =
用途：
② 利用比例尺定量计算
① 定性分析
小结：
1,求正弦稳态解是求微分方程的特解, 应用相量法
将该问题转化为求解复数代数方程问题 。
2,引入电路的相量模型, 不必列写时域微分方程, 而
直接列写相量形式的代数方程 。
3,引入阻抗以后, 可将所有网络定理和方法都应用
于交流, 直流 （ f =0)是一个特例 。
9,3 正弦稳态电路的分析
电阻电路与正弦电流电路相量法分析比较：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
Gui
Riu
u
i
,
0,K V L
0,K C L
:
或
元件约束关系
电阻电路
,
0,K V L
0,K C L
:
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
?
?
?
?
UYI
IZU
U
I
或
元件约束关系
正弦电路相量分析
可见, 二者依据的电路定律是相似的 。 只要作出正弦
电流电路的相量模型, 便可将电阻电路的分析方法推广应
用于正弦稳态的 相量分析 中 。
例 1：已知 Z1=10+j6.28?,Z2=20-j31.9 ?,Z3=15+j15.7 ? 。
ZZZZ ZZZZ ????? 3
21
21
3ab
Z1Z2
Z3a
b
求 Zab。
9.312028.610
)9.3120)(28.610(
21
21
jj
jj
???
???
?? ZZ
ZZZ
o
oo
5.4045.39
61.5765.3713.3281.11
??
?????
86.289.10 j ??
Ω j
jj
o
ab
6.359.3156.1889.25
86.289.107.15153
????
??????? ZZZ
同直流电路相似：
Z
Z1
Z2
+ + +
-
-
-
? U
1
?U
2
?U
? I ?
I
Y
+
-
? U Y1 Y2
1
?I
2
?I
??
??
?
?
?
?
??
??
,:
,:
I
Y
Y
IYY
U
Z
Z
UZZ
k
k
kk
k
k
kk
并联
串联
阻抗串并联的计算
U
Z
Z
U
ZZZ
?? 1
1
21
?
??
I
Y
Y
I
YYY
?? 1
1
21
?
??
I
ZSZ
Z
I
ZZ
ZZ
Z
??
21
2
1
21
21
?
?
?
?
例 2,已知,
,/3 1 4,1 0 0
,10,5 0 0,10,1 0 0 0 21
sr a dVU
FCmHLRR
???
??????? 求,各支路电流。
Z1 Z2
R2+
_ L
i1
i2
i3
R1
C
u
U?
R2+
_
R1
1I?
2I?
3I? Cj ??
1
Lj?
解,画出电路的相量模型
??????
??
???
?
?
??
?
?
?
?
?
?
13.2 8 911.923.7245.3 0 3
7.175.1 0 4 9
901047.3 1 8
47.3 1 81 0 0 0
)47.3 1 8(1 0 0 0
1
)1( 3
1
1
1
j
j
j
C
jR
C
jR
Z
?
?
?
?????? 1571022 jLjRZ
Z1 Z2U?
R2+
_
R1
1I?
2I?
3I? Cj ??
1
Lj? ????
??
????
??
?
3.5299.166
13.13211.102
1571013.28911.92
21
j
jj
ZZZ
AZUI ??
???
3.526.03.5299.1 6 6 01 0 01 ???? ???
A
j
I
C
jR
CjI ??
?
?? 201 8 1.03.526.0
7.175.1 0 4 9
47.3 1 8
1
1
1
1
2 ???????
?
?
?
?
???
AI
C
jR
RI ??
?
?? 7057.03.526.0
7.175.1 0 4 9
1 0 0 0
1 1
1
1
3 ???????
?
?
?
Ati )3.523 1 4s i n (26.01 ???
AZUI ??
???
3.526.03.5299.1 6 6 01 0 01 ???? ???
A
j
I
C
jR
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7.175.1 0 4 9
47.3 1 8
1
1
1
1
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?
?
?
?
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AI
CjR
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?
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7.175.1 0 4 9
1 0 0 0
1 1
1
1
3 ???????
??
?
Ati )20314s i n (2181.02 ???
Ati )703 1 4s in (257.03 ???
瞬时值表达式为：
解毕！
列写电路的回路电流方程和节点电压方程例 3,
解,
+_ su
siL R1
R2
R3R
4
C SI?
+_
R1 R2
R3R
4
Lj?
cj?
1?
SU?
1I?
2I?
4I?
3I?
回路法,
SUIRILjRILjRR ???? ?????? 3221121 )()( ??
0)()( 33112431 ??????? IRILjRILjRRR ??? ??
01)1( 42312332 ?????? ICjIRIRICjRR ???? ??
SII ?? ?4
SI?
+_
R1 R2
R3R
4
Lj?
cj?
1?
SU?
1nU?
2nU?
3nU?节点法,
Sn UU ?? ?1
011)111( 3
3
1
2
2
321
?????? nnn URURURRLjR ????
Snnn IUCjURUCjRR
???? ??????
12
3
3
43
1)11( ??
,
45,30
30j,A904
3
21
o
S
I
ZZ
ZZI
?
?
求：
已知：
ΩΩ
Ω
??
?????
法一：电源变换
?????? 15153030 )30(30// 31 jjjZZ
解：
例 4,Z2
SI?
Z1 ZZ3
I?
S31 )//( IZZ ?
Z2
Z1??Z3
Z
I?
+
-
ZZZZ
ZZII
???
?
231
31// )//(S
?
45301515
)1515(4
???
??
jj
jj
o
o
36, 9-5
455,65 7
?
?? A o9.8113.1 ??
法二：戴维南等效变换
V4586.84
)//(
o
310
??
? ZZIU S??
Z0
Z
0
?U
? I
+
-
例 5,用叠加定理计算电流
2
?I
Z2
SI?
Z1
Z3
2I?
S
?U
+
-
,Ω,Ω
A,V,
oo
o
S
o
S
30503050
0445100:
331 ??????
????
??
ZZZ
IU已知
Z2
SI?
Z1 Z3
0U?
求开路电压：
求等效电阻：
Ωj 4515
// 2310
??
?? ZZZZ
A9.8113.1454515 4586.84 o
0
0 ??
??
??
?? jZZ
UI ???
解,,)( )1( SS 短路单独作用 ?? UI
Z2
SI?
Z1
Z3
'2I?
32
3S
2
'
ZZ
ZII
??
??
Z2Z1
Z3
''2I?
S
?U
+
-
:)( )2( SS 开路单独作用 ?? IU
32
S
2
''
ZZ
UI
???
?
?
oo
222
13 515 5.13031.2
'''
?????
?? ??? III
oo
o
o
30503050
305004
????
????
A3031.2350 30200 o
o
????
A135155.1350 45100 o
o
??????
j 0, 8 1 7 )0, 8 1 7(j 1, 1 5 5 )(2 ?????
A9.1523.1
j 0,3 3 81,1 8 3
o???
??
已知平衡电桥 Z1=R1,Z2=R2,Z3=R3+j? L3。
求,Zx=Rx+j?Lx。
由平衡条件,Z1 Z3=Z2 Zx 得
R1(R3+j? L3)=R2(Rx+j ?Lx)
∴ Rx=R1R3 /R2,Lx=L3 R1/R2
例 6.
解,
Z1 Z2
Zx Z3
?
* |Z1|?j1?|Z3|?j3 = |Z2|?j2?|Zx|?jx
|Z1| |Z3| = |Z2| |Zx|
j1 +j3 = j2 +jx
已知,Z=10+j50?,Z1=400+j1000?。
90 o1 相位差和等于多少时，问,SUIβ ??
11111S )1( IZIβZIZIZU ????? ?????
例 7.
解,
? I
1 ?I
1
?Iβ
Z
Z1
+
_S ?U
.90,
o
11
相位差为实部为零
，关系：和分析：找出
转
转
Z
IZUUI SS ???? ?
)1 0 0 05050(j104 1 0)1( 1
1
S ???????? ββZZβ
I
U
?
?
41 010410 ???? ββ,令
.90 1000j o
1
S 故电流领先电压??
I
U
?
?
已知,U=115V,U1=55.4V,U2=80V,
R1=32?,f=50Hz
求,线圈的电阻 R2和电感 L2 。
画相量图进行定性分析。
例 8.
解,
R1
R2
L2
+
_
1U?
U? 2U?
+
_
+ _
? I
1U?
LU?
I?
2RU?
2U?q
2
U?
q
j??? c o s2 2122212 UUUUU
A73.132/4.55/ 11 ??? RUI
22121 LR UUUUUU ?????? ?????
j
?1.1154237.0c o s ?j???j
?? 9.641802 ?j??q
H1 3 3.0)2/(
8.41s i n ||
6.19co s ||
2.4673.1/80/||
2
222
222
22
??
??
?q?
???
fXL
θZX
ZR
IUZ
π
Ω
Ω
Ω
VUU L 45.729.64s i n80s i n 222 ???q? ?
VUU R 9.339.64c o s80c o s 222 ???q? ?
???? 6.1973.19.3322 IUR R
HL
IUL L
133.031488.41
88.4173.145.722
??
?????
用相量图分析
oo 0~180 ?为移相角，移相范围θ
例 9,移相桥电路。当 R2由 0??时,?ab 如何变化?U
解, 1U? U?
CU?
CI?
CU??
CI??;,21,,ab2 相位改变不变改变当由相量图可知 UUR ?
当 R2=0,q ??180?；当 R2??,q ?0?。
o oa b
1U?
2U? CU?
CI?
R2R1
R1
+
_U?
abU?
+
-
+
-
+
-
RU?
2U?
RU?
RU??
1
2121
2
,
UUU
UUU
U
UUUUU
Rab
CR
???
???
?
?????
??
??
????
q
abU?q?
abU??
9.4 正弦电流电路中的功率
无源一端口网络吸收的功率 ( u,i 关联 )
iu ΨΨφiuφ
φtωIti
tωUtu
??
??
?
)s i n (2)(
s i n2)(
的相位差和为
1,瞬时功率 (instantaneous power)
tωφUItωφUI
φtωφUI
φtωItωUuitp
2s i ns i n)2c o s1(c o s
)]2c o s ([ c o s
)s i n (2s i n2)(
???
???
????
无
源
+
u
i
_
第一种分解方法；
第二种分解方法。
第一种分解方法：
? tO
UIcosj (1-cos2? t)
- UIsinj sin2? t
第二种分解方法：
? p有时为正,有时为负 ；
? p>0,电路吸收功率,p<0，
电路发出功率；
UIcosj (1-cos2? t)为不可逆分量 。
UIsinj sin2? t为可逆分量。
? t
i
O
u
p
UIcosj
- UIcos(2? t?j )
)]2c o s ([ c o s )( φtφUItp ????
tUItφUItp ?????? 2s i ns i n)2c o s1(c o s)(
瞬时功率实用意义不大, 一般讨论所说的功率指一个周
期平均值 。
2,平均功率 (average power)P：
?? T tpTP 0 d1
j =?u-?i,功率因数角 。 对无源网络, 为其等效
阻抗的阻抗角 。
cos j,功率因数。
P 的单位, W（瓦）
? ?????? T ttUIUIT 0 d)]c o s (c o s[1
φUI c o s?
一般地,有 0??cosj??1
X>0,j >0,感性,滞后功率因数
X<0,j <0,容性,超前功率因数
例,cosj =0.5 (滞后 ),则 j =60o (电压领先电流 60o)。
cosj 1,纯电阻
0,纯电抗
平均功率 实际上是电阻消耗的功率, 亦称为有功功率 。
表示电路实际消耗的功率, 它不仅与电压电流有效值有关,
而且与 cosj 有关, 这是交流和直流的很大区别,主要由于
电压, 电流存在相位差 。
4,视在功率 (表观功率 )S
反映电气设备的容量。
3,无功功率 (reactive power) Q
φUIQ s i nd e f?
表示交换功率的最大值，单位,var (乏 )。
Q>0，表示网络吸收无功功率；
Q<0，表示网络发出无功功率。
Q 的大小反映网络与外电路交换功率的大小。是由储能元
件 L,C的性质决定的
)( VA, d e f 伏安单位UIS ?
5,R,L,C元件的有功功率和无功功率
u
i
R
+
-
PR =UIcosj =UIcos0? =UI=I2R=U2/R
QR =UIsinj =UIsin0? =0
对电阻,u,i 同相，故 Q=0,即电阻只吸收 (消
耗 )功率，不发出功率。
i
u L
+
-
PL=UIcosj =UIcos90? =0
QL =UIsinj =UIsin90? =UI
对电感,u领先 i 90°,故 PL=0,即电感不 消
耗 功率。由于 QL>0，故电感吸收无功功率。
i
u C
+
-
PC=UIcosj =Uicos(-90?)=0
QC =UIsinj =UIsin (-90?)= -UI
对电容,i领先 u 90°,故 PC=0,即电容不 消
耗 功率。由于 QC<0，故电容发出无功功率。
6,电感、电容的无功补偿作用
L
C
R
u
uL
uC
i
+
-
+
-
+ -
? t
i
O uL
uC
pL pC
当 L发出功率时, C刚好吸收功率, 则与外电路交换
功率为 pL+pC。 因此, L,C的无功具有互相补偿的作用 。
7,交流电路功率的测量
u
i
Z
+
-
W
*
*
i1
i2
R 电流线圈
电压线圈
单相功率表原理：
电流线圈中通电流 i1=i；电压线圈串一大电阻
R(R>>?L)后, 加上电压 u,则电压线圈中的电流近似为
i2?u/R2。
)s i n (2 ),s i n (2 21 φtωRURuiφtωIii ??????设
PKφUIKφIRUKM 'c o s'c o s ???则
指针偏转角度 (由 M确定 )与 P成正比, 由偏转角 (校准
后 )即可测量平均功率 P。
使用功率表应注意,
(1) 同名端：在负载 u,i关联方向下, 电流 i从电流线圈, *”
号端流入, 电压 u正端接电压线圈, *” 号端, 此时 P表
示负载吸收的功率 。
(2) 量程,P的量程 = U的量程 ?I的量程 ?cosj (表的 )
测量时,P,U,I均不能超量程。
已知：电动机 PD=1000W,U=220V,f =50Hz,C =30?F。
求负载电路的功率因数。
)( 96.0)]3.16(0c o s [c o s
3.1673.433.1j54.4
08.2jj02 2 0,8.3668.5
02 2 0
8.36,0, 8 (c o s
A68.5
8.02 2 0
1 0 0 0
c o s
oo
o
D
oo
D
o
o
DD
D
D
D
滞后
设
滞后）
?????
???????
??????
??
???
?
?
??
φ
III
CωII
U
φφ
φU
P
I
C
C
???
??
?
?
+
_ D CU?
I? CI?
DI?
例,
解,
例, 三表法测线圈参数。
已知 f=50Hz, 且 测 得
U=50V,I=1A,P=3W。
H127.0
314
40
3050
1
||
1
)(||
Ω50
1
50
||
Ω30
1
30
2222
22
22
2
??????
??
???
?????
314
RZ
ω
L
LωRZ
I
U
Z
I
P
RRIP
解,
R
L
+
_
U?
? I
ZV
A W
*
*
9,5 复功率
1,复功率
功率”来计算功率，引入“复和为了用相量 IU ??
)eeRe (
]Re [)c o s (
,
jj
)j(
iu
iu
IU
eUIΨΨUIP
ΨIIΨUU
iu
iu
??
??
?
?
??
???
???? ??
U? *I?
]R e[ *IUP ?? ??
))V a r(,s i n( j
s i njco s
)(
VA,*
乏单位无功功率其中
则
单位为复功率记
φUIQQP
φUIφUI
φSφUIΨΨUIS
IUS
iu
???
??
???????
? ??
U?
I?
负
载
+
_
有功，无功，视在功率的关系：
有功功率, P=UIcosj 单位,W
无功功率, P=UIsinj 单位,var
视在功率, S=UI 单位,VA
22 QPS ??
j
S
P
Q jZ
R
X jU
UR
UX R X+
_
+ _
o
o
+
_U?
RU?
XU?
功率三角形 阻抗三角形 电压三角形
电压、电流的有功分量和无功分量,
(以感性负载为例 )
R
X
+
_
+ _
+
_U?
RU?
XU?
? I
j
? I
? U
RU
?
XU
?
的无功分量为称
的有功分量为称
??
??
??
??
s i n
co s
UU
QφUIU
UU
PφUIU
X
X
R
R
的无功分量为称
的有功分量为称
??
??
??
??
s i n
c o s
II
QφUIUI
II
PφUIUI
B
B
G
G
j
? I
? U
BI
?
GI
?
G B
+
_
GI
?
? I
BI
?
? U
根据定义
吸收无功为负
吸收无功为正
0)90s i n (
090s i n
0
s i n
2
2o
2
2o
???????
?????
?
?
C
CC
L
LL
R
X
U
XIUIUIQ
X
U
XIUIUIQ
Q
φUIQ
(发出无功 )
电抗元件吸收无功, 在平均意义上不做功 。
反映了电源和负载之间交换能量的速率 。
m axm ax
2
m
222
2π2
2
1
)2(21
:
WTfWLIω
ILωLωIXIQ LL
?????
????
π
举例
无功的物理意义,
CX C ?
?? 1
)(*
*
,
*2***
2*
YUYUUYUUIUS
ZIIIZIUS
S
?????
????
??
????
????
也可以表示为以下式子复功率
复功率守恒定理,在正弦稳态下, 任一电路的所有支路吸收
的复功率之和为零 。 即
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
?
?
?
??
?
?
?
??
??
0
0
0)j(
0 0
1
1
1
1
*
1
b
k
k
b
k
kb
k
kk
b
k
kk
b
k
k
Q
P
QP
IUS
此结论可 用特勒根定理证明 。
21
21
2121
21
**
*)(*
SSS
UUU
SSIUIU
IUUIUS
???
??
????
???
???
????
?????
一般情况下：
?
?
?
b
k
kSS
1
+
_
+ _+
_U?
1U?
2U?
I?
.,* 不等于视在功率守恒复功率守恒
已知如图，求各支路的复功率。
VA 3 3 4 5j1 1 1 3
VA 1 9 2 0j7 6 8)
2510
1
(2 3 6
VA 1 4 2 4j1 8 8 2010)1.37(2 3 6
V )1.37(2 3 6
)]15j5/ / ()2510[(010
*
2
2
2
*2*
1
2
1
oo
o
o
???
??
?
??
???????
???
?????
YUS
j
YUS
S
jU
吸
吸
发
?
例,
+
_
U?10∠ 0
o A 10?
j25?
5?
-j15?
1I?
2I?
解一,
VA 1 4 2 3j1 8 8 5
)25j10)(3.1 0 5(77.810
VA 3 3 4 8j1 1 1 6)15j5(94.14
VA 1 9 2 3j7 6 9)25j10(77.8
A5.3494.14
A)3.1 0 5(77.8
15j525j10
15j5
010
o
11
*
2
2
2
22
2
1
2
11
o
12
oo
1
??
???????
??????
??????
????
???
???
?
???
ZIIS
ZIS
ZIS
III
I
S
S
??
???
?
发
吸
吸
+
_
U?10∠ 0
o A 10?
j25?
5?
-j15?
1I?
2I?
解二,
2,功率因数提高
设备容量 S (额定 )向负载送多少有功要由负载的阻抗角决定。
P=ScosjS
75kVA
负载 cosj =1,P=S=75kW
cosj =0.7,P=0.7S=52.5kW
一般用户,异步电机 空载 cosj =0.2~0.3
满载 cosj =0.7~0.85
日光灯 cosj =0.45~0.6
(1) 设备不能充分利用, 电流到了额定值, 但功率容量还有；
(2) 当输出相同的有功功率时, 线路上电流大 I=P/(Ucosj )，
线路压降损耗大 。
功率因数低带来的问题,
解决办法,并联电容，提高功率因数 (改进自身设备 )。
分析,
U?
I?
LI?
CI?
j1 j2
L
R
C
U?
I?
LI?
CI?
+
_
.c o s
,,,.,90
,
,,,
φ
IUI
UI C
电源端的功率因数
从而提高了的夹角减小了从相量图上看减少总电流
领先由于并联电容的电流生任何变化即负载工作状态没有发
吸收的有功无功都不变不变原感性负载取用的电流并联电容后
???
??
?
补偿容量的确定, U?
I?
LI?
CI?
j1 j2
)tgtg(
)tgtg(
co s
,
co sco s
co s
s i ns i n
212
21
122
1
21
φφ
Uω
P
C
φφ
U
P
I
φU
P
I
φU
P
φ
φI
I
φIφII
C
L
L
LC
???
??
???
??
代入得将
)tgtg( 212 φφPCUωQ C ???
补偿容
量不同 全 ——不要求 (电容设备投资增加,经济效果不明显 )
欠
过 ——使功率因数又由高变低 (性质不同 )
综合考虑，提高到适当值为宜 ( 0.9 左右 )。
功率因数提高后, 线路上电流减少, 就可以带更
多的负载, 充分利用设备的能力 。
再从功率这个角度来看,
并联 C后, 电源向负载输送的有功 UIL cosj1=UI
cosj2 不变, 但 是 电 源 向 负 载 输 送 的 无 功
UIsinj2<UILsinj1减少了, 减少的这部分无功就由电容
,产生, 来补偿, 使感性负载吸收的无功不变, 而功
率因数得到改善 。
已知,f=50Hz,U=380V,P=20kW,cosj1=0.6(滞后 )。要
使功率因数提高到 0.9,求并联电容 C。
o11 13.53 6.0c o s ?? φφ 得由
例,
P=20kW
cosj1=0.6
+
_
C
U?
L
R
C
U?
I?
LI?
CI?
+
_
解,
o22 84.25 9.0c o s ?? φφ 得由
U?
I?
LI?
CI?
j1 j2
F 375
)84.25tg13.53tg(
380314
1020
)tgtg(
2
3
212
??
?
?
?
?
?
?
?
??
φφ
U
P
C
补偿容量也可以用功率三角形确定：
j1 j2
P
QC
QL
Q )tgtg(
)tgtg(
212
2
21
φφ
ω U
PC
ω CUQ
φφPQQQ
C
L
???
?
????
单纯从提高 cosj 看是可以, 但是负载上电压改变了 。 在
电网与电网连接上有用这种方法的, 一般用户采用并联电容 。
思考,能否用串联电容提高 cosj?
9,6 最大功率传输
讨论正弦电流电路中负载获得最大功率 Pmax的条件。
S
?U
ZL
Zi
I?
+
-
Zi= Ri + jXi,ZL= RL + jXL
2
Li
2
Li
S
Li
S
)()(
,
XXRR
UI
ZZ
UI
???
?
?
?
?
?
(1) ZL= RL + jXL可任意改变
2
Li
2
Li
2
SL2
L )()( XXRR
URIRP
?????有功功率
(a) 先讨论 XL改变时,P的极值
显然，当 Xi + XL=0，即 XL =-Xi时,P获得极值
2
Li
2
SL
)( RR
URP
??
(b) 再讨论 RL改变时,P的最大值
当 RL= Ri时,P获得最大值
i
2
S
m a x 4 R
UP ?
综合 (a),(b)，可得负载上获得最大功率的条件是：
ZL= Zi*，即
RL= Ri
XL =-Xi
此结果可由 P分别对 XL,RL求偏导数得到 。
(2) 若 ZL= RL + jXL只允许 XL改变
此时获得最大功率的条件 Xi + XL=0，即 XL =-Xi 。
(3) 若 ZL= RL + jXL=|ZL|?j,RL,XL均可改变，但 XL/ RL不变
(即 |ZL|可变,j不变 )
2
Li
2
SL
m a x )( RR
URP
??
最大功率为
此时获得最大功率的条件 |ZL| = |Zi| 。
)s i nc os(2||2
c os
iii
2
S
m a x jj
j
XRZ
UP
???
最大功率为
证明如下：
(3)的证明,
)s i n2co s(2||
||
||
co s
s i n||2co s||2||||
co s||
22
co s||
)()(
iiL
L
2
i
2
S
LiLi
2
L
2
i
2
SL
2
LLi
2
i
2
LLi
2
i
2
SL
2
Li
2
Li
2
SL
φXφRZ
Z
Z
U
φZXφZRZZ
UZ
XXXXRRRR
UZ
XXRR
UR
P
???
?
???
?
?????
?
???
?
j
j
φ
|||| ||||
01
||
||
0,)||
||
||
(
||d
d
)|(| )||
||
||
(,
iL
2
L
2
i
2
L
2
i
L
L
2
i
L
LL
L
2
i
ZZZZ
Z
Z
Z
Z
Z
Z
ZZ
Z
Z
P
??
??
?
??
?
即
得即
改变最小需使最大若使
此时 Pmax即如 (3)中所示。 证毕！
谐振 (resonance)是正弦电路在特定条件下所产生的一种
特殊物理现象, 作为电路计算没有新内容, 主要分析谐振电
路的特点 。
9,7 串联电路的谐振
含有 L,C的电路, 当电路中端口电压,
电流同相时, 称电路发生了谐振 。
一,谐振的定义
R,L,C
电路U?
I?
相，电路发生谐振。纯电阻。电压、电流同
为时当入端阻抗 RZXjXRZ ????,0,
XR
XXRω Cω LRZ CL
j
)(j)1(j
??
??????
? I R
j? L
+
_
Cωj
1
? U
二,RLC串联电路的谐振
1、谐振条件：（谐振角频率）
谐振角频率 (resonant angular frequency)
LCω
1
0 ?
谐振频率 (resonant frequency)
LCf π2
1
0 ?
谐振周期 (resonant period)LCfT π2/1 00 ??
时，电路发生谐振。当 CLω
00
1 ??
2、使 RLC串联电路发生谐振的条件
（ 1）, L C 不变，改变 ?。
（ 2）, 电源频率不变，改变 L 或 C ( 常改变 C )。
?0由电路本身的参数决定，一个 R L C 串联电路只能有一
个对应的 ?0,当外加频率等于谐振频率时，电路发生谐振。
通常收音机选台, 即选择不同频率的信号, 就采用改变 C
使电路达到谐振 。
3,RLC串联电路谐振时的特点
,).1( 同相与 ?? IU
根据这个特征来判断电
路是否发生了串联谐振。
(2),入端阻抗 Z为 纯电阻，即 Z=R。电路中阻抗值 |Z|最小。
|Z|
??0O
R
(3),电流 I达到最大值 I0=U/R (U一定 )。
? I R
j? L
+
_ Cωj 1
? U
+ +
+
_
_
_
RU
?
LU
?
CU
?
相当于短路。LCUU CL,0 ?? ??
(4),LC上串联总电压为零, 即
。上，电源电压全部加在电阻 UU R ?? ?
串联谐振时, 电感上的电压和
电容上的电压大小相等, 方向相反,
相互抵消, 因此串联谐振又称 电压
谐振 。
LU
?
CU
?
RU
? ? I
谐振时的相量图
当 ?0L=1/(?0C )>>R 时,
UL= UC >>U 。
(5),功率
P=RI02=U2/R,电阻功率达到最大。
即 L与 C交换能量，与电源间无能量交换。
2
0
0
2
00
1,,0 I
CωQLIωQQQQ CLCL ??????
三、特性阻抗和品质因数
1,特性阻抗 (characteristic impedance) ?
单位,?
与谐振频率无关，仅由电路参数决定。
C
L
CL ??? 00
1
???
2,品质因数 (quality factor)Q
它是说明谐振电路性能的一个指标，同样仅由电路
的参数决定。
无量纲
C
L
RRCωR
Lω
RQ
11
0
0 ???? ?
谐振时的感抗或容抗
(a) 电压关系：
RIUU R ??? ?? 0
??? ?????? UQIR
R
LILU
L j
jj
0000?
??
?
?
?????? UQIR
CRC
IU
C j
1j
j 0000 ??
品质因数的意义：
U
U
U
U
RI
LIω
R
LωQ CL 00
0
000 ????
即 UL0 = UC0=QU
谐振时电感电压 UL0(或电容电压 UC0)与电源电压之比。
表明谐振时的电压放大倍数。
UL0和 UC0是外施电压 Q倍，如 ?0L=1/(?0C )>>R, 则 Q
很高,L 和 C 上出现高电压,这一方面可以利用，另一方面
要加以避免。
例,某收音机 C=150pF,L=250mH,R=20?
但是在电力系统中, 由于电源电压本身比较高, 一旦
发生谐振, 会因过电压而击穿绝缘损坏设备 。 应尽量避免 。
如信号电压 10mV,电感上电压 650mV 这是所要的。
65?? RQ ?Ω 1 2 9 0?? CL?
(b) 功率关系：
电源发出功率：无功
电源不向电路输送无功 。 电
感中的无功与电容中的无功
大小相等, 互相补偿, 彼此
进行能量交换 。
200 c o s RIUIP ?j?
0s i n0 ?j? UIQ
有功
+
_ P
Q
L C
R
)(
|| 00
2
0
2
000
功率谐振时电阻消耗的有功
中无功功率的绝对值或电容谐振时电感
?
??
?
?
?
?
P
Q
P
Q
RI
LI
R
L
Q CL
(c) 能量关系：
tLItCUCuw cmCC c o s21c o s2121 22 0m22 02 ?????
tICLtCItUu CC c o s)90 s i n ()90 s i n ( m0o
0
m0o
m0 ???? ??????
tLILiw L s i n2121 22 0m2 ???
tUu s i nm0 ??设
tItRUi s i n s i n m00m ?? ??则
电场能量
磁场能量
电感和电容能量按正弦规律变化，最大值相等 WLm=WCm。
总能量是常量，不随时间变化，正好等于最大值。
2
0
2
0m
2
0m 2
121 LICULIwww
CCL ?????总
电场能量和磁场能量不断相互转换, 有一部分能量在
电场和磁场之间作周期振荡, 不管振荡过程剧烈程度如何,
它都无能量传给电源, 也不从电源吸收能量 。
电感、电容储能的总值与品质因数的关系：
UC0=QU，则 UCm0=QUm
品质因数越大，总的能量就越大，振荡程度就越剧烈。
Q是反映谐振回路中电磁振荡程度的量, 一般讲在
要求发生谐振的回路中总希望尽可能提高 Q值 。
2
m
22
0m
2
0m 2
1
2
1
2
1 UCQCULIw
C ???总
与 Q2 成正比
由 Q 的定义：
耗的能量谐振时一周期内电路消
总储能谐振时电路中电磁场的
π
π
2
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
0
0
?
?????
TRI
LI
RI
LI
R
L
Q ?
?
从这个定义，可以对品质因数的本质有更进一步的了解：
维持一定量的振荡所消耗的能量愈小，则振荡电
路的“品质”愈好。
四,RLC串联谐振电路的谐振曲线和选择性
1,阻抗的频率特性
R
X
R
XX
R
ω Cω Lω CL 111 tgtg
1
tg) ( ??? ???
?
?j
)(|)(|)1(j ωφωZCωLωRZ ?????
222222 )()1(|)(| XRXXRCωLωRωZ
LL ????????
2,电流谐振曲线
谐振曲线：表明电压、电流大小与频率的关系。
幅值关系：
可见 I(? )与 |Y(? )|相似。
UωY
CωLωR
UωI |)(|
)1(
)(
22
?
??
?
幅频特性
相频特性
X(? )
|Z(?)| XL(? )
XC(? )
R
? 0 ?
Z (? )
O
阻抗幅频特性
j (? )
? 0 ?O
–?/2
?/2
阻抗相频特性
电流谐振曲线
? 0 ?O
|Y(?)|
I(? )
I(? )
U/R
从电流谐振曲线看到, 谐振时电流达到最大, 当 ? 偏
离 ?0时, 电流从最大值 U/R降下来 。 换句话说, 串联谐振
电路对不同频率的信号有不同的响应, 对谐振信号最突出
(表现为电流最大 ),而对远离谐振频率的信号加以抑制 (电
流小 )。 这种对不同输入信号的选择能力称为, 选择性, 。
3,选择性与通用谐振曲线
(a)选择性 (selectivity)
? 0 ?O
I(? )
例, 一接收器的电路参数为：
L=250?H,R=20?,C=150pF(调好 ),
U1=U2= U3 =10?V,? 0=5.5?106 rad/s,
f0=820 kHz.
+
_
+
_
+
L
C
R
u1
u2
u3
_
f (kHz)
北京台 中央台 北京经济台
? L
820 640 1026
X
1290 –1660 1034
0 – 660 577
1290 1000 1611
I0=0.5 I1=0.0152 I2=0.0173I=U/|Z| (?A)
ωC
1
从多频率的信号中取出 ? 0 的那个信号，即 选择性 。
选择性的好坏与谐振曲线的形状有关，愈尖选择性愈好。
若 LC不变,R大,曲线平坦，选择性差。
I0=0.5 I1=0.0152 I2=0.0173I=U/|Z| (?A)
%04.3
0
1 ?
I
I 小得多
∴ 收到北京台 820kHz的节目。
Q 对选择性的影响,R 变化对选择性的影响就是 Q对选择性的
影响。
820640 1200
I(f )
f (kHz)0
%46.3
0
2 ?
I
I
为了方便与不同谐振回路之间进行比较, 把电流谐振
曲线的横, 纵坐标分别除以 ?0和 I(?0),即
000
)(
)(
)()(,
I
ηI
ωI
ωIωIη
ω
ωω ????
(b) 通用谐振曲线
2220 )1(1
1
)1(
/
||/
)(
)(
RCωR
Lω
Cω
LωR
R
RU
ZU
ωI
ωI
??
?
??
??
20
0
20
00
0 )(1
1
)
1
(1
1
ω
ω
Q
ω
ω
Q
ω
ω
RCωω
ω
R
Lω
????
?
????
?
220 )1(1
1)(
η
ηQ
I
ηI
??
?
Q越大, 谐振曲线越尖 。 当稍微偏离谐振点时, 曲线就
急剧下降, 电路对非谐振频率下的电流具有较强的抑制能力,
所以选择性好 。
Q=10
Q=1
Q=0.5
1 ?2?1
0
)(
I
ηI
0.707
0 ?
通用谐振曲线：
因此,Q是反映谐振电路性质的一个重要指标。
'?
Q=10
Q=1
Q=0.5
1 ?2?1
0
)(IηI
0.707
0 ?
,
,
,7 07.02/1/
21
0
ηη
II
和标分别为
对应横坐点与每一谐振曲线交于两
处作一水平线在 ??
.,,12
0
2
2
0
1
1 ωωω
ωη
ω
ωη ???
12 ωω ? 称为通频带 BW (Band Width)
可以证明：
.1,1
12
0
12
12 ωω
ω
ηηQQηη ?????? 即
I/I0=0.707以分贝 (dB)表示,20log10I/I0=20lg0.707= –3 dB.
所以,?1,?2称为 3分贝频率。
Q=1
? 0 ?2?1
I
0.707I0
0 ?
4,UL(? )与 UC(? )的频率特性
2222
22
)1(
)1(
)(
??
?
??
??
ηQη
QU
Cω
LωRCω
U
Cω
IωU
C
2
2
2
2
22
)
1
1(
1
)
1
(
||
)(
η
Q
η
QU
Cω
LωR
LUω
Z
U
LωLIωωU
L
??
?
??
????
UL(? )：
当 ? =0,UL(? )=0； 0<?<?0,UL(? )增大； ? =?0，
UL(? )= QU； ? >? 0,电流开始减小, 但速度不快,
XL继续增大, UL 仍有增大的趋势, 但在某个 ?下 UL(? )
达到最大值, 然后减小 。 ???,XL??,UL(?)=U。
类似可讨论 UC(? )。
U
UC(?Cm)
QU
?Cm ?Lm ?0
UL(? )
UC(? )
U(? )
1
根据数学分析，当 ? =? Cm时,UC(?)获最大值； 当 ? =? Lm时，
UL(?)获最大值。且 UC(?Cm)=UL(? Lm)。 )2/1 ( ?Q条件是
Q越高,?Lm和 ?Cm 越靠近 ?0。
? Lm?? Cm =? 0。 020m 2
11 ω
Qωω c ???
02
2
0m 12
2 ω
Q
Qωω
L ???
QU
Q
QU
ωUωU LLcC ?
?
??
2
mm
4
1
1
)()(
上面得到的都是由改变频率而获得的, 如改变电路
参数, 则变化规律就不完全与上相似 。
上述分析原则一般来讲可以推广到其它形式的谐振
电路中去, 但不同形式的谐振电路有其不同的特征, 要
进行具体分析, 不能简单搬用 。
由于电压最大值出现在谐振频率附近很小的范围内，
因此同样可以用串联谐振电路来选择谐振频率及其附近的
电压，即对电压也具有选择性。
一、简单 G,C,L 并联电路
对偶,R L C 串联 G C L 并联
LCω
1
0 ?
)1(j ω Cω LRZ ??? )1(j ω Lω CGY ???
9,8 并联电路的谐振
+
_S
?I G C L?U
LCω
1
0 ?
R L C 串联 G C L 并联
|Z|
??0O
R
? 0 ?O
I(? )
U/R
? 0 ?O
U(? )
IS/G
LU
?
CU
?
?? ? UU
R
? I
CI?
LI?
?? ?
SG II
? U
|Y|
??0O
G
R L C 串联 G C L 并联
电压谐振 电流谐振
UL(? 0)=UC (? 0)=QU IL(? 0) =IC(? 0) =QIS
L
C
GGLωG
CωQ 11
0
0 ??? CLRRCωR LωQ 11
0
0 ???
推导过程如下：由定义得
G
Cω0?
2
2
2
1
π2
GUT
CU
Q
Cm
?
??
G
Cf
0π2?
二,电感线圈与电容并联
上面讨论的电流谐振现象实际上是不可能得到的，因为
电感线圈总是存在电阻的，于是电路就变成了混联，谐振现
象也就较为复杂。
BG j??
LωRCωY j
1j
???
))((j)( 2222 LωR LωCωLωR R ?????
谐振时 B=0，即
0)( 2
0
2
0
0 ??? LωR
LωCω
由电路参数决定。求得 2
0 )(
1
L
R
LCω ??
C
L
R
此电路参数发生谐振是有条件的，参数不合适可能不
会发生谐振。
在电路参数一定时，改变电源频率是否能达到谐振，
要由下列条件决定：
当电路发生谐振时，电路相当于一个电阻：
RC
L
R
LωRRωZ ???? 202
00
)()(
可以发生谐振时即当,,)(1 2 CLRLRLC ??
.,,0 是虚数因不会发生谐振时当 ωCLR ?
C
L
R
等效电路：
其中,C不变。
)) ( (j) ( 2222 LR LCLR RY ???? ?????
22 )( LR
RG
e ??? 。或,CR
LR
L
CRG
ee ??
谐振时：
L
LRL
LR
L
L ee 2
22
22
)(,
)(
1
?
?
?
?
?
??
??
Ge CLe
近似等效电路：
)1(
)1(
)1(
)(
)1(
)1)((
C
LjR
L
Rj
C
L
C
LjR
C
Rj
C
L
C
LjR
C
jLjR
Z
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
??
?
?
??
??
?
C
L
R
当线圈 Q值很高时，即,1??
R
L? 时，上式可近似为：
LjCjL
RC
CjLjR
C
L
Z
????
1
1
1 ??????
LjCjL
CR
ZY ??
11 ????
Ge C L
近似等效电路,其中,L,C不变，
。或,CRLRLCRG ee ??
LC
1
0??
讨论由纯电感和纯电容所构成的串并联电路：
(a) (b)
9,9 串并联电路的谐振
L1
L3
C2 L1 C2
C3
上述电路既可以发生串联谐振 (Z=0),又可以发生并联谐
振 (Z=?)。 可通过求入端阻抗来确定串, 并联谐振频率 。
对 (a)电路, L1,C2并联, 在低频时呈感性 。 随着频率
增加, 在某一角频率 ?1下发生并联谐振 。 ? >?1时, 并联
部分呈容性, 在 某一角频率 ?2下可与 L3发生串联谐振 。
对 (b)电路可作类似定性分析 。 L1,C2并联, 在低频时
呈感性 。 在某一角频率 ?1下可与 C3发生串联谐振 。 ? >?1
时, 随着频率增加, 并联部分可由感性变为容性, 在 某一
角频率 ?2下发生并联谐振 。
定量分析：
(a)
1
)(
j
1
j
j
1
j
)
j
1
(j
j)(
21
2
31231
3
21
2
1
3
2
1
2
1
3
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
??
CLω
LLωCLLω
CLω
L
ω L
ω C
ω L
ω C
ω L
ω LωZ
?
当 Z(?)=0，即分子为零，有：
0)( 31223132 ??? LLωCLLω
L1
L3
C2
可解得：
)( 02 舍去?ω
)(
231
31
2 串联谐振CLL
LLω ??
当 Y(?)=0，即分母为零，有：
012121 ??CLω
)( 1
21
1 并联谐振CLω ?
可见,? 1<? 2。
L1
L3
C2
21 ωω ?
)1(
)(1
j
1
j
j
1
j
1
j
j
1
j
j
1
)(
21
2
3
321
2
21
2
1
3
2
1
2
1
3
1
CLωω C
CCLω
CLω
ω L
ω C
ω C
ω L
ω C
ω L
ω C
ωZ
?
??
??
?
??
?
?
??(b)
分别令分子、分母为零，可得：
串联谐振
)(
1
321
1 CCLω ??
并联谐振
21
2
1
CLω ?
L1 C2
C3
阻抗的频率特性：
? 1 ?
X(? )
O ? 2
Z (? )=jX(? )
? 1 ?
X(? )
O ? 2
(a)
(b)
例,激励 u1(t)，包含两个频率 ?1,?2分量 (?1<?2)：
要求响应 u2(t)只含有 ?1频率电压。
u1(t) =u11(?1)+u12(?2)
如何实现？
LC串并联电路的应用：
可构成各种无源滤波电路 (passive filter)。
+
_
u1(t) u2(t)
可由下列滤波电路实现：
21
2
1
CLω ?
)(
1
321
1 CCLω ??
并联谐振，开路
串联谐振，短路
?1 信号短路直接加到负载上。
该电路 ?2 >?1,滤去高频，得到低频。
C R2
C3 L1
+
_
u1(t)
+
_
u2(t)
